4. JUROS COMPOSTOS. Mês Juros Montante 1 10% de = , % de = , % de = ,00

Transcrição

1 1.000(110%) 3 tabela 4.3 Matemática Fiaceira com a Calculadora HP -12C JUROS COMPOSTOS 4.1 INTRODUÇÃO 5 10 Vimos o Capítulo 1 que a difereça etre os juros simples e os compostos está a forma de se calcular. Juros simples ão levam em cota a atualização do capital. Em outras palavras, juros simples são calculados com base sempre o pricipal da trasação. Ao cotrário, juros compostos atualizam periodicamete a base de cálculo dos juros. Vamos ilustrar: Uma aplicação de R$ 1.000,00 é feita por três meses a juros de 10% a.m. No regime dos juros simples, calcularíamos 10% de R$ 1.000,00, por três meses: Mês Juros Motate 1 10% de = 1., % de = 1.200, % de = 1.300,00 tabela 4.1 Já o regime de juros compostos, a taxa de 10% deverá icidir sobre o motate do mês aterior: 15 Mês Juros Motate 1 10% de = 1., % de 1. = , % de = ,00 tabela Disso, decorre que uma taxa simples de 10% a.m. eqüivalerá a uma taxa simples de 20% a.b., 30% a.t., etc, bastado uma simples multiplicação. Por outro lado, coverter taxas compostas já ão parece tão simples, pois, como vimos, uma taxa composta de 10% a.m. eqüivale a uma taxa composta de 21% a.b., 33,1% a.t., etc, ão seguido uma lógica liear. No próximo capítulo, os ocuparemos destas coversões. Neste capítulo, estudaremos os procedimetos matemáticos evolvidos os cálculos do sistema composto de juros, a operacioalidade da calculadora HP-12C e procuraremos ilustrar tais tópicos com exemplos tirados do comércio, dos bacos e do mercado fiaceiro FÓRMULA DO MONTANTE COMPOSTO 30 Vamos deduzir a fórmula pricipal do regime composto baseado-os o exemplo dado ateriormete. Seja a aplicação de R$ 1.000,00 a juros compostos de 10% a.m. durate 3 meses. Observe que o motate de cada mês será o motate do mês aterior mais os juros: Mês Motate %x1.000 = 1.000(110%) (110%) 10%(1.000(110%))= 1.000(110%).(110%) = 1.000(110%) (110%) 2 10%(1.000(110%) 2 )= 1.000(110%) 2.(110%)=

2 Matemática Fiaceira com a Calculadora HP -12C Estas maipulações uméricas levaram em cosideração a aplicação do pricípio de cálculo dos juros compostos e também a aplicação de regras de fatoração. Caso o aluo ão as recoheça protamete, procure pelo meos se cocetrar o resultado fial para cada motate: Mês Motate (110%) (110%) (110%) 3 tabela 4.4 Observe que o expoete que aparece acima é igual ao mês em questão, o que faz com que possamos prever os motates para os demais meses: Mês Motate (110%) (110%) (110%) 10 tabela Lembrado que: = pricipal () 10% = taxa de juros ( i ) expoete = prazo (), vamos substituir os úmeros ateriores pelas letras que desigam o que os mesmos represetam: ode: = futuro valor (motate) = presete valor (pricipal) i = taxa percetual de juros = prazo =. 1 i fórmula No caso do sistema simples, trabalhar com os juros é mais cômodo, equato que o sistema composto, trabalhar com o motate é mais imediato, cosiderado as fórmulas matemáticas dos mesmos. A partir de agora, ficará implícito que o regime utilizado o cálculo dos juros será o composto. Isso porque é o sistema mais justo, apesar de em sempre ser o mais usado. Em cotrapartida, quado o regime de juros simples for o utilizado, deixaremos bem claro o euciado dos problemas. Veja um exemplo de utilização da fórmula acima. Calcule o motate da aplicação de R$ 600,00 a juros de 4,5% a.m. durate 7 meses. Solução: Temos as seguites variáveis: = 600,00 i = 4,5% a.m. = 7 meses Note que o prazo coicide com a uidade da taxa de juros. Assim, aplicado a fórmula:

