Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 1

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1 Aula 23 Juros Compostos. Motate e juros. Descoto Composto. Taxa real e taxa efetiva. Taxas equivaletes. Capitais equivaletes. Capitalização cotíua. Equivalêcia Composta de Capitais. Descotos: Descoto racioal composto e descoto comercial composto. 23. Juros Compostos Itrodução Coveções Liear e Expoecial Capitalização Cotíua Descoto Composto Descoto Composto Comercial ou Por Fora Descoto Racioal, Fiaceiro, Matemático ou Por Detro Descoto Bacário (D B ) Equivalêcia de Capitais e Séries de Pagameto (Redas Certas ou Auidades) Equivalêcia de Capitais Descoto Racioal Data de Equivalêcia o Futuro Data de Equivalêcia o Passado Equivalêcia de Capitais Descoto Comercial Data de Equivalêcia o Futuro Data de Equivalêcia o Passado Reda Postecipada Reda Atecipada Reda Diferida Tabelas Memorize para a prova Exercícios de Fixação Gabarito Exercícios de Fixação Cometados e Resolvidos

2 23. Juros Compostos Itrodução Na capitalização por juros compostos, os juros são calculados sobre o motate do capital (C) o período aterior (juros sobre juros), ou seja, o capital iicial de cada período é o capital do período aterior acrescido dos juros do período aterior. M = C. (1 + i) t J = M - C Ode, M = motate C = capital J = juros i = taxa de juros t = período (1 + i) t = fator de capitalização Exemplo: Qual o motate produzido por R$ ,00, à taxa de juros compostos de 2% ao mês, durate dez meses? Motate (M) = R$ ,00 Período (t) = 10 meses Taxa de Juros (i) = 2% ao mês = 2/100 = 0,02 ao mês M = C. (1 + i) t = x (1 + 0,02) 10 = x (1,02) 10 E agora. Como calcular (1,02) 10 sem tabela. Bom, vou te esiar um procedimeto que pode ser útil a hora da prova: 1) Calcule: 1,02 x 1,02 = 1,0404. Com isso, você já possui (1,02) 2. 2) Calcule: (1,02) 2 x (1,02) 2 (para facilitar, vamos utilizar os valores até a seguda casa decimal) = 1,04 x 1,04 = 1,0816. Com isso, você já possui (1,02) 4. 3) Calcule: (1,02) 4 x (1,02) 4 (para facilitar, vamos utilizar os valores até a seguda casa decimal) = 1,08 x 1,08 = 1,1664. Com isso, você já possui (1,02) 8. 4) Agora, basta calcular: (1,02) 8 x (1,02) 2 (para facilitar, vamos utilizar os valores até a seguda casa decimal) = 1,17 x 1,04 = 1,2168. Ufa, chegamos a (1,02) 10. M = x 1,2168 M = ,00 2

3 Nota: Quado for fazer uma aproximação dos úmeros para a seguda casa decimal, se o úmero da terceira casa decimal for meor que 5, deve ser matido o úmero da seguda casa decimal. Caso cotrário, se o úmero da terceira casa decimal for igual ou maior que 5, deve ser somada uma uidade ao úmero da seguda casa decimal. Exemplos: 1,1664 = 1,17 (6 > 5 úmero da seguda casa decimal = = 7) 1,1643 = 1,16 (4 < 5 úmero da seguda casa decimal = 6) Caso utilizássemos o valor tabelado ou calculássemos com todas as casas decimais, teríamos: (1,02) 10 = 1, M = x 1, M = ,94 (ou seja, o procedimeto os foreceu uma boa aproximação). Exemplo: Determiar o capital (C) que, aplicado à taxa composta de 9% ao mês, rede juros de R$ ,20 um uma aplicação de quatro meses. Juros (J) = ,20 Período (t) = 4 meses Taxa de Juros (i) = 9% ao mês = 9/100 = 0,09 ao mês J = M C = C. (1 + i) C = C. [(1 + i) 1] ,20 = C x [(1,09) 4 1] Novamete, vamos adotar o procedimeto de cálculo: 1) Calcule: 1,09 x 1,09 = 1,1881. Com isso, você já possui (1,09) 2. 2) 3) Calcule: (1,09) 2 x (1,09) 2 (para facilitar, vamos utilizar os valores até a seguda casa decimal) = 1,19 x 1,19 = 1,4161. Com isso, chegamos a (1,09) ,20 = C x [(1,09) 4 1] ,20 = C x (1,4161 1) C = ,20/0,4161 = Utilizado o valor tabelado, teríamos: (1,09) 4 = 1, ,20 = C.[(1,09) 4 1] ,20 = C.(1, ) C = ,20/0, =

4 Exemplo: Alfeu, um famoso ivestidor do mercado fiaceiro, aplicou uma certa quatia a bolsa de valores que, ao fial de quatro meses, redeu 46,41% de juros o regime de juros compostos. Se essa mesma quatia ficasse aplicada durate 10 meses, à mesma taxa e mesmo regime, quato rederia? Supodo que a quatia aplicada seja igual a 100. Capital (C) = 100 Juros (J) = Redimeto (Percetual) x Capital = 46,41% x 100 = 46,41 Período (t) = 4 Motate = M M = C + J = ,41 = 146,41 146,41 = 100 x (1 + i) 4 (1 + i) 4 = 1,4641 Se utilizarmos a tabela I, forecida ao fial do capítulo: Liha t = 4 (procurar o valor 1,4641) 8% 9% 10% 12% 15% 18% 4 1, , , , , , (1+ i) 4 = 1,4641 i = 10% ao mês Para achar a taxa de juros correspodete sem a utilização das tabelas teríamos que fazer por tetativa e erro, ou a questão deveria iformar, pelo meos, uma tabela resumida. No caso do exemplo, temos que i = 10% ao mês. Veja algus valores para i = 10% (muito comum de aparecer em prova). (1 + 10%) = (1,10) (1,10) 2 = 1,21 (1,10) 3 = 1,21 x 1,10 = 1,331 (1,10) 4 = 1,331 x 1,10 = 1,4641 (1,10) 5 = 1,4641 x 1,10 = 1,61051 Portato (1+ i) 4 = 1,4641 i = 10% ao mês A questão pede os juros se esta mesma quatia (100) fosse aplicada por 10 meses, utilizado a mesma taxa de juros: Período (t) = 10: M = 100 x (1 + 10%) 10 = 100 x (1 + 0,10) 10 = 100 x (1,10) 10 (1,10) 10 = (1,10) 5 x (1,10) 5 = 1,61 x 1,61 = 2,5921 M = 100 x 2,5921 = 259,21 J =M C = 259, = 159,21 Ou seja, o redimeto foi de: J(%) = 159,21/100 = 159,21% 4

5 Exemplo: QualoperíodoquedevemosaplicarumcapitaldeR$ ,00,a uma taxa de juros de 10% ao mês, de modo que o motate fial seja de R$ ,10? Motate (M) = R$ ,00 Período = t Taxa de Juros (i) = 10% ao mês M = C. (1 + i) t ,10 = x (1 + 10%) t (1 + 10%) t = ,10/ (1 + 10%) t = (1,10) t = 3, Agora temos que achar o período (t), de modo que (1,10) t seja igual a 3, Já vimos, o exemplo aterior, que: (1,10) 10 = (1,10) 5 x (1,10) 5 = 1,61 x 1,61 = 2,5921. Portato, t é maior que 10 meses. Vamos tetar t = 15 meses: (1,10) 15 =(1,10) 10 x(1,10) 5 =2,59x1,61=4,1699.Portato,témeor que 15 meses. Vamos tetar t = 12 meses: (1,10) 12 = (1,10) 10 x (1,10) 2 = 2,59 x 1,21 = 3,1339. Portato, t é maior que 12 meses. Só pode ser 13 meses ou 14 meses. Vamos tetar t = 13 meses: (1,10) 13 = (1,10) 12 x 1,10 = 3,13 x 1,10 = 3,443. Como fazemos sempre aproximações para a seguda casa decimal, este é o valor correto (mais próximo de 3,452271). Se, aida sim, ficar em dúvida, calcule o valor para t = 14 meses: (1,10) 14 =(1,10) 13 x1,10=3,44x1,10=3,784.portato,témeorque 14 meses. Se utilizarmos a tabela I, forecida ao fial do capítulo: Colua i = 10% (procurar a liha que correspoda ao valor 3,452271). 10% ( ) 9 2, , , , , , , ( ) (1 + 10%) t = 3, t = 13 meses 5

6 Já caiu em prova!(afrfb-2009-esaf) No sistema de juros compostos um capital PV aplicado durate um ao à taxa de 10 % ao ao com capitalização semestral resulta o valor fial FV. Por outro lado, o mesmo capital PV, aplicado durate um trimestre à taxa de it% ao trimestre resultará o mesmo valor fial FV, se a taxa de aplicação trimestral for igual a: a) 26,25 % b) 40 % c) 13,12 % d) 10,25 % e) 20 % I Situação 1: Capital = PV Período = 1 ao Taxa = 10% ao ao Capitalização Semestral = 10%/2 = 5% ao semestre Valor Fial = FV FV = PV. (1 + 5%) 2 FV = PV. (1,05) 2 II Situação 2: Capital = PV Período = 1 trimestre Taxa = it% ao trimestre Valor Fial = FV FV = PV. (1 + it%) Portato: (1 + it%) = (1,05) 2 = 1,1025 it = 1, =0,1025 it = 10,25% ao trimestre GABARITO: D Já caiu em prova!(aalista em Plaejameto, Orçameto e Fiaças Públicas-Sefaz/SP-2009-Esaf) Um capital C é aplicado à taxa de juros compostos de 2% ao mês. Qual o valor mais próximo do motate ao fim de um ao e meio? a) 1,27C b) 1,32C c) 1,43C d) 1,40C e) 1,37C Juros Compostos: M = C. (1 + i) i = 2% ao mês = 1 ao e meio = 12 meses + 6 meses = 18 meses (1 + i) = (1 + 2%) 18 = (1,02) 18 = 1, (Tabela I) = 1,43 M = C.1,43 = 1,43.C GABARITO: C 6

7 Memorize para a prova: Juros Compostos: os juros são calculados sobre o motate do capital (C) o período aterior (juros sobre juros), ou seja, o capital iicial de cada período é o capital do período aterior acrescido dos juros do período aterior. M = C. (1 + i) t J = M - C Ode, M = motate C = capital J = juros i = taxa de juros t = período (1 + i) t = fator de capitalização Coveções Liear e Expoecial Na coveção liear o capital é atualizado a juros compostos o úmero iteiro de períodos (t) e atualizado por juros simples o período fracioário (q). M = C. (1 + i) t. (1 + i. q) Por outro lado, a coveção expoecial o capital é atualizado a juros compostos o período total da aplicação. M = C. (1 + i) t+q Exemplo: Calcule o motate produzido por R$ ,00, durate o período de 5 meses e 20 dias, aplicados a uma taxa de capitalização composta de 15% ao mês. I Coveção Liear (seráutilizadaahoradaprova,ameosqueabaca iforme os valores do período fracioário para os juros compostos): Capital (C) = Período (t) = 5 meses + 20 dias = 5 meses + 20/30 meses Período (t) = 5 meses + 2/3 meses t = 5 meses q = 2/3 meses Taxa de Juros (i) = 15% ao mês M = x (1 + 15%) 5 x (1 + 15% x (2/3)) M = x (1 + 0,15) 5 x (1 + 0,10) M = x (1,15) 5 x (1,10) 7

8 Novamete, vamos adotar o procedimeto de cálculo: 1) Calcule: 1,15 x 1,15 = 1,3225. Com isso, você já possui (1,15) 2. 2) Calcule: (1,15) 2 x(1,15) 2 (parafacilitar,vamosutilizarosvaloresaté a seguda casa decimal) = 1,32 x 1,32 = 1,7424. Com isso, você já possui (1,15) 4. 3) Calcule: (1,15) 4 x (1,15) (para facilitar, vamos utilizar os valores até a seguda casa decimal) = 1,74 x 1,15 = 2,001. Com isso, chegamos a (1,15) 5. M = x 2,001 x 1,10 M = R$ ,00 II Coveção Expoecial: t = 5 meses + 20 dias = 5 meses + 20/30 meses = 5 meses + 2/3 meses t = (15 + 2)/3 = 17/3 meses M = x (1 + 15%) 5 x (1 + 15%) 2/3 M = x (1 + 15%) (5 + 2/3) = x (1,15) 17/3 = x 2, M = R$ ,73 para calcularmos (1,15) 17/3, somete com calculadora ou tabelas logarítmicas, pelo meos para a parte do expoete fracioário [(1,15) 17/3 = (1,15) 5 x (1,15) 2/3 ], a meos que a baca iforme o valor a hora da prova. Importate: Repare que, para períodos fracioários, o motate calculado pela coveção liear, que adota os juros simples, é maior que o motate calculado pela coveção expoecial, que adota juros compostos. Já caiu em prova!(admiistração-bdes-2008-cesgrario) Um idivíduo fez uma aplicação com taxa pré-fixada de 2,25% ao mês. Etretato, passados 20 dias, precisou fazer o resgate. Supoha que seja possível escolher etre os regimes de capitalização simples ou composto para realizar o resgate desse motate. Pode-se afirmar que o motate obtido: (A) pelo regime simples será igual ao capital iicial (ão haverá juros simples). (B) pelo regime composto será igual ao capital iicial (ão haverá juros compostos). (C) pelo regime composto será maior. (D) pelo regime simples será maior. (E) será o mesmo, cosiderado os dois regimes de capitalização. Como a questão o período é fracioário (20 dias, em relação a uma taxa mesal), temos que: O motate obtido pelo regime simples será maior. GABARITO: D 8

