Notas de aula de Matemática Financeira

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1 Notas de aula de Matemática Fiaceira Professores: Gelso Augusto

2 SUMÁRIO 1. Sistema de capitalização simples Itrodução: Coceitos Iiciais Juros Simples Motate simples Método Hamburguês: Saldo médio e Prazo Médio Saldo Médio Prazo Médio Descotos Simples Itrodução Descoto Descoto Racioal Simples Descoto Comercial Simples Taxa efetiva de juros Equivalêcia de Capitais e Fluxo de Caixa Fluxo de caixa Equivalêcia de capitais Equivalêcia etre Cojuto de Capitais Sistema de capitalização composta Juros compostos Coveções Cálculo do juro e motate composto Juros e Motate a taxa variável Taxa de juro o regime de capitalização composta Taxas equivaletes Descotos Compostos Descoto Racioal Composto Descoto Comercial Equivalêcia de Capitais Fiaciametos e Capitalização Fluxo de Caixa Modelo Básico de Fiaciameto Modelo Básico de Capitalização Sistema de Amortização Sistema de prestação Costate (Sistema Fracês) Sistema de Amortizações Costates (SAC) Sistema de Juro Costate ou Sistema Americao Sistema de Amortização Mixto (SAM) ) Aálise de Ivestimetos Taxa Itera de Retoro (IRR) Método do Valor Presete Líquido (NPV ou VPL) BIBLIOGRAFIA

3 1. Sistema de capitalização simples 1.1 Itrodução: Quato vale o diheiro? Vivemos tato tempo em uma ecoomia com altas taxas de iflação, que perdemos a oção do valor do diheiro, pricipalmete das pequeas quatias gastas o dia a dia. Quem liga para uma despesa de 2 reais por dia, por exemplo, de uma esmola para aquela velhiha simpática perto do seu prédio? Alguém prevê isto o orçameto? Etretato esta despesa de 2 reais por dia desprezada por você represeta o ao, 730 reais, praticamete o valor de uma geladeira ou 2 televisões. Se você gaha 1500,00 reais por mês, será a metade de seu décimo terceiro! E aquela revista de fofocas que compro toda semaa, pois só custa 5 reais; ela vai represetar um gasto aual de 260 reais! Se somarmos pequeas despesas diárias que ão computamos, 1 real para isto, 2 reais para aquilo etc., o fial de um ao isto poderá represetar uma despesa cosiderável. Não estou acoselhado a ão dar esmolas, ão comprar revistas ou deixar de gastar em pequeos prazeres, mas sim em ter cosciêcia do valor destes gastos em relação aos seus gahos. A solução para isto é você fazer seu orçameto em bases auais. Nossos íveis de iflação já permitem isto e este tipo orçameto aual você poderá ter uma clara idéia do que represetarão estas "pequeas" despesas o total de seus gastos e admiistrar melhor seu caixa. Com fim de estudar o comportameto do diheiro o tempo daremos iício ao osso estudo de Matemática Fiaceira 1.2 Coceitos Iiciais. Juro: Remueração que o tomador de um empréstimo deve pagar ao doo do capital com compesação pelo uso do diheiro. Idicaremos o juro por J. Capital: qualquer valor expresso em diheiro e dispoível em uma determiada data. O capital que dá iício a uma determiada operação é chamado de Valor Presete (PV). O capital é idicado apeas pela letra C por algus autores. Tempo: è o prazo que decorre desde o iício até o fial de uma dada operação fiaceira. O tempo pode ser cotado em dias, bimestres, trimestres, quadrimestres, aos, etc. Idicaremos por. Na prática o tempo pode ser cotado de duas formas. Tempo exato: é aquele que leva em cota a data real, ode o ao pode coter 365 ou 366 dias. (Ver tabela 1 em aexo) Tempo Comercial (ou aproximado): é aquele que leva em cota o chamado ao comercial, isto é o mês cotedo 30 dias e o ao 360 dias. 3

4 CONTAGEM DE DIAS PARA O ANO CIVIL NÃO BISSEXTO Dia do mês Ja Fev Marc Abr Mai Ju Jul Ago Set Out Nov Dez Dia do mês Tabela 1 Taxa de juro: é a razão etre o juro obtido o fim do primeiro período fiaceiro e o capital iicial. Idicaremos por i. A taxa i costuma apresetar-se de duas formas: Forma percetual: represeta o juro de 100 uidades do capital, o período tomado como uidade de tempo. Forma uitária; ou cetesimal. Observe exemplo, coforme tabela 2, abaixo. 4

5 Taxa de juro Forma Forma Referêcia percetual uitária temporal 2 por ceto ao dia 2,00% 0,0200 ad 24 por ceto ao mês 24,00% 0,2400 am 50,3 por ceto ao bimestre 50,30% 0,5030 ab 90,03 por ceto ao semestre 90,05% 0,9005 as 315 por ceto ao ao 315,00% 3,1500 aa Tabela 2 Motate (FV) : Valor acumulado, relativo à aplicação de um capital C (PV), é defiido como o capital acrescido de seu respectivo juro J. FV = PV +J 1.3 Juros Simples O juro evolvido em certa operação fiaceira é chamado Juro Simples quado sua geração, em cada período a que se refere à taxa, durate todo o seu prazo de aplicação, for feita exclusivamete com base o capital iicial. Assim, aplicado um capital C a uma taxa de juro i por um período teremos: J = Ci Obs: I e devem referir-se a mesma uidade de tempo Motate simples M = C (1 + i) ou FV = PV (1+ i) Exercícios: 1) Qual o tempo exato de uma aplicação fiaceira iiciada em 7 de juho de 2004 e com vecimeto em 14 de ovembro de 2004? (160 dias) 2) A quatos aos, meses e dias correspodem, pelo critério do tempo comercial, 1926 dias? (5a 4m 6d) 3) Calcular o juro simples gerado por uma capital de R$35.000,00, quado aplicado por 10 meses à taxa de 9% am.(r$31.500,00) 4) Ecotrar o capital que aplicado à taxa de 21,5% am, durate 4 meses, produz o juro simples de R$62.178,00. (R$ ,00) 5) Ecotrar a taxa de juro simples mesal, proporcioal a 48% aa. (4%am) 6) Ecotrar a taxa de juros simples aual, proporcioal a 20,05%am. (240,6%aa) 7) Calcular o Juro simples produzido pelo capital de R$15.300,00, tomado a 84%aa, durate três meses. (R$3.213,00) 5

6 8) Ivo aplicou um capital por 3 meses, à taxa de juros simples de 7% am. Decorridos os três meses, o mesmo capital iicial foi aplicado por mais 2 meses, à taxa de 48%aa. A soma do juro obtido as duas trasações foi R$ ,00. Qual foi o capital iicial aplicado? ( R$ ,00) 9) Fiz uma aplicação de R$ ,00 a juros simples, esperado que o diheiro redesse à taxa de 60%aa. No etato, após certo período de tempo, a taxa foi reduzida a 4%am. Qual foi o prazo em que vigorou a seguda taxa se, após 10 meses, o capital rede R$ ,00 de juros simples? ( 3 meses) 10) Dois capitais foram colocados a juros simples, à mesma taxa. O primeiro gerou de juros em 1 ao e 8 meses, uma quatia igual a si próprio, e o segudo redeu de juro R$ ,00, em 15 meses. Calcular a taxa e os capitais evolvidos essa operação sabedo-se que o segudo capital supera o primeiro em R$ ,00. (C1 = R$ ,00, C2 =R $70.000,00 e i = 5% am) 11) Um baco emprestou a quatia de R$70.000,00, á taxa de 91,25% aa, o dia 2 de agosto de 2004, com data de vecimeto para 4 de dezembro de Quato de juro simples exato ele recebeu?(r$ ,71) 12) No dia 8 de março de 2004, uma pessoa tomou emprestada a quatia de R$ ,00, comprometedo-se a liquidar a dívida em 1 mês e 10 dias, pagado por ela R$ ,00. A que taxa diária de juros simples deu-se essa operação?(1,5%ad) 13) Uma loja vede um aparelho de som por R$1.800,00 a vista. A prazo o aparelho é vedido por R$ 2.016,00, sedo R$ 360,00 de etrada e o restate pago após 45 dias. Qual a taxa mesal de juros simples adotada esta operação? (10%am) 14) Em quatos meses um capital dobra de valor, se aplicado a juros simples de 2% am?(50 meses) 1.4 Método Hamburguês: Existe um método de se calcular os juros produzidos por k capitais C 1,C 2,C 3,..., C k. Aplicados pelos prazos 1, 2, 3... K à taxa de juros simples i. J 1 =C 1 1 i J 2 =C 2 2 i J 3 =C 3 3 i J 4 =C 4 4 i... J k =C k k i J = J 1 + J J k J = i (C C C k k ) J i q1 C q q Este método é usado para calcular, por exemplo, o juro sobre saldos devedores dos cheques especiais. 6

