ANDRÉ REIS MATEMÁTICA. 1ª Edição SET 2013

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1 ANDRÉ REIS MATEMÁTICA TEORIA QUESTÕES DE PROVAS DE CONCURSOS GABARITADAS 6 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Teoria e Seleção das Questões: Prof. Adré Reis Orgaização e Diagramação: Mariae dos Reis ª Edição SET 0 TODOS OS DIREITOS RESERVADOS. É vedada a reprodução total ou parcial deste material, por qualquer meio ou processo. A violação de direitos autorais é puível como crime, com pea de prisão e multa (art. 8 e parágrafos do Código Peal), cojutamete com busca e apreesão e ideizações diversas (arts. 0 a 0 da Lei º 9.60, de 9/0/98 Lei dos Direitos Autorais). cotato@apostilasvirtual.com.br apostilasvirtual@hotmail.com

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3 SUMÁRIO. CONJUNTOS NUMÉRICOS: Números Naturais, Iteiros e suas propriedades. Números Racioais. Noções Elemetares de Números Reais. Aplicações... 0 Questões de Provas de Cocursos NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS: Razões e Proporções, Divisão Proporcioal, Regras de Três Simples e Composta... Questões de Provas de Cocursos FUNÇÕES: Noção de Fução. Gráficos. Fuções Crescetes e Decrescetes. Fuções Ijetoras, Sobrejetoras e Bijetoras. Fução Composta e Fução Iversa. Fuções Lieares, Afis e Quadráticas. Fuções Expoeciais e Logarítmicas. Equações e Iequações. Aplicações... Questões de Provas de Cocursos PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS. APLICAÇÕES... Questões de Provas de Cocursos MATRIZES: Operações com Matrizes, Matriz Iversa. Aplicações...6 Questões de Provas de Cocursos DETERMINANTES: Cálculos de Determiates... 6 Questões de Provas de Cocursos SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES: Resolução de Sistemas Lieares... Questões de Provas de Cocursos ANÁLISE COMBINATÓRIA: Cotagem, Arrajos, Permutações e Combiações. Aplicações... 9 Questões de Provas de Cocursos PROBABILIDADE: Evetos, Evetos Mutuamete Exclusivos, Probabilidade, Probabilidade Codicioal e E- vetos Idepedetes. Aplicações... 8 Questões de Provas de Cocursos POLINÔMIOS: Coceito, Adição, Multiplicação e Divisão de Poliômios e Propriedades... 9 Equações Algébricas: Raízes, Relação etre Coeficietes e Raízes. Aplicações... 9 Questões de Provas de Cocursos TRIGONOMETRIA: Arcos e Âgulos. Fuções Trigoométricas. Aplicações das Leis do Seo e do Cosseo. Resolução de Triâgulos. Aplicações... 0 Questões de Provas de Cocursos.... GEOMETRIA PLANA: Retas. Feixe de Paralelas. Teorema de Tales. Cogruêcia e Semelhaça de Triâgulos. Relações Métricas o Triâgulo. Áreas de Figuras Plaas. Aplicações... Questões de Provas de Cocursos GEOMETRIA ESPACIAL: Cilidro, Esfera e Coe. Cálculo de Áreas e Volumes. Aplicações... Questões de Provas de Cocursos GEOMETRIA ANALÍTICA: Coordeadas Cartesiaas, Distâcia etre Dois Potos, Equações da Reta, Área de um Triâgulo. Aplicações. Posições Relativas... 6 Questões de Provas de Cocursos... GABARITOS...

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5 MATEMÁTICA CONJUNTOS NUMÉRICOS: Números Naturais, Iteiros e suas propriedades. Números Racioais. Noções Elemetares de Números Reais. Aplicações. CONJUNTOS NUMÉRICOS Os cojutos uméricos foram surgido a partir da ecessidade do homem de apresetar resultados para algumas operações matemáticas. Iicialmete era preciso cotar quatidades, criado-se assim o cojuto dos úmeros aturais: N = { 0,,,,...}. Cohecedo-se o cojuto dos úmeros aturais como seria possível a operação ( )? Para torar sempre possível a subtração, foi criado o cojuto dos úmeros iteiros relativos: Z = {..-, -, -, 0, +, +, +, } Represetação dos úmeros iteiros a reta umérica Vamos traçar uma reta e marcar o poto 0 (origem), em que está o úmero real zero. À direta do poto 0, com uma certa uidade de medida, assialaremos os potos que correspodem aos úmeros positivos e à esquerda de 0, com a mesma uidade, assialaremos os potos que correspodem aos úmeros egativos. Números opostos ou simétricos Na reta umerada, os úmeros opostos estão a uma mesma distâcia do zero. Observe que cada úmero iteiro, positivo ou egativo, tem um correspodete com sial diferete. Exs.: O oposto de + é -. O oposto de - é +. O oposto de +9 é -9. O oposto de - é +. O oposto de zero é o próprio zero. Comparação de úmeros iteiros Observado-se a represetação gráfica dos úmeros iteiros a reta. Dados dois úmeros quaisquer, o que está à direita é o maior deles, e o que está à esquerda, o meor deles. Notas:. Os úmeros iteiros positivos podem ser idicados sem o sial de +. Ex.: + =. O zero ão é positivo em egativo. Todo úmero iteiro possui um atecessor e um sucessor. Exs.: + é o sucessor de + -6 é o atecessor de -. O valor absoluto ou módulo de um úmero iteiro é a distâcia desse úmero à origem. Exs.: - = 0 = 0 + = a) - > -, porque - está à direita de -. b) + > -, porque + está a direita de - c) - meor -, porque - está à esquerda de -. d) - meor +, porque - está à esquerda de +. Operações com úmeros iteiros. Adição a) Adição de úmeros iteiros positivos A soma de dois úmeros iteiros positivos é um úmero positivo. a) (+) + (+) = + b) (+) + (+) = + c) (+6) + (+) = +9