3 Matemática Fiaceira com a Calculadora HP -12C Para realizar tais operações a HP-12C, fazemos: =. 1 = = 816,52 i 4,5 7 Pressioe 4,5 ENTER 0,05 7 y x 1, x 816,52 Quadro Aida este capítulo, aprederemos a calcular este motate a partir dos registradores fiaceiros da calculadora HP-12C. 4.3 EXERCÍCIOS 85 1) Calcule o motate da aplicação de R$ 1.000,00 a juros de 2,8% a.m. durate 9 meses. 2) Qual o motate produzido pela aplicação de R$ 1.200,00 a juros de 4% a.b. durate 9 bimestres? 3) Qual o motate da aplicação de R$ 1.400,00 a juros de 3,5% a.m. durate 2 aos? 4.4 INCOMPATIBILIDADE ENTRE PRAZO E TAXA DE JUROS Nos cálculos dos juros compostos, vamos procurar sempre expressar o período coforme a uidade da taxa de juros e ão o cotrário. Isto é porque a taxa de juros icide sobre o valor atualizado, o que tora a coversão das taxas de juros compostas um cálculo expoecial, equato que a coversão de taxas simples era liear (bastado dividir ou multiplicá-las). Logo, vamos dividir ou multiplicar o período e ão a taxa composta, pois este é covertido da mesma maeira em ambos regimes. O procedimeto de coversão é feito através de multiplicação ou de divisão, coforme passamos de um período uitariamete maior para meor e vice-versa, respectivamete. Por exemplo, 7% a.s. e 3 aos. Começamos, ovamete, pelo período: Um ao são quatos semestres? A resposta, este caso, é direta: um ao são 2 semestres. Logo, temos que multiplicar os aos (3) por 2, o que resulta em 6 semestres. Outro exemplo, 5 meses e taxa de 4% a.t.. Começamos a partir do período e pergutamo-os: Um mês são quatos trimestres? Como a resposta é ivertida, isto é, um trimestre são 3 meses, temos que dividir por 3: um mês é eqüivale a 1/3 = 0,3333 semestre.

4 Matemática Fiaceira com a Calculadora HP -12C EXERCÍCIOS 4) Qual o motate da aplicação de R$ 500,00 à taxa de 40% a.a. durate 9 meses? 5) Qual o motate da aplicação de R$ 2.000,00 a uma taxa de 5,3% a.b. durate 1 ao? 6) Qual o redimeto da aplicação de R$ 3.000,00 a juros de 27% a.a. durate 8 trimestres? CÁLCULO DO PRINCIPAL 115 Quado o valor descohecido for o capital pricipal, podemos utilizar uma fórmula específica como i veremos a seguir. Para isolar o a fórmula, trasferimos o fator 1 que estava multiplicado para o outro lado da igualdade, ode passará a dividir: i =. 1 = i 1 = i 1 fórmula 4.2 Exemplo: Qual o pricipal capaz de gerar um motate de R$ 3.000,00 ao logo de 6 meses aplicado à taxa de 4% a.m.? Solução 1: Aplicação da fórmula específica: 3000 = = 2.370,94 Solução 2: Aplicação da fórmula 4.1: =. 1 i = = = 2.370,94

5 Matemática Fiaceira com a Calculadora HP -12C EXERCÍCIOS ) Qual o pricipal capaz de gerar um motate de R$ 5.000,00 ao logo de 10 meses submetido ao redimeto de 4% a.m.? 8) Qual o capital que deverá ser ivestido a juros de 2,1% a.m. para que possa em 5 meses totalizar R$ 1.000,00? 9) Qual o capital a ser ivestido segudo uma taxa de juros de 3,0% a.m. para que possa totalizar R$ 2.400,00 em 11 meses? 4.8 CÁLCULO DA TAXA Isolar a taxa de juros da fórmula básica exige um pouco mais de cuidados. Partido da fórmula 4.1, passamos o para o lado esquerdo da igualdade: i = = 1 i Agora, passaremos o expoete para o lado esquerdo, lembrado que a operação iversa da poteciação é a radiciação: = 1 i Passaremos o 1 que está somado para dimiuir o lado esquerdo: = Só falta agora passar o que está dividido para multiplicar o lado esquerdo:. 1 = i Ivertedo a equação obtida: i =. 1 i fórmula Exemplo: Qual a taxa de juros mesal da aplicação de R$ 2.000,00 que resultou em juros de R$ 500,00 em 8 meses? Solução: = 2000 = 8 meses = = 2500 Aplicado a fórmula específica: i = i = 2,83% a.m. 170