7 Exemplo 1: Um Cliete recebeu o extrato abaixo. Sabe-se que o baco cobra uma taxa de juros de 30% am sobre os saldos devedores. Quato este cliete deverá pagar de juros? Data Histórico Valor (D/C) Saldo (D/C) 1/5/2003 Trasporte R$ - R$ ,00 C 8/5/2003 Cheque R$ 5.000,00 C R$ ,00 C 16/5/2003 Cheque R$(50.000,00) D R$ (5.000,00) D 22/5/2003 Cheque R$(25.000,00) D R$(30.000,00) D 26/5/2003 Cheque R$ ,00 C R$ ,00 C 27/5/2003 Cheque R$(30.000,00) D R$(20.000,00) D 1/6/2003 Cheque R$ ,00 C R$ ,00 C Tabela 3 Solução: Lembramos que o mês de maio tem 31 dias. Para cálculo do juro motamos uma tabela usado apeas os saldos devedores e o prazo desses débitos. Cosidere a última colua da tabela 1. A partir da tabela 2, abaixo, temos: Saldo devedor Número de dias Total R$ (5.000,00) 6 R$ (30.000,00) R$(30.000,00) 4 R$( ,00) R$(20.000,00) 5 R$( ,00) Logo: 0,3 Taxa diária: 0, Juro = 0,010 ( ) = TOTAL DEVIDO Tabela 4 R$( ,00) 1.5 Saldo médio e Prazo Médio Saldo Médio Sabe-se que freqüetemete, as istituições bacárias exigem saldo médio de seus clietes para cocessão de empréstimos, descoto de duplicatas ou de outro título qualquer. Veja como se calcula o saldo médio. S m C11 C C k k k Ode, C 1,C 2,...C k são os saldos credores e 1, 2,..., k os prazos. 7

8 Exemplo 2: Em julho um cliete apresetou os saldos credores que aparecem o quadro a seguir.qual o saldo médio desse cliete? Solução: Saldo credor Número de dias R$250,00 7 R$500,00 3 R$50,00 10 Tabela 5 Saldo credor Número de dias AxB R$250,00 7 R$1.750,00 R$500,00 3 R$1.500,00 R$50,00 10 R$500,00 Total 20 R$3.750,00 Tabela 6 S m , Prazo Médio Sejam C 1,C 2,...C k, k capitais colocados à mesma taxa i, durate os tempos 1, 2,..., k, respectivamete. Deomia-se prazo médio o tempo sobre o qual deve ser colocada a soma desses capitais, à mesma taxa, de modo que o juro produzido seja igual à soma dos juros produzidos pelos k capitais dados. Temos etão, pela defiição dada; T m C11 C22... Ck C C... C 1 2 k k Exemplo 3: Os capitais R$6.000,00, R ,00 e R$ 8.000,00 foram colocados à mesma taxa durate 9,5 e 8 meses, respectivamete. Durate quato tempo deveria ser empregada a soma desses capitais, à mesma taxa, para que o juro produzido fosse igual a soma dos juros daqueles capitais os prazos dados? T m 7m

9 2. Descotos Simples 2.1 Itrodução São muito comus, o mudo dos egócios, as operações em que uma pessoa (física ou jurídica) recebe algo de imediato e só efetua o devido pagameto depois de determiado período de tempo, previamete combiado etre as partes evolvidas: Tais operações são chamadas operações de crédito e são realizadas mediate documeto comprobatório da dívida chamado título de crédito. Detre os títulos de crédito recohecidos pelo Direito Comercial Brasileiro, destaca-se: Nota promissória: documeto oficial pelo qual uma pessoa, declarado-se devedora de certa quatia a outra, compromete-se a pagá-la em certa data, combiada etre as partes. Letra de câmbio comercial: documeto oficial pelo qual uma pessoa ordea à outra que lhe pague certa quatia em determiada data. Duplicata: documeto oficial pelo qual uma pessoa se declara devedora de certa quatia a outra, relativa à compra de mercadorias. Edosso: As leis que regem as operações fiaceiras permitem a trasferêcia de propriedade dos títulos de crédito mediate a operação chamada edosso: o proprietário do título laça o documeto sua assiatura, torado-a assim ao portador, isto é, de propriedade de seu evetual possuidor. 2.2 Descoto È o abatimeto sobre o valor de um título ao qual alguém faz jus por comprá-lo em data aterior a seu vecimeto. Idicaremos o descoto por D. Nas operações evolvedo um título de crédito, destacamos algus elemetos relativos à data posterior à aálise do problema: Valor Nomial: é o valor do título a data de vecimeto. Idicaremos o valor omial por N. Valor atual ou valor presete do título: é o valor do título a data de aálise do problema. Idicaremos o valor atual por A. Exemplo 2: No caso de uma pessoa possuidora de uma duplicata de R$ ,00 que a vedeu a um baco, uma data aterior à de seu vecimeto, por R$ ,00. Temos: N = A = D = N A = 5000 Na prática, o descoto cosiste o juro cobrado pelo comprador do título pelo aluguel do diheiro. Quado esse juro é cobrado pelo úico valor do título, o descoto é chamado descoto simples. 9

10 2.2.1Descoto Racioal Simples Também chamado descoto por detro ou real é sempre calculado sobre o valor atual do título A. A relação abaixo forece esse descoto para o valor atual A, tempo e taxa de descoto i: D = Ai Como trabalhemos sempre a partir do valor omial trabalharemos a relação para que fique apropriada. D = Ai e A = N - D D = (N D) i D = Ni Di D + Di = Ni D (1 + i) = Ni Ni D 1 i Agora acompahe a relação etre A e N: Ni A N D N 1 i Portato: N Nim Ni N 1 Ni 1 i N = A (1 + i) Obs: I e devem se referir ao mesmo período de tempo Exercícios: 15) Uma pessoa pretede saldar uma dívida cujo valor omial é de R$ 6.462,50, dois meses ates da data do vecimeto. Qual o descoto que fará jus se a taxa correte o mercado é de 60%aa e o critério adotado foi o racioal simples? (R$ 587,50) 16) Qual o valor atual de uma ota promissória de R$7.500,00, quatro meses ates de seu vecimeto, á taxa de 60%aa? (Cosidere o descoto racioal simples) (R$6.250,00). 17) Uma ota promissória, resgatada 90 dias ates do vecimeto, foi egociada por R$53.409,00, à taxa de descoto racioal de 84%aa. Qual era o valor omial desse título?(r$ ,89) 18) Dois títulos, A e B, fora, resgatados racioalmete 2 e 3 meses, respectivamete, ates de suas datas de vecimeto. A soma dos valores omiais dos dois títulos é de R$ ,00, equato o valor de resgate do título A supera o do título B em R$ ,00. Ecotre o valor de resgate de cada título, sabedo que ambos foram egociados a taxa de 10%am. (A = R$ ,00 e B = R$ ,00) 10