9 Memorize para a prova: Coveção Liear: o capital é atualizado a juros compostos o úmero iteiro de períodos (t) e atualizado por juros simples o período fracioário (q). M = C. (1 + i) t. (1 + i. q) Coveção Expoecial: o capital é atualizado a juros compostos o período total da aplicação. M = C. (1 + i) t+q Capitalização Cotíua Na verdade, a capitalização cotíua é um tipo de capitalização a juros compostos ode os juros auferidos em um istate de tempo t são imediatamete icorporados ao capital aplicado, produzido, por coseguite, os juros o istate de tempo t 1, e assim sucessivamete. Neste tipo de capitalização, o capital sofrerá variações em itervalos ifiitesimais de tempo, que é justamete o que a difere da capitalização a juros compostos, ode a variação de tempo é fiita. Neste tipo de capitalização utiliza-se a seguite fórmula: M = C. e i.t Ode: M = Motate; C = Capital Aplicado; e = úmero eperiao ou úmero de Euler = 2,718 (costate); i = taxa de juros; e t = período. Exemplo: Cosidere que o logaritmo eperiao de 2 é igual a 0,69. Aplicado um capital de R$ ,00 a uma taxa de 5% ao mês, com capitalização cotíua, verifica-se que o motate, o mometo do resgate, é igual a R$ ,00. Calcule o período de aplicação é igual a e = úmero eperiao Dado: l (logaritmo eperiao) 2 = 0,69 Capital Aplicado (C) = R$ ,00 Motate (M) = R$ ,00 Período = t Taxa de Juros Compostos (i) = 5% ao mês = 5/100 ao mês = 0,05 ao mês M = C. e i.t = x e (0,05 x t) / = e (0,05 x t) e (0,04 x t) = 2 Relembrado: Logaritmo da potêcia: log b x =. log b x 9

10 Exemplo: log = x 3 x = 3 2 x = 2 log = 2. log 3 3 = 2. 1 = 2 Logo, log = 2. log 3 3 Além disso, log b a = y a = b y. Portato, para calcularmos o l e, por exemplo, teríamos: l e = x e = e x Portato, x = 1, para que: e = e 1 = e. Aplicado o logaritmo eperiao em ambos os lados da equação: l e (0,05 x t) = l 2 (0,05 x t) x l e = 0,69 0,05 x t x 1 = 0,69 t = 0,69/0,05 t = 13,8 meses Já caiu em prova!(fiscal de Redas-SP-2009-FCC) Cosidere que o logaritmo eperiao de 1,8 é igual a 0,6. Aplicado um capital de R$ ,00 a uma taxa de 4% ao mês, com capitalização cotíua, verifica-se que o motate, o mometo do resgate, é igual a R$ ,00. O período de aplicação é igual a (A) 12 meses. (B) 15 meses. (C) 18 meses. (D) 21 meses. (E) 24 meses. A questão defiiu: Capitalização Cotíua M = C. e i.t Aplicado o logaritmo eperiao em ambos os lados da equação: l e (0,04 x t) = l 1,8 (0,04 x t) x l e = 0,6 0,04 x t x 1 = 0,6 t = 0,6/0,04 t = 15 meses GABARITO: B 10

11 Memorize para a prova: Capitalização Cotíua: éumtipodecapitalizaçãoajuroscompostosode os juros auferidos em um istate de tempo t são imediatamete icorporados ao capital aplicado, produzido, por coseguite, os juros o istate de tempo t 1, e assim sucessivamete. Neste tipo de capitalização, o capital sofrerá variações em itervalos ifiitesimais de tempo, que é justamete o que a difere da capitalização a juros compostos, ode a variação de tempo é fiita. Neste tipo de capitalização utiliza-se a seguite fórmula: M = C. e i.t Ode: M = Motate; C = Capital Aplicado; e = úmero eperiao ou úmero de Euler = 2,718 (costate); i = taxa de juros; e t = período Descoto Composto Relembrado, descoto (D) é a difereça etre o valor omial (valor do título) e o valor atual (valor de resgate do título), ou seja, são os juros pagos em virtude de ão ter respeitado o prazo de resgate de determiado título. Valor Nomial ou Valor de Face ou Valor Futuro ou Valor do Título (N) é o valor do título a data do vecimeto. Valor Atual ou Valor Descotado ou Valor do Resgate ou Valor Presete ou Valor Resgatado (A D ) é o valor do título a data do resgate Descoto Composto Comercial ou Por Fora O descoto composto comercial ou por fora é um descoto que icide sobre o valor omial (N), período a período. A = N. (1 i D ) t D c = N A = N N. (1 i D ) t = N. [1 - (1 i D ) t ] Ode, D c = descoto comercial i D = taxa de descoto comercial (juros simples) t = período restate até o vecimeto do título N = valor omial A = valor atual 11

12 Nota: - Quato maior o prazo etre a data do vecimeto do título e a data do resgate, meor será o valor atual do referido título (maior o descoto). - Quato meor o prazo etre a data do vecimeto do título e a data do resgate, maior será o valor atual do referido título (meor o descoto). Exemplo: Uma duplicata, o valor de R$ ,00, foi descotada dois meses ates de seu vecimeto. A taxa de descoto comercial composto aplicada foi de 10% ao mês. Qual o valor recebido? Valor Nomial (N) = R$ ,00 Período (t) = 2 meses Taxa de Juros (i D ) = 10% ao mês = 10/100 = 0,10 ao mês A = N. (1 i D ) t = x (1 0,10) 2 = x (0,90) 2 = Já caiu em prova!(aalista Admiistrativo-Ciêcias Cotábeis-ANP Cesgrario) A Empresa Vista Lida Ltda. descotou o Baco da Praça S/A uma duplicata o valor de R$ ,00 com 120 dias de prazo, a uma taxa de descoto composto de 2,5% ao mês. Com base os dados acima e cosiderado o ao comercial, os cálculos, o valor líquido creditado pelo Baco a cota correte da empresa, em reais, foi (A) ,08 (B) ,88 (C) ,61 (D) ,12 (E) ,21 A questão ão defiiu o tipo de descoto: esta questão, foi utilizado o descoto comercial composto. Valor Nomial da Duplicata (N) = R$ ,00 Período (t) = 4 meses Taxa de Juros (i D ) = 2,5% ao mês = 2,5/100 = 0,025 ao mês A = N. (1 i D ) t = x (1 0,025) 4 A = x (0,975) 4 A = x 0, A = ,21 GABARITO: E 12

13 Memorize para a prova: Descoto Composto Comercial ou por Fora: é um descoto que icide sobre o valor omial (N), período a período. A = N. (1 i D ) t D c = N A = N N. (1 i D ) t = N. [1 - (1 i D ) t ] Ode, D c = descoto comercial i D = taxa de descoto comercial (juros simples) t = período restate até o vecimeto do título N = valor omial A = valor atual Descoto Racioal, Fiaceiro, Matemático ou Por Detro O descoto racioal, fiaceiro, matemático ou por detro é o descoto que determia um valor atual (A d ) que, corrigido as codições de mercado, resulta em um motate igual ao valor omial. N = A. (1 + i r ) t A = N/(1 + i r ) t D r = N A = N - N/(1 + i r ) t = N. [1 1/(1 + i r ) t ] D r = N. [(1 + i r ) t 1]/(1 + i r ) t Ode, D r = descoto comercial i r = taxa de descoto comercial (juros simples) t = período restate até o vecimeto do título N = valor omial A = valor atual Exemplo: Uma duplicata, o valor de R$ ,00, foi descotada dois meses de seu vecimeto. A taxa de descoto racioal composto aplicada foi de 10% ao mês. Qual o valor recebido? Valor Nomial (N) = R$ ,00 Período (t) = 2 meses Taxa de Juros (i D ) = 10% ao mês = 10/100 = 0,10 ao mês A = N/(1 + i r ) t = /(1 + 0,10) 2 = /(1,10) 2 = 8.264,46 Importate: Nas mesmas codições: Descoto Comercial > Descoto Racioal Já caiu em prova!(aalista em Plaejameto, Orçameto e Fiaças Públicas-Sefaz/SP-2009-Esaf) Um título o valor de face de R$ 1.000,00 deve ser descotado três meses ates do seu vecimeto. Calcule o valor mais próximo do descoto racioal composto à taxa de descoto de 3% ao mês. 13

14 a) R$ 92,73 b) R$ 84,86 c) R$ 87,33 d) R$ 90,00 e) R$ 82,57 Descoto Racioal Composto: N = A.(1 + i) N = = 3 meses i = 3% ao mês N = A.(1 + i) = A.(1 + 3%) 3 = A.(1,03) 3 (1,03) 3 = 1, A = 1.000/(1,03) 3 = 1.000/1, = 915,14 Descoto Racioal = N A = ,14 = R$ 84,86 GABARITO: B Já caiu em prova!(profissioal Júior-Ciêcias Cotábeis-BR Distribuidora-2008) Um título de reda fixa deverá ser resgatado por R$ ,00 o seu vecimeto, que ocorrerá detro de 3 meses. Sabedo-se que o redimeto desse título é de 1,25% ao mês (juros compostos), seu valor presete, em reais, é (A) 9.638,55 (B) 9.634,18 (C) 9.625,00 (D) 9.555,65 (E) 9.333,33 Ateção! Nesta questão ão foi defiido o tipo de descoto e foi adotado o descoto racioal composto. Valor Nomial (N) = R$ ,00 Período (t) = 3 meses Taxa de Juros (i r ) = 1,25% ao mês = 1,25/100 = 0,0125 ao mês A = N/(1 + i r ) t = /(1 + 0,0125) 3 A = /(1,0125) 3 A = /1, A = 9.634,18 GABARITO: B 14

15 Memorize para a prova: Descoto Racioal, Fiaceiro, Matemático ou Por Detro: é o descoto que determia um valor atual (A d ) que, corrigido as codições de mercado, resulta em um motate igual ao valor omial. N = A. (1 + i r ) t A = N/(1 + i r ) t D r = N A = N - N/(1 + i r ) t = N. [1 1/(1 + i r ) t ] D r = N. [(1 + i r ) t 1]/(1 + i r ) t Ode, D r = descoto comercial i r = taxa de descoto comercial (juros simples) t = período restate até o vecimeto do título N = valor omial A = valor atual Descoto Bacário (D B ) O descoto bacário correspode ao descoto comercial acrescido de taxas bacárias sobre o valor omial. D B = D c + e. N Ode, e = ecargos bacários Exemplo: Uma duplicata, o valor de R$ ,00, foi descotada dois meses ates de seu vecimeto. A taxa de descoto comercial composto aplicada foi de 10% ao mês. Aida houve despesas bacárias de 5%. Qual o valor do descoto bacário? Valor Nomial (N) = R$ ,00 Período (t) = 2 meses Taxa de Juros (i D ) = 10% ao mês = 10/100 = 0,10 ao mês Despesas Bacárias (e) = 5% A = N. (1 i D ) t = x (1 0,10) 2 = x (0,90) 2 = D c = N A = = D B = D c + e. N = % x = =

16 Memorize para a prova: Descoto Bacário: correspode ao descoto comercial acrescido de taxas bacárias sobre o valor omial. D B = D c + e. N Ode, e = ecargos bacários Equivalêcia de Capitais e Séries de Pagameto (Redas Certas ou Auidades) Equivalêcia de Capitais Descoto Racioal Data de Equivalêcia o Futuro A N N = A. (1 + i) t T T + t N = valor omial A = valor atual i = taxa de juros t = período Data de Equivalêcia o Passado A N A = N/(1 + i) t T T + t Exemplo: Luíza adquiriu um equipameto e vai pagá-lo em duas prestações iguais de R$ 3.564,00 com vecimetos em 30 e 60 dias, calculadas a juros compostos, a uma taxa mesal de 10%. Na data do vecimeto da primeira prestação, Luíza propõe uma repactuação da dívida, em pagametos iguais, com vecimeto ao fial de 60 e 90 dias, matidos o sistema de capitalização e a taxa mesal de juros. Se a proposta apresetada matém o valor à vista do equipameto, calcule o valor dessa ova prestação, desprezado os cetavos, utilizado descoto simples racioal. Prestações (duas) = Taxa de Juros (i) = 10% ao mês (juros compostos) = 10/100 = 0,10 ao mês 16

17 Data Focal t 1 = 30 dias = 1 mês P 1 = t 2 = 60 dias = 2 meses P 2 = t 3 = 90 dias = 3 meses P t 4 = 120 dias = 4 meses P P Repare que os vecimetos das ovas prestações correspodem a 90 dias (60 dias após a data de vecimeto da primeira prestação) e 120 dias (90 dias após a data de vecimeto da primeira prestação) ( 1 0, 1 0 ) ( 1 0, 1 0 ) = P + ( 1 0, 1 0 ) ( 1 0, 1 0 ) , 1 0 ( 1, 1 0 ) = P + ( 1, 1 0 ) ( 1, 1 0 ) 1, , P 2 4 ( 1, 1 0 ) = ( 1, 1 0 ) 1, , = P 2 ( 1, 1 0 ) 2 2 ( 1, 1 0 ) ( 1, 1 0 ) 2 P= (1,10) P= , 21 = 4.312, 44 Nota: 1 1 1, 1 0 ( 1, 1 0 ) + : Para fazer a cota acima, achei o Míimo Múltiplo Comum 2 (MMC) dos deomiadores 1,10 e (1,10) 2 (o caso, é (1,10) 2 ). Portato: , = 2 2 1, 1 0 ( 1, 1 0 ) ( 1, 1 0 ) Já caiu em prova! (AFRF-2005-Esaf) Aa quer veder um apartameto por R$ ,00 a vista ou fiaciado pelo sistema de juros compostos a taxa de 5% ao semestre. Paulo está iteressado em comprar esse apartameto e propõe à Aa pagar os R$ ,00 em duas parcelas iguais, com vecimetos a cotar a partir da compra. A primeira parcela com vecimeto em 6 meses e a seguda com vecimeto em 18 meses. Se Aa aceitar a proposta de Paulo, etão, sem cosiderar os cetavos, o valor de cada uma das parcelas será igual a: 17