6 Simplificado a maeira de escrever a) + + = + b) + + = + c) +6 + = +9 Observe que escrevemos a soma dos úmeros iteiros sem colocar o sial + da adição e elimiamos os parêteses das parcelas. b) Adição de úmeros iteiros egativos A soma de dois úmeros iteiros egativos é um úmero egativo a) (-) + (-) = - b) (-) + (-) = - c) (-) + (-) = -9 Simplificado a maeira de escrever a) - = - b) - = - c) - = -9 Observe que podemos simplificar a maeira de escrever deixado de colocar o sial de + a operação e elimiado os parêteses das parcelas. c) Adição de úmeros com siais diferetes A soma de dois úmeros iteiros de siais diferetes é obtida subtraido-se os valores absolutos, dado-se o sial do úmero que tiver maior valor absoluto. a) (+6) + (-) = + b) (+) + (-) = - c) (-0) + (+) = - Simplificado a maeira de escrever a) +6 = + b) + = - c) -0 + = - Quado as parcelas são úmeros opostos, a soma é igual a zero. Exemplos a) (+) + (-) = 0 b) (-8) + (+8) = 0 c) (+) + (-) = 0 Simplificado a maeira de escrever a) + = 0 b) = 0 c) + = 0 Para obter a soma de três ou mais úmeros adicioamos os dois primeiros e, em seguida, adicioamos esse resultado com o terceiro, e assim por diate. a) = = = = = = - 6 = = - b) = = = = = = +8 - = = +6 Propriedades da adição ) Fechameto: a soma de dois úmeros iteiros é sempre um úmero iteiro. Ex.: (-) + (+) =( +) ) Comutativa: a ordem das parcelas ão altera a soma. Ex.: (+) + (-) = (-) + (+) ) Elemeto eutro: o úmero zero é o elemeto eutro da adição. Ex.: (+8) + 0 = 0 + (+8) = +8 ) Associativa: a adição de três úmeros iteiros, podemos associar os dois primeiros ou os dois últimos, sem que isso altere o resultado. Ex.: [(+8) + (-) ] + (+) = (+8) + [(-) + (+)] ) Elemeto oposto: qualquer úmero iteiro admite um simétrico ou oposto. Ex.: (+) + (-) = 0. Subtração A operação de subtração é uma operação iversa à operação da adição. a) (+8) (+) = (+8) + (-) = = + b) (-6) (+9) = (-6) + (-9) = - c) (+) (-) = ( +) + (+) = + Notas: ) Para subtrairmos dois úmeros relativos, basta que adicioemos ao primeiro o oposto do segudo. ) A subtração o cojuto Z tem apeas a propriedade do fechameto (a subtração é sempre possível) 6

7 Elimiação de parêteses ) Parêteses precedidos pelo sial positivo (+) Ao elimiarmos os parêteses e o sial positivo (+) que os precede, devemos coservar os siais dos úmeros cotidos esses parêteses. a) + (- + ) = - + b) + ( + ) = + - ) Parêteses precedidos pelo sial egativo (-) Ao elimiarmos os parêteses e o sial de egativo (-) que os precede, devemos trocar os siais dos úmeros cotidos esses parêteses.. Multiplicação a) -( + ) = b) -( ) = c) -(+8) (-) = -8 + = - d) -(+) (+) = - = -6 e) (+0) (-) (+) = 0 + = 0 a) Multiplicação de dois úmeros de siais iguais Observe os exemplos: a) (+). (+) = +0 b) (+). (+) = + c) (-). (-) = +0 d) (-). (-) = + Coclusão: Se os fatores tiverem siais iguais o produto é positivo. b) Multiplicação de dois úmeros de siais diferetes Observe os exemplos: a) (+). (-) = -6 b) (-). (+) = -0 c) (+6). (-) = -0 d) (-). (+) = - Coclusão: Se dois produtos tiverem siais diferetes o produto é egativo. Regra prática dos siais a multiplicação SINAIS IGUAIS: O RESULTADO É POSITIVO (+) a) (+). (+) = (+) b) (-). (-) = (+) SINAIS DIFERENTES: O RESULTADO É NEGATIVO (-) a) (+). (-) = (-) b) (-). (+) = (-) c) Multiplicação com mais de dois úmeros Multiplicamos o primeiro úmero pelo segudo, o produto obtido pelo terceiro e assim sucessivamete, até o último fator. a) (+). (-). (+) = (-6). (+) = -0 b) (-). (-). (-). (-6) = (+). (-). (-6) = (-60). (-6) = +60 Propriedades da multiplicação. Divisão ) Fechameto: o produto de dois úmeros iteiros é sempre um úmero iteiro. Ex.: (+). (-) = (-0) ) Comutativa: a ordem dos fatores ão altera o produto. Ex.: (-). (+) = (+). (-) ) Elemeto Neutro: o úmero + é o elemeto eutro da multiplicação. Ex.: (-6). (+) = (+). (-6) = -6 ) Associativa: a multiplicação de três úmeros iteiros, podemos associar os dois primeiros ou os dois últimos, sem que isso altere o resultado. Ex.: (-). [(+). (-) ] = [ (-). (+) ]. (-) ) Distributiva Ex.: (-). [(-) +(+)] = (-). (-) + (-). (+) A divisão é a operação iversa da multiplicação Observe: a) (+) : (+) = (+), porque (+). (+) = + b) (-) : (-) = (+), porque (+). (-) = - c) (+) : (-) = (-), porque (-). (-) = + d) (-) : (+) = (-), porque (-). (+) = - Regra prática dos siais a divisão As regras de siais a divisão é igual a da multiplicação: SINAIS IGUAIS: O RESULTADO É POSITIVO (+) a) (+) : (+) = (+) b) (-) : (-) = (+) SINAIS DIFERENTES: O RESULTADO É NEGATIVO (-) a) (+) : (-) = (-) b) (-) : (+) = (-)