11 19) Um título foi resgatado racioalmete 2 meses ates de seu vecimeto. Qual foi a taxa simples adotada essa operação, se o descoto cocedido foi igual à metade de seu valor atual a data de resgate?(25%am) Descoto Comercial Simples Também chamado descoto por fora, é o descoto simples aplicado sobre o valor omial do título. Idicaremos o descoto comercial por D c. Assim, para um título de valor omial N, descotado períodos de tempo ates de seu vecimeto, a uma taxa de descoto comercial i c, temos: D c = N i c Vamos ecotrar agora o valor atual comercial em fução do Nomial. A c = N - D c A c = N - N i c A c = N(1 - i c ) OBS: i c e devem referir-se a um mesmo período de tempo. Exercícios 20) Em 2004 um título com valor omial de R$ ,00 foi resgatado 40 dias ates de sua data de vecimeto, à taxa de 30%am. Qual o descoto comercial cocedido? (R$ ,00) 21) Em 2004 resolvi quitar uma dívida de R$ 8.500,00, faltado 23dias para o seu vecimeto. Que valor devo pagar, se meu credor exigiu que a operação se realizasse com base a taxa de descoto comercial de 36%am?(R$ 6.154,00) 22) Por uma duplicata de R$ ,00, um baco pagou o líquido de R$ ,00. Quatos dias aida faltavam para o vecimeto do título, se a operação deu-se à taxa comercial de 30%aa? (45 dias) 23) Um baco opera o descoto de títulos à taxa comercial simples de 20%am. O sacador de uma duplicata de R$ 3.000,00 deseja vedê-la a esse baco 7 meses ates de sua data de vecimeto. Vale a pea realizar essa operação?(não) 24) O quociete etre os descotos comercial e racioal em um título é de 1,5. Qual a taxa de descoto comercial adotada operação, se i = 2i c e o período de atecipação foi de 5 meses?(20%am) 25) Uma empresa descotou em um baco uma duplicata de R$ ,00, recebedo o líquido de R$ ,00. Sabedo-se que o baco cobra uma comissão de 2% sobre o valor do título, que o regime é de juros simples comerciais, sedo a taxa de juros 96%aa, qual o prazo de descoto da operação?(45 dias) 11

12 2.3 Taxa efetiva de juros È aquela que coduz, pelo critério racioal, ao mesmo valor que a taxa comercial coduziria pelo descoto comercial. Idicaremos: A taxa de juro efetiva por i. A taxa de descoto comercial por i c. Para que i correspoda a i c, demos ter D = D c. D = D c Ai = N i c (cacelado os dois membros) Ai = Ni c N(1 i c )i = Ni c (cacelado N os dois membros) (1 - i c )i = i c ic i 1 i c Exercícios 26) Uma duplicata foi resgatada 2 meses ates de seu vecimeto, à taxa de descoto comercial de 18%am. Qual a taxa de juro efetiva relativa a essa operação? (28,125%am) 27) Um baco deseja lucrar em suas operações de descotos de títulos, à taxa de juro efetiva de 26%aa. Que taxa aual comercial deverá exigir de um cliete a atecipação de um título por 6 meses?(23%aa) 28) Um baco descota títulos de crédito, comercialmete, à taxa de 20% am. Idepedetemete do prazo de atecipação do título, cobra aida uma taxa de 2% de despesas admiistrativas. Qual a taxa de juro efetiva cobrada por esse baco, o caso de um título descotado 2 meses ates do vecimeto. (36,2%am) Letra do tesouro Nacioal È qualquer título emitido pelo govero federal com prazo fixo e que paga juros de mercado. As LTNs são usadas como istrumeto de cotrole do diheiro circulate e também para a captação de recursos para o fiaciameto de obras públicas. Recebem também o ome de títulos da dívida Pública. Nas operações com LTNs, o juro e o descoto são calculados o sistema de capitalização simples. 12

13 Exercício: 25) Um lote de LTNs o valor omial de R$ ,00 é adquirido o Baco Cetral com prazo de resgate de 69 dias, à taxa de descoto comercial de 22%am. Pede-se ecotrar: a) O preço de compra do lote das LTNs.(R$ ,00) b) A taxa de retabilidade (taxa de juros efetiva) da operação.(44,53%am) 2.4 Equivalêcia de Capitais e Fluxo de Caixa Fluxo de caixa Chama-se fluxo de caixa à sucessão de pagametos ou recebimetos previsto ao logo do tempo. Para facilitar a visualização de um fluxo, utilizamos uma reapresetação gráfica chamada de fluxo de caixa Nele, covecioamos: Um eixo horizotal, orietado para direita, idica os períodos de tempo (dias, meses, aos, etc). As setas orietadas para cima represetam as saídas de caixa (pagametos, desembolsos, etc). As setas orietadas para baixo represetam as etradas de caixa (recebimetos, reembolsos, etc) Equivalêcia de capitais Dois ou mais capitais são ditos equivaletes quado, trasportados para uma mesma data, à mesma taxa, produzirem, essa data, valores iguais. A data para qual os capitais serão trasferidos será chamada data focal. 13

14 Exercícios: 26)Verificar se os capitais R$ 6.400,00, com vecimeto para 3 meses, e R$ ,00, com vecimeto para 7 meses, são ou ão equivaletes pelo critério da taxa comercial simples a 10%am, a data focal 5. (Sim) 27)Desejo substituir um título de R$ ,00 que vece hoje por outro que vecerá daqui a três meses. Para esse tipo de trasação, o baco aplica a taxa comercial simples de 20%am e, par os cálculos, adota a data focal 3. Qual o valor do ovo título?(r$ ,00) 28)Uma pessoa trocou um título de R$ ,00, com vecimeto para 45 dias, por outro a ele equivalete, a uma determiada taxa de descoto racioal, com vecimeto para 10 dias e valor omial R$ ,00. Qual o valor dessa taxa racioal, cosiderado-se a data focal zero?(1%ad) Equivalêcia etre Cojuto de Capitais Dois ou mais cojutos de capitais são ditos equivaletes quado a soma dos capitais de cada cojuto, trasportados para uma mesma data, a uma mesma taxa, produzir valores iguais. Exercícios 29) Uma pessoa deve a um baco os seguites valores: R$ ,00 com vecimeto hoje, R$ ,00 com vecimeto para 30 dias e R$ ,00 com vecimeto em 60 dias. No etato, setido que ão poderá pagar essas quatias as datas previstas, propõe a seu credor o pagameto total da dívida, em uma só vez, daqui a 90 dias. Qual o valor desse pagameto úico, se foi usada a trasação a taxa simples racioal?(r$ ,00) 30) Uma pessoa deve, em um baco, dois títulos: o primeiro o valor de R$ ,00, para pagameto imediato, e o segudo o valor de R$ ,00, para pagameto em 6 meses. Por lhe ser coveiete, o devedor propõe ao baco o pagameto total da dívida em uma só vez, em três meses. Qual o valor desse pagameto úico, se a operação será realizada comercialmete a 84%aa, a data focal 3?(R$ ,34) 31) Um automóvel é vedido a vista por R$ ,00. A prazo, o automóvel é vedido em dois pagametos de R$ ,00 mesais, sedo o primeiro em 30 dias. Qual foi a taxa racioal de juro adotada essa operação? (10%am) 14

15 3. Sistema de capitalização composta 3.1 Juros compostos. No sistema de capitalização simples o juro de cada período é calculado sempre com base o capital iicial. No sistema de capitalização composto o juro é calculado sempre com base o saldo do iício do período. Vejamos a tabela 7, abaixo Movimetação para juros simples de 10%am Período Saldo o Iício do mês Juro de cada mês Motate % de % de % de % de Tabela 7 Movimetação para juros compostos de 10%am Período Saldo o Iício do mês Juro de cada mês Motate % de % de % de % de Tabela 8 O motate simples pode ser represetado por uma reta, já o composto por uma expoecial. Percebe-se que o regime de juros compostos o motate obtido a cada período foi calculado com base o motate aterior, e ão o capital iicial, como ocorria os juro simples. Portato, o juro composto é um sistema de juro sobre juro, que é o que ocorre a maioria das trasações comerciais. Em fução disto, seu estudo é mais importate que o estudo do juro simples. O úico icoveiete da teoria de juros compostos é que seu cálculo é mais complexo que o de juros simples, fato que pode ser miimizado se o estudate de utilizar uma calculadora cietífica ou o Excel. 3.2 Coveções Se um exercício ão especifica o regime de capitalização, etedemos ser um regime composto. Se ão especifica se o sistema é racioal ou comercial, etedemos ser um regime racioal. 15