18 a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ , i = 5% ao semestre 6 meses = 1 semestre = 1 18 meses = 3 semestres = 3 P P P P P P = + = + => ( 1 + i ) ( 1 + i) ( 1, 0 5 ) ( 1, 0 5 ) 2 1, , => = P.. 1, , 0 5 = P = P=> 1, => P= = ,80 1, GABARITO: A Memorize para a prova: Equivalêcia de Capitais Descoto Racioal Equivalêcia o Futuro: N = A. (1 + i) t Equivalêcia o Passado: A = N/(1 + i) t 18

19 Equivalêcia de Capitais Descoto Comercial Data de Equivalêcia o Futuro A N N = A/(1 i) t T T + t N = valor omial A = valor atual i = taxa de juros t = período Data de Equivalêcia o Passado A N A = N. (1 i) t T T + t Exemplo: João precisa resgatar dois títulos. Um o valor de R$ ,00 com prazo de vecimeto de dois meses, e outro de R$ ,00 com prazo de vecimeto de três meses. Não tedo codições de resgatá-los os respectivos vecimetos, Edgar propõe ao credor substituir os dois títulos por um úico, com vecimeto em quatro meses. Sabedo-se que a taxa de descoto comercial composto é de 4% ao mês, o valor omial do ovo título, sem cosiderar os cetavos, será igual a: Descoto Comercial Simples (D) Taxa de Juros (i) = 4% ao mês = 4/100 = 0,04 ao mês Dois títulos R$ ,00 (2 meses) e R$ ,00 (3 meses) substituir por um úico com vecimeto em 4 meses. N 0 2 meses 3 meses 4 meses

20 Curso Olie - Raciocíio Lógico-Quatitativo para Levado tudo para o período t = 0: (1 0,04) (1 0,04) (1 0, 04) = N (0,96) (0,96) = N (0,96) 2 (0,96) N = ,96 = = N = = = (0,96) 0,9216 Nota: Repare que, como (0,96) 2 aparece em todos os termos da equação, foi possível dividir tudo por (0,96) (0,96) (0,96) = N (0,96) Dividido por (0,96) (0,96) = N (0,96) Memorize para a prova: Equivalêcia de Capitais Descoto Comercial Equivalêcia o Futuro: N = A/(1 i) t Equivalêcia o Passado: A = N. (1 i) t Reda Postecipada Uma reda postecipada correspode à série uiforme de pagametos periódicos em que o primeiro pagameto ocorre um período após o egócio. A R A = valor da reda R = valor da prestação = úmero de prestações i = taxa de juros R R R R R R R A = i i i i 2 1 ( 1 + ) ( 1 + ) ( 1 + ) ( 1 + ) 20

21 A partir da fórmula acima, chegaremos ao seguite resultado: ( 1 + i) 1 A = R. i.(1 i) + ( 1 + i) 1 i.(1 + i) Fator de Valor Atual (FVA) ou Fator de Valor Presete (FVP) A = R x FVA ( 1 ) + i 1 O termo a(;i) = i.(1 + i) 1 (1 + i capítulo) e também pode ser apresetado como i Logo, A = R. a(;i). é tabelado (tabela II forecida o fial do Exemplo: Um empréstimo cotraído o iício de abril, o valor de R$ ,00, deve ser pago em dezoito prestações mesais e iguais, a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, vecedo a primeira prestação o fial de abril, a seguda o fial de maio, e assim sucessivamete. Calcule o valor da prestação. Dado: [(1,02) 18 1]/[0,02 x (1,02) 18 ] = 14, ) P P P P P Aqui, vou apresetar a dedução da fórmula: (I) = P x [1/(1+i) + 1/(1+i) /(1+i) 18 ] (II) (1+i) x = P x [1 + 1/(1+i) /(1+i) 17 ] (II) (I) i x = P x[1-1/(1+i) 18 ] = P x [(1+i) 18 1]/[i x (1+i) 18 ] x(1+i) Nesta situação, a questão teria que iformar o valor de [(1+i) 18 1]/[i x (1+i) 18 ], para i = 2% ao mês. Neste exemplo, temos como dado: [(1,02) 18 1]/[0,02 x (1,02) 18 ] = 14, Portato = P x 14,9920 P = 1.000,53 Se a questão ão iformasse o valor da expressão acima, poderíamos utilizar a tabela II, forecida ao fial do capítulo: [(1+i) 18 1]/[i x (1+i) 18 ], para i = 2% e = 18 a(; i) a(18;2%) = Fator de Valor Atual = 14, = P x 14,9920 P = 1.000,

22 Caso quiséssemos calcular o total pago imediatamete após o último pagameto (motate de valor futuro), teríamos: A F A = valor da reda R = valor da prestação R = úmero de prestações i = taxa de juros F = motate de valor futuro R R R F = A.(1 + i) ( 1 + i ) 1 ( 1 + i) 1 F = R..(1 + i ) = R. i.(1 + i ) i ( 1 + i) 1 i Fator de Acumulação de Capital (FAC) ou Fator de Valor Futuro F = R x FAC ( 1 + i ) 1 O termo s(;i) = i capítulo). Logo, F = R. s(;i). é tabelado (tabela III forecida ao fial do Exemplo: No exemplo aterior, se quiséssemos calcular o motate pago após o último pagameto, teríamos: = 18, i =2% ao mês, P = 1.000,53. Dado: [(1,02) 18 1]/0,02 = 21, ( 1 + i) 1 ( % ) 1 F = P. = 1.000,53 i 2% F = 1.000,53 x 21, = ,66 Se a questão ão iformasse o valor da expressão acima, poderíamos utilizar a tabela III, forecida ao fial do capítulo: 18 ( 1 + i) 1 ( % ) 1 F = P. = 1.000,53 = 1.000,53 x s(18;2%) i 2% F = 1.000,53 x 21, (tabela III) = ,66 Exemplo: No exemplo aterior, se quiséssemos calcular o motate pago um mês após o último pagameto, teríamos: = = 19, i =2% ao mês, P = 1.000,53. Dado: [(1,02) 19 1]/0,02 = 22,

23 19 ( 1 + i) 1 ( % ) 1 F = P. = 1.000,53 i 2% F = 1.000,53 x 22, = ,66 Se a questão ão iformasse o valor da expressão acima, poderíamos utilizar a tabela III, forecida ao fial do capítulo: 19 ( 1 + i) 1 ( % ) 1 F = P. = 1.000,53 =1.000,53 x s(19;2%) i 2% F = 1.000,53 x 22, (tabela III) = ,66 Memorize para a prova: Reda Postecipada: R R R R A = i i i i 2 1 ( 1 + ) ( 1 + ) ( 1 + ) ( 1 + ) A partir da fórmula acima, chegaremos ao seguite resultado: ( 1 + i) 1 A = R. i.(1 i) + ( 1 + i) 1 i.(1 + i) Fator de Valor Atual (FVA) ou Fator de Valor Presete (FVP) A = R x FVA Uma reda postecipada correspode à série uiforme de pagametos periódicos em que o primeiro pagameto ocorre um período após o egócio. F = A.(1 + i) ( 1 + i ) 1 ( 1 + i) 1 F = R..(1 + i ) = R. i.(1 + i ) i ( 1 + i) 1 Fator de Acumulação de Capital (FAC) ou Fator de Valor i Futuro F = R x FAC 23

24 Reda Atecipada A reda atecipada correspode à uma série uiforme de pagametos periódicos em que o primeiro pagameto ocorre o ato da realização do egócio. A R R A = valor da reda R = valor da prestação = úmero de prestações i = taxa de juros R R A = R + R + R R ( 1 + i ) ( 1 + i ) ( 1 + i) 2 1 A partir da fórmula acima, chegaremos ao seguite resultado: 1 ( 1 + i) 1 A = R i.(1 + i) 1 ( 1 + i) 1 1 i.(1 + i) O termo a(-1;i) = = R. [a(-1;i) + 1] é tabelado (tabela II forecida ao fial do capítulo). Portato basta achar o valor tabelado e somar 1. Exemplo: Um empréstimo cotraído o iício de abril, o valor de R$ ,00, deve ser pago em dezoito prestações mesais e iguais, a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, vecedo a primeira prestação o ato do egócio, a seguda o fial de abril, e assim sucessivamete. Calcule o valor da prestação. Dado: [(1,02) 17 1]/[0,02 x (1,02) 17 ] = 14, P P P P P = P x [[(1+i) 17 1]/[i. (1+i) 17 ] + 1] = P x [[(1,02) 17 1]/[0,02 x (1,02) 17 ] + 1] = P x (14, ) = P x 15, P = 980,

25 Se a questão ão iformasse o valor da expressão acima, poderíamos utilizar a tabela II, forecida ao fial do capítulo: [(1+i) 17 1]/[i x (1+i) 17 ], para i = 2% e = 18 1 = 17 Fator de Valor Atual = a(17;2%) + 1 = 14, = 15, = P x 15, P = 980,91 Caso quiséssemos calcular o total pago imediatamete após o último pagameto ou um período após o último pagameto (motate de valor futuro), teríamos: A F -1 F R R R R ( 1 + i ) 1 Valor futuro após o último pagameto: F -1 = R. i Valor futuro um período após o último pagameto: F = R. ( ( 1 + i ) 1 Ode s(;i) = i acumulação de capital ou fator de valor futuro. + 1 ( 1 i) 1 + 1) i é tabelado (tabela III) e deomiado fator de Valor futuro um período após o último pagameto: F = R. ( F = R. [s(+1;i) 1] + 1 ( 1 i) 1 + 1) i Exemplo: Cosidere uma reda atecipada de quatro termos mesais e iguais a R$ 1.000,00, à taxa de 10% ao mês. Calcule o valor atual, o motate imediatamete após o último pagameto e o motate um mês após o último pagameto. Dados: [(1,10) 3 1]/[0,10 x (1,10) 3 ] = 2, [(1,10) 4 1]/0,10 = 4,641 [(1,10) 5 1]/0,10 = 6,

26 A F 3 F R = i = 10% ao mês = 4 R R R R Para i = 10% ao mês e 1 = 4 1 = 3: 1 ( 1 + i) 1 A = R i.(1 + i) A = x (2, ) = 3.486,85 = x [[(1,10) 3 1]/[0,10 x (1,10) 3 ] + 1] Motate após o último pagameto: ( 1 ) + i 1 F (-1) = R. F(3) = R. i F (3) = x 4, = 4.641,00 4 ( % ) % Motate um mês após o último pagameto: F = R. ( + 1 ( 1 i) ( % ) 1 1)=> F(4) = R. ( 1) i 10% F (4) = x ( ) = 5.105,10 Repare que: F (4) = F (3) x (1 + i) = F (3) x 1,1 = 4,641,00 x 1,1 = 5.105,10 Se a questão ão iformasse o valor da expressão acima, poderíamos utilizar as tabelas II e III, forecidas ao fial do capítulo: Para i = 10% ao mês e = 4 1 = 3 (tabela II): Fator de Valor Atual = 2, Valor Atual: ( 1 + i) 1 A = R. + 1 i.(1 + i) = (2, ) = 3.486,

27 Motate após o último pagameto: ( 1 ) i ( % ) 1 F (-1) = R. F(3) = R. i 10% 4 ( % ) 1 Fator de Acumulação = = s (4;10%) (tabela III) = 4, % F (3) = , = 4.641,00 Motate um mês após o último pagameto: F = R. ( 5 + ( % ) 1 1) F(4) = R. ( -1) = R.[s(5;10%) 1] i 10% + 1 ( 1 i) 1 Fator de Acumulação = + (tabela III) = 6, % 5 ( % ) 1 F (4) = ( ) = 5.105,10 Memorize para a prova: Reda Atecipada: A = R + R + R R ( 1 + i ) ( 1 + i ) ( 1 + i) 2 1 A partir da fórmula acima, chegaremos ao seguite resultado: 1 ( 1 + i) 1 A = R i.(1 + i) 1 ( 1 + i) 1 1 i.(1 + i) O termo a(-1;i) = = R. [a(-1;i) + 1] é tabelado (tabela II forecida ao fial do capítulo). Portato basta achar o valor tabelado e somar 1. Caso quiséssemos calcular o total pago imediatamete após o último pagameto ou um período após o último pagameto (motate de valor futuro), teríamos: ( 1 + i ) 1 Valor futuro após o último pagameto: F -1 = R. i Valor futuro um período após o último pagameto: F = R. ( ( 1 + i ) 1 Ode s(;i) = i acumulação de capital ou fator de valor futuro. + 1 ( 1 i) 1 + 1) i é tabelado (tabela III) e deomiado fator de Valor futuro um período após o último pagameto: F = R. ( F = R. [s(+1;i) 1] + 1 ( 1 i) 1 + 1) i 27