8 NÚMEROS FRACIONÁRIOS, OPERAÇÕES E PROPRIEDADES Cohecedo-se o cojuto dos úmeros iteiros como seria possível a operação (:0)? Para torar sempre possível a divisão, foi criado o cojuto dos Números Racioais, formado por todos os úmeros que podem ser escritos a forma de fração, são eles: 0 ) Iteiros: ; ) Decimais exatos: 0, ; ) Dízimas periódicas: 0,... FRAÇÕES As frações são úmeros represetados a forma y x. 0 ; ;. 6 8 O úmero x é o umerador da fração e y o deomiador. Para que uma fração exista é ecessário que o deomiador seja diferete de zero ( y 0 ). Leitura de uma fração Algumas frações recebem omes especiais: / um quarto /6 um sexto /8 um oitavo / dois quitos /000 um milésimo /00 sete cetésimos / um oze avos /0 sete ceto e vite avos / quatro treze avos Classificação das Frações Quato à classificação a fração pode ser: a) REDUTÍVEL: É quado a fração admite simplificação. Isso ocorre se o umerador e o deomiador forem divisíveis por um mesmo úmero. Ex.: a fração tato o umerador quato o 8 deomiador são úmeros divisíveis por. Assim, podemos escrever que. 8 b) IRREDUTÍVEL: É quado a fração ão admite simplificação. Ex.: A fração é uma fração que ão admite 6 c) APARENTE: É quado o umerador é múltiplo do deomiador. 0 Ex.:. d) PRÓPRIA: É uma fração irredutível que possui umerador meor que o deomiador. Ex.:. 6 e) IMPRÓPRIA: É uma fração irredutível que possui umerador maior ou igual ao deomiador. 6 6 Exs.: ;. 6 f) EQUIVALENTE: Quado duas frações represetam uma mesma parte do iteiro, são cosideradas equivaletes. Número Misto Ex.: 8 é uma fração equivalete à, pois ambas represetam metade de um iteiro. Toda fração imprópria, que ão seja aparete, pode ser represetada por uma parte iteira seguida de uma parte fracioada. Ex.: 6 6, ou seja, represeta partes iteiras mais a fração própria. Processo Repetimos o deomiador da fração imprópria; Dividimos o úmero 6 por sete para obtermos a parte iteira ; Colocamos como umerador da fração própria o resto da divisão obtida etre 6 e. Operações etre Frações. Redução de Frações ao Meor Deomiador Comum Para reduzirmos duas ou mais frações ao meor deomiador comum, devemos determiar o m.m.c dos deomiadores, dividir o m.m.c ecotrado pelos deomiadores e, o resultado dessa divisão, multiplicar pelos umeradores. Ex.: Reduzir as frações e 6 ao meor deomiador. Processo: 9 0,,. 6 simplificação. 8

9 . Comparação etre Frações caso: Deomiadores iguais Dadas duas ou mais frações com o mesmo deomiador, a maior dessas frações será aquela que tiver maior umerador. Ex.: Comparado as frações ou. caso: Deomiadores diferetes ; ; teremos: Para compararmos duas ou mais frações que possuam deomiadores diferetes, reduzimos as frações ao meor deomiador comum e procedemos de acordo com o caso. Ex.: Compare as frações Processo: 0 ; ; ; ; Como 0 60 ; ; 6 temos que caso: Numeradores iguais. 6. Dadas duas ou mais frações com o mesmo umerador, a maior dessas frações será aquela que tiver meor deomiador. Ex.: Comparado as frações ou. Adição e Subtração. ; ; teremos caso: Adição ou subtração com deomiadores iguais Para adicioar ou subtrair frações com deomiadores iguais, basta coservar o deomiador comum e adicioar ou subtrair os umeradores. Ex.: caso: Adição ou subtração com deomiadores diferetes Para adicioar ou subtrair frações com deomiadores diferetes, basta reduzirmos as frações ao meor deomiador comum e procedermos como o primeiro caso. Ex.: Multiplicação e Divisão caso: Multiplicação Para multiplicar duas ou mais frações, basta dividirmos o produto dos umeradores pelo produto dos deomiadores. Ex.: 9 6 Observação: Sempre que possível, devemos fazer a simplificação dos umeradores com os deomiadores, ates de efetuarmos o produto. Essa simplificação pode ser feita com umerador e deomiador da mesma fração ou etão com umerador de uma fração e deomiador de outra. Etão, a operação aterior, teríamos: 9 caso: Divisão Para dividir uma fração por outra, basta multiplicar a primeira pelo iverso da seguda. Exemplo: FRAÇÃO DECIMAL 6 É toda fração cujo deomiador é uma potêcia de 0 com expoete ão ulo (0, 00, 000 ) a) 0 ; b) ; 00 c). 000 NÚMEROS DECIMAIS EXATOS As frações decimais podem ser escritas a forma de úmeros decimais exatos. a) 0 = 0,; b) 00 = 0,0; c) 000 = 0,0. Nos úmeros decimais exatos, a vírgula separa a parte iteira da parte decimal. 9

10 Leitura de um úmero decimal exato Para ler um, úmero decimal, procedemos do seguite modo: ) Lê -se a parte iteira ) Lê-se a parte decimal, seguida da palavra: décimos se houver uma casa decimal. cetésimos se houver duas casas decimais. milésimos se houver três casas decimais. a), (cico iteiros e três décimos). b), (um iteiro e trita e quatro cetésimos). c),00 (doze iteiros e sete milésimos). Se a parte iteira for igual a zero, lê-se apeas a parte decimal. a) 0, lê-se quatro décimos. b) 0,8 lê-se trita e oito cetésimos. Trasformação de fração decimal em úmero decimal Escrevemos o umerador e cotamos da direita para a esquerda tatas casas quato são os zeros do deomiador para colocarmos a vírgula a) =, 0 b) =, 00 c) = 0, 000 Quado a quatidade de algarismos do umerador ão for suficiete para colocar a vírgula, acrescetamos zeros à esquerda do úmero. 9 a) = 0, b) 000 = 0,00 Trasformação de úmero decimal em fração decimal O umerador será o úmero decimal sem a vírgula, e o deomiador é o úmero acompahado de tatos zeros quatos forem os algarismos do úmero decimal depois da vírgula. a) 0, = 0 8 b) 8, = 00 c) 0,00 = 000 Operações com úmeros decimais. Adição e Subtração Colocamos vírgula debaixo de vírgula e operamos como se fossem úmeros aturais. a),6 +,9,6,9 +,8 b) 8,,6 8,,6,8 Se o úmero de casas depois da vírgula for diferete, igualamos com zeros à direita a), + + 0,,0,00 + 0, 8, b),,,0,,6. Multiplicação de úmeros decimais caso: Multiplicação Multiplicamos os úmeros decimais como se fossem úmeros aturais. O úmeros de casas decimais do produto é igual à soma do úmero de casas decimais dos fatores. a),6 x,,6 x,,8 b) 0, x 0,00 x0, 0,00 0,0008 0