16 3.3 Cálculo do juro e motate composto Acompahe a seqüêcia abaixo: M1 = C(1+ i) M2 = M1(1+ i) = C(1+ i) (1+ i) = C(1+ i) 2 M3 = M2(1+ i) = C(1+ i) 2 (1+ i) = C(1+ i) 3 M = C(1+ i) J = M C = C(1+ i) C = C[(1+ i) -1] J = C[(1+ i) -1] Ode: J = Juro composto C = capital iicial = tempo de aplicação do capital iicial i = taxa de juros da operação. Obs: Taxa e tempo deve estar a mesma uidade de tempo. Exercícios 32) Um ivestidor aplicou a quatia de R$ ,00, à taxa de juro composto de 7% am. Que motate este capital irá gerar após 5 meses? (R$ ,52) 33) Calcular o juro composto que se obterá a operação de R$ ,00 a 15% aa, durate 48 meses. (R$ ,60) 34) Um capital de R$ ,00 esteve aplicado por 4 meses e gerou um motate de R$ 12155,06. A que taxa mesal esteve aplicado? (5%am) 35) Durate quato tempo deve ficar aplicado o capital de R$ ,00, à taxa composta de 10%am, para que o mesmo produza juro de R$ 11585,00?(3 meses) 36) O capital de R$ ,00 foi aplicado a juros composto de 3% am. Qual o motate o fial de 3 aos e 8 meses? (R$ ,31) 37) Calcule a taxa mesal de juro composto que, aplicada ao capital de R$ ,00, o trasforma em um motate de R$ ,00 em 2 meses. (17%am) 38) Em 2004, um capital o valor de R$ ,00 foi aplicado à taxa de juro composto de 23% am, e se elevou a R$ ,00. Por quatos meses esse capital foi aplicado?(2 meses) 39) O preço de um objeto é de R$ 1.200,00, podedo ser pago daqui a três meses. Na compra desse objeto, a vista, dá-se um descoto de 15%. Qual a taxa de juro composto evolvida essa operação?(5,56%am) 16

17 3.4 Juros e Motate a taxa variável De acordo com as defiições dadas para juro e motate composto, podemos observar: i 1 i 1 i... M C i J C Ode: M = motate J = Juro C = capital iicial i = taxa de juros o tempo Exercícios i 1 i 1 i... 1 i ) Uma pessoa aplicou, em cadereta de poupaça, a quatia de R$ ,00 por 3 meses. Qual o seu saldo o fim desse prazo, se o redimeto do diheiro esses meses deu-se com base as taxas 1,2% ; 1,5% e 1%? (R$ ,54) 41) Tomei emprestado R$ ,00 pelo prazo de 4 meses, comprometedo-me a pagar juro com base as taxas de iflação de cada período. Quato pagarei de juro, se as taxas de iflação de cada período foram, respectivamete, 7%; 5,5%; 4% e 5%?(R$ ,60) 3.5 Taxa de juro o regime de capitalização composta Em algus tipos de operação fiaceira costuma-se expressar a taxa de juro em tempos auais. No etato, essas mesmas operações são realizadas em períodos de capitalização mesais, bimestrais, etc. desse fato decorrem situações em que a taxa de juro é expressa em um período de capitalização ão coicidete com o período de tempo ao qual a taxa se refere. Nesses casos, faz-se ecessária a distição etre taxa efetiva e taxa omial. Taxa efetiva: è aquela que, como o próprio ome já diz, efetivamete verifica a operação fiaceira. Taxa Nomial: taxa aparete que só pode ser defiida quado a uidade à qual a taxa se refere ão coicide com a uidade do período de capitalização, e a coversão é feita calculado-se a taxa proporcioal. A fim de evitarmos iterpretações ambíguas, vamos covecioar: Toda vez que a uidade à qual a taxa se refere coicidir com o período de capitalização, estaremos os referido a uma taxa efetiva. Assim, são exemplos de taxas efetivas: 5% ao mês, capitalizados mesalmete. 7% ab, capitalizados bimestralmete. 17

18 No caso da taxa efetiva, costuma-se omitir o período de capitalização. Toda vez que a uidade à qual a taxa se refere ão coicidir com o período de capitalização, estaremos os referido a um taxa omial. Assim, são exemplos de taxas omiais: 10% aa, capitalizados mesalmete. 7% ab, capitalizados diariamete. Por coveção a obteção da taxa efetiva embutida em uma dada taxa omial é feita o sistema de capitalização simples, isto é calcula-se a taxa proporcioal à dada, relativa à uidade de tempo mecioada para capitalização. Assim: i i k k k Sedo: i = taxa efetiva i k = taxa omial k = úmero de vezes em que o período correspodete á taxa foi dividido Taxas equivaletes Duas taxas de juros são ditas equivaletes quado aplicadas ao mesmo capital produzem o mesmo motate. Assim: M M 1 C 1 i 1 a 1 12 C a m a 2 C 1 im Aalogamete podemos escrever: i 1 i 1 i 4 1 i 2 1 i 1 C1 i 12 1 i i i a m t s d Exercícios 42) Calcular a taxa de juro efetiva, relativa `a taxa omial de 36%aa, com capitalização mesal e com capitalização bimestral(3%am e 6%ab). 43) Calcular a taxa mesal de juro composto, equivalete a 9,2727%at.(3%am) 44) Qual a taxa efetiva aual, relativa à taxa de 36%aa, com capitalização mesal?(42,6%aa) 45) No Brasil, as caderetas de poupaça pagam, além da correção moetária, juro à taxa omial de 6%aa, com capitalização mesal. Perguta-se: a) Qual a taxa efetiva mesal?(0,5%am) b) Qual a taxa efetiva aual?(6,1678%aa) 46) Uma istituição fiaceira empresta diheiro a 96%aa, adotado a capitalização mesal de juro. Qual seria o motate a ser pago por um empréstimo de R$ ,00 feito por 1 ao?(r$ ,65) 47) Um ivestidor está ideciso se aplica uma quatia em diheiro dispoível o baco A, que oferece a taxa composta de 2%am, ou o baco B, que oferece 27%aa, também de juro composto. Qual dos dois oferece melhor oportuidade de ivestimeto?(o baco B) 18 m

19 4. Descotos Compostos Os descotos compostos podem ser de dois tipos: descoto comercial composto e descoto racioal composto. No etato, o descoto comercial composto quase ão apreseta a prática aplicação o Sistema Fiaceiro Brasileiro, razão pela qual apresetamos de forma sucita, dedicado a maior parte desta uidade ao descoto racioal composto. A simbologia que adotaremos o trato com o descoto composto é a seguite: D c = descoto composto comercial D = descoto racioal composto N= valor omial A = valor atual racioal A c = valor atual comercial i = taxa de descoto racioal i c = taxa de descoto comercial = prazo de atecipação 4.1 Descoto Racioal Composto È a difereça etre o valor omial e o valor atual de um título, os quais são determiados com base o sistema de capitalização composta. Assim, temos: N = A(1+ i ) N 1 ; A e 1 i D N 1 1 i Exercícios 48) Calcular o descoto racioal composto, cocedido o resgate de um título de R$ ,00, recebido 2 meses ates de seu vecimeto, à taxa de 3% am. (R$ 2.870,20) 49) Qual o valor atual de um título de R$ ,00, resgatado racioalmete à taxa composta de 4% am, 3 meses ates de seu vecimeto?(r$ ,60) 50) Por ter pagado uma dívida de R$ ,00, 4 meses ates de seu vecimeto, uma pessoa obteve um descoto de R$ ,50. Qual a taxa de descoto racioal evolvida essa operação?(2%am) 51) Uma empresa tomou emprestada de um baco a quatia de R$ ,00, à taxa de juro composto de 12%am, por 7 meses. No etato, 15 dias ates da data prevista para o vecimeto, a empresa decidiu liquidar a dívida. Qual o valor pago, se essa data o baco estava operado a 15%am?(R$ ,32) 4.2 Descoto Comercial As fórmulas de juro composto comercial composto, relativo a um dado título de crédito, são obtidas pelas fórmulas do descoto comercial simples, aplicadas período a período. Assim, temos: 19