28 Reda Diferida A reda diferida correspode à série uiforme de pagametos periódicos em que o primeiro pagameto ocorre m+1 períodos após o iício do egócio, ou seja, há m períodos sem pagameto. A m+1 m+2... m m A = valor da reda R R = valor da prestação m = úmero de períodos sem pagameto = úmero de prestações i = taxa de juros R R R R A = i i i i m + 1 m + 2 m + 1 m + ( 1 + ) ( 1 + ) ( 1 + ) ( 1 + ) R R R Repare que, o caso da reda diferida, A vai ser igual a: R R R R R R R A = i + i + i + i + i + i + i 1 2 m m + 1 m + 1 m ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) m + m ( 1 + i ) 1 ( 1 + i) 1 A = R. m + m i.(1 + i ) i.(1 + i) A = R. [a(m+;i) a(m;i)] Ou seja, cosideramos a reda postecipada até o período m+ esubtraímoso período de diferimeto (até m). Exemplo: Alfeu comprou uma televisão de 70 polegadas e irá pagá-la em cico prestações mesais e iguais de R$ 2.000,00, com a primeira prestação vecedo ao fial de sete meses após a realização do egócio. Sabedo-se que a taxa de juros compostos é de 3% ao mês, qual o valor atual das prestações? Dados: [(1,03) 11 1]/[0,03 x (1,03) 11 ] = 9, [(1,03) 6 1]/[0,03 x (1,03) 6 ] = 5, R = i = 3% ao mês Primeira prestação m+1 = 7 m = 6 = 5 m + = =

29 A = ( % ) ( % ) ( % ) ( % ) ( % ) A = ( ) ( 1, 0 3 ) ( 1, 0 3 ) ( 1, 0 3 ) ( 1, 0 3 ) ( 1, 0 3 ) A = (1,0 3 ) (1,0 3 ) (1, 0 3 ) (1,0 3 ) (1,0 3 ) ( 1, 0 3 ) ( 1, 0 3 ) ( 1, 0 3 ) Ou utilizado diretamete a fórmula: m + m ( 1 + i ) 1 ( 1 + i) 1 A = R. m + m i.(1 + i ) i.(1 + i) 11 6 ( 1, 0 3 ) 1 ( 1, 0 3 ) 1 A R. = , 03.(1, 03) 0, 03.(1, 03) A = x (9, ,417191) = 7.670,87 Se a questão ão iformasse o valor da expressão acima, poderíamos utilizar a tabelas II, forecida ao fial do capítulo: A = R. [a(m+;i) a(m;i)] = [a(6+5;3%) a(6;3%)] A = [a(11;3%) a(6;3%)] Da tabela II: a(11;3%) = 9, e a(6;3%) = 5, A = (9, ,417191) = 7.670,87 Memorize para a prova: Reda Diferida: R R R R A = i i i i m + 1 m + 2 m + 1 m + ( 1 + ) ( 1 + ) ( 1 + ) ( 1 + ) Repare que, o caso da reda diferida, A vai ser igual a: R R R R R R R A = i + i + i + i + i + i + i 1 2 m m + 1 m + 1 m ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) m + m ( 1 + i ) 1 ( 1 + i) 1 A = R. m + m i.(1 + i ) i.(1 + i) A = R. [a(m+;i) a(m;i)] 29

30 23.6. Tabelas Tabela I - Fator de Acumulação de Capital: a = (1 + i) 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 11, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , % 9% 10% 12% 15% 18% 11, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

31 Tabela II Fator Valor Atual de uma Série de Pagametos: ( 1 ) + i 1 a(;i) = i.(1 + i) 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 1 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , % 10% 12% 15% 18% 10, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

32 Tabela III Fator de Acumulação de Capital de uma Série de Pagametos: ( 1 + i ) 1 s(;i) = i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 1 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , % 10% 12% 15% 18% 1 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

33 23.7. Memorize para a prova Juros Compostos: os juros são calculados sobre o motate do capital (C) o período aterior (juros sobre juros), ou seja, o capital iicial de cada período é o capital do período aterior acrescido dos juros do período aterior. M = C. (1 + i) t J = M - C Ode, M = motate C = capital J = juros i = taxa de juros t = período (1 + i) t = fator de capitalização Coveção Liear: o capital é atualizado a juros compostos o úmero iteiro de períodos (t) e atualizado por juros simples o período fracioário (q). M = C. (1 + i) t. (1 + i. q) Coveção Expoecial: ocapitaléatualizadoajuroscompostosoperíodo total da aplicação. M = C. (1 + i) t+q Capitalização Cotíua: é um tipo de capitalização a juros compostos ode os juros auferidos em um istate de tempo t sãoimediatameteicorporados ao capital aplicado, produzido, por coseguite, os juros o istate de tempo t 1, e assim sucessivamete. Neste tipo de capitalização, o capital sofrerá variações em itervalos ifiitesimais de tempo, que é justamete o que a difere da capitalização a juros compostos, ode a variação de tempo é fiita. Neste tipo de capitalização utiliza-se a seguite fórmula: M = C. e i.t Ode: M = Motate; C = Capital Aplicado; e = úmero eperiao ou úmero de Euler = 2,718 (costate); i = taxa de juros; e t = período. Descoto Composto Comercial ou por Fora: é um descoto que icide sobre o valor omial (N), período a período. A = N. (1 i D ) t D c = N A = N N. (1 i D ) t = N. [1 - (1 i D ) t ] 33

34 Ode, D c = descoto comercial i D = taxa de descoto comercial (juros simples) t = período restate até o vecimeto do título N = valor omial A = valor atual Descoto Racioal, Fiaceiro, Matemático ou Por Detro: é o descoto que determia um valor atual (A d ) que, corrigido as codições de mercado, resulta em um motate igual ao valor omial. N = A. (1 + i r ) t A = N/(1 + i r ) t D r = N A = N - N/(1 + i r ) t = N. [1 1/(1 + i r ) t ] D r = N. [(1 + i r ) t 1]/(1 + i r ) t Ode, D r = descoto comercial i r = taxa de descoto comercial (juros simples) t = período restate até o vecimeto do título N = valor omial A = valor atual Descoto Bacário: correspode ao descoto comercial acrescido de taxas bacárias sobre o valor omial. D B = D c + e. N Ode, e = ecargos bacários Equivalêcia de Capitais Descoto Racioal Equivalêcia o Futuro: N = A. (1 + i) t Equivalêcia o Passado: A = N/(1 + i) t Equivalêcia de Capitais Descoto Comercial Equivalêcia o Futuro: N = A/(1 i) t Equivalêcia o Passado: A = N. (1 i) t Reda Postecipada: R R R R A = i i i i 2 1 ( 1 + ) ( 1 + ) ( 1 + ) ( 1 + ) A partir da fórmula acima, chegaremos ao seguite resultado: ( 1 + i) 1 A = R. i.(1 i)

35 ( 1 + i) 1 i.(1 + i) Fator de Valor Atual (FVA) ou Fator de Valor Presete (FVP) A = R x FVA Uma reda postecipada correspode à série uiforme de pagametos periódicos em que o primeiro pagameto ocorre um período após o egócio. F = A.(1 + i) ( 1 + i ) 1 ( 1 + i) 1 F = R..(1 + i ) = R. i.(1 + i ) i ( 1 + i) 1 i Fator de Acumulação de Capital (FAC) ou Fator de Valor Futuro F = R x FAC Reda Atecipada: A = R + R + R R ( 1 + i ) ( 1 + i ) ( 1 + i) 2 1 A partir da fórmula acima, chegaremos ao seguite resultado: 1 ( 1 + i) 1 A = R i.(1 + i) 1 ( 1 + i) 1 1 i.(1 + i) O termo a(-1;i) = = R. [a(-1;i) + 1] é tabelado (tabela II forecida ao fial do capítulo). Portato basta achar o valor tabelado e somar 1. Caso quiséssemos calcular o total pago imediatamete após o último pagameto ou um período após o último pagameto (motate de valor futuro), teríamos: ( 1 + i ) 1 Valor futuro após o último pagameto: F -1 = R. i Valor futuro um período após o último pagameto: F = R. ( ( 1 + i ) 1 Ode s(;i) = i acumulação de capital ou fator de valor futuro. + 1 ( 1 i) 1 + 1) i é tabelado (tabela III) e deomiado fator de Valor futuro um período após o último pagameto: F = R. ( F = R. [s(+1;i) 1] + 1 ( 1 i) 1 + 1) i 35

36 Reda Diferida: R R R R A = i i i i m + 1 m + 2 m + 1 m + ( 1 + ) ( 1 + ) ( 1 + ) ( 1 + ) Repare que, o caso da reda diferida, A vai ser igual a: R R R R R R R A = i + i + i + i + i + i + i 1 2 m m + 1 m + 1 m ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) m + m ( 1 + i ) 1 ( 1 + i) 1 A = R. m + m i.(1 + i ) i.(1 + i) A = R. [a(m+;i) a(m;i)] 36

37 23.8. Exercícios de Fixação 1.(Admiistrador-DNOCS-Mi. Da Itegração Social-2010-FCC) Um ivestidor deposita R$ ,00 o iício de cada ao em um baco que remuera os depósitos de seus clietes a uma taxa de juros compostos de 10% ao ao. Quado ele realizar o quarto depósito, tem-se que a soma dos motates referetes aos depósitos realizados é igual a (A) R$ ,00. (B) R$ ,00. (C) R$ ,00. (D) R$ ,20. (E) R$ ,00. 2.(Admiistrador-DNOCS-Mi. Da Itegração Social-2010-FCC) Uma pessoa fez um empréstimo em um baco o valor de R$ ,00, tedo que pagar todo o empréstimo após 18 meses a uma taxa de juros de 24% ao ao, com capitalização mesal. O valor dos juros a serem pagos o vecimeto pode ser obtido multiplicado R$ ,00 por: (A) [(1,02) 18 1] (B) , (C) , (D) 3. 1, (E) , (Cotador-DNOCS-Mi. Da Itegração Social-2010-FCC) Uma pessoa aplica, a data de hoje, os seguites capitais: I. R$ 8.000,00 a uma taxa de juros simples, durate 18 meses. II. R$ ,00 a uma taxa de juros compostos de 5% ao semestre, durate um ao. O valor do motate verificado o item II supera em R$ 865,00 o valor do motate verificado o item I. A taxa de juros simples aual referete ao item I é igual a (A) 21%. (B) 15%. (C) 18%. (D) 27%. (E) 24%. 37

38 4.(Fiscal de Redas-SP-2009-FCC) Uma programação de ivestimeto cosiste a realização de três depósitos cosecutivos de valores iguais efetuados o iício de cada ao. O resgate dos respectivos motates será feito de uma só vez, três aos após a data do primeiro depósito. Cosiderado uma taxa de juros compostos de 10% ao ao, e sabedo-se que a soma dos motates o ato do resgate foi igual a R$ ,00, coclui-se que o valor de cada depósito é igual a (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 5.(Fiscal de Redas-SP-2009-FCC) Um título é descotado dois aos ates de seu vecimeto, a uma taxa positiva i ao ao. Se for utilizado o descoto racioal composto, o valor atual do título é igual a R$ ,00 e, se for utilizado o descoto comercial composto, o valor atual é igual a R$ ,00. O valor omial deste título é igual a (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 6.(Auditor-Ifraero-2009-FCC) Uma pessoa adquiriu um CDB Certificado de Depósito Bacário prefixado com vecimeto em 60 dias, cujo valor de resgate era R$ ,00. O valor pago pelo ivestidor o CDB foi R$ ,00. No mesmo período, a ecoomia registrou uma deflação de 1%. A taxa de juros real paga recebida pelo ivestidor a operação foi (A) maior que 7% (B) igual a 5% (C) maior que 5% mas iferior a 6% (D) igual a 6% (E) maior que 6%, mas iferior a 7% 38

39 7.(Cotador-Ifraero-2009-FCC) Atôio aplicou R$ ,00 em um baco que remuera os depósitos de seus clietes a juros simples, a uma taxa de 1,5% ao mês. Após 8 meses, ele resgata todo o motate e o aplica totalmete em um outro baco, durate um ao, a juros compostos, a uma taxa de 5% ao semestre. No fial da seguda aplicação, o valor do motate é de (A) R$ ,50 (B) R$ ,60 (C) R$ ,40 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 8.(Aalista Judiciário-Auditor-TJ-PI-2009) Certa pessoa física coseguiu um fiaciameto de R$ ,00 a ser quitado em 60 prestações mesais e cosecutivas, à taxa efetiva de 1% ao mês, sedo que a primeira prestação vece em 30 dias após a cocessão do fiaciameto. O valor da prestação mesal costate é de R$ 2.668,80. O saldo devedor do empréstimo, após o pagameto da 1a prestação é, em R$, é igual a (A) ,20. (B) ,20. (C) ,00. (D) ,00. (E) ,20. 9.(Assistete de Suporte Técico Nível I - Suporte Técico à Gestão Cotabilidade-Prefeitura/SP-2008-FCC) João depositou R$ 1.000,00 o iício de cada mês durate seis meses cosecutivos à taxa de juros de 24% ao ao com capitalização mesal. José depositou a mesma importâcia também o iício de cada mês pelo mesmo período, mas à taxa de 27% ao ao com capitalização mesal. O motate obtido por José imediatamete após o último depósito foi, este mometo, superior ao de João em R$ 39,68. Sabedo-se que o fator de acumulação de capital (FAC) da taxa efetiva mesal de 2% em 6 meses é 6,30812, o FAC, para o mesmo período correspodete à aplicação de José, foi equivalete a (A) 6,26488 (B) 6,26844 (C) 6,27884 (D) 6,31548 (E) 6,

