1.1. Ordem e Precedência dos Cálculos 1) = Capítulo 1

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1 Capítulo. Aritmética e Expressões Algébricas O estudo de cálculo exige muito mais que o cohecimeto de limite, derivada e itegral. Para que o apredizado seja satisfatório o domíio de tópicos de aritmética e álgebra é essecial. Soma de fração, poteciação e até mesmo produtos otáveis podem passar despercebidos pelos aluos que estudaram o esio fudametal há algum tempo e ão lembram. Este capítulo aborda tais assutos de forma sitética e com exemplos detalhados para melhor etedimeto do leitor. Ao fim do capítulo o leitor será capaz de realizar as operações aritméticas e algébricas, tais como poteciação e radiciação, resolver problemas de logaritmo utilizado suas propriedades, aalisar problemas com módulo e recohecer poliômios... Ordem e Precedêcia dos Cálculos Sempre que você se deparar com uma expressão umérica para resolver, é ecessário respeitar a seguite ordem de prioridade: a) Agrupametos prévios pelo uso de traço de frações, radical, parêteses, chaves e colchetes. No caso de agrupametos com múltiplos por parêteses resolver do itero ao extero; b) Poteciação e radiciação; c) Multiplicação e divisão; d) Adição e subtração. )

2 Note que este exemplo ão existem parêteses, chaves ou colchetes, portato a ordem de resolução deve ser primeiramete multiplicação e/ou divisão e depois as somas e subtrações. Nos exemplos 2 e, com a preseça de parêteses, as operações detro dos parêteses têm prioridade. De forma semelhate, o exemplo, com a preseça do radical, este deve ser resolvido primeiro. 2) ( 2 + ) (5 + ) ) (( 2 + ). 2 6 ). (5 + ) 2 ( ). 8 ( 6 ) ) Operações com Números Fracioários.2. Soma e Subtração Para a soma ou a subtração de duas frações deve-se observar se os deomiadores são iguais ou diferetes. Os procedimetos de cálculo variam de acordo com os deomiadores apresetados Deomiadores iguais

3 Neste caso, os umeradores devem ser somados ou subtraídos, de acordo com os siais operatórios, e o valor do deomiador matido. ) ) ) ) Deomiadores diferetes Neste caso, deve-se determiar com atecedêcia o míimo múltiplo comum (m.m.c.) etre todos os deomiadores das frações evolvidas, de modo a igualar os deomiadores e aplicar a regra acima. Exemplo: ) 2 + 9? Solução: O MMC é obtido a partir da fatoração simultâea dos deomiadores, como segue abaixo:, 2 2, 2,,

4 O MMC etão é igual a 2. Prossegue-se adotado o MMC como deomiador comum para as duas frações. Novos umeradores são obtidos para ambas as frações dividido-se o MMC pelo atigo deomiador e multiplicado este resultado pelo atigo umerador, como exemplificado a seguir: 2 9 (2 ) 2 (2 ) ) ? Solução: 5,9,2 2 5,9,6 2 5,9, 5,, 5,, 5,, (80 5) 2 (80 9) 8 (80 2) (80 9) 8 (80 2) OBS: Para efetuar a soma de frações com deomiadores diferetes podemos utilizar qualquer múltiplo comum. A forma mais simples de ecotrar um múltiplo comum é multiplicar todos os deomiadores. ) (9. 2). 2 + (5. 2). 8 (5. 9)

5 Multiplicação de Frações O produto de duas ou mais frações é o produto dos seus umeradores dividido pelo produto dos seus deomiadores. Observe que, os exemplos abaixo, ós simplesmete multiplicamos umerador por umerador e deomiador por deomiador. Em certos casos, é possível simplificar. ) ) ) (5. ) (. ). 2 (. 5 ) ) 0. ( ) (5 ) ( )

6 .2.. Divisão de Frações No caso de divisão etre frações procede-se multiplicado a primeira fração pelo iverso da seguda: a b c a b c d a b d a d c b c d ) ) ) ) Nos casos acima a primeira fração deve ser matida e é multiplicada pela iversa da seguda fração... Expressões Algébricas Recebe o ome de expressão algébrica a expressão matemática a qual se faz uso de letras, úmeros e operações aritméticas. As letras costituem a parte variável da expressão, pois elas podem assumir qualquer valor umérico. Cotiuam válidas todas as regras da aritmética. ) 2 x 7 x x. (2 x). 7. x 2 x2 2 x