20 A N Dc Exercícios c N 1 i c A c 1 i c N A N 1 1 i c c 52) Calcular o descoto comercial composto, cocedido o resgate de um título de R$ ,00, 2 meses ates de seu vecimeto, à taxa de 3%am.(R$ 2.955,00) 53) Qual o valor de um título de R$ ,00, 3 meses ates de seu vecimeto, cosiderado-se a taxa composta de 4%am, sob o critério do descoto comercial? (R$ ,60) 4.3 Equivalêcia de Capitais Já trabalhamos com os pricipais coceitos evolvedo equivalêcia de capitais, o sistema de capitalização simples. È claro que os coceitos e a maeira de ecararmos os problemas serão os mesmos. Mudaremos apeas o regime de capitalização e o fato de que a escolha da data focal o sistema composto é irrelevate. Exercícios 54) Uma pessoa deseja substituir um título de valor omial de R$ ,00, com vecimeto daqui a 2 meses, por outro título, com vecimeto para 5 meses. Qual o valor omial do ovo título, sabedo-se que o baco em questão adota, esse tipo de operação, a taxa composta de 9%am e o critério do descoto racioal? (R$ ,46) 55) Um comerciate deve dois títulos: um de R$ ,00, com vecimeto para 5 meses, e outro de R$ ,00, com vecimeto para 7 meses, e deseja pagá-los hoje. Quato deverá desembolsar, se a operação vai se realizar a 4%am, sob o critério do descoto racioal composto?(r$ ,95) 56) Uma pessoa deve, em um baco, dois títulos: R$ ,00 para pagameto imediato e R$ ,00 para pagameto em 6 meses. Por lhe ser coveiete, o devedor propõe ao baco a substituição da dívida por um pagameto de R$ ,00 em 3 meses e o saldo restate em 9 meses. Qual o valor do saldo restate se o baco realiza essa operação a 10%am, sob o critério do descoto racioal composto?(r$ ,65) 57) Uma loja vede suas mercadorias a prazo em 3 pagametos mesais iguais, acrescetado ao preço destas 20% sobre o preço a vista; o primeiro pagameto é feito o ato da compra. Qual a taxa de juro composto cobrada por essa loja?(21,53%am) 20

21 5.1 Fluxo de Caixa 5. Fiaciametos e Capitalização Um fluxo de caixa represeta uma série de pagametos ou de recebimetos que se estima ocorrer em determiado itervalo de tempo. È bastate comum, a prática, defrota-se com operações fiaceiras que se represetam por um fluxo de caixa. Por exemplo, empréstimos e fiaciameto de diferetes tipos costumam evolver uma seqüêcia de desembolsos periódicos de caixa. De maeira idêtica, Têm-se os fluxos de pagametos/recebimetos e aluguéis, de prestações oriudas de compras a prazo, de ivestimetos empresariais, de dividedos, etc. Os fluxos de caixa podem ser verificados das mais variadas formas e tipos em termos de períodos de ocorrêcia (postecipados, atecipados ou diferidos), de peridiocidade (períodos iguais ou diferetes), de duração (limitados ou ideferidos) e de valores (costates ou variáveis). Com ituito de melhor estudar as formulações e aplicações práticas do fluxo de caixa, como um dos mais importates temas de matemática fiaceira, estudaremos primeiro o fluxo de caixa padrão, também chamado de modelo básico de fiaciameto em seguida veremos, modelo básico de capitalização, modelos de fiaciametos bacário do SFH e modelos com prazo idetermiado. 5.2 Modelo Básico de Fiaciameto O modelo básico de fiaciameto é represetado por um fluxo de caixa que é verificado quado os termos de uma sucessão de pagametos ou recebimetos apresetam, ao mesmo tempo, as seguites classificações: Postecipados: idica que os fluxos de pagametos ou recebimetos começam a ocorrer ao fial do primeiro itervalo de tempo. Por exemplo, ão havedo carêcia, a prestação iicial de um fiaciameto é paga ao fial do primeiro período do prazo cotratado, vecedo as demais em itervalos seqüeciais. Limitados: O prazo total do fluxo de caixa é cohecido a priori, sedo fiito o úmero de termos (pagametos e recebimetos). Costates: idica que os valores que compõe o fluxo de caixa são iguais etre si. Periódicos: quado os itervalos etre os termos do fluxo são idêticos etre si. Ou seja, o tempo etre um fluxo e outro é costate. Graficamete, teríamos: 21

22 PV (tempo) PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT Observe que a estrutura desse fluxo obedece á classificação padrão apresetada acima: O PMT iicial ocorre em = 1: postecipados; A difereça etre a data de um termo e outro é costate: periódico; O prazo do fluxo é preestabelecido (fixo), apresetado períodos: limitado ou fiito; Os valores do PMT são uiformes (iguais): costates. PV = valor presetes PMT = pagameto = úmero de pagametos e i = taxa de juros. Essa cofiguração de fluxo de caixa mostra que PV é a soma a data focal zero, dos valores atuais de todas prestações PMT. Trasportado estas prestações para data focal zero, temos: PMT PMT PMT PMT PV i 1 i 1 i 1 i PV PMT i 1 i 1 i 1 i Observe que etre os colchetes temos a adição dos termos de uma progressão 1 geométrica de razão 1 da PG fiita, temos: i e com temos termos. Assim, usado a soma dos termos a q 1 i i i i i i S q 1 1 i 1 i 1 i 1 i1 i 1 i Covecioaremos que a soma dos primeiros termos dessa PG será idicada por a,i ou a i, que se lê a, catoeira i. Algus autores utilizam a omeclatura FVA (fator de valor atual). Etão: 22

23 1 i 1 a, i E teremos: i 1 i PV = PMT. a,i Exercícios 58) Uma mercadoria é vedida, a prazo, com uma etrada de R$ 500,00 e mais 5 prestações mesais iguais de R$ 120,00. Qual o preço a vista dessa mercadoria, se a loja aplica essa veda a taxa composta de 7% am? (R$ 992,02) 59) Uma câmera de vídeo custa, a vista, US$1200,00. A prazo, essa câmera pode ser adquirida em três parcelas mesais iguais, sem etrada, à taxa de juro composto de 3%am. Qual o valor omial das prestações?(us$ 424,24) 60) Um produto que custava a vista R$ ,00 foi vedido sem etrada em 10 parcelas iguais de R$ 1.423,78. Qual a taxa mesal de juro aplicada? ( 7, = 7%am) 61) Um automóvel que custa a vista R$ ,07 foi fiaciado em 3 prestações fixas de R$ ,00, sem etrada. Qual a taxa mesal de juro composto essa trasação?(2, = 9,5%) 62) Determiado bem é vedido em 7 pagametos mesais iguais e cosecutivos de R$ 4.000,00. Par uma taxa de juros de 2,6%am, até que preço compesa pagar a vista?(r$ ,00) 63) Um empréstimo de R$ ,00 é cocedido para pagameto em 5 prestações mesais, iguais e sucessivas de R$ 4.300,00. Calcular o custo mesal deste empréstimo? (2,46%am) 64) Um veículo ovo está sedo vedido por R$ 4.000,00 de etrada mais 6 prestações mesais, iguais e cosecutivas de R$ 3.00,00. Sabedo-se que a taxa de juros de mercado é de 5,5% am, determiar até que preço iteressa comprar o veículo a vista. (R$ ,59) 5.3 Modelo Básico de Capitalização Embora a situação fiaceira da maioria dos brasileiros ão permita que o idivíduo reserve uma parte de seu salário para o uso em uma evetualidade ou para comprar algo o futuro, quado isso ocorre, tem-se o processo de capitalização. De um modo geral, o estudo da capitalização pretede respoder à seguite questão: quato se deve capitalizar por período, a fim de que, após algum tempo, se teha certo capital? Se cosiderarmos parcelas com o mesmo valor omial e capitalização se iiciado o fial do primeiro período, teremos o chamado modelo básico, demostrado o fluxo de caixa a seguir: 23