6 Matemática Fiaceira com a Calculadora HP -12C 42 Para calcular o resultado da fórmula a HP-12C, digitamos: Pressioe 500 ENTER ,25 8 1/x y x 1,03 1-0,03 x 2,83 Quadro EXERCÍCIOS ) Qual a taxa de juros mesal da aplicação de R$ 3.000,00 que resultou em juros de R$ 1.000,00 em 12 meses? 11) O capital de R$ 400,00 foi aplicado durate 5 meses e redeu juros de R$ 90,00. Qual a taxa mesal desta aplicação? 12) O capital de R$ 800,00 foi submetido a uma aplicação e resultou em motate de R$ 944,00 após 7 meses. Qual a taxa mesal da aplicação? CÁLCULO DO PERÍODO Para se isolar o da fórmula básica, é ecessário utilizar o coceito de logaritmo. No quadro da págia seguite, temos iformações adicioais sobre este assuto. A fórmula do prazo, após algus passos algébricos, é: 190 LN = i LN 1 fórmula ode: LN = logaritmo atural ou eperiao Logaritmo é uma palavra que sigifica expoete. Assim, o logaritmo de 49 a base 7 é 2, porque o expoete que elevamos à base 7 para dar 49 é 2. Matematicamete: 2 7 = 49 log 7 49 = 2 Percebemos, etão, que o logaritmo é, o míimo, uma maeira de isolarmos o expoete uma igualdade. Uma base bastate utilizada em aplicações da matemática é aquela que utiliza como base o úmero e, cuja aproximação é 2,7183. O logaritmo esta base é chamado logaritmo eperiao e é deotado coforme abaixo: log e x = l x Ates do adveto das máquias de calcular, os logaritmos prestaram grade apoio aos cietistas do passado, pricipalmete por causa de suas propriedades otáveis. É possível com logaritmos trasformar multiplicações em somas e divisões em subtrações, o que represeta uma excelete vatagem operacioal. Estas propriedades também auxiliam a dedução de fórmulas matemáticas. As pricipais são: log (x. y) = log x log y log (x / y) = log x log y log x =. log x

7 Matemática Fiaceira com a Calculadora HP -12C fórmulas 4.5 As bases foram omitidas, mas estas propriedades são válidas para todas as bases (iclusive a base e). Exemplo: Qual o prazo do ivestimeto de R$ 400,00 que redeu R$ 61,17, sabedo que a taxa foi de 2,4% a.m.? 225 Solução: Usado a fórmula específica: Para calcular a expressão acima: LN = i LN 1 LN = LN 1 461,17 400,00 2,4 = 6 meses 230 Pressioe 461,17 ENTER 400 1,15 g LN 0,14 2,4 ENTER 1 1,02 g LN 0,02 6,00 Quadro EXERCÍCIOS ) Qual o prazo de uma aplicação de R$ 3.000,00 que totalizou R$ 3.978,71 sob taxa de 2,60% a.m.? 14) Qual o prazo capaz de trasformar o capital de R$ 300,00 em R$ 400,00 submetido à taxa de 1,5% a.m.? 15) Qual o prazo de um ivestimeto de R$ 1.000,00 que redeu juros de R$ 250,00, sabedo que a taxa aplicada foi de 3,1% a.m.? 16) Qual o prazo da aplicação de R$ 500,00 que totalizará R$ 800,00 quado submetido à taxa de 45% a.a.? 17) Qual o prazo capaz de dobrar um capital quado submetido a juros de 50% a.a.? 4.12 NA CALCULADORA HP-12C Os registradores fiaceiros a serem usados aqui são as teclas superiores esquerdas do teclado da máquia:, i, e : 245

8 Matemática Fiaceira com a Calculadora HP -12C 44 figura Temos que iformar três destes valores e digitar a quarta tecla para obter a resposta. O período de e da taxa i devem coicidir em uidade, ao cotrário do que era feito para juros simples, ode o período era ecessariamete em dias e a taxa aual. Para recuperar um valor dos registradores fiaceiros, pode-se usar a tecla RCL (recupera). Exemplo: Qual o motate da aplicação de R$ 900,00 durate 8 meses sob taxa de 1,43% a.m.? Solução: Vamos lembrar a otação em diagrama de fluxos de caixa: gráfico 4.1 Precisamos iformar à máquia os valores cohecidos: = i = 1,43 = 8 Note que aparece egativo já que a HP-12C diferecia valores positivos e egativos: Um valor é positivo quado represeta uma etrada de capital; é egativo quado represeta uma saída de capital. Num ivestimeto, para o ivestidor, será sempre egativo, equato que será sempre positivo, sucededo-se o oposto para o tomador do diheiro. 270 Pressioe f CLEAR FIN (matido) 900 CHS -900,00 1,43 i 1,43 8 8, ,26 Quadro 4.4 Outro exemplo: Qual a taxa de juros a que deverá ser submetido um capital de R$ 500,00 para que o mesmo reda R$,00 de juros em 7 meses de aplicação? Solução: Fazedo a otação em diagrama de fluxos de caixa: figura 4.2