7 2) 2 x + y x x y y. (2 x + y) x. ( x) 2 x y + y2 x 2 x. y x y Observe os exemplos que os deomiadores são diferetes, portato fazemos o MMC etre eles, como estamos em um caso algébrico o MMC é, simplesmete, a multiplicação etre eles. É comum ecessitar simplificar as expressões algébricas para a resolução de problemas. Técicas como agrupameto, evidêcia do fator comum, etc., são ormalmete adotadas para a simplificação e/ou fatoração das expressões. Utilize as técicas de agrupameto e evidêcia dos fatores comus para simplificar as expressões algébricas abaixo: ) x + 2 y x + y (x. x) + (2. y + y) x( ) + y (2 + ) 2 x + y Nesse exemplo foram agrupados todos os termos com x em um parêteses e todos os termos com y em outro. Quado as operações são algébricas podemos somar ou subtrair termos semelhates, esse caso x e x são semelhates, logo podemos subtraí-los. 2) x + 2 y (x + y) x + 2y + ( ). (x + y) x + 2 y + ( x y) (x x) + (2 y y) x( ) + y(2 ) 2 x y ) x (2 y x + y ) x (2 y + y x) x ( y x) x + x y x y

8 ) x + 2 (y ( x + y)) x + 2 ( y + ( ) (x + y)) x + 2 ( y + ( x y)) x + 2 ( y y x) x + 2( x) x 6x 5x A fatoração cosiste em represetar um úmero ou uma expressão algébrica como produto, respetivamete, de outros úmeros ou de outras expressões algébricas. ) 6 a b 2 b 6 b (a 2) 2) 9 x x y x ( y) ) a x + b x + a y + b y x(a + b) + y (a + b) (a + b) (x + y).. Simplificação de Frações Algébricas Para simplificar frações algébricas devemos seguir a seguite regra: fatorar o umerador e o deomiador e assim, dividir o umerador e deomiador em seus fatores comus. Fique ateto: Só podemos simplificar os fatores (termos) que estejam multiplicado tato o umerador quato o deomiador. 2x y 2 (x 2y) ) 2 2x 2 x 2 x 2y x 2y x x a x + b x x (a + b) 2) a + b a + b x 2y x a + b x x x a + b

9 .. Poteciação A poteciação equivale a uma multiplicação de fatores iguais. Podemos dizer também que é a quatidade de vezes que o úmero será multiplicado por ele mesmo. De um modo geral, sedo a um úmero real e um úmero atural 2 defiimos: a a a a p ( vezes o fator a) a p Ode: a base; expoete; p potêcia ) ) ( 2) 2 ( 2) ( 2) ) 27 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 27 Um erro muito comum ocorre quado o aluo cofude e ao ivés de multiplicar o um úmero vezes por ele mesmo acaba multiplicado a base pelo expoete. Não esqueça também de fazer o jogo de siais.... Propriedades Cosidere a e b úmeros reais ão ulos, e m iteiros: ) Potêcia de expoete ulo e igual a : 2) Potêcia de base igual a : a 0 e a a ) Potecia de expoete egativo: a a ) Multiplicação de potêcias de mesma base: a. a m a +m 5) Divisão de potêcias de mesma base:

10 a a m am 6) Multiplicação de potêcias de expoetes iguais: a. b (a. b) 7) Divisão de potêcias de expoetes iguais: a b (a b ) 8) Potêcia de uma potêcia: (a ) m (a).m Nos exemplos a seguir, observe o uso das propriedades da potêcia as expressões. ) 2) ( ) 2 + ( 2 ) ( ) ( ) 2 ( 7 ) ( ) 2 ( 7 ) ( ) 2 ( 7 ) ( ) 2 7 ( ) 9 ( 27 ) 6 27

11 ) x y ( x y) 2 x y (x y) 2 x y x 2 y 2 x 2 y 2 x y x y ) (x + x2 x ). x x. x + x2. x x x + x 2 ( ) x 0 + x 2 x 2 + 5) 2 x x. 6x ( 2. 6) x ( 2 ) x x (2 2 ) x 2 2x 7) ( a2 b ). a + b a.2. a + b b. a 6. a b 9 + b a 5 + b b 9 b 9 a 5 + b b9 + a 5. b a 5 6) 2 x 2x 2 x. 2x 2 x. ( 2 ) x 2 x. 9 x (2. 9) x 8 x 8) a 2. ( a b ). a b 2 a 2. a b. a b 2 a 2. a. a b. b 2 a2 + b +2 a 0 b b b b

