DILMAR RICARDO MATEMÁTICA. 1ª Edição DEZ 2012

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1 DILMAR RICARDO MATEMÁTICA TEORIA 6 QUESTÕES DE PROVAS DE CONCURSOS GABARITADAS Teoria e Seleção das Questões: Prof. Dilmar Ricardo Orgaização e Diagramação: Mariae dos Reis ª Edição DEZ 0 TODOS OS DIREITOS RESERVADOS. É vedada a reprodução total ou parcial deste material, por qualquer meio ou processo. A violação de direitos autorais é puível como crime, com pea de prisão e multa (art. 8 e parágrafos do Código Peal), cojutamete com busca e apreesão e ideizações diversas (arts. 0 a 0 da Lei º 9.60, de 9/0/98 Lei dos Direitos Autorais). cotato@apostilasvirtual.com.br apostilasvirtual@hotmail.com

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3 SUMÁRIO. CONJUNTOS NUMÉRICOS: Números Naturais, Iteiros e Suas Propriedades. Números Racioais. Noções Elemetares de Números Reais. Aplicações... 0 Questões de Provas de Cocursos NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS: Razões e Proporções, Divisão Proporcioal, Regras de Três Simples e Composta... Questões de Provas de Cocursos.... PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS. APLICAÇÕES... Questões de Provas de Cocursos ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE: Cotagem, Arrajos, Permutações e Combiações. Biômio de Newto. Evetos, Evetos Mutuamete Exclusivos, Probabilidade, Probabilidade Codicioal e Evetos Idepedetes. Aplicações... Questões de Provas de Cocursos e Exercícios Propostos.... MATRIZES E SISTEMAS LINEARES: Operações com Matrizes, Matriz Iversa. Aplicações... 9 DETERMINANTES: Cálculos de Determiates, Propriedades e Aplicações. Resolução e Discussão de Sistemas Lieares. Regra de Cramer...0 Questões de Provas de Cocursos e Exercícios Propostos FUNÇÕES: Noção de Fução. Gráficos. Fuções Crescetes e Decrescetes. Fuções Ijetoras, Sobrejetoras e Bijetoras. Fução Composta e Fução Iversa. Fuções Lieares, Afis e Quadráticas. Fuções Expoeciais e Logarítmicas... 6 Questões de Provas de Cocursos.... EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES. APLICAÇÕES... Questões de Provas de Cocursos TRIGONOMETRIA: Arcos e Âgulos. Fuções Trigoométricas. Aplicações das Leis do Seo e do Cosseo. Resolução de Triâgulos. Aplicações... 0 Questões de Provas de Cocursos e Exercícios Propostos POLINÔMIOS: Coceito, Adição, Multiplicação e Divisão de Poliômios e Propriedades... Questões de Provas de Cocursos e Exercícios Propostos EQUAÇÕES ALGÉBRICAS: Raízes, Multiplicidade de Raízes, Número de Raízes de uma Equação, Relação etre Coeficietes e Raízes. Aplicações Questões de Provas de Cocursos e Exercícios Propostos GEOMETRIA ANALÍTICA: Coordeadas Cartesiaas, Distâcia etre Dois Potos, Equações da Reta, Área de um Triâgulo. Aplicações. Equações da Circuferêcia. Distâcias. Posições Relativas...6 Questões de Provas de Cocursos e Exercícios Propostos GEOMETRIA PLANA: Retas. Circuferêcia e Círculo. Cogruêcia e Semelhaça de Triâgulos. Relações Métricas o Triâgulo. Áreas de Figuras Plaas. Aplicações... 0 Questões de Provas de Cocursos.... GEOMETRIA ESPACIAL: Cilidro, Esfera e Coe. Cálculo de Áreas e Volumes. Aplicações... 8 Questões de Provas de Cocursos... 8 GABARITOS... 86