11 Na multiplicação de um úmero decimal por uma potêcia de 0 (0, 00, 000,...), basta deslocar a vírgula para a direita uma quatidade de casas equivaletes ao úmero de zeros da potêcia de dez. a),8 x 0 =,8 b),8 x 00 = 8, c),8 x 000 = 8 d) 0,098 x 00 = 9,8 caso: Divisão Igualamos as casas decimais do dividedo e do divisor e dividimos como se fossem úmeros aturais. a),68 :, Igualado-se as casas decimais, teremos: 68 : 0 =, b), : Igualado-se as casas decimais, teremos: : 00 =,09 Na divisão de um úmero decimal por uma potêcia de 0 (0, 00, 000,...), basta deslocar a vírgula para a esquerda uma quatidade de casas equivaletes ao úmero de zeros da potêcia de dez. a) 9, : 0 =,9 b) 9, : 00 =,9 c) 9, : 000 = 0,9 d), ; 000 = 0,0 Dízimas periódicas As dízimas periódicas são aquelas que possuem período defiido. Dos exemplos citados ateriormete é 9 possível verificar que ; ; geram dízimas periódicas Observações: ) Todos os radicais iexatos geram dízimas aperiódicas; ) Período é o úmero que se repete após a vírgula, a dízima periódica; ) Dízimas periódicas simples são aquelas que apresetam o período logo após a vírgula; ) Dízimas periódicas compostas são aquelas que apresetam parte ão periódica (úmero que aparece etre a vírgula e o período); ) O úmero que aparece à esquerda da vírgula é deomiado parte iteira. Represetação e omeclatura Cosidere a dízima periódica,...,(), Etão, é a parte iteira é a parte ão periódica é o período Obteção da geratriz da dízima periódica º caso: Dízima periódica simples sem a parte iteira O umerador da geratriz é formado pelo úmero que forma o período e, o deomiador, por uma quatidade de oves que correspode à quatidade de algarismos que o período possui. DÍZIMAS São úmeros que possuem ifiitas casas decimais. 0,... 9 ;,... ;,... ; 9 90,... ;,... Os úmeros 9 ; ; ; ; são deomiados 9 90 geratriz das dízimas apresetadas acima. Dízimas ão periódicas As dízimas ão periódicas ou aperiódicas são aquelas que ão possuem período defiido. Dos exemplos citados acima é possível verificar que e geram dízimas ão periódicas. Exemplo: 0,... = 99 0,() 0, º caso: Dízima periódica simples com a parte iteira O umerador da geratriz é formado pela parte iteira seguida da periódica, meos a parte iteira. O deomiador é formado por uma quatidade de oves que correspode à quatidade de algarismos que o período possui. Exemplo:,... = 99 99,(),

12 º caso: Dízima periódica composta sem a parte iteira O umerador da geratriz é formado pela parte ão periódica seguida da periódica, meos a parte ão periódica. O deomiador é formado por uma quatidade de oves que correspode à quatidade de algarismos que o período possui, seguido de uma quatidade de zeros que correspode à quatidade de algarismos que a parte ão periódica possui. Exemplo: 0, = 0,(6) 0, º caso: Dízima periódica composta com a parte iteira O umerador é formado pela parte iteira seguida da parte ão periódica e periódica, meos a parte iteira seguida da parte ão periódica. O deomiador é formado por uma quatidade de oves que correspode à quatidade de algarismos que o período possui, seguido de uma quatidade de zeros que correspode à quatidade de algarismos que a parte ão periódica possui. Exemplo:, =,(6), Em cálculos que aparecem dízimas periódicas devemos trasformá-las em frações, ates de efetuarmos as operações. MÚLTIPLOS E DIVISORES, MÁXIMO DIVISOR COMUM E MÍNI- MO MÚLTIPLO COMUM DIVISÃO EUCLIDIANA Numa divisão Euclidiaa é possível idetificar o dividedo, divisor, quociete e o resto. Dividedo divisor resto quociete MÚLTIPLOS E DIVISORES DE UM NÚMERO NATURAL Cosidere a operação. = 0. Nesta operação podemos verificar que: e são divisores do úmero 0 e são fatores do úmero 0 0 é múltiplo dos úmeros e 0 é divisível por e NÚMEROS PRIMOS Um úmero atural diferete de zero e será primo se, e somete se, for divisível por e por ele mesmo. Ou seja, quado o úmero possuir apeas dois divisores aturais. Ex.: Os úmeros {,,,,,,,9,,...} são algus dos ifiitos úmeros primos. Observações:. O úmero é o úico par que é primo.. Os úmeros {,6,8,9,0,,,,6,8,0,,,...} são cosiderados úmeros compostos. Esses úmeros podem ser escritos em fução de uma multiplicação etre úmeros primos. Podemos tomar como exemplo o úmero 6 que pode ser escrito em fução dos primos e, pois, 6 =.. OBTENÇÃO DO MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.). Através da decomposição simultâea Em algus casos o método utilizado acima se tora trabalhoso. O m.m.c. de dois ou mais úmeros aturais pode ser ecotrado através da decomposição simultâea dos úmeros dados. Ex.: Ecotre o m.m.c dos úmeros 0 e 8. 0, 8 60, 0,,,,, Podemos relacioar o Dividedo (D), o quociete (Q), o divisor (d) e o resto (R) através de uma equação. Assim, D Q. d R Observações:. O meor resto possível é zero;. O maior resto possível é uma uidade meor que o quociete;. 0 resto quociete;. Cosidere dois úmeros A e B. Dizemos que A é divisível por B quado o resto da divisão for zero. m.m.c.(0, 8) =... = 80 O m.m.c.(0, 8) é obtido através do produto etre os fatores primos ecotrados através da decomposição simultâea dos úmeros 0 e 8.. Através da decomposição simples O m.m.c também pode ser obtido através da decomposição particular de cada um dos úmeros dados. Ex.: Ecotre o m.m.c dos úmeros 0 e 8.