24 PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT (tempo) FV Essa cofiguração de fluxo de caixa mostra que PV é a soma, a data focal, dos valores omiais de todas as capitalizações PMT. Observe que a capitalização é feita apeas até o peúltimo pagameto. Temos etão que: FV FV PMT PMT PMT i PMT 1 i PMT 1 i... PMT 1 i i 1 i 1 i... 1 i 1 Observe que etre os colchetes temos a adição dos termos de uma progressão geométrica de razão 1 ie com temos termos. Assim, usado a soma dos termos da PG fiita, temos: q 1 1 i a1 1 S S, i q 1 i Covecioaremos que essa soma será represetada por S,i ou Sךּi ( Lê-se: S, catoeira i). Algus autores utilizam a omeclatura FAC( Fator de acumulação de capital). Temos etão: FV = PMT. S, i Exercícios 65) Desejo adquirir um DVD que custa US$ 500,00. Como ão dispoho desse recurso o mometo, vou abrir uma poupaça, a qual depositarei certa quatia mesalmete, de modo que, ao fial de 18 meses, eu teha o diheiro ecessário. De quatos dólares deverei dispor, mesalmete, se a cadereta de poupaça remuera 0,5%am?(US$26,62) 66) A partir do próximo mês, depositarei mesal,ete R$ 200,00 em um baco que remuera à taxa de juro composto de 10% am. Quato terei o dia que efetuar o quito depósito?(r$ 1.221,02) 67) Visado adquirir um ovo equipameto, a diretoria de uma empresa decidiu, em jaeiro, que depositaria em uma istituição fiaceira R$ ,00 por mês. Os 24

25 depósitos foram iiciados o quito dia de fevereiro e o quito dia de setembro já possuía R$ ,28. Qual é a taxa composta de remueração aplicada pela istituição em que o diheiro foi depositado? (15%am) 68) Qual a razão etre S,i e a,i? 69) Uma pessoa irá ecessitar de R$ ,00 daqui a um ao para pagar uma Pós-graduação. Para tato, está fazedo uma aplicação mesal de R$ 1.250,00, a taxa de juro composto de 4% am. Ela coseguirá atigir seu objetivo? Porque? ( Não) 5.4 Sistema de Amortização Sistema de prestação Costate (Sistema Fracês) Neste sistema, também chamado sistema fracês ou sistema price, as prestações são costates, utilizado-se para o seu cálculo a fução a,i. Exemplo: Uma pessoa cotrai empréstimo de R$ ,00 para istalar uma idústria. As codições do empréstimo prevêem o pagameto em 10 prestações iguais semestrais e cosecutivas. Costruir a plailha do empréstimo, sabedo-se que a taxa adotada é de 10% as, com capitalização semestral. Arredode os cetavos. Dado (a 10,10 ) -1 = 0, Observe que utilizamos 7 casas decimais, pretede-se com isso uma melhor aproximação o fechameto da tabela. Solução: Por plailha, etedemos um quadro ode são colocados os valores referetes ao empréstimo, ou seja, o período, o juro do período, o saldo devedor, a prestação, o saldo após pagameto e a amortização. Para motar uma plailha o sistema de prestações costates, devemos primeiro calcular a prestação, usado a fução a,i : Pmt PV , a, i Semestre Juro do período Saldo devedor ates do pagameto Prestação costate Saldo devedor após o pagameto Amortização 0 R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ 5 R$ Tabela 9 Observe que, ao fial do primeiro semestre, o juro foi de , já que a taxa é de 10% as. 25

26 O saldo devedor após o pagameto é a difereça etre o saldo devedor ates do pagameto e a amortização. Esse ovo saldo é calculado logo após o pagameto da prestação. O juro do período é obtido pela aplicação da taxa combiada ao ovo saldo devedor do último período. No caso, como ão há período aterior, o juro é calculado sobre o valor total da dívida (R$ ,00). A amortização é o que resta da prestação após a separação do que se devia de juro Sistema de Amortizações Costates (SAC) Como o próprio ome diz, trata-se de um sistema em que as amortizações são costates, o que implica prestações maiores os primeiros períodos, reduzido-se aos poucos. Para iiciarmos a costrução da plailha,devemos primeiro dividir o valor da dívida pelo úmero de prestações, obtedo o valor da amortização costate. O saldo devedor após o pagameto é a difereça etre o saldo devedor ates do pagameto e a amortização. Esse ovo saldo é calculado logo após o pagameto da prestação. Período a período, calculamos etão o juro e, somado-o à amortização, obtemos a prestação. Exemplo: Um empréstimo de R$ ,00 foi feito o sistema de amortizações costates. O prazo de pagameto é de 5 aos e a taxa acordada é de 10%aa. Costruir a plailha, cosiderado os pagametos auais. Solução: Para se motar uma plailha o SAC, devemos primeiro calcular as amortizações, o caso por ao. 5 No caso do primeiro período o juro é de R$ x 0,1 = R$ ,00. Como a amortização é costate, já temos o valor da primeira prestação, que é P = J + A = R$ ,00. Desta forma motamos a tabela abaixo: Ao Juro do período Saldo devedor ates do pagameto Prestação Saldo devedor após o pagameto Amortização Costate 0 R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ 0 R$ Tabela 10 26

27 5.4.3 Sistema de Juro Costate ou Sistema Americao Esse sistema também é cohecido como sistema americao. O juro é calculado em fução do saldo devedor. Para que o juro seja costate, sem se alterar a taxa, é preciso que o saldo devedor seja costate, o que se cosegue ão amortizado a dívida período a período, mas im pagado-a de uma úica vez o fial do empréstimo. Assim, as prestações iiciais se limitam ao pagameto do juro. Exemplo: Um empréstimo de R$ ,00 foi feito pelo sistema de juro costate, com pagametos auais. O prazo de pagameto foi estipulado em 6 aos, a taxa de juro composto de 10%aa. Costruir a plailha. Solução: Ao Juro Costate Saldo devedor ates do pagameto Prestação Saldo devedor após o pagameto 0 R$ Amortização Costate 1 R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ 0 R$ Tabela Sistema de Amortização Mixto (SAM) O Sistema de amortização Misto (SAM) foi desevolvido origialmete para as operações de fiaciameto do Sistema Fiaceiro de Habitação. Represeta basicamete a média aritmética etre o sistema fracês (SAF) ou Price e os Sistema de Amortização Costate (SAC), daí explicado-se a sua deomiação. Para cada um dos valores de seu plao de pagametos, devem-se somar aqueles obtidos pelo SAF com o SAC e dividir o resultado por dóis. A tabela abaixo represeta os resultados obtidos cosiderado os resultados o SAF e o SAC, para serem comparados com o misto SAM para um fiaciameto de R$ ,00 a taxa de juros de 14,02%aa durate 10 aos. 27