12 Nos exemplos abaixo, determie o valor de x: 9) x 9 x 2 x 2 0) ) 2 x + 2 x+ 2 2 x + 2 x x ( + 2 ) 2 2 x 2 2 x 2 2x 8 2 x 2 x 6 x x 6 x 5 6 x x 6 6x 5 6 x x x x ( + 0 6) x ( 5) x 6 6 x 6 2 x 2.5. Radiciação A radiciação é uma operação matemática iversa da poteciação, ou seja, se a b etão b a Ode o símbolo é o radical; 0; a radicado; braiz; ídice. ) 2) 6 b b 6 b (2) b 2 Logo 6 2

13 27 b b 27 b ( ) b logo 27 ) 6 b b 2 6 Como ão existe um úmero que elevado a um expoete par seja um úmero egativo etão 6 ão existe o cojuto dos úmeros reias Obs: Não existe raiz de um radicado egativo se o ídice for par..5.. Propriedades Sejam 0 e m 0 ) Raiz de radicado ulo: 0 0 2) Raiz de ídice uitário ulo: a a ) Produto de radicais de mesmo ídice: a. b. c a. b. c ) Divisão de radicais com mesmo ídice: 5) Potêcia de uma raiz: a b a b ( a) m a m 6) Raiz elevada a expoete igual ao seu ídice: ( a) a

14 7) Raiz de uma raiz: m a.m a 8) Multiplicação de raiz por uma costate a b a b A raiz é apeas uma forma de represetar a poteciação com expoete fracioário. Assim, toda raiz pode ser escrita em forma de potêcia como: a m a m ) Utilizado as regras da poteciação, demostre as seguites regras da radiciação: a) b) a a a a a a c) a d). b. c a. b. c a. b. c (a. b. c) a. b. c ( a) m a m ( a) m (a ) m a.m a m a m e) m a.m a

15 a.m m a.m a m a (a m ) a. m Nos exemplos abaixo calcule as raízes idicadas: 2) ( ) ( ) ) 6 5 ( ) Simplifique as expressões abaixo, cosiderado a > 0 ) a. a a 2. a 2 a a a 5) a. a a. a a + a 2 a 2 6) a. a 2 a. a 2 a +2 a a 7) ( a ) (a 2) a. 2 a 9 2 a 9 a 8. a a a.6.racioalização de deomiadores Racioalização de deomiadores é o processo para a obteção de uma fração com deomiador racioal equivalete a

16 uma aterior que possuía um ou mais radicais o deomiador. Ou seja, é elimiação do radical do deomiador. A técica cosiste em multiplicar os termos desta fração por uma expressão com radical, deomiada fator racioalizate. Caso: O deomiador é um radical de icide 2 (raiz quadrada) Neste caso o deomiador tem a forma a. O fator racioalizate de a é a pois: a a a 2 a 2 a a a ) ) ) a a a a a a a a 2 a 2 a 2 a5 6 6 a a5 a 2 Caso: Quado o deomiador há um úmero somado ou dimiuído à uma raiz quadrada

17 Neste caso o deomiador tem as formas: a + b ou a b O fator itegrate de (a + b) é (a b) e o fator itegrate de (a b) é (a + b) pois: (a + b) (a b) a a a b + a b b b a 2 b ) 2) ) ( 5) 5 2 ( 5 5) (2 + ) a b a + b a b a + b ( a b) ( a b) ( a + b) ( a b) a b a b a a b a b a + b2 a 2 b a + b2 ( a) 2 b 2 a b 2 Caso: O deomiador é um radical de ídice geérico

18 Neste caso o deomiador tem a forma a. O fator racioalizate de a é a a pois: a a a a a ( + ) a + a a a ) ) ) ( ) (2 + 2) (+ ) + 5 Caso: O deomiador é um radical de icide geérico e radicado elevado a uma potêcia geérica m Neste caso o deomiador tem a forma a m com m < O fator racioalizate de a m é a m a m pois:

19 a m a m ) ) 7 a m a m a (m + m ) a m+ m a a ( ) ( +2 ) Logaritmo O logaritmo de um úmero positivo a a base b, positiva e diferete de, é o expoete c que se deve elevar b para obter a. ode a > 0, b > 0 e b. se log b a c etão c logaritmo; b base; a logaritmado. b c a A otação do logaritmo decimal, de base igual a 0, é: log a log 0 a A otação do logaritmo atural, de base igual ao úmero de Euler e , é: l a log e a