13 =.. =.. O m.m.c.(0, 8) é dado pela multiplicação dos fatores primos comus e ão comus, com maior expoete possível. Logo, m.m.c.(0, 8) =... = 80. Nas decomposições acima se pode observar que e são fatores primos comus e que e são fatores primos ão comus. PROBLEMAS ENVOLVENDO M.M.C. O m.m.c pode ser utilizado a resolução de problemas que evolve fatos ou feômeos cíclicos ou repetitivos. Exercícios Resolvidos:. Dois ciclistas saem jutos, o mesmo istate e o mesmo setido, do mesmo poto de partida de uma pista circular. O primeiro dá uma volta em segudos e o outro em 0 segudos. Calcule os miutos que levarão para se ecotrar ovamete. a).0 b) c) 0 d) 60 e) Resolução: Temos aí um clássico problema de m.m.c. O primeiro ciclista dá uma volta em segudos. O segudo ciclista dá uma volta em 0 segudos. Existiu uma coicidêcia. A próxima coicidêcia ocorrerá o m.m.c. etre e =.. =.. m.m.c.(, 0) =... = 8... =.0 segudos. A questão pediu a resposta em miutos. Como miuto correspode a 60 segudos, para obtermos a resposta em miutos basta dividirmos.0 por segudos 60 0 segudos miutos 0 Logo a alterativa correta é a letra "e".. (PUC SP) Numa liha de produção, certo tipo de mauteção é feita a máquia A a cada dias, a máquia B, a cada dias, e a máquia C, a cada 6 dias. Se o dia de dezembro foi feita a mauteção as três máquias, após quatos dias as máquias receberão mauteção o mesmo dia. Resolução: Temos que determiar o m.m.c etre os úmeros, e 6.,, 6,,,,,, m.m.c.(,, 6) =.. =. = Dessa forma, cocluímos que após dias, a mauteção será feita as três máquias. Portato, dia de dezembro.. Um médico, ao prescrever uma receita, determia que três medicametos sejam igeridos pelo paciete de acordo com a seguite escala de horários: remédio A, de em horas, remédio B, de em horas e remédio C, de 6 em 6 horas. Caso o paciete utilize os três remédios às 8 horas da mahã, qual será o próximo horário de igestão dos mesmos? Resolução: Calcular o m.m.c. dos úmeros, e 6.,, 6,,,, m.m.c.(,, 6) =.. = 6 O míimo múltiplo comum dos úmeros,, 6 é i- gual a 6. De 6 em 6 horas os três remédios serão igeridos jutos. Portato, o próximo horário será às horas. OBTENÇÃO DO MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.). Através da decomposição simples O m.d.c. também pode ser obtido através da decomposição particular de cada um dos úmeros dados. Exemplo: Ecotre o m.d.c. dos úmeros 0 e 8. Como vimos ateriormete: 0 =.. e 8 =... O m.d.c. (0, 8) é dado pela multiplicação dos fatores primos comus, com meor expoete possível. Logo, m.d.c.(0, 8) =. =.

14 . Através do método das divisões sucessivas O método das divisões sucessivas será utilizado para obteção do m.d.c. de apeas dois úmeros aturais. O método é utilizado da seguite forma: ) Divide-se o maior úmero pelo meor. ) Divide-se o divisor pelo resto obtido a primeira divisão. ) Repete-se o mesmo procedimeto até que se ecotre um resto zero. ) O m.d.c. será o divisor obtido quado se tem resto zero. ) Cosidere dois úmeros aturais A e B, ode A é múltiplo de B. Neste caso, pode-se afirmar que m.m.c.(a,b) = A e, como B é divisor de A, o m.d.c.(a,b) = B. 6) Dados dois úmeros aturais A e B se pode afirmar que: m.m.c.(a,b). m.d.c.(a,b) = A.B. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI Dois ou mais úmeros aturais são primos etre si quado a decomposição desses úmeros ão apresetarem fatores primos comus. Ex.: Cosidere os úmeros e. Como =. e =., os mesmos ão apresetam fatores comus e, portato, são primos etre si. Observações:. O m.d.c. de dois ou mais úmeros primos etre si é.. O m.m.c. de dois ou mais úmeros primos etre si é o produto desses úmeros.. Dois úmeros aturais cosecutivos sempre serão primos etre si. PROBLEMAS ENVOLVENDO M.D.C. Exercícios Resolvidos:. Uma idústria de tecidos fabrica retalhos de mesmo comprimeto. Após realizarem os cortes ecessários, verificou-se que duas peças restates tiham as seguites medidas: 6 cetímetros e cetímetros. O gerete de produção ao ser iformado das medidas, deu a ordem para que o fucioário cortasse o pao em partes iguais e de maior comprimeto possível. Como ele poderá resolver essa situação? Resolução: Devemos ecotrar o m.d.c. etre 6 e, esse valor correspoderá à medida do comprimeto desejado =.. =.. m.d.c.(6, ) =.. = 8 Portato, os retalhos podem ter 8 cm de comprimeto.. Uma empresa de logística é composta de três áreas: admiistrativa, operacioal e vededores. A área admiistrativa é composta de 0 fucioários, a operacioal de 8 e a de vededores com 6 pessoas. Ao fial do ao, a empresa realiza uma itegração etre as três áreas, de modo que todos os fucioários participem ativamete. As equipes devem coter o mesmo úmero de fucioários com o maior úmero possível. Determie quatos fucioários devem participar de cada equipe e o úmero possível de equipes. Resolução: Determiado o úmero total de fucioários de cada equipe: Ecotrar o m.d.c. etre os úmeros 8, 6 e Decomposição em fatores primos: 8 =. 6 =. 0 =.. m.d.c.(8, 6, 0) =. = 6 Determiado o úmero total de equipes: = : 6 = 9 equipes O úmero de equipes será igual a 9, com 6 participates cada uma. 6. Um comerciate quer distribuir 60 larajas, maças, 8 peras e 6 magas etre várias sacolas, de modo que cada uma recebesse o mesmo e o maior úmero possível de uma espécie de fruta. Qual o úmero total de sacolas obtidas? Resolução: Determiado o úmero total de frutas de cada sacola: Ecotrar o m.d.c. etre os úmeros 60,, 8 e