28 A Juro Saldo devedor ates do pagameto SAC Prestação Saldo devedor após o pagameto Amortização Costate Taxa 0 R$ ,02% 10 1 R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ 0 R$ T R$ R$ R$ PRICE A Juro Saldo devedor ates do pagameto Prestação costate Saldo devedor após o pagameto Amortização 0 R$ R$ R$ ,50 R$ ,45 R$ R$ R$ R$ ,27 R$ ,45 R$ R$ R$ R$ ,24 R$ ,45 R$ R$ R$ R$ ,66 R$ ,45 R$ R$ R$ R$ ,53 R$ ,45 R$ R$ R$ R$ ,37 R$ ,45 R$ R$ R$ R$ ,61 R$ ,45 R$ R$ R$ R$ ,61 R$ ,45 R$ R$ R$ R$ ,33 R$ ,45 R$ R$ R$ R$ ,45 R$ ,45 R$ 0 R$ T R$ R$ ,49 R$ MISTO A Juro MIXTO Saldo devedor ates do pagameto Prestação MISTA Saldo devedor após o pagameto Amortização MISTA 0 R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ 0 R$ T R$ R$ R$ Tabela 12 28

29 5.4.5 Outros Exemplos Como fiaciametos são acordados etre as partes, em pricípio o que for cosesual etre elas, e ão ferir a legislação pode ser pactuado. Na prática, porém, quem tem maior poder de bargaha acaba defiido os critérios. Assim, quado se vai a um baco pedir um empréstimo, em regra, ou se aceitam seus critérios e taxas ditadas pelo baco, ou ão se obtém o diheiro. Algumas vezes, o fiaciameto ão se adequa aos casos padroizados. Nessas circustâcias, deve-se elaborar um modelo específico, que possa resolver aquele caso em particular. Claro que ão é possível abordar todos os casos imagiáveis, mas algus exercícios serão feitos de modo a ilustrar o procedimeto a ser adotado. Um empréstimo foi obtido as seguites codições: carêcia de 2 aos, os quais o juro ão será pago; depois mais 2 aos de carêcia, sedo pago somete o juro e, os últimos 4 aos, o pagameto será feito pelo sistema de amortizações costates. Costruir a plailha, sabedo que a taxa acordada foi de 10%aa e o valor do empréstimo é de R$ ,00. Solução: Ao Exercícios Juro do período Saldo devedor ates do pagameto Prestação 29 Saldo devedor após o pagameto 0 R$ Amortização Costate 1 R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ 0 R$ Tabela 13 70) Um fiaciameto de R$ ,00 foi feito o sistema de prestações costates, a juro composto de 8%aa, e o pagameto será feito em 5 prestações auais. Costruir a plailha, arredodado os cetavos. 71) Um empréstimo de R$ ,00 foi feito com base o sistema price, com juros omiais de 8%aa e capitalização semestral, e deve ser pago em 4 semestres. Costruir a plailha, desprezado os cetavos. 72) Um empréstimo de 4 milhões de dólares foi cocedido a um país, que se comprometeu a amortizar a dívida em parcelas iguais ao logo de 8 aos, em pagametos auais. A taxa de juro composto acordada foi de 8%aa. Costruir a plailha. 73) A fim viabilizar a implatação de uma fábrica, foi feita um empréstimo de R$ ,00 pelo sistema de amortizações costates, mas com as seguites particularidades: um prazo de carêcia de 2 semestres, durate os quais só se pagarão os juros; pagameto das amortizações em 4 semestres; prazo total de fiaciameto correspodete a 3 aos. A taxa de juro composto acertada foi de 30% as. Costruir a plailha.

30 74) Um empréstimo foi cocedido a uma idústria o sistema de juro costate, à taxa de 40%aa, pelo período de 4 aos, ao fim do qual a idústria deverá amortizar os R$ ,00 emprestados. Costruir a plailha. 75) Uma empresa acertou, com um baco, um empréstimo o qual foram pactuadas as seguites codições: sistema de juro costate com amortização total o sexto ao, taxa de juro composto de 10%aa, pagametos de juro devido a cada ao e valor do empréstimo U$$ ,00. Costruir a plailha. 76) Uma empresa obtém um fiaciameto de R$ ,00, sedo acertado que, os dois primeiros aos, o juro será icorporado à dívida e, a partir do terceiro ao, passa a vigorar o sistema de juro costate, a 10%aa, por 4 aos. Costruir a plailha. 6) Aálise de Ivestimetos Basicamete, toda operação fiaceira é represetada em termos de fluxos de caixa, ou seja, em fluxos futuros esperados de recebimetos e pagametos de caixa. A avaliação desses fluxos cosiste, em essêcia, a comparação dos valores presetes, calculados segudo o regime de juros compostos a partir de uma dada taxa de juros, das saídas e etradas de caixa. Em cosideração ao coceito de valor do diheiro o tempo, raciocíio básico da matemática fiaceira adotado este livro, coloca-se como fudametal estudar-se somete os métodos que levem em cota o critério do fluxo de caixa descotado. Dessa maeira, o capítulo desevolve os métodos da taxa itera de retoro de do valor presete líquido, admitidos como os de maior utilização e rigor coceitual as aálises das operações fiaceiras (aplicações e captações) e de projetos de ivestimeto. 6.1 Taxa Itera de Retoro (IRR) A taxa itera de retoro é a taxa de juros (descoto) que iguala, em determiado mometo do tempo, o valor presete das etradas (recebimetos) com o das saídas(pagametos) previstas de caixa. Geralmete, adota-se a data de iício da operação, mometo zero, como a data focal de comparação de fluxos de caixa. Normalmete, o fluxo de caixa o mometo zero(fluxo de caixa iicial) é represetado pelo valor do ivestimeto, ou empréstimo ou fiaciameto; os demais fluxos de caixa idicam os valores das receitas ou prestações devidas. Nestas codições, a idetidade de cálculo da taxa itera de retoroé idetificada da seguite forma: FC1 FC2 FC3 FC FCo i 1 i 1 i 1 i Deduzido-se que: FC j FCo j i j

31 Ode: FC o = valor do fluxo de caixa o mometo zero ( recebiemto, empréstimo ou Pagameto, ivestimeto) FC j = fluxos previstos de etradas ou saídas de caixa em cada período de tempo; I = taxa de descotos que iguala, em determiada data, as etradas com as saídas previstas em caixa. Em outras palavras, i represeta a taxa itera de retoro. Cosiderado que os valores de caixa ocorrem em diferetes mometos, é possível cocluir que o método da taxa da IRR, ao levar em cota o valor do diheiro o tempo expressa a verdade a retabilidade se for uma aplicação, ou custo, o caso de um empréstimo ou fiaciameto, do fluxo de caixa. A retabilidade ou custo é idicado em termos de uma taxa de juros equivalete periódica. Exemplo 1: Admita um empréstimo de R$ ,00 a ser liquidado através de dois pagametos mesais e sucessivos de R$ ,00 cada. Graficamete, tem-se a seguite represetação: R$ , ) R$15.500,00 R$ ,00 A TIR desta operação é dada pela equação: i 1 i 2 Resolvedo essa equação a HP 12C : [CHS][g][CF o ] 15500[g][CF j ] 15500[g][CF j ] [f][irr] 2,21%am Resolvedo o Excel 2003 Observe que a célula E2 iserimos o comado = TIR(B2:B4) para obter o resultado. A B C D E 1 Série de Capitais TIR "= TIR(B2:B4)" TIR 2,214% Tabela 14 31

32 Exemplo 2: Determiar a taxa itera de retoro referete a um empréstimo de R$ ,00 a ser liquidado em quatro pagametos mesais e cosecutivos de R$ ,00; R$ ,00; R$ ,00 e R$ ,00. Graficamete, tem-se a seguite represetação: R$ , R$25.000,00 R$ ,00 R$ ,00 R$ ,00 A TIR desta operação é dada pela equação: i 1 i 2 1 i 3 1 i 4 Resolvedo essa equação a HP 12C : [CHS][g][CF o ] 25000[g][CF j ] 38000[g][CF j ] 45000[g][CF j ] 27000[g][CF j ] [f][irr] 2,47%am Resolvedo o Excel 2003 Observe que a célula E2 iserimos o comado = TIR(B2:B6) para obter o resultado A B C D E F "= Série de Capitais 1 TIR TIR(B2:B6)" TIR 2,470% Tabela Método do Valor Presete Líquido (NPV ou VPL) O método do valor presete líquido para aálise dos fluxos de caixa é obtido pela difereça etre o valor presete dos beefícios(ou pagametos) previstos de caixa, e o valor presete do fluxo de caixa iicial (valor do ivestimeto, do empréstimo ou fiaciameto). A idetidade de cálculo do NPV é expressa da forma seguite: 32