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5 MATEMÁTICA CONJUNTOS NUMÉRICOS: Números Naturais, Iteiros e Suas Propriedades. Números Racioais. Noções Elemetares de Números Reais. Aplicações. De acordo com os exemplos é possível otar que os Números Racioais podem gerar úmeros decimais exatos (-/ -,) ou úmeros decimais periódicos (/ 0,...). CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS (I): Número Irracioal é todo úmero que está ou pode ser escrito a forma decimal ifiita e ão-periódica. N: Naturais Z: Iteiros Q: Racioais I: Irracioais R: Reais C: Complexos CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N): O cojuto dos Números Naturais é represetado por N {0,,,,,,...}. Observação: N * {,,,,,...} represeta o cojuto dos Números Naturais ão ulos. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z): O cojuto dos Números Iteiros é represetado por Z {...,-,-,-,0,,,,,...}. Observações: Z * {...,-,-,-,,,,,...} represeta o cojuto dos Números Iteiros ão ulos. Z * + {,,,,...} represeta o cojutos dos Números Iteiros Positivos que equivale ao cojuto dos Números Naturais ão ulos. Z+ {0,,,,,...} represeta o cojuto dos Números Iteiros ão egativos que é equivalete ao cojuto dos Números Naturais. Z * - {...,-,-,-,-} represeta o cojuto dos Números Iteiros Negativos. Z- {...,-,-,-,0} represeta o cojuto dos Números Iteiros ão positivos. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q): O cojuto dos Números Racioais é obtido através da uião dos Números Iteiros e as frações ão aparetes positivas e egativas. Assim, todo Número Racioal pode ser escrito a forma a/b, com a Z, b Z e b 0. Exemplos: {-,-/,-,-/,/,...} Exemplos: Um dos úmeros irracioais mais cohecidos é o π, que se obtém dividido o comprimeto de uma circuferêcia pelo seu diâmetro (π,9...). As raízes quadradas ão exatas de úmeros aturais também são úmeros irracioais (,008...). CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (R): O cojuto dos Números Reais é dado pela uião dos cojutos de Números Racioais e Irracioais. CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS (C): A raiz de um radical de ídice par e radicado egativo é impossível em R, pois, por exemplo, ão existe úmero real que, elevado ao quadrado, dê um úmero egativo. Exemplo: ão é um Número Real; é um Número Complexo. Notação de Itervalo de Números Reais O itervalo umérico ecotrado como solução de uma iequação pode ser descrito de várias maeiras. Por exemplo, o cojuto verdade descrito o exemplo acima pode aida ser escrito como: { x R / x } ou ] ; [ ou ( ;) V < Observações:. Será usado ( ) ou ] ; [ ; para itervalos abertos as duas extremidades;. Será usado [ [ ou [ ; ) ; quado o itervalo for fechado à esquerda e aberto à direita;. Será usado ] ] ou ( ; ] ; quado o itervalo for aberto à esquerda e fechado à direita;. Será usado [ ; ] para itervalos fechados;

6 . Nas extremidades em que ocorre o ifiito a otação usada será a aberta; 6. A otação usada será aberta quado o úmero que está a extremidade do itervalo ão pertecer à solução da iequação.. A otação usada será fechada quado o úmero que está a extremidade do itervalo pertecer à solução da iequação. 8. A descrição da solução da iequação aida poderá ser feita através da reta umérica. Frações e Operações com Frações As frações são úmeros represetados a forma y x. 0 Exemplos: ; ; 6 8 O úmero x é o umerador da fração e y o deomiador. Para que uma fração exista é ecessário que y seja diferete de zero ( y 0 ). Classificação das Frações Quato à classificação a fração pode ser: - REDUTÍVEL: É quado a fração admite simplificação. Isso ocorre se o umerador e o deomiador forem divisíveis por um mesmo úmero. Exemplo: a fração 8 tato o umerador quato o deomiador são úmeros divisíveis por. Assim, podemos escrever que. 8 - IMPRÓPRIA: É uma fração irredutível que possui umerador maior ou igual ao deomiador. 6 6 Exemplo: ;. 6 - EQUIVALENTE: Quado duas frações represetam uma mesma parte do iteiro, são cosideradas equivaletes. Exemplo: 8 é uma fração equivalete à, pois ambas represetam metade de um iteiro. Número Misto Toda fração imprópria, que ão seja aparete, pode ser represetada por uma parte iteira seguida de uma parte fracioada. Exemplo: 6 6, ou seja, represeta partes iteiras mais a fração própria. Processo Repetimos o deomiador da fração imprópria; Dividimos o úmero 6 por sete para obtermos a parte iteira ; Colocamos como umerador da fração própria o resto da divisão obtida etre 6 e. Operações etre Frações Redução de Frações ao Meor Deomiador Comum Para reduzirmos duas ou mais frações ao meor deomiador comum, devemos determiar o m.m.c dos deomiadores, dividir o m.m.c ecotrado pelos deomiadores e, o resultado dessa divisão, multiplicar pelos umeradores. - IRREDUTÍVEL: É quado a fração ão admite simplificação. Exemplo: A fração 6 simplificação. é uma fração que ão admite Exemplo: Reduzir as frações deomiador. Processo:, 6 9 0, e 6 ao meor - APARENTE: É quado o umerador é múltiplo do deomiador. 0 Exemplo:. - PRÓPRIA: É uma fração irredutível que possui umerador meor que o deomiador. Exemplo:. 6 Comparação etre Frações caso: Deomiadores iguais Dadas duas ou mais frações com o mesmo deomiador, a maior dessas frações será aquela que tiver maior umerador. Exemplo: Comparado as frações < < ou > >. ; ; teremos: 6

7 caso: Deomiadores diferetes Para compararmos duas ou mais frações que possuam deomiadores diferetes, reduzimos as frações ao meor deomiador comum e procedemos de acordo com o caso. Exemplo: Compare as frações ; ; 6. 0 Processo: ; ; ; ;. Como temos que > >. 6 caso: Numeradores iguais 0 > > Dadas duas ou mais frações com o mesmo umerador, a maior dessas frações será aquela que tiver meor deomiador. Exemplo: Comparado as frações > > ou < <. Adição e Subtração ; ; teremos caso: Adição ou subtração com deomiadores iguais Para adicioar ou subtrair frações com deomiadores iguais, basta coservar o deomiador comum e adicioar ou subtrair os umeradores. Exemplo: caso: Adição ou subtração com deomiadores diferetes Para adicioar ou subtrair frações com deomiadores diferetes