9 Matemática Fiaceira com a Calculadora HP -12C Note que deverá ser digitado egativo equato que é positivo: Pressioe f CLEAR FIN (matido) 500 CHS -500, ,00 7 7,00 i 2,64 Quadro Logo, a taxa é de 2,64% a.m., pois sua uidade sempre cocordará com a uidade do prazo (este caso, meses). Uma curiosidade da HP-12C é que, ormalmete, para períodos fracioários, a mesma calcula os juros como sedo simples. Assim, um ivestimeto de R$,00 durate 2,5 meses à taxa de 10% a.m. os dá um motate de R$ 127,05: Pressioe f CLEAR FIN (matido) CHS -,00 10 i 10, ,50 127,05 Quadro Ao forecer o prazo de 2,5 meses, iicialmete, a HP-12C etede que serão 2 meses de juros compostos, o que trasforma osso capital em R$ 121,00:,00 110,00 121,00 Usado o capital de R$ 121,00, a HP-12C aplica agora juros simples para o restate do prazo (fracioário) : 10% a.m. em juros simples eqüivalem a 5% em 0,5 mês ou 15 dias: 121,00 5% = 127,05. Este procedimeto é usado os EUA e é chamado coveção liear para períodos fracioários. No etato, o Brasil, o mesmo ão é usado e, mesmo para prazos fracioários, cosidera-se o regime composto. Para modificar a máquia este setido, você deverá pressioar as teclas STO EEX, ocasião em que aparecerá a letra C permaetemete o visor de sua máquia. Você otará que, mesmo desligado a máquia, o idicador C ão será esquecido. Para retorar à codição americaa, pressioe ovamete as teclas STO EEX. Nos exercícios, só iremos utilizar a coveção liear quado explícito o problema, já que estamos o Brasil, exceto, quado explícito estiver o cotrário. Cotiuado o exemplo do quadro aterior: Pressioe STO EEX (aparece o C) 126,91 Quadro Este resultado pode ser cofirmado pela fórmula 4.1 do motate composto. Outra característica da HP-12C é que a mesma ao calcular prazos e, caso estes teham partes decimais, o resultado será o iteiro seguite. Assim, se um prazo resultou em 3,2 meses, a calculadora mostrará 4 meses. Esta cosideração é útil quado ão houver a possibilidade de o redimeto ser dado uma uidade meor, por exemplo, taxa em meses e prazo em dias. No etato, quado isso ão for o caso, vamos preferir a fórmula 4.4 apresetada ateriormete, que faz uso de logaritmos eperiaos.