33 NPV FC 1 FC 2 FC i 1 i 1 i 1 i 3... FC FC 0 FC j NPV FC j 0 j 1 1 i Ode: FC j = valor de etrada (ou saída) de caixa previsto para cada itervalo de tempo; FC 0 = fluxo de caixa verificado o mometo zero(mometo iicial), podedo ser um ivestimeto, empréstimo ou fiaciameto. Comparativamete ao método da IRR, o valor presete líquido exige a defiição prévia da taxa de descoto a ser empregada a atualização dos fluxos de caixa. Na verdade, o NPV ão idetifica diretamete a taxa de retabilidade (ou custo) da operação fiaceira, ao descotar todos os fluxos de etradas e saídas de caixa por uma taxa de descoto míima aceitável, o NPV deota, em última aálise, o resultado ecoômico da alterativa fiaceira expressa em moeda atualizada. O NPV é caracteristicamete refereciado ao mometo iicial (data zero). Exemplo 1: Admita que uma empresa esteja avaliado um ivestimeto o valor de R$ ,00 do qual se esperam beefícios auais de caixa de R$ ,00 o primeiro ao, R$ ,00 o segudo ao, R$ ,00 o terceiro ao. Admitido que a empresa teha defiido em 20% aa a taxa de descoto a ser aplicada aos fluxos de caixa do ivestimeto. Represete o cálculo do NPV e seu valor. R$ ,00 R$ ,00 R$ ,00 R$ , R$ ,00 Aplicado a expressão do NPV, temos: NPV ,2 1 0,2 1 0,2 1 0,

34 Resolvedo essa equação a HP 12C, temos: [CHS] [g] [CF o ] [g] [CF j ] [g] [CF j ] [g] [CF j ] [g] [CF j ] 20 [ i ] [ f ] [pv] R$ ,82 Resolvedo o Excel 2003 Observe que a célula B9 iserimos o comado =VPL(B7;B3:B6)-B2 para obter o resultado. Exercícios A B 1 ANOS CAPITAIS 2 0 -R$ , R$ , R$ , R$ , R$ ,00 7 Taxa de juro 20,00% 8 VPL " =VPL(B7;B3:B6) - B2" 9 VPL R$ ,83 Tabela 16 77) Estão sedo avaliadas quatro propostas de ivestimetos cujas iformações básicas são apresetadas a seguir: Proposta Ivestimeto Fluxos esperados de Caixa a data zero Ao 1 Ao 2 Ao 3 Ao 4 A R$ ,00 R$ ,00 R$ ,00 R$ ,00 R$ ,00 B R$ ,00 R$ ,00 R$ ,00 R$ ,00 R$ ,00 C R$ ,00 R$ ,00 R$ ,00 R$ ,00 R$ ,00 D R$ ,00 R$ ,00 R$ ,00 R$ ,00 R$ ,00 Tabela 17 Pede-se: a) Determiar a IRR e o NPV de cada projeto admitido uma taxa de descoto míima aceitável de 25% aa. Idique, com base esse retoro exigido, as propostas ecoomicamete aceitáveis. b) Se a taxa de descoto exigida se elevar para 35%, quais propostas que seriam aceitas? 78) Certa alterativa de ivestimeto requer um dispêdio itegral de capital de R$ ,00, estimado-se um retoro de R$ ,00, R$ ,00, R$ ,00, R$ ,00 e R$ ,00, respectivamete, ao fial de cada 34

35 um dos próximos 5 aos. Admitido que os quatro primeiros fluxos de caixa possam ser reivestidos, até o prazo fial de vida da alterativa, às taxas de 28%aa,26%aa,24%aa e 22%aa, respectivamete, pede-se determiar a IRR dessa operação cosiderado as diferetes taxas de reivesti meto. ( 29,5%aa) 79) Determiada empresa trasportadora esta avaliado a compra de um camihão por R$ ,00. O veículo será usado durate 5 aos, após o qual se prevê uma reveda de R$ 7.200,00. A empresa estima, aida, um custo aual de mauteção, combustível, etc. de R$24.000,00, o primeiro ao, crescedo esse gasto 10%aa. Segudo essa empresa é esperada beefícios líquidos de caixa gerados pelo camihão de R$ ,00, R$ ,00, R$ ,00, R$ ,00 e R$36.000,00, respectivamete os próximos 5 aos. Para uma taxa de descoto de 12%aa, demostrar se é ecoomicamete viável a compra desse camihão. 80) Um imóvel é colocado a veda por R$ ,00 a vista, ou em 7 parcelas mesais os seguites valores; As duas primeiras de R$ ,00; As duas seguites de R$ ,00; As três últimas parcelas de R$ ,00. Determiar o custo mesal desta operação expresso pela taxa itera de retoro. (2,84%aa) 81) Uma empresa cotrata um fiaciameto de R$25.000,00 para ser pago em 6 prestações trimestrais, iguais e sucessivas o valor de R$ 8.600,00 cada. Abe-se que a primeira prestação será liquidada ao fial do oo mês (dois trimestres de carêcia). Determiar a IRR dessa operação. ( 14,65% at) 82) Uma empresa leva quatro duplicatas para descoto juto a um baco os valores de R$28.000,00, R$ ,00, R ,00 e R$ ,00, vecíveis, respectivamete, em 17, 28, 34 e 53 dias. O baco credita a importâcia líquida de R$ ,00 a cota do cliete. Determiar a taxa efetiva mesal de juros cobrada pelo baco. (3,39% am) 83) Abaixo são apresetados os NPV de quatro propostas de ivestimetos admitidose diferetes taxas de descoto. 35

36 Taxa de descoto Projeto A (R$) Projeto B (R$) Projeto C (R$) Projeto D (R$) 0,00% 25,20 50,00 40,00 50,00 4,00% 8,20 37,00 26,40 30,10 8,00% (0,20) 25,90 14,90 13,70 12,00% (9,90) 16,30 5,00 0,00 16,00% (18,10) 7,90 (3,43) (11,40) 20,00% (25,20) 0,50 (10,80) (21,00) Tabela 18 Pede-se: a) Se a taxa de descoto míima aceitável atigir 16%, idicar as alterativas de ivestimeto que podem ser aceitas; b) Qual alterativa que apreseta a maior taxa de retabilidade periódica? c) Qual a IRR da alterativa D? d) O projeto c é mais retável (apreseta maior IRR) que o projeto D? e) A IRR do projeto b é maior ou meor que 20%? f) A IRR do projeto A é meor que 8%? 84) Admita um ativo que teha sido adquirido por R$ ,00. Este ativo tem vida útil estimada de 7 aos e valor residual de R$ ,00 ao fial da vida. Os custos operacioais do ativo atigem a R$ ,00 o primeiro ao, crescedo à taxa aritmética costate de R ,00/ao. Para uma taxa de juro de 12%aa, determiar o custo equivalete aual deste ativo. ( R$ ) 8. BIBLIOGRAFIA 8.1 SAMANES, Carlos Patrício. Matemática Fiaceira: Aplicações à Aálise de Ivestimetos. São Paulo: Editora Makro Books,1999. ISBN: X. 8.2 ARAÚJO, Carlos Roberto Vieira. Matemática Fiaceira: Uso das miicalculadoras HP12c e HP 19BII. São Paulo: Atlas, ISBN: PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Fiaceira Objetiva e Aplicada. São Paulo:Editora Saraiva,1999. ISBN: PARENTE, Eduardo & CARIBE, Roberto. Matemática Comercial & Fiaceira. São Paulo: FTD, ISBN : CARVALHO, Thales de Mello, Matemática Comercial e Fiaceira: Complemetos de Matemática. Rio de Jaeiro, Feame,