40 10.(Assessor-Cotabilidade-MPE/RS-2008-FCC) A taxa omial i ao ao, com capitalização mesal, correspode a uma taxa efetiva aual de (A) (B) (C) (1 + i) 1 1 i (1 + ) 1 12 i ( 1 + ) 1 (D) ( 1 + i) (E) i (Aalista Traiee-Cotabilidade-Metrô/SP-2008-FCC) Assumido uma taxa aual de juros de 10% o regime de capitalização composta, o pagameto de um empréstimo de R$ 1.000,00 o fial de um ao após sua obteção é equivalete, em termos de fluxo de caixa, ao pagameto, em R$, de duas prestações auais iguais e sucessivas, vecedo a primeira um ao após a realização do empréstimo (desprezado os algarismos a partir da terceira casa decimal depois da vírgula) o valor de (A) 523,81 (B) 555,55 (C) 568,12 (D) 576,19 (E) 583,47 12.(Aalista Traiee-Cotabilidade-Metrô/SP-2008-FCC) A taxa mesal equivalete a uma taxa de juros aual de 12% o regime de capitalização composta é (em percetagem): (A) (0,12/12) 100 (B) (12/100/12) 100 (C) (0,12) 1/ (D) [(1,01) 12 1] 100 (E) [(1,12) 1/12-1]

41 13.(Assistete-Cotábil-PBGAS-2007-FCC) João dos Satos fez uma aplicação de R$ ,00 uma istituição fiaceira por dois aos, com capitalização composta aual. Sabedo que a taxa composta de juros aual da aplicação correspodeu a 10%, o motate resgatado pelo ivestidor o vecimeto da aplicação foi de (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 14.(Especialista em Regulação de Saúde Suplemetar-Ciêcias Cotábeis-ANS-2007-FCC) Um título é resgatado dois aos ates de seu vecimeto segudo o critério do descoto racioal composto a uma taxa de juros compostos de 10% ao ao. Se o valor atual é igual a R$ ,00, o valor correspodete do descoto é de (A) R$ 2.850,00. (B) R$ 3.000,00. (C) R$ 3.150,00. (D) R$ 3.300,00. (E) R$ 3.450, (Especialista em Regulação de Saúde Suplemetar-Ciêcias Cotábeis-ANS-2007-FCC) O custo efetivo do fiaciameto de uma determiada operação realizada em um ao foi de 15,5%. Se a taxa de iflação correspodete a este ao foi de 10%, sigifica que o custo real efetivo referete a esta operação foi de (A) 4,50%. (B) 5,00%. (C) 5,50%. (D) 5,75%. (E) 6,00%. 16.(Aalista Legislativo-Cotador-Câmara dos Deputados-2007-FCC) Uma dívida o valor de R$ ,00, a data de hoje, deverá ser quitada por meio de duas prestações de valores iguais, vecível a primeira daqui a um ao e a seguda daqui a dois aos. Cosiderado o critério do descoto fiaceiro composto a uma taxa de juros de 20% ao ao, tem-se que o valor de cada prestação é igual a (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ ,

42 Istrução: Na resolução da questão o 17 utilize a tabela abaixo, que forece os fatores de valor presete (FVP) de séries uiformes, a uma taxa de 2% ao mês, sedo FVP dado por (1, 0 2 ) 1 (1,0 2 ).0,0 2 Numero de FVP prestações () 1 0, , , , , , , , , , , , (Aalista Legislativo-Cotador-Câmara dos Deputados-2007-FCC) Um automóvel poderá ser adquirido à vista pelo valor de R$ ,00. O comprador poderá também adquirir o automóvel dado uma etrada o ato da compra e o restate em 10 prestações mesais e cosecutivas, o valor de R$ 2.000,00 cada uma, vecedo a primeira um mês após a data da compra. Utilizado o critério do descoto fiaceiro composto a uma taxa de 2% ao mês, tem-se que o valor da etrada referete à seguda opção que tora iguais os valores presetes das duas opções, a data da aquisição, é (A) R$ 8.675,60 (B) R$ 7.855,20 (C) R$ 7.034,80 (D) R$ 5.526,20 (E) R$ 3.234,80 18.(Agete Fiscal de Redas-Sefaz/SP-2006-FCC) Um capital de R$ ,00 foi aplicado à taxa semestral i, durate 2 aos, com capitalização cotíua, apresetado, o fial do período, um motate igual a R$ ,00. Utilizado l 2 = 0,69 (l é o logaritmo eperiao), tem-se que i é igual a (A) 14,02% (B) 17,25% (C) 30% (D) 34,5% (E) 69% 42

43 19.(Aalista-Cotabilidade-Casa da Moeda-2009-Cesgrario) Um ivestidor aplicou a quatia de R$ ,00, por um período de 4 meses, a uma taxa de juros compostos de 3% ao mês. O valor dos juros obtidos essa aplicação, em reais, é (A) 1.165,32 (B) 1.667,79 (C) 1.882,63 (D) 2.003,33 (E) 2.182,83 20.(Ciêcias Cotábeis-BNDES-2009-Cesgrario) O ivestimeto, que proporcioou a um ivestidor obter um motate de R$ ,00 aplicado a uma taxa de juros compostos de 1,5% ao mês, pelo período de seis meses, em reais, foi (A) ,22 (B) ,13 (C) ,46 (D) ,75 (E) ,93 21.(Cotador-Fuasa-2009-Cesgrario) A Compahia Trilhos obteve um empréstimo o Baco em que opera, com as características apresetadas a seguir. Prazo de resgate: 2 aos Taxa de juros compostos: 12% ao ao Valor fial a pagar: R$ ,00 Com base esses dados, coclui-se que o valor do empréstimo obtido, em reais, foi (A) ,80 (B) ,11 (C) ,00 (D) ,08 (E) ,99 22.(Técico de Admiistração e Cotrole-Termoceará Cesgrario) Se um empresário aplicar R$ ,00 por um prazo de 3 meses, que taxa mesal de juros compostos precisará obter para dobrar o capital? (A) 25,99% (B) 25,67% (C) 23,33% (D) 22,50% (E) 16,67% 43

44 23.(Técico de Admiistração e Cotrole-Termoceará Cesgrario) Uma duplicata o valor de R$ 7.000,00 foi descotada dois meses ates do seu vecimeto, a uma taxa de descoto composta de 2,5% ao mês. O valor do descoto cobrado pelo baco, em reais, foi (A) 345,63 (B) 369,17 (C) 370,01 (D) 371,99 (E) 471,33 24.(Técico de Defesa Aérea e Cotrole de Tráfego Aéreo-Ciêcias Ecoômicas-DECEA-2009-Cesgrario) O valor presete da quatia de R$1.000,00, a ser paga de uma só vez, em 6 aos cotados a partir da data atual, é igual a R$ 1.000/(1.05) 6, se a taxa aual de juros composto for (A) 6% a.a. (B) 5% a.a. (C) 30% a.a. (D) 105% a.a. (E) 1.05% a.a 25.(Técico de Defesa Aérea e Cotrole de Tráfego Aéreo-Ciêcias 3 Ecoômicas-DECEA-2009-Cesgrario) Uma pessoa recebe R$ 100,00, quatia que deverá pagar durate 3 aos, com a taxa de juros composto de 6% a.a. Ao fim do primeiro ao, a pessoa faz um pagameto de R$ 6,00 ao credor, e o mesmo acotece ao fim do segudo ao. No fial do terceiro ao, para liquidar sua dívida, ela deverá pagar, em reais, (A) 94,00 (B) 100,00 (C) 106,00 (D) 112,00 (E) 118,00 26.(AFRFB-2009-Esaf) No sistema de juros compostos um capital PV aplicado durate um ao à taxa de 10 % ao ao com capitalização semestral resulta o valor fial FV. Por outro lado, o mesmo capital PV, aplicado durate um trimestre à taxa de it% ao trimestre resultará o mesmo valor fial FV, se a taxa de aplicação trimestral for igual a: a) 26,25 % b) 40 % c) 13,12 % d) 10,25 % e) 20 % 44

45 23.9. Gabarito 1. C 2. A 3. C 4. E 5. B 6. A 7. B 8. A 9. E 10. C 11. D 12. E 13. B 14. C 15. B 16. A 17. C 18. D 19. C 20. B 21. D 22. A 23. A 24. B 25. C 26. D 45

46 Exercícios de Fixação Cometados e Resolvidos 1.(Admiistrador-DNOCS-Mi. Da Itegração Social-2010-FCC) Um ivestidor deposita R$ ,00 o iício de cada ao em um baco que remuera os depósitos de seus clietes a uma taxa de juros compostos de 10% ao ao. Quado ele realizar o quarto depósito, tem-se que a soma dos motates referetes aos depósitos realizados é igual a (A) R$ ,00. (B) R$ ,00. (C) R$ ,00. (D) R$ ,20. (E) R$ ,00. Resolução A questão defiiu: Juros Compostos M = C. (1 + i) t Ivestimeto: depósito de R$ ,00 (D) o iício de cada ao, ou seja, os depósitos ocorrerão o iício do ao 1 (mometo 0 ), o iício do ao 2 (mometo 1 ), o iício do ao 3 (mometo 2 ) e o iício do ao 4 (mometo 3 ). Taxa de Juros Compostos (i) = 10% ao ao = 10/100 = 0,10 ao ao D D D D Motate Para facilitar e fazermos somete cota de multiplicação, vamos trazer os valores para o mometo 3 (equivalêcia de capitais). Repare aida que, como a questão ão estabeleceu, faremos a equivalêcia de capitais utilizado descoto racioal. Nesse caso, teríamos: D x (1 + i) 3 + D x (1 + i) 2 + D x (1 + i) + D = Motate (M) x (1 + 0,10) x (1 + 0,10) x (1 + 0,10) = M Colocado em evidêcia, pois aparece em todos os termos à esquerda da equação, teríamos: x [(1,10) 3 + (1,10) 2 + 1,10 + 1] = M Vamos calcular os valores: (1,10) 2 = 1,10 x 1,10 = 1,21 (1,10) 3 = (1,10) 2 x 1,10 = 1,21 x 1,10 = 1,331 M = x (1, ,21 + 1,10 + 1) 46

47 M = x 4,641 Para facilitar: x 4,641 = 12 x x 4,641 = 12 x M = R$ ,00 GABARITO: C 2.(Admiistrador-DNOCS-Mi. Da Itegração Social-2010-FCC) Uma pessoa fez um empréstimo em um baco o valor de R$ ,00, tedo que pagar todo o empréstimo após 18 meses a uma taxa de juros de 24% ao ao, com capitalização mesal. O valor dos juros a serem pagos o vecimeto pode ser obtido multiplicado R$ ,00 por: (A) [(1,02) 18 1] (B) , (C) , (D) 3. 1, (E) , Resolução A questão defiiu (basta verificar as alterativas, tedo em vista as raízes e potêcias): Juros Compostos M = C. (1 + i) t Empréstimo (E) = R$ ,00, após 18 meses Taxa de Juros (i) = 24% ao ao. Ateção, pois a questão estabelece que a capitalização é mesal, ou seja, 24% ao ao é a taxa omial. Portato, temos que achar a taxa de juros efetiva que é a taxa de juros correspodete ao período de capitalização: 24% == 12 meses X == 1 mês 12. X = 24%. 1 X = 24%/12 = 2% ao mês = 2/100 = 0,02 ao mês E Pagameto Fazedo a equivalêcia de capitais o mometo 18 (18 meses após o empréstimo), teríamos (repare, ovamete, que, como a questão ão especificou, utilizaremos o descoto racioal para fazer a equivalêcia): 47

48 Empréstimo x (1 + i) 18 = Pagameto x (1 + 0,02) 18 = Pagameto Pagameto = x (1,02) 18 Cotudo, esta aida ão é a resposta, pois a questão quer saber o valor dos juros. Sabemos que o pagameto do empréstimo será composto do valor do empréstimo mais os juros. Portato, teremos: Pagameto = Empréstimo + Juros x (1,02) 18 = Juros Juros = x (1,02) Juros = x [(1,02) 18 1] Logo, os juros podem ser obtidos multiplicado-se por [(1,02) 18 1]. GABARITO: A 3.(Cotador-DNOCS-Mi. Da Itegração Social-2010-FCC) Uma pessoa aplica, a data de hoje, os seguites capitais: I. R$ 8.000,00 a uma taxa de juros simples, durate 18 meses. II. R$ ,00 a uma taxa de juros compostos de 5% ao semestre, durate um ao. O valor do motate verificado o item II supera em R$ 865,00 o valor do motate verificado o item I. A taxa de juros simples aual referete ao item I é igual a (A) 21%. (B) 15%. (C) 18%. (D) 27%. (E) 24%. Resolução I. R$ 8.000,00 a uma taxa de juros simples, durate 18 meses. Juros Simples: M I = C. (1 + i.t) Capital Aplicado (C) = R$ 8.000,00 Taxa de Juros Simples = i Período (t) = 18 meses M I = x (1 + i x 18) II. R$ ,00 a uma taxa de juros compostos de 5% ao semestre, durate um ao. Juros Compostos: M II = C. (1 + i) t Capital Aplicado (C) = R$ ,00 Taxa de Juros Simples (i) = 5% ao semestre = 5/100 = 0,05 ao semestre Período (t) = 1 ao = 2 semestres 48