20 Nota: Não devemos cofudir logaritmo atural e logaritmo eperiao. Algumas vezes ambos são tratados como siôimos, mas a verdade o logaritmo eperiao refere-se a um logaritmo a base e. ) log 00 x 0 x 00 0 x 0 2 x 2 2) log 0, x 0 x 0, 0 x 0 x ) log 2 x 2 x 2 x 2 2 x 2 ) log 2 ( 2 ) c 2c 2 2c 2 5 2c 2 5 c 5 5) log x x x 0 c 0 6) log (2 2) x ( ) x 2 2 ( 2 2) x (2 2 ) x 2 (+ 2 ) 2 2x 2 2 2x 2 x 2 7) l e c ec e ec e c 8) l e c e c e e c e c 9) Calcule o valor de log, usado a defiição de logaritmo e as aproximações: 2 0 0,0 e 7 0 0,85. Solução:

21 log, x 0 x, 0 x 0 0 x x x 0 0,0 0 0, x 0 0,0+0,85 0 x 0 0,6 x 0,6 log, 0,6.7.. Propriedades ) Logaritmo de em qualquer base b é 0. 2) Logaritmo da base é. ) Logaritmo de um produto ) Logaritmo de um quociete 5) Logaritmo de uma potêcia log b log b b 0 0 log b b log b b log b (a. c) log b a + log b c log b ( a c ) log b a log b c log b a log b a 6) Mudaça da base b para a base c log b a log c a log c b 7) Igualdade de logaritmos de mesma base se log b x log b y etão x y 8) Relações etre potêcias e logaritmos de mesma base. log b b a a e b log b a a

22 ) log(0, 0) log 0, + log 0 log0 + log ) log 2 ( 6 ) log 2 log 2 6 log log ) 2 log 2 ) log 2 (2 2 ) log log 2 2 log log ) e l x e l x x 6) l(a) + l(b) l (e) l ( a b e ) Resolva as equações abaixo: 7) log 2 x Solução: ( 2) x x ( 2) x 2 x 2 2 x ) l x 2 Solução: x 2 l x 2 e2 x x e 2 9) 2 log 2 x log 2 Solução: log 2 x 2 log x 2 x 2 ou x 2, pois ( 2) 2 (2) 2

23 Como o logaritmado x ão pode ser egativo, só x 2 é solução da equação. 0) e x+8 Solução: e x+8 Para isolar a variável x a equação é ecessário aplicar o logaritmo l os dois lados da equação, etão: l(e x+8 ) l ( ) x + 8 l l x l x 8 l 8 l x x 2 l.7.2. Equação Logarítmica A equação do tipo log a f(x) α é uma igualdade etre um logaritmo e um úmero real. E para resolvê-la, basta aplicar a defiição do logaritmo. Exemplo: Se 0 < a e α R, etão log a f(x) α f(x) a α ) Resolver a equação log 2 (x + ) Solução: log 2 (x + ) x + 2 x 6 x 5 x 5 5, S {5}

24 .8. Módulo A todo úmero real x associa-se um valor absoluto, também chamado de módulo, represetado por x defiido por: x, se x 0 x { x, se x < 0 O módulo de um úmero positivo ou ulo é o próprio úmero ; 0 0 O módulo de um úmero egativo é o oposto dele mesmo ( ) ; 5 ( 5 ) 5 De acordo com a defiição acima, para todo x R tem-se x 0, ou seja, o módulo de um úmero real é sempre positivo ou ulo. Geometricamete, o módulo um úmero real é, a reta umérica, a distâcia etre este úmero e a origem O úmero -2 está a 2 uidades de medida à esquerda da origem. Assim, sua distâcia à origem é 2. Dizemos, etão, que o módulo ou valor absoluto de -2 é 2, idicado por 2 2. O úmero está a uidades de medida à direita da origem. Assim, sua distâcia à origem é. Dizemos, etão, que o módulo ou valor absoluto de é, idicado por. R

25 Se cosiderarmos dois úmeros reais x e y associados aos potos X e Y a reta real, etão x y correspode a distâcia etre os dois potos..8.. Propriedades ) x 0 2) x x ) x. y x. y ) x/y x / y com y 0 5) x y se e somete se x ± y 6) x { x se for par x se for impar ; x R Observação: x ± y x ± y ) De acordo com a defiição e as propriedades do módulo, calcule: a) b) ( ) 2 c) ( )