15 Decomposição em fatores primos: 60 =.. =. 8 =. 6 =. m.d.c.(60,, 8, 6) =. =. = Determiado o úmero total de sacolas: = 6 6 : = 8 sacolas O úmero de sacolas será igual a 8, com frutas cada uma. NÚMEROS REAIS O diagrama abaixo represeta de forma simplificada o cojuto dos úmeros reais: Z- = {...,-,-,-,0} represeta o cojuto dos Números Iteiros ão positivos. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q): O cojuto dos Números Racioais é obtido através da uião dos Números Iteiros e as frações ão aparetes positivas e egativas. Assim, todo Número Racioal pode ser escrito a forma a/b, com a Z, b Z e b 0. Ex.: {-,-/,-,-/,/,...} De acordo com os exemplos é possível otar que os Números Racioais podem gerar úmeros decimais exatos (-/ = -,) ou úmeros decimais periódicos (/ = 0,...). CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS (I): Número Irracioal é todo úmero que está ou pode ser escrito a forma decimal ifiita e ão-periódica. Um dos úmeros irracioais mais cohecidos é o, que se obtém dividido o comprimeto de uma circuferêcia pelo seu diâmetro ( =,9...). As raízes quadradas ão exatas de úmeros aturais também são úmeros irracioais ( =,008...). CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (R): O cojuto dos Números Reais é dado pela uião dos cojutos de Números Racioais e Irracioais. CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS (C): A raiz de um radical N: Naturais de ídice par e radicado egativo é impossível em R, pois, por exemplo, ão existe úmero real que, e- Z: Iteiros levado ao quadrado, dê um úmero egativo. Q: Racioais I: Irracioais Exemplo: ão é um Número Real; é um Número R: Reais Complexo. CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N): O cojuto dos Números Naturais é represetado por N = {0,,,,,,...}. N * = {,,,,,...} represeta o cojuto dos Números Naturais ão ulos. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z): O cojuto dos Números Iteiros é represetado por Z = {...,-,-,-,0,,,,,...}. Notas: Z * = {...,-,-,-,,,,,...} represeta o cojuto dos Números Iteiros ão ulos. Z * + = {,,,,...} represeta o cojutos dos Números Iteiros Positivos que equivale ao cojuto dos Números Naturais ão ulos. Z+ = {0,,,,,...} represeta o cojuto dos Números Iteiros ão egativos que é equivalete ao cojuto dos Números Naturais. Z * - = {...,-,-,-,-} represeta o cojuto dos Números Iteiros Negativos. POTENCIAÇÃO Cosidere dois úmeros aturais x e, com >. Deomiamos potêcia de base x elevada ao expoete, o úmero x que é o produto de fatores iguais a x. Assim, x x.x.x.x... x fatores Ex... Notas: Numa potêcia de base for egativa, se o expoete for par o resultado será positivo e, se o expoete for ímpar, teremos um resultado egativo. Exs.: ( - ) = 6 e ( - ) = - 8 Para elevar uma fração a um expoete, elevam-se o umerador e o deomiador da fração a esse expoete: x x y y Ex.:

16 . Defiições.. Número elevado ao expoete ulo Por defiição temos x 0, desde que x 0. Exs.: 0 = O sial do expoete do deomiador muda du-.. Potêcia de uma potêcia rate a operação. r a base e multiplicar os ex- 0 Devemos coserva m m poetes: x x = Idetermiado.. Número elevado ao expoete uitário Por defiição temos Exs.: = 0 = 0 x x... Potêcia de expoete iteiro egativo Por defiição temos Exs.: 0 0 x. x x x zero egativo = (ão existe solução). Propriedades.. Produto de potêcias com bases iguais Devemos coservar a base e somar os expoetes: x x x m m Exs.: Os expoetes permaecem com os mesmos siais durate a operação... Divisão de potêcias com bases iguais Devemos coservar a base e subtrair os expoetes: x x m m x Exs.: ( ) 8 Ex.: 6 8 Em algumas expressões podemos ter uma po- têcia de ordem superior: m x x m 8 Ex.: Veja que a resolução é feita de cima para bai- seja, primeiro resolvemos xo, ou... Potêcia de um produto ou divisão RADICIAÇÃO x y x y Ex.: 8 8 A radiciação é uma operação matemática oposta à poteciação (ou expoeciação). Para um úmero real a, a expressão a represeta o úico úmero real x que verifica x = a e tem o mesmo sial que a (quado existe). Assim temos: a = x x = a ode: a: radica do : ídice do radical ( N / ) x: raiz -ésima de a : radical Quado é omitido, sigifica que é igual a e o símbolo de radical refere-se à raiz quadrada. Ex.: 6 8, pois 8 = 6.. Propriedades Para a e b positivos tem-se:.. Radical de um produto a b a b Ex.:

17 .. Radical de um quociete a b a b Ex.:... Radical de uma potêcia Devemos coservar a base e dividir o expoete da potêcia pelo ídice da raiz. m a m a Ex.:... Radical de outro radical m m a a Ex.:. Racioalização de deomiadores Processo pelo qual se trasforma uma fração em ou- tra cujo deomiador ão tem radicais. a) b) c) X X b X b X b. b b b b b m m X X a X a. m m m a a a a X a Observação: b X a b (a + b) (a b) = a b EXPRESSÕES NUMÉRICAS a a b X a b. b a b Para resolvermos as expressões uméricas, devemos sede guir a seguite sequêcia operações:. As potêcias e as raízes;. Os produtos e os quocietes, a ordem em que aparecem (esquerda para a direita);. As somas e as difereças, em qualquer ordem;. Nas expressões que apresetarem parêteses, colchetes e chaves, devemos começar pelas expressões eles cotidas, a partir do mais itero (parêteses). Exercícios Resolvidos:. Ecotre o valor da expressão umérica: Resolução: +[(.6-)-(0-6:)+] = +[(8-)-( 0-)+] = +[6-+] = +[9+] = +0 = +[(x6-)-(0-6:)+] 8. Ecotre o valor da expressão umérica: Resolução: [( 6 : ). ]:.(9 ) = [(:).9]:.(9-8) = [.9]:. = 8:. = 9. = 9 [( 6 : ). ]:.(9 ) 9. Ecotre o valor da expressão umérica: Resolução: [( 0 ) : ( [( 0 ) : ( : )] = [(0-) :(+8: )] = [ :(+)] = [:] = = : )] 0. Ecotre o valor da expressão umérica: 6. Resolução: 6.. = 9 6. = = = = 6 9