49 M II = x (1 + 0,05) 2 = x (1,05) 2 = x 1,1025 = De acordo com a questão: O valor do motate verificado o item II supera em R$ 865,00 o valor do motate verificado o item I. Portato: M II M I = x (1 + i x 18) = = x (1 + i x 18) = x (1 + i x 18) 1 + i x 18 = / i x 18 = 1,27 i x 18 = 1,27 1 i x 18 = 0,27 i = 0,27/18 ao mês Cotudo, repare que a questão deseja saber a taxa de juros simples aual. Logo, teremos: 0,27/18 == 1 mês X == 1 ao = 12 meses X. 1 = 12. 0,27/18 X = 0,27 x 12/18 = 0,27 x 2/3 = 0,27/3 x 2 X = 0,09 x 2 X = 0,18 ao ao = 18/100 ao ao = 18% ao ao GABARITO: C 4.(Fiscal de Redas-SP-2009-FCC) Uma programação de ivestimeto cosiste a realização de três depósitos cosecutivos de valores iguais efetuados o iício de cada ao. O resgate dos respectivos motates será feito de uma só vez, três aos após a data do primeiro depósito. Cosiderado uma taxa de juros compostos de 10% ao ao, e sabedo-se que a soma dos motates o ato do resgate foi igual a R$ ,00, coclui-se que o valor de cada depósito é igual a (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 Resolução A questão defiiu: Juros Compostos M = C. (1 + i) t Ivestimeto: três depósitos cosecutivos de valores iguais (P) o iício de cada ao (mometos 0, 1 e 2). O resgate ocorrerá três aos após a data do primeiro depósito. 49

50 P P P Taxa de Juros (i) = 10% ao ao = 10/100 = 0,10 ao ao Soma dos Motates o Ato do Resgate (M) = R$ ,00 Para calcular o valor de cada depósito, temos que igualar os ites da liha do tempo acima cosiderado os juros auais. Como, são juros compostos, a data de referêcia escolhida ão importa, pois o resultado ão se altera. Para facilitar os cálculos, escolherei a data de referêcia como sedo a data do resgate (fial do ao 3). Deste modo, teremos: P x (1 + i) 3 + P x (1 + i) 2 + P x (1 + i) = P x (1 + 0,10) 3 + P x (1 + 0,10) 2 + P x (1 + 0,10) = P x (1,10) 3 + P x (1,10) 2 + P x (1,10) = P x 1,331 + P x 1,21 + P x 1,10 = ,641 x P = P = /3,641 P = R$ ,25 R$ ,00 GABARITO: E 5.(Fiscal de Redas-SP-2009-FCC) Um título é descotado dois aos ates de seu vecimeto, a uma taxa positiva i ao ao. Se for utilizado o descoto racioal composto, o valor atual do título é igual a R$ ,00 e, se for utilizado o descoto comercial composto, o valor atual é igual a R$ ,00. O valor omial deste título é igual a (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 Resolução Resgate = R$ ,00 A questão defiiu: Descoto Composto Descoto Comercial ou Por Fora: é um descoto que icide sobre o valor omial (N), período a período. A = N. (1 i D ) t D c = N A = N N. (1 i D ) t = N. [1 - (1 i D ) t ] Ode, D c = descoto comercial i D = taxa de descoto comercial (juros simples) t = período restate até o vecimeto do título 50

51 N = valor omial A = valor atual Descoto Racioal, Fiaceiro, Matemático ou Por Detro: é o descoto que determia um valor atual (A d ) que, corrigido as codições de mercado, resulta em um motate igual ao valor omial. N = A. (1 + i r ) t A = N/(1 + i r ) t D r = N A = N - N/(1 + i r ) t = N. [1 1/(1 + i r ) t ] D r = N. [(1 + i r ) t 1]/(1 + i r ) t Ode, D r = descoto comercial i r = taxa de descoto comercial (juros simples) Um título é descotado dois aos ates de seu vecimeto, a uma taxa positiva i ao ao. Período (t) = 2 aos Taxa de juros compostos = i ao ao I Cálculo do valor omial utilizado descoto racioal composto: Valor Atual do Título (A) = R$ ,00 A = N/(1 + i r ) t = N/(1 + i) 2 N = x (1 + i) 2 (I) II Cálculo do valor omial utilizado descoto comercial composto: Valor Atual do Título (A) = R$ ,00 A = N. (1 i d ) t = N x (1 i) 2 N = /(1 i) 2 (II) Fazedo (I) = (II), tedo em vista que o valor omial é o mesmo: N = x (1 + i) 2 (I) N = /(1 i) 2 (II) x (1 + i) 2 = /(1 i) 2 (1 + i) 2 x (1 i) 2 = / [(1 + i) x (1 i)] 2 = 0,9216 (1 + i) x (1 i) = 0, Aqui, teríamos que saber que a 0,9216 é um quadrado perfeito, pois: 0,96 x 0,96 = 0,9216 Uma outra maeira de calcular a raiz quadrada seria: Primeiramete, precisamos saber os quadrados perfeitos até 100: 51

52 1 2 = = = = = = = = = = 100 Cosidere o úmero após a vírgula: 9216 Passo 1: Da direita para esquerda, divida o úmero de dois em dois algarismos: Primeiro grupo: 92 Segudo grupo: 16 Passo 2: Verifique qual o quadrado perfeito que é mais próximo (meor ou igual) do úmero do primeiro grupo (92): 81. Logo, o primeiro úmero do resultado da raiz quadrada é 9 (9 2 = 81). Passo 3: Subtraia o úmero do primeiro grupo (92) pelo quadrado perfeito mais próximo: = 11. Passo 4: O resultado do passo 3 vai para o segudo grupo (colocar à esquerda do úmero): Segudo grupo: Passo 5: Multiplicar o primeiro úmero do resultado (9) ecotrado por 2: 9 x 2 = 18. Passo 6: É preciso achar um úmero que solucioe o seguite problema: (Número obtido o Passo 5) Número x Número = Número x Número = Tetativas: 181 x 1 = 181 Não serve 182 x 2 = 364 Não serve 183 x 3 = 549 Não serve 184 x 4 = 736 Não serve 185 x 5 = 925 Não serve 186 x 6 = Não serve (ok). Logo, 6 é o segudo úmero da raiz quadrada. Passo 7: A raiz quadrada de é igual a 96. Portato: 0, 9216 = 0,96 (1 + i) x (1 i) = 0,96 1 i + i i 2 = 0,96 1 i 2 = 0,

53 i 2 = 1 0,96 i 2 = 0,04 i = 0, 0 4 i = 0,2 ao ao De (I), temos: N = x (1 + i) 2 N = x (1 + 0,2) 2 N = x (1,2) 2 N = x 1,44 N = R$ ,00 GABARITO: B 6.(Auditor-Ifraero-2009-FCC) Uma pessoa adquiriu um CDB Certificado de Depósito Bacário prefixado com vecimeto em 60 dias, cujo valor de resgate era R$ ,00. O valor pago pelo ivestidor o CDB foi R$ ,00. No mesmo período, a ecoomia registrou uma deflação de 1%. A taxa de juros real paga recebida pelo ivestidor a operação foi (A) maior que 7% (B) igual a 5% (C) maior que 5% mas iferior a 6% (D) igual a 6% (E) maior que 6%, mas iferior a 7% Resolução Novamete, uma questão de iflação e taxa real de juros (já vimos algumas a aula de juros simples). Vamos aos cálculos: Capital Aplicado (C) = R$ ,00 Valor Resgatado (M) = R$ ,00 Taxa de Juros (i) = Valor Resgatado/Capital Aplicado 1 Taxa de Juros (i) = / Taxa de Juros (i) = 1,06 1 = 0,06 o período = 6/100 = 6% o período Repare que aqui pouco importa saber se é juros compostos ou juros simples, pois já temos o valor resgatado (motate) e capital aplicado e, para calcular a taxa de juros basta utilizar a fórmula acima. Cotudo, aida ão acabou, pois a questão pede a taxa real de juros. No período, houve deflação de 1%. Logo, teríamos: Gaho Real = Fator de Gaho Nomial/Fator de Iflação 1 Gaho Real (Taxa Real) = (1 + 6%)/(1 1%) 1 Gaho Real (Taxa Real) = (1 + 0,06)/(1 0,01) 1 Gaho Real (Taxa Real) = 1,06/0,99 1 Gaho Real (Taxa Real) = 1, Gaho Real (Taxa Real) = 0,0707 = 7,07/100 Gaho Real (Taxa Real) = 7,07% o período GABARITO: A 53

54 7.(Cotador-Ifraero-2009-FCC) Atôio aplicou R$ ,00 em um baco que remuera os depósitos de seus clietes a juros simples, a uma taxa de 1,5% ao mês. Após 8 meses, ele resgata todo o motate e o aplica totalmete em um outro baco, durate um ao, a juros compostos, a uma taxa de 5% ao semestre. No fial da seguda aplicação, o valor do motate é de (A) R$ ,50 (B) R$ ,60 (C) R$ ,40 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 Resolução I. Aplicação I: R$ ,00 a uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês, durate 8 meses. Juros Simples: M I = C. (1 + i.t) Capital Aplicado (C) = R$ ,00 Taxa de Juros Simples (i) = 1,5% ao mês = 1,5/100 = 0,015 ao mês Período (t) = 8 meses (repare que a questão iforma: Após 8 meses, ele resgata todo o motate e o aplica totalmete em um outro... ) Motate = M M I = x (1 + 0,015 x 8) M I = x (1 + 0,12) M I = x 1,12 M I = R$ ,00 II. Após 8 meses, ele resgata todo o motate e o aplica totalmete em um outro baco, durate um ao, a juros compostos, a uma taxa de 5% ao semestre. Juros Compostos: M II = C. (1 + i) t Capital Aplicado (C) = M I = R$ ,00 Taxa de Juros Simples (i) = 5% ao semestre = 5/100 = 0,05 ao semestre Período (t) = 1 ao = 2 semestres M II = x (1 + 0,05) 2 M II = x (1,05) 2 M II = x 1,1025 M II = R$ ,60 GABARITO: B 8.(Aalista Judiciário-Auditor-TJ-PI-2009) Certa pessoa física coseguiu um fiaciameto de R$ ,00 a ser quitado em 60 prestações mesais e cosecutivas, à taxa efetiva de 1% ao mês, sedo que a primeira prestação vece em 30 dias após a cocessão do fiaciameto. O valor da prestação mesal costate é de R$ 2.668,80. O saldo devedor do empréstimo, após o pagameto da 1 a prestação é, em R$, é igual a 54

55 (A) ,20. (B) ,20. (C) ,00. (D) ,00. (E) ,20. Resolução Repare que a questão ão especificou se a capitalização é a juros simples ou juros compostos. Na verdade, este caso, pouco importa, tedo em vista que o período para o cálculo (1 mês) é igual ao período de capitalização da taxa de juros (1% ao mês). Veja: I. Cálculo com juros simples: Juros Simples: M I = C. (1 + i.t) Capital Aplicado (C) = Fiaciameto Obtido = R$ ,00 Taxa de Juros Simples (i) = 1% ao mês = 1/100 = 0,01 ao mês Período (t) = 1 mês (a questão quer saber o saldo devedor após o pagameto da primeira prestação) M I = x (1 + 0,01 x 1) M I = x (1 + 0,01) M I = x (1,01) M I = Saldo Devedor após o Pagameto da Primeira Prestação (SD): SD = M I Prestação Paga = ,80 = R$ ,20 II. Cálculo com juros compostos: Juros Compostos: M II = C. (1 + i) t Capital Aplicado (C) = Fiaciameto Obtido = R$ ,00 Taxa de Juros Simples (i) = 1% ao mês = 1/100 = 0,01 ao mês Período (t) = 1 mês (a questão quer saber o saldo devedor após o pagameto da primeira prestação) M II = x (1 + 0,01) 1 M II = x (1 + 0,01) M II = x (1,01) M II = Saldo Devedor após o Pagameto da Primeira Prestação (SD): SD = M I Prestação Paga = ,80 = R$ ,20 GABARITO: A 55

56 9.(Assistete de Suporte Técico Nível I - Suporte Técico à Gestão Cotabilidade-Prefeitura/SP-2008-FCC) João depositou R$ 1.000,00 o iício de cada mês durate seis meses cosecutivos à taxa de juros de 24% ao ao com capitalização mesal. José depositou a mesma importâcia também o iício de cada mês pelo mesmo período, mas à taxa de 27% ao ao com capitalização mesal. O motate obtido por José imediatamete após o último depósito foi, este mometo, superior ao de João em R$ 39,68. Sabedo-se que o fator de acumulação de capital (FAC) da taxa efetiva mesal de 2% em 6 meses é 6,30812, o FAC, para o mesmo período correspodete à aplicação de José, foi equivalete a (A) 6,26488 (B) 6,26844 (C) 6,27884 (D) 6,31548 (E) 6,34780 Resolução Vamos resolver a questão por partes: I - João depositou R$ 1.000,00 o iício de cada mês durate seis meses cosecutivos à taxa de juros de 24% ao ao com capitalização mesal. Taxa de Juros (i) = 24% ao ao. Ateção, pois a questão estabelece que a capitalização é mesal, ou seja, 24% ao ao é a taxa omial. Portato, temos que achar a taxa de juros efetiva que é a taxa de juros correspodete ao período de capitalização: 24% == 12 meses X == 1 mês 12. X = 24%. 1 X = 24%/12 = 2% ao mês = 2/100 = 0,02 ao mês Caso quiséssemos calcular o total pago imediatamete após o último depósito (motate de valor futuro), teríamos: Motate = M I Repare que os depósitos ocorrem o iício de cada mês, ou seja: Depósito 1 (mometo 0 ); Depósito 2 (mometo 1 ); Depósito 3 (mometo 2 ); Depósito 4 (mometo 3 ); Depósito 5 (mometo 4 ); Depósito 6 (mometo 5 ). M I = D x Fator de Acumulação de Capital Depósito = D = R$ 1.000,