26 d) 2 x + quado x x 2 ( ) Lista de Exercícios Aqui estão questões relacioadas ao capítulo estudado. É importate o esforço para resolver todas as questões. Em caso de dúvidas, os moitores do programa estarão protos para lhe ajudar. Bos estudos! ) Determie 2 + ( 5 ) ( )

27 2) Qual valor da expressão E(x) +, para x +? + 2 +x ) Ecotre o valor de A x y ) Se A A. xy, + + A x e y, etão determie o valor de 5 2 5) Determie o valor umérico da expressão para a 5 e x 5. ax x a x a 6) Qual o valor de m ( )( )? 7) Aplicado as propriedades das potêcias, simplifique as expressões: 2 a) b) c) d) ) Calcule o valor das expressões: a) 8 6 ( 2) 27 b) c). (0,5) 0,25 8 9) Simplifique os radicais 2

28 a) 6 b) 576 c) 2 d) 2 7 e) 2 0) Simplifique as expressões: a) b) c) a ab + b a b + a b ab ab ) Efetue as operações: a). 2 b) 2. c) 2 2 d) 2 e) ( ). f) ( + 2). (5 2) g) (5 2 ) 2 h) i) ) Qual o valor que se obtém ao subtrair 5 de 2? ) Calcule o valor da expressão:

29 2(x 2 y). (x 2 y ) x²y² ) Simplifique, sedo a. b 0 (a..b 2 )³ a) (a.b 2 )² b) (a.. b ). (a 2. b)² 5) Calcule o valor das expressões: a) 2 ( 2) 2 +( 2) b) c) ( 2 )2.( 2 ) [( 2 )2 ] 6) Cosiderado de x e y são respectivamete: a) 2 7 e /9 b) 2/5 e /25 c) 2/5 e 8/ d) 5/8 e /6 e) 8/5 e 6/ 6 x e 9. 6 y , os valores 7) Seja a) 2/5 b) /5 c) 5/9 m 2 5..O valor de m é igual a

30 d) 0/9 8) Racioalize o deomiador de cada expressão abaixo: a) b) 2 c) 2 xy d) 5 x 2 y e) f) g) 2 2 h) 2 i) j) ) As idicações R e R2, a escala Richter, de dois terremotos estão relacioadas pela fórmula R R2 log 0 M M2 Em que M e M2 medem a eergia liberada pelos terremotos sob a forma de odas que se propagam pela crosta terrestre. Houve dois terremotos: um correspodete a R8 e outro correspodete a R26. Calcule a razão M M2

31 20) Calcule o valor de S: S log (log 9) + log 2 ( log 8 ) + log 0,8 ( log 6 2) 2) Determie o valor de x a equação y 2 log (x+) para que y seja igual a 8. 22) Calcule o valor de a) log 2 b) +log c) 9 2 log 2 2) Desevolva aplicado as propriedades dos logaritmos (a, b e c são reais positivos) a) log 2 2ab c b) log a³b² c 2) Se log2 a e log b, coloque em fução de a e b os seguites logaritmos decimais: a) log 6 b) log c) log 0,5 d) log 5 e) 25) Calcule o log 2 6 em fução de x e y, sabedo que o log 27 6 x que o log 27 y.

32 26) Resolva as equações: a) log (x + 2) log (2x + 5) b) log 5 (x ) 27) Sejam a 0, b 2 e c 5, calcule as expressões: a) a 2. b b) a c 2 c) c 2 d) c

33 ) 2) ) GABARITO ) 2 9 5) 5 6) 8 7) a) 2, b) 287, c) 625, d) 8) a) 5, b) 2 6 9) a), b) 2, c) 2, d) 8 2, e) 8 0) a) 7 2, b) 9, c) 0 ) a) 6, b) 2 9, c) 22, 5 d), e), f) 9 2, g) 7 0, h) 7, i) 2) ) 6x 2 y 2 ) a) a 0 b 2, b) a 6 b 5) a) 6 0, b) 7 6) a) 7) 5 9 8) a) 2 6, b), c), d) 5 9 x y 2, e) + 2, f) , g), 2 7 h) 2, i) 2 2, j) M 9) 00 M 2 20) 5 2 2) X 5 22) a) 2, b) 2, c) 8 2

34 2) a) + log 2 a + log 2 b log 2 c, b) log a + 2 log b log c 2) a) a + b, b) 2a, c) a, d) -a 25) log 2 6 y 26) b) x b) x2 27) a) 200, b) 2, c) 5, d) 5