18 QUESTÕES DE PROVAS DE CONCURSOS. [Oficial-(NM)-PM-MS/0-SAD-SEJUSP].(Q.6) decimais e dízimas periódicas podem ser Todos os úmeros escri- tos a forma b a, com a Z e b z*, o que defie um úmero racioal. Se a é a mais simples fração geratriz do b úmero N =,... +,..., etão a b é um úmero: a) par. b) múltiplo de. c) divisível por. d) múltiplo de. e) primo.. [Oficial-(NM)-PM-MS/0-SAD-SEJUSP].(Q.9a seguir represeta ove quadrados, dispostos em três A figura lihas e três coluas. 6 A B C Os úmeros que aparece m os quadrados são aturais, de a 9 (icluido os extremos). Além disso, a soma dos úmeros dos quadrados de uma mesma liha ou de uma mesma colua é costate. Nessas codições, o valor de A + B C é igual a: a). b). c). d). e) 6.. [Assist. Adm.-(NM)-UEMS-FAPEMS/0].(Q.6) Seja S o cojuto solução da equação x x. Pode-se afirmar que: a) S = {} b) S = {6} c) S = {9, 6} d) S = {9} e) S =. [Assist. Adm.-(NM)-UEMS-FAPEMS/0].(Q.) É correafirmar to que: a) o cojuto dos aturais cotém o cojuto dos iteiros. b ) pertece ao cojuto dos úmeros racioais. c) é o dobro de. d). e).. [Assist. Adm.-(NM)-UEMS-FAPEMS/0].(Q.) Sejam os cojutos A = { IN : 0 < < } e B = {x IR : < x }. Pode-se afirmar que: a) A B = ],] {} b) A B =A B c) A B = ],[ d) A B =]0,] e) A B = {} 6. (Moitor de Aluos-PMCG-SEMAD-MS/0-FAPEC).(Q.) Se o úmero N = 6. 6, etão é correto afirmar que: a) N = 8 b) N = 6 c) N = d) N = 0 e) N = 8. (Moitor de Aluos-PMCG-SEMAD-MS/0-FAPEC).(Q.) Qual é o valor da expressão umérica a seguir? a) 8 b) 6 c) d) e) 9 8. [Assist. Serv. Saúde II.-(Aux. Serv. Saúde)-SES-MS/0].(Q.) Um casal tem quatro filhos: Alberto (A), Bedito (B), Carlos (C) e Davi (D). o filho A tem da idade do pai, B tem da 6 idade do pai, C tem da idade do pai e D tem da idade do pai. Com essas iformações podemos afirmar que se colocarmos esses filhos em ordem do mais velho para o mais ovo teremos : a) B, D, C e A b) A, B, C e D c) D, C, A e B d) D, C, B e A e) C, D, A e B 9. [Assist. Serv. Saúde II.-(Aux. Serv. Saúde)-SES-MS/0].(Q.) Os úmeros decimais represetados por A = 0,6; B = 0,6; C = 0, e D = 0,00 quado colocados em ordem de- as seguites crescete assumem posições: a) C, A, D e B b) D, C, A e B c) B, A, D e C d) A, D, C e B e) C, D, A e B 8 8

19 0. [Assist. Serv. Saúde II.-(Aux. Serv. Saúde)-SES-MS/0].(Q.) O úmero 080 pode ser escrito como: I ² + II 0.0³ III ³ + 8.0² + 0.0¹ + IV ³ + 0.0² +.0¹ As afirmações acima podem ser falsas (F) ou verdadeiras (V) e aparecem a seguite ordem: a) F, F, V, F b) V, V, V, F c) F, F, F, V d) F, V, V, F e) V, F, V, F. [Assist. Serv. Saúde II.-(Aux. Serv. Saúde)-SES-MS/0].(Q.) Observado a sequêcia de úmeros idicada por A = 6; B = 8; C = e D =, temos que: I A é máximo divisor comum etre B, C e D II D é míimo múltiplo comum etre A, B e C III A é míimo múltiplo comum etre B, C e D IV D é máximo divisor comum etre A, B e C Observe as afirmações acima que podem ser falsas (F) ou verdadeiras (V). A ordem em que as falsas ou verdadeiras aparecem é: a) F, F, V, V b) V, V, F, F c) V, F, V, F d) F, V, F, V e) F, F, V, F. [Assist. Serv. Saúde II.-(Aux. Serv. Saúde)-SES-MS/0].(Q.) 0 Na expressão umérica x o valor de x po- de ser expresso por: a) 0 b) ² c) 0.² d) ³ e) -. [Aux. Jud. I-(Ap. Oper.)-(NM)-(M)-TJ-MS/009-FADEMS].(Q.6) Se o úmero N = 0, 6 etão é correto afirmar. a) N = 0,0 b) N = 0, c) N = 0,8 d) N = 0,08 e) N = 0,008. [Aux. Jud. I-(Ap. Oper.)-(NM)-(V)-TJ-MS/009-FADEMS].(Q.6) 0, Se o úmero N = 8 etão o valor de N é a) N = b) N = c) N =,9 d) N = 9, e) N = 0,. [Aux. Jud. I-(Ap. Oper.)-(NM)-(V)-TJ-MS/009-FADEMS].(Q.8) M Seja a ) M b) M c) M d) M e) M., etão é correto afirmar. 6. [ A ux. Jud. I-(Ap. Oper.)-(NM)-(V)-TJ-MS/009-FADEMS].(Q.0) Qual é o valor do expoete a expressão umérica dada a seguir? a) (-) b) 0 c) d) e). 6,. 0. [Aux. Jud. I-(Ap. Oper.)-(NM)-(V)-TJ-MS/009-FADEMS].(Q.) Um dado produto, vedido a grael, custa R$ 0,00 por quilograma. Na pesagem do produto o fucioário es- de descotar a massa de 0 gramas da em- queceu-se balagem descartável. Se o preço a pagar pelo produto embalado foi de R$,00, quatos gramas do produto o cosumidor está levado a embalagem? a) 0 gramas b) 00 gramas c) 0 gramas d) 00 gramas e) 0 gramas 9