57 De acordo com a questão: Fator de Acumulação de Capital = 6,30812 (para taxa efetiva de 2% ao mês em seis meses). M I = x 6,30812 = 6.308,12 II - José depositou a mesma importâcia também o iício de cada mês pelo mesmo período, mas à taxa de 27% ao ao com capitalização mesal. Taxa de Juros (i) = 27% ao ao. Ateção, pois a questão estabelece que a capitalização é mesal, ou seja, 24% ao ao é a taxa omial. Portato, temos que achar a taxa de juros efetiva que é a taxa de juros correspodete ao período de capitalização: 27% == 12 meses X == 1 mês 12. X = 27%. 1 X = 27%/12 = 2,25% ao mês = 2,25/100 = 0,025 ao mês Caso quiséssemos calcular o total pago imediatamete após o último depósito (motate de valor futuro), teríamos: Motate = M II Depósito = D = R$ 1.000,00 Repare que os depósitos ocorrem o iício de cada mês, ou seja: Depósito 1 (mometo 0 ); Depósito 2 (mometo 1 ); Depósito 3 (mometo 2 ); Depósito 4 (mometo 3 ); Depósito 5 (mometo 4 ); Depósito 6 (mometo 5 ). M II = D x Fator de Acumulação de Capital = x FAC II De acordo com a questão, o motate obtido por José imediatamete após o último depósito foi, este mometo, superior ao de João em R$ 39,68. Portato, teremos: M II M I = 39,68 M II 6.308,12 = 39, x FAC II = 6.308, , x FAC II = 6.347,80 FAC II = 6.347,80/1.000 FAC II = 6,34780 GABARITO: E 57

58 10.(Assessor-Cotabilidade-MPE/RS-2008-FCC) A taxa omial i ao ao, com capitalização mesal, correspode a uma taxa efetiva aual de (A) (B) (C) (1 + i) 1 1 i (1 + ) 1 12 i ( 1 + ) 1 (D) ( 1 + i) (E) i Resolução Primeiramete, vamos aproveitar para relembrar os coceitos de taxas omiais e efetivas vistos a aula 1: Taxa Nomial: é a taxa defiida para um período de tempo diferete do período de capitalização. Taxa Efetiva: é a taxa correspodete ao período de capitalização. Exemplo: i = 48% ao ao com capitalização mesal. i = 48% ao ao taxa omial i = 48%/12 = 4% ao mês taxaefetiva,tedoemvistaqueacapitalização é mesal. De acordo com a questão: Taxa Nomial = i ao ao (com capitalização mesal) I Cálculo da Taxa Efetiva Mesal: i Taxa Efetiva Mesal == 1ao = 12 meses == 1 mês Taxa Efetiva Mesal x 12 = i x 1 Taxa Efetiva Mesal = i/12

59 Cotudo, repare que a questão deseja saber a taxa efetiva aual. Portato, como todas alterativas são com expoetes, devemos cosiderar que são juros compostos. Nessa situação, teríamos: Valorização = (1 + i) t Período (t) = 12 meses Para calcular a taxa, temos que subtrair 1 da valorização: Taxa Efetiva Aual = (1 + Taxa Efetiva Mesal) t 1 Taxa Efetiva Aual = (1 + i/12) 12-1 GABARITO: C 11.(Aalista Traiee-Cotabilidade-Metrô/SP-2008-FCC) Assumido uma taxa aual de juros de 10% o regime de capitalização composta, o pagameto de um empréstimo de R$ 1.000,00 o fial de um ao após sua obteção é equivalete, em termos de fluxo de caixa, ao pagameto, em R$, de duas prestações auais iguais e sucessivas, vecedo a primeira um ao após a realização do empréstimo (desprezado os algarismos a partir da terceira casa decimal depois da vírgula) o valor de (A) 523,81 (B) 555,55 (C) 568,12 (D) 576,19 (E) 583,47 Resolução A questão defiiu: Juros Compostos M = C. (1 + i) t Taxa de Juros (i) = 10% ao ao Empréstimo Obtido (C) = R$ 1.000,00 De acordo com a questão: o pagameto de um empréstimo de R$ 1.000,00 o fial de um ao após sua obteção é equivalete, em termos de fluxo de caixa, ao pagameto, em R$, de duas prestações auais iguais e sucessivas, vecedo a primeira um ao após a realização do empréstimo (desprezado os algarismos a partir da terceira casa decimal depois da vírgula) o valor de? E Prestações Para calcular o valor das prestações, temos que igualar os ites da liha do tempo acima cosiderado os juros auais. Como são juros compostos, a data de referêcia escolhida ão importa, pois o resultado ão se altera. Para facilitar os cálculos, escolherei a data de referêcia como sedo o mometo 2 (fial do ao 2). Deste modo, teremos: 59

60 P + P x (1 + i) = x (1 + i) 2 P x ( i) = x (1 + 10%) 2 P x ( %) = x (1 + 10%) 2 P x (2 + 0,10) = x (1 + 0,10) 2 P x 2,10 = x (1,10) 2 P x 2,10 = x 1,21 P = x 1,21/2,10 P = 1.210/2,10 P = R$ 576,19 GABARITO: D 12.(Aalista Traiee-Cotabilidade-Metrô/SP-2008-FCC) A taxa mesal equivalete a uma taxa de juros aual de 12% o regime de capitalização composta é (em percetagem): (A) (0,12/12) 100 (B) (12/100/12) 100 (C) (0,12) 1/ (D) [(1,01) 12 1] 100 (E) [(1,12) 1/12-1] 100 Resolução Vamos relembrar o coceito de taxa de equivalete: Taxas Equivaletes: são aquelas referidas a períodos de tempo diferetes que, quado aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo prazo, origiam o mesmo motate. 1 + i eq = (1 + i) t juros compostos 1 + i eq = 1 + i.t i eq = i.t juros simples Ode, i eq = taxa equivalete à taxa de juros i. t = período. Nota: Nos juros simples, as taxas equivaletes são iguais às taxas proporcioais (em valor). Nos juros compostos esta situação ão ocorre. Vamos à resolução da questão: Taxa de Juros Aual = 12% ao ao I Cálculo da taxa de juros mesal equivalete: Período (t) = 12 meses 1 + i eq = (1 + i) t % = (1 + i) ,12 = (1 + i)

61 1,12 = (1 + i) 12 Relembrado o coceito de álgebra: x m = y x = y 1/m Exemplos: x 2 = a => x 3 = a => x 4 = a => 1 x =± a =± a x = a = a x =± a =± a (1,12) 1/12 = (1 + i) 1 + i = (1,12) 1/12 i = (1,12) 1/12 1 Como a questão pede a taxa em porcetagem, devemos multiplicar por 100. Veja um exemplo: i = 0,02 ao mês = 0,02 x 100/100 ao mês (para ão alterar a expressão, devemos multiplicar e dividir por 100) = 2/100 ao mês = 2% ao mês (em porcetagem). i = [(1,12) 1/12 1] x 100 GABARITO: E 13.(Assistete-Cotábil-PBGAS-2007-FCC) João dos Satos fez uma aplicação de R$ ,00 uma istituição fiaceira por dois aos, com capitalização composta aual. Sabedo que a taxa composta de juros aual da aplicação correspodeu a 10%, o motate resgatado pelo ivestidor o vecimeto da aplicação foi de (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 Resolução A questão defiiu: Juros Compostos M = C. (1 + i) t Capital Aplicado (C) = R$ ,00 Período (t) = 2 aos Taxa de Juros Aual (i) = 10% ao ao = 10/100 = 0,10 ao ao Motate = M M = C. (1 + i) t M = x (1 + 0,10) 2 M = x (1,10) 2 M = x 1,21 M = R$ ,00 GABARITO: B 61

62 14.(Especialista em Regulação de Saúde Suplemetar-Ciêcias Cotábeis-ANS-2007-FCC) Um título é resgatado dois aos ates de seu vecimeto segudo o critério do descoto racioal composto a uma taxa de juros compostos de 10% ao ao. Se o valor atual é igual a R$ ,00, o valor correspodete do descoto é de (A) R$ 2.850,00. (B) R$ 3.000,00. (C) R$ 3.150,00. (D) R$ 3.300,00. (E) R$ 3.450,00. Resolução A questão defiiu: Descoto Racioal Composto. Vamos relembrar o coceito: Descoto Racioal, Fiaceiro, Matemático ou Por Detro: é o descoto que determia um valor atual (A d ) que, corrigido as codições de mercado, resulta em um motate igual ao valor omial. N = A. (1 + i r ) t A = N/(1 + i r ) t D r = N A = N - N/(1 + i r ) t = N. [1 1/(1 + i r ) t ] D r = N. [(1 + i r ) t 1]/(1 + i r ) t Ode, D r = descoto comercial i r = taxa de descoto comercial (juros simples) I Cálculo do valor omial utilizado descoto racioal composto: Valor Atual do Título (A) = R$ ,00 Período (t) = 2 aos Taxa de juros compostos (i) = 10% ao ao = 10/100 = 0,10 ao ao A = N/(1 + i r ) t = N/(1 + 0,10) 2 N = x (1,10) 2 N = x 1,21 N = R$ ,00 II Cálculo do descoto racioal: D r = N A = D r = R$ 3.150,00 GABARITO: C 62

63 15.(Especialista em Regulação de Saúde Suplemetar-Ciêcias Cotábeis-ANS-2007-FCC) O custo efetivo do fiaciameto de uma determiada operação realizada em um ao foi de 15,5%. Se a taxa de iflação correspodete a este ao foi de 10%, sigifica que o custo real efetivo referete a esta operação foi de (A) 4,50%. (B) 5,00%. (C) 5,50%. (D) 5,75%. (E) 6,00%. Resolução Mais uma questão de iflação. Realmete, a baca gosta deste tipo de questão: Custo Nomial Efetivo do Fiaciameto = 15,5% ao ao Iflação = 10% ao ao Custo Real = Custo Nomial/Fator de Iflação 1 Custo Real = (1 + 15,5%)/(1 + 10%) 1 Custo Real = (1 + 0,155)/(1 + 0,10) 1 Custo Real = 1,155/1,10 1 Custo Real = 1,05 1 Custo Real = 0,05 Custo Real = 5% ao ao GABARITO: B 16.(Aalista Legislativo-Cotador-Câmara dos Deputados-2007-FCC) Uma dívida o valor de R$ ,00, a data de hoje, deverá ser quitada por meio de duas prestações de valores iguais, vecível a primeira daqui a um ao e a seguda daqui a dois aos. Cosiderado o critério do descoto fiaceiro composto a uma taxa de juros de 20% ao ao, tem-se que o valor de cada prestação é igual a (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 Resolução A questão defiiu: Descoto Fiaceiro (ou Comercial) Composto: Descoto Racioal, Fiaceiro, Matemático ou Por Detro: é o descoto que determia um valor atual (A d ) que, corrigido as codições de mercado, resulta em um motate igual ao valor omial. N = A. (1 + i r ) t A = N/(1 + i r ) t 63

64 Taxa de Juros (i) = 20% ao ao Dívida (D) = R$ ,00 De acordo com a questão: o pagameto da dívida de R$ ,00 será por meio de duas prestações de valores iguais, vecível a primeira daqui a um ao e a seguda daqui a dois aos. D Para calcular o valor das prestações, temos que igualar os ites da liha do tempo acima cosiderado os juros auais. Como são juros compostos, a data de referêcia escolhida ão importa, pois o resultado ão se altera. Para facilitar os cálculos, escolherei a data de referêcia como sedo o mometo 2 (fial do ao 2). Deste modo, teremos: P + P x (1 + i) = x (1 + i) 2 P x ( i) = x (1 + 20%) 2 P x ( %) = x (1 + 20%) 2 P x (2 + 0,20) = x (1 + 0,20) 2 P x 2,20 = x (1,20) 2 P x 2,20 = x 1,44 P = x 1,44/2,20 P = (46.200/2,20) x 1,44 P = x 1,44 P = R$ ,00 GABARITO: A Istrução: Na resolução da questão o 17 utilize a tabela abaixo, que forece os fatores de valor presete (FVP) de séries uiformes, a uma taxa de 2% ao mês, sedo FVP dado por Prestações (1, 0 2 ) 1 (1,0 2 ).0,0 2 Numero de FVP prestações () 1 0, , , , , ,