10 Matemática Fiaceira com a Calculadora HP -12C Podemos, aida, laçar mão do recurso de programação da calculadora HP-12C, o que foge ao objetivo deste livro, mas poderá ser ecotrado em detalhes o livro Curso Completo de Calculadora HP-12C EXERCÍCIOS ) Qual é o motate da aplicação de R$ 450,00 a juros de 3,5% a.m. durate 8 meses? 19) Qual é o redimeto da aplicação de R$ 450,00 a juros de 3,5% a.m. durate 8 meses? 20) Qual o pricipal capaz de gerar um motate de R$ 3.400,00 em 6 meses sob taxa de 2,34% a.m.? 21) Certa quatia foi ivestida durate 7 meses sob a taxa de 2,99% a.m. e resultou em R$ 6.145,19. Descubra o valor de tal quatia. 22) Uma loja aucia que seus produtos podem ser comprados à vista ou em 30 dias sem acréscimo. No etato, um cliete coseguiu do gerete um descoto de 10% sobre o valor para pagameto à vista. Qual é a taxa de juros a ser paga caso comprasse em 30 dias? 23) Uma pessoa precisa de R$ 1.000,00 e estuda três alterativas de pagameto: (A) Uma úica parcela de R$ 1.,00 daqui a 1 mês. (B) Uma úica parcela de R$ 1.600,00 daqui a 5 meses. (C) Uma úica parcela de R$ 1.900,00 daqui a 7 meses. Qual delas tem a maior taxa de juros e em qual delas pagam-se juros maiores? 24) Um ivestidor comprou um título o mercado fiaceiro cujo prazo era de 3,5 meses e valor omial R$ 500,00. Se o valor egociado foi de R$ 400,00, calcule: a) a taxa mesal simples de seu ivestimeto; b) a taxa composta de seu ivestimeto 25) Uma duplicata de valor omial igual a R$ 1.000,00 é descotada com 1 mês ates do vecimeto sob juros simples de 7% a.m. Se o baco ode se fez o descoto cobra R$ 6,00 por título e R$ 10,00 por borderô como tarifas admiistrativas, calcule as taxas mesais de ivestimeto: a) simples; b) composta. 26) Qual o capital a ser ivestido de modo que, aplicado a juros de 2% a.m., reda em 5 meses R$ 93,67? 27) Qual o capital que, ivestido a 3% a.m. em 11 meses, capitalizou juros de R$ 768,47? 28) Uma aplicação de R$ 2.400,00 é feita à taxa de 3,13% a.m. de juros, durate 6 meses. Após isso, serão descotados 20% dos redimetos brutos para o Imposto de Reda (IR). Determiar: a) o redimeto bruto; b) o valor descotado para o IR; c) o gaho do ivestidor, expresso em taxa de juros mesal, descotado o imposto. 29) Calcule o motate resgatado por uma aplicação de R$ 3.400,00 à taxa de 3,05% a.m. de juros, durate 7 meses, sabedo que icidem 20% de imposto de reda sobre os redimetos brutos e 0,38% de CPMF sobre o saque fial do diheiro. Qual o gaho do ivestidor, descotados IR e CPMF? 30) Repetir o problema 28 supodo que o imposto de reda fosse recolhido atecipadamete e que fosse pago à parte. 31) Repetir o problema 29 supodo que o imposto de reda fosse recolhido atecipadamete e que fosse pago à parte. 32) Um ivestidor sabe que, um tipo específico de aplicação, terá que pagar 15% sobre os redimetos para o IR. Qual o prazo, etão, que deverá aplicar seu diheiro para que o mesmo gere um motate líquido igual ao dobro do que aplicou, se a taxa de juros ao mês for de 4%? 33) Repetir o problema aterior, caso o IR fosse de 10% sobre os redimetos líquidos. 34) Repetir o problema 32, caso o IR fosse de 20% sobre os redimetos líquidos

11 Matemática Fiaceira com a Calculadora HP -12C RESPOSTAS ) R$ 1.282,15 2) R$ 1.707,97 3) R$ 3.196,66 4) R$ 643,53 5) R$ 2.726,47 6) R$ 1.838,70 7) R$ 3.377,82 8) R$ 901,30 9) R$ 1.733,81 10) 2,43% a.m. 11) 4,14% a.m. 12) 2,39% a.m. 13) 11 meses 14) 19 meses e 10 dias 15) 7 meses e 10 dias 16) 1 ao, 3 meses e 6 dias 17) 1 ao, 8 meses e 16 dias 18) R$ 592,56 19) R$ 142,56 20) R$ 2.959,42 21) R$ 5.000,00 22) 11,11% a.m. 23) a- i = 10,00% a.m. e J = R$,00 b- i = 9,86% a.m. e J = R$ 600,00 c- i = 9,60% a.m. e J = R$ 900,00 Maior taxa, alterativa a. Maiores juros, alterativa c. 24) a- 7,14% a.m. b- 6,58% a.m. 25) a- 9,41% a.m. b- 9,41% a.m. 26) R$ 899,97 27) R$ 2.000,18 28) a- R$ 487,50 b- R$ 97,50 c- 2,54% a.m. 29) motate = R$ 4.021,30 gaho do ivestidor = 2,43% a.m. 30) a- R$ 487,50 b- R$ 97,50 c- 2,45% a.m. 31) motate = R$ 4.179,86 gaho do ivestidor = 2,32% a.m. 32) 19 meses e 25 dias 33) 19 meses e 2 dias 34) 20 meses e 21 dias