20 8. [Aux. Jud. I-(Ap. Oper.)-(NM)-(V)-TJ-MS/009-FADEMS].(Q.6) Cosiderado o úmero decimal ifiito =,..., res- as questões e seguites: Um salão de festas dispõe de mesas, sedo que em poda toro de cada uma delas podem setar o máximo 6 pes- Numa determiada festa, para 680 pessoas seta-. [Assist. Adm. II-(NM)-(M)-PMCG-MS/008-FADEMS].(Q.8) soas. das, todas as mesas foram ocupadas, sedo que uma Qual é a represetação fracioaria do úmero? mesa era dispoibilizada somete quado as ateriores estivessem completamete ocupadas. Qual será o úme- a ) ro de pessoas setadas a mesa que ão estava completamete ocupada? 9 b) 9 a) c) b) c) d) d) e) e) Para respoder as questões 9 e 0 seguites cosidere que o preço do presuto fatiado vedido a grael é R$,00 por quilograma e que o fucioário esqueceu de descotar a massa de 0 gramas da embalagem descartável o ato da pesagem. 9. [Assist. Adm. II-(NM)-(M)-PMCG-MS/008-FADEMS].(Q.) Qual quatidade real de presuto cotém uma embalagem, já pesada, marcada com o preço de R$,00? a) 000 gramas b) 99 gramas c) 990 gramas d) 90 gramas e) 900 gramas 0. [Assist. Adm. II-(NM)-(M)-PMCG-MS/008-FADEMS].(Q.) Para coseguir comprar exatamete Kg de presuto um cosumidor deverá escolher a embalagem com qual dos preços a seguir? a) R$,00 b) R$,0 c) R$,0 d) R$,0 e) R$,60. [Assist. Adm. II-(NM)-(M)-PMCG-MS/008-FADEMS].(Q.9) Qu al é o valor da raiz quadrada de? a),... b),... c),... d), e),.... [Soldado da PM-MS/008-Fud. Escola Gov.].(Q.9) Seja, Z o cojuto dos úmeros iteiros relativos e sejam x, y e z três úmeros quaisquer de Z. cosidere agora as afirmações seguites: I. se x<y, etão x+y<y+z. II. se xy>0, etão xyz>0. III. se xz>0 e yz<0, etão x+y>0. IV. se y<0 e yz<0, etão xy<0. Das afirmações acima pode-se dizer que: a) somete a I é verdadeira. b) a I e II são verdadeiras. c) há três alterativas verdadeiras. d) somete a IV é verdadeira. e) todas são falsas. 0

21 GABARITOS ( QUESTÕES) CONJUNTOS NUMÉRICOS: Números Naturais, Iteiros e suas propriedades. Números Racioais. Noções Elemetares de Números Reais. Aplicações A E B C E E A A C B B D B B D E A B D E A D A NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS: Razões e Proporç ões, Divisão Proporcioal, Regra s de Três Simples e Compost a E C C B C E E D D B D C E D C B A D E D D C C E C B E C C C A D A C E C B FUNÇÃO: Noção de Fução. Gráficos. Fuções Crescetes e Decrescetes. Fuções Ijetoras, Sobre- jetoras e Bijetoras. Fução Composta e Fução Iversa. Fuções Lieares, Afis e Quadráticas. Fuções Expoeciais e Logarítmicas. Equações e Iequações. Aplicações D D A A E A D D E D B D B D B E C B D E C D C E B C E C E A C D B C B B B A D E A E C A B E A B 9 0 C A C E E C PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS. APLICAÇÕES C E A D B C A B D B C D D C B A E D E MATRIZES: Operaçõ es c om Matr izes, Matriz Iversa. Aplicações. 6 A D E B B DETERMINANTES: Cálculos de Determiates 6 8 B E B A D E A E

22 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES: Resolução de Sistemas Lieares 6 8 B C A A E E D A 8 ANÁLISE COMBINATÓRIA: Cotage m, Arrajos, Permutações e Combiações. Aplicações. 6 8 A D A B B D D C 9 PROBABILIDADE: Evetos, Evetos Mutuamete Exclusivos, Probabilidade, Probabilidade Codicioal e Evetos Idepedetes. Aplicações C B D A D D B C D D D E A D 0 POLINÔMIOS: Coc eito, Adiç ão, Multiplicaçã o e Divisão de Poliômios e Propriedades. Equações Algébrica s: Raí zes, Relaçã o etre Coeficietes e Raízes. Aplicações A B A B E D D E B B D D E A C D B A E A B E A E C A C E C A C C A TRIGONOMETRI A: Arcos e Âgulos. Fuções Trigoométricas. Aplicações das Leis do Seo e do Cosseo. Resolução de Triâgulos. Aplicações C B C A B A A C D D A A B GEOMETRIA PLANA: Retas. Feixe de Paral elas. Teorema de Tales. Cogruêcia e Semelha ça de Triâgulos. Relações Métricas o Triâgulo. Áreas de Figuras Plaas. Aplicações B A E A E E C B D C E E B B C A C B E A 6

23 GEOMETR IA ESPACIAL: Cilidro, Esfera e Coe. 6 8 E A D B E C A B GEOMETRIA ANALÍTICA: Coordeadas Cartesiaas, Distâcia etre Dois Potos, Equações da Reta, Área de um Triâgulo. Aplicações. Posições Relativas B C E E D B E B E B B C A C A B B D B A