65 7 6, , , , , , (Aalista Legislativo-Cotador-Câmara dos Deputados-2007-FCC) Um automóvel poderá ser adquirido à vista pelo valor de R$ ,00. O comprador poderá também adquirir o automóvel dado uma etrada o ato da compra e o restate em 10 prestações mesais e cosecutivas, o valor de R$ 2.000,00 cada uma, vecedo a primeira um mês após a data da compra. Utilizado o critério do descoto fiaceiro composto a uma taxa de 2% ao mês, tem-se que o valor da etrada referete à seguda opção que tora iguais os valores presetes das duas opções, a data da aquisição, é (A) R$ 8.675,60 (B) R$ 7.855,20 (C) R$ 7.034,80 (D) R$ 5.526,20 (E) R$ 3.234,80 Resolução A questão defiiu: Descoto Fiaceiro (ou Comercial) Composto: Descoto Racioal, Fiaceiro, Matemático ou Por Detro: é o descoto que determia um valor atual (A d ) que, corrigido as codições de mercado, resulta em um motate igual ao valor omial. N = A. (1 + i r ) t A = N/(1 + i r ) t Vamos à resolução da questão: Repare que a questão deseja saber o valor da etrada, caso um automóvel de R$ ,00 fosse comprado por meio de uma etrada (E) e mais 10 prestações mesais e cosecutivas, o valor de R$ 2.000,00 cada uma, vecedo a primeira um mês após a data da compra. E Valor à Vista Prestações (P) Repare que a questão iforma uma tabela de valores correspodetes ao fator de valor presete. Vamos relembrar: Reda Postecipada: correspode à série uiforme de pagametos periódicos em que o primeiro pagameto ocorre um período após o egócio. 65

66 A A = valor da reda R = valor da prestação = úmero de prestações i = taxa de juros R R R R R R A = i i i i 2 1 ( 1 + ) ( 1 + ) ( 1 + ) ( 1 + ) A partir da fórmula acima, chegaremos ao seguite resultado: ( 1 + i) 1 A = R. i.(1 i) + ( 1 + i) 1 i.(1 + i) Fator de Valor Atual (FVA) ou Fator de Valor Presete (FVP) A = R x FVA Portato, fazedo a equivalêcia de capitais o mometo 0, pois foi iformado o FVP: Valor Fiaciado (A) = Prestação (P) x FVP Há que se ressaltar que, para o cálculo do valor fiaciado, temos que abater o valor dado como etrada: Etrada = x FVP E agora, qual o FVP que devemos utilizar o cálculo? Bom, vamos lá: = úmero de prestações = 10 i = taxa de juros = 2% ao mês FVP dado por (1, 0 2 ) 1 (1,0 2 ).0,0 2. Portato, para = 10: Numero de FVP prestações () 10 8, Etrada = x FVP Etrada = x 8, Etrada = , ,20 = Etrada Etrada = R$ 7.034,80 GABARITO: C 66

67 18.(Agete Fiscal de Redas-Sefaz/SP-2006-FCC) Um capital de R$ ,00 foi aplicado à taxa semestral i, durate 2 aos, com capitalização cotíua, apresetado, o fial do período, um motate igual a R$ ,00. Utilizado l 2 = 0,69 (l é o logaritmo eperiao), tem-se que i é igual a (A) 14,02% (B) 17,25% (C) 30% (D) 34,5% (E) 69% Resolução A questão defiiu: Capitalização Cotíua M = C. e i.t e = úmero eperiao Dado: l (logaritmo eperiao) 2 = 0,69 Capital Aplicado (C) = R$ ,00 Motate (M) = R$ ,00 Período (t) = 2 aos = 4 semestres Taxa de Juros = i% ao semestre M = C. e i.t = x e (i x 4) / = e 4i 4 = e 4i Aplicado o logaritmo eperiao os dois lados da equação: l 4 = l e 4i Nota: l 4 = l 2 2 = 2 x l 2 l e 4i = 4i x l e = 4i x 1 = 4i 2 x l 2 = 4 x i 2 x 0,69 = 4 x i 2 x 0,69/4 = i 0,69/2 = i i = 0,345 ao período = 34,5/100 = 34,5% ao período GABARITO: D 67

68 19.(Aalista-Cotabilidade-Casa da Moeda-2009-Cesgrario) Um ivestidor aplicou a quatia de R$ ,00, por um período de 4 meses, a uma taxa de juros compostos de 3% ao mês. O valor dos juros obtidos essa aplicação, em reais, é (A) 1.165,32 (B) 1.667,79 (C) 1.882,63 (D) 2.003,33 (E) 2.182,83 Resolução A questão defiiu: Juros Compostos M = C. (1 + i) t Capital Aplicado (C) = R$ ,00 Período (t) = 4 meses Taxa de Juros Compostos (i) = 3% ao mês = 3/100 = 0,03 ao mês Nota: Nesta prova, ão foram forecidas as tabelas de matemática fiaceira. Portato, temos que calcular maualmete: (1 + 0,03) 4 = (1,03) 4 = 1, M = C. (1 + i) t M = x (1,03) 4 M = x 1, M = ,63 Juros (J) = M C = , Juros = 1.882,63 GABARITO: C 20.(Ciêcias Cotábeis-BNDES-2009-Cesgrario) O ivestimeto, que proporcioou a um ivestidor obter um motate de R$ ,00 aplicado a uma taxa de juros compostos de 1,5% ao mês, pelo período de seis meses, em reais, foi (A) ,22 (B) ,13 (C) ,46 (D) ,75 (E) ,

69 Resolução A questão defiiu: Juros Compostos M = C. (1 + i) t Capital Aplicado = C Motate (M) = R$ ,00 Período (t) = 6 meses Taxa de Juros Compostos (i) = 1,5% ao mês = 1,5/100 = 0,015 ao mês Nota: Nesta prova, ão foram forecidas as tabelas de matemática fiaceira. Portato, temos que calcular maualmete: (1 + 0,015) 6 = (1,015) 6 = 1, M = C. (1 + i) t = C x (1,015) = C x 1, C = /1, C = ,13 GABARITO: B 21.(Cotador-Fuasa-2009-Cesgrario) A Compahia Trilhos obteve um empréstimo o Baco em que opera, com as características apresetadas a seguir. Prazo de resgate: 2 aos Taxa de juros compostos: 12% ao ao Valor fial a pagar: R$ ,00 Com base esses dados, coclui-se que o valor do empréstimo obtido, em reais, foi (A) ,80 (B) ,11 (C) ,00 (D) ,08 (E) ,99 Resolução A questão defiiu: Juros Compostos M = C. (1 + i) t Empréstimo Obtido = C Motate = Empréstimo a Pagar (M) = R$ ,00 Período (t) = 2 aos Taxa de Juros Compostos (i) = 12% ao ao = 12/100 = 0,12 ao ao Nota: Nesta prova, ão foram forecidas as tabelas de matemática fiaceira. Portato, temos que calcular maualmete: (1 + 0,12) 2 = (1,12) 2 = 1,2544 M = C. (1 + i) t = C x (1,12) = C x 1,2544 C = /1,2544 C = ,08 GABARITO: D 69

70 22.(Técico de Admiistração e Cotrole-Termoceará Cesgrario) Se um empresário aplicar R$ ,00 por um prazo de 3 meses, que taxa mesal de juros compostos precisará obter para dobrar o capital? (A) 25,99% (B) 25,67% (C) 23,33% (D) 22,50% (E) 16,67% Resolução A questão defiiu: Juros Compostos M = C. (1 + i) t Capital Aplicado (C) = R$ ,00 Motate (M) = 2 x Capital Aplicado = 2 x = R$ ,00 Período (t) = 3 meses Taxa de Juros Compostos = i Nota: Nesta prova, ão foram forecidas as tabelas de matemática fiaceira. Portato, temos que calcular maualmete: M = C. (1 + i) t = x (1 + i) / = (1 + i) 3 (1 + i) 3 = 2 Aqui, só os resta testar as opções: As alterativas, em ordem crescete, são: 16,67%; 22,50%; 23,33%; 25,67% e 25,99%. Vamos começar pelos extremos: 1) i = 16,67% (meor taxa) (1 + 16,67%) 3 = (1 + 0,1667) 3 = (1,1667) 3 = 1,59 < 2 Logo, a taxa de juros é maior que 16,67% 2) i = 25,99% (maior taxa) (1 + 25,99%) 3 = (1 + 0,2599) 3 = (1,2599) 3 = 1,9999 = 2 (resposta) i = 25,99% GABARITO: A 70

71 23.(Técico de Admiistração e Cotrole-Termoceará Cesgrario) Uma duplicata o valor de R$ 7.000,00 foi descotada dois meses ates do seu vecimeto, a uma taxa de descoto composta de 2,5% ao mês. O valor do descoto cobrado pelo baco, em reais, foi (A) 345,63 (B) 369,17 (C) 370,01 (D) 371,99 (E) 471,33 Resolução A questão defiiu: Juros Compostos Ateção! A questão ão defiiu o tipo de descoto: para juros compostos, a Cesgrario ão tem um padrão. A maioria das questões que resolvi aqui cosiderou descoto comercial. Cotudo, houve uma questão que cosiderou descoto racioal. Portato, é melhor fazer o cálculo dos dois descotos. Só ão pode haver alterativa para os dois, pois, este caso, a questão será passível de aulação se ão defiir o tipo de descoto. Vamos, iicialmete, calcular o descoto racioal composto: Descoto Racioal, Matemático ou Por Detro: é o descoto que determia um valor atual (A d ) que, corrigido as codições de mercado, resulta em um motate igual ao valor omial. N = A. (1 + i r ) t A = N/(1 + i r ) t D r = N A = N - N/(1 + i r ) t = N. [1 1/(1 + i r ) t ] D r = N. [(1 + i r ) t 1]/(1 + i r ) t Valor Nomial da Duplicata (N) = R$ 7.000,00 Período (t) = 2 meses Taxa de Juros (i D ) = 2,5% ao mês = 2,5/100 = 0,025 ao mês A = N /(1 + i r ) t = 7.000/(1 + 0,025) 2 A = 7.000/(1,025) 2 A = 7.000/1, A = 6.662,70 D r = ,70 = 337,30 (ão há resposta). Vamos verificar se para o descoto comercial composto há resposta. Descoto Comercial ou Por Fora: é um descoto que icide sobre o valor omial (N), período a período. A = N. (1 i D ) t D c = N A = N N. (1 i D ) t = N. [1 - (1 i D ) t ] 71

72 Valor Nomial da Duplicata (N) = R$ 7.000,00 Período (t) = 2 meses Taxa de Juros (i D ) = 2,5% ao mês = 2,5/100 = 0,025 ao mês A = N. (1 i D ) t = x (1 0,025) 2 A = x (0,975) 2 A = x 0, A = 6.654,37 D c = ,37 = 345,63 (resposta da questão) GABARITO: A 24.(Técico de Defesa Aérea e Cotrole de Tráfego Aéreo-Ciêcias Ecoômicas-DECEA-2009-Cesgrario) O valor presete da quatia de R$1.000,00, a ser paga de uma só vez, em 6 aos cotados a partir da data atual, é igual a R$ 1.000/(1.05) 6, se a taxa aual de juros composto for (A) 6% a.a. (B) 5% a.a. (C) 30% a.a. (D) 105% a.a. (E) 1.05% a.a Resolução Se o valor presete é R$ 1.000/(1.05) 6, temos: Valor a ser pago = R$ 1.000,00 Período (t) = 6 aos (1 + i) t = (1,05) 6 = (1 + 0,05) 6 Portato, i = 0,05 ao ao = 5% ao ao GABARITO: B 25.(Técico de Defesa Aérea e Cotrole de Tráfego Aéreo-Ciêcias 3 Ecoômicas-DECEA-2009-Cesgrario) Uma pessoa recebe R$ 100,00, quatia que deverá pagar durate 3 aos, com a taxa de juros composto de 6% a.a. Ao fim do primeiro ao, a pessoa faz um pagameto de R$ 6,00 ao credor, e o mesmo acotece ao fim do segudo ao. No fial do terceiro ao, para liquidar sua dívida, ela deverá pagar, em reais, (A) 94,00 (B) 100,00 (C) 106,00 (D) 112,00 (E) 118,

73 Resolução A questão defiiu: Juros Compostos Taxa de Juros (i) = 6% ao ao = 6/100 = 0,06 ao ao Temos que igualar os pagametos ao valor recebido, trazedo a valor presete 6 6 P P 6 6 P 100 = = i ( 1 + i ) ( 1 + i) 1 + 0,06 ( 1 + 0,06 ) ( 1 + 0, 06) 6 6 P 6 6 P 100 = = + + ( 1, 0 6 ) ( 1, 0 6 ) 2 3 1, 0 6 1, 0 6 1, , P P 100 = 5,66 + 5,34 + = 100 5,66 5,34 1, , P = 89 P= 106,00 1, GABARITO: C 26.(AFRFB-2009-Esaf) No sistema de juros compostos um capital PV aplicado durate um ao à taxa de 10 % ao ao com capitalização semestral resulta o valor fial FV. Por outro lado, o mesmo capital PV, aplicado durate um trimestre à taxa de it% ao trimestre resultará o mesmo valor fial FV, se a taxa de aplicação trimestral for igual a: a) 26,25 % b) 40 % c) 13,12 % d) 10,25 % e) 20 % Resolução I Situação 1: Capital = PV Período = 1 ao Taxa = 10% ao ao Capitalização Semestral = 10%/2 = 5% ao semestre Valor Fial = FV FV = PV. (1 + 5%) 2 => FV = PV. (1,05)

74 II Situação 2: Capital = PV Período = 1 trimestre Taxa = it% ao trimestre Valor Fial = FV FV = PV. (1 + it%) Portato: (1 + it%) = (1,05) 2 = 1,1025 it = 1, =0,1025 it = 10,25% ao trimestre GABARITO: D Abraços e até a próxima aula, Bos estudos, Moraes Juior [email protected] Alexadre Lima [email protected] 74