Matemática Financeira Aplicada

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1 Séries Periódicas Uiformes Séries Uiformes Postecipadas Séries Uiformes Atecipadas Séries Uiformes Diferidas (atecipada/postecipada) carêcia 0 c c+1 c+2 c+3

2 Valor Presete das Séries Periódicas Uiformes P = P = i ( 1+ ( 1+ ( ( 1+ + ( 1+ + ( ( 1+ ( + ( + 4 ( + 3 ( + 2 ( + 1 [ ]

3 Valor Presete das Séries Periódicas Uiformes Na fórmula aterior, o somatório etre colchetes represeta a soma dos termos de uma progressão geométrica fiita. Logo, pode ser reescrita como: Ode: P = a 1 a 1 q a1 = primeiro termo da série; a = eésimo termo da série; q = razão da série..q

4 Valor Presete das Séries Periódicas Uiformes Substituido as respectivas expressões, ecotra-se: ( 1 )-1 i ( 1 )- i.( 1 1 ( 1 ) 1 i P = =. a i% + Obs: Iteracioalmete, chama-se de fator de valor presete o símbolo a i%, ode represeta o úmero de termos da série e i a sua taxa de capitalização.

5 Valor Presete das Séries Periódicas Uiformes Exemplo Calcular o valor das prestações auais postecipadas iguais e cosecutivas que liquidam um débito de $ 200,000 o prazo de seis aos, sedo a taxa de juros efetiva de 18% a.m. para os três primeiros aos e de 20% para os demais.

6 Valor Presete das Séries Periódicas Uiformes Exemplo Séries Diferidas Um fiaciameto de $ 50,000 será pago em 12 prestações mesais aplicado-se juros efetivos de 8% a.m. Cosiderado que foi estipulado um período de carêcia de três meses, calcular o valor das prestações atecipadas e postecipadas.

7 Motate de Séries Periódicas S Uiformes = Cosiderado uma série postecipada, capitalizada por períodos o valor presete da série: ( ) 1+ i ( i ( 1+ S =. s ( 1+ Obs: Iteracioalmete, chama-se de fator de valor futuro o símbolo. s i% S i% = i 1

8 Motate de Séries Periódicas Uiformes Exemplo Iicialmete uma pessoa deveria pagar pela compra de um eletrodoméstico quatro prestações de $ 80 cada (a primeira para 30 dias), mais três prestações de $ 60. Etretato a loja oferece outro esquema de pagameto em que o cliete faria um úico pagameto daqui a 5 meses. Cosiderado uma taxa de juros de 6%a.m., qual será o valor desse pagameto úico?

9 Cálculo das Taxas de Juros em Séries Periódicas Uiformes A taxa de juros ou taxa itera de retoro de um fluxo uiforme de pagametos ou recebimetos é a taxa que capitaliza os termos da série: P -... = ( ) ( ) 2 ( ) 3 1+ i 1 i 1 i ( 1 0

10 Cálculo das Taxas de Juros em Séries Periódicas Uiformes O cálculo da taxa itera de retoro em fluxos multiperiódicos é um processo complexo, resolvido por tetativas ou iterpolação liear. Os métodos iterativos idicados são: Newto-aphso; Gauss-Catelli; Método de Karpi; Método de Baily-Lezi.

11 Cálculo das Taxas de Juros em Séries Periódicas Uiformes Exemplo Depositado mesalmete $ 4,000 durate 18 meses, acumulou-se um capital de $124, Calcular a taxa de juros efetiva mesal gaha pelos depósitos.

12 Séries Variáveis São comus as situações em que as projeções dos fluxos de caixa das aplicações fiaceiras ou dos projetos de ivestimeto são crescetes ou decrescetes ao logo do tempo. Serão estudados dois tipos de fluxos: Séries variáveis em progressão aritmética; Séries variáveis em progressão geométrica.

13 Séries Variáveis Gradietes Uiformes Em uma auidade vecida cujos termos ou redas variam de acordo com uma lei predetermiada, deomia-se gradiete a difereça etre duas redas. Cada termo da auidade é costituído pela reda-base mais os gradietes acumulados. 5G 0G 1G 2G G 4G Gradietes eda-base

14 Séries Variáveis em Progressão Aritmética Crescete e postecipada G 1G 2G S-1 S3 3G (-1)G S2 S1 G = s i ( ) S i% = G s i ( 1+ ( ) P i%

15 Séries Variáveis em Progressão Aritmética Crescete e atecipada G 2G 3G 4G G S S4 S3 S2 S1 G = [ ( 1+. s ] P ( 1+ S i% i G =. a i% i ( ) 1+

16 Séries Variáveis em Progressão Aritmética Decrescetes P P4 P3 P2 P1 [ ( ) ] 1 i G S = + s i i% G (-1)G (-2)G G ( 1 (-3)G 1G [ ( ) ] 1 P = + i - s i% i +

17 Séries Variáveis em Progressão Aritmética Exemplo Uma máquia permite uma ecoomia de custos de $ 10,000 o primeiro ao e gradativamete crescete até o quito ao de suas vida útil. Cosiderado uma taxa efetiva de 12% a.ª, calcular o valor atual dessa ecoomia de custos.

18 Séries Variáveis em Progressão Geométrica Valor presete de séries crescetes e decrescetes Ahⁿ ² Ah³ Ah² Ah A Ahⁿ ¹ P = A ( 1+ h h ( 1+ ( 1+

19 Séries Variáveis em Progressão Geométrica Exemplo Uma pessoa pagará mesalmete durate 18 meses uma série de prestações com reajuste mesal de 5%. Cosiderado que o primeiro pagameto de $ 48,000 será efetuado o fim do primeiro mês, calcular o valor presete da série de prestações a juros efetivos de 7% a.m.

20 Séries Variáveis Perpetuidades É um cojuto de redas cujo úmero ão pode ser determiado exatamete, pois é muito grade e tede ao ifiito. Pode ser atecipada, postecipada e diferida. Um exemplo são os dividedos pagos pelas empresas tempo

21 Séries Variáveis Perpetuidades Postecipada = P.i P = i Atecipada a = P. i 1+ i P = a ( 1+ i

22 Séries Variáveis Perpetuidades Custo Capitalizado Existem atividades cujos ativos devem ser matidos permaetemete, reformados ou substituídos periodicamete através de desembolsos de capital k 4 5 k S S tempo C F = C + P = C + S ( 1+ k 1

23 Séries Variáveis Perpetuidades Exemplo Uma jazida de ouro com reservas para exploração estimada em mais de cem aos produz lucros médios de $ 4,000,000/ao. Calcular o valor da mia, cosiderado que os próximos dois aos a mia ão operará por motivos de reovação de equipametos. O custo de oportuidade do capital é de 15% a.a.

24 Séries Variáveis Perpetuidades Exemplo Um caal de irrigação teve um custo iicial de $ 500,000. O egeheiro projetista estima que para estar permaetemete em codições operacioais, a cada três aos, deve ser realizada uma reforma do caal a um custo aproximado de $ 150,000. Determiar a quatia que deve ser aplicada hoje a juros de 15% a.a., de modo que assegure a reforma perpétua do caal, bem como o custo capitalizado do caal, admitido-se um custo de capital de 15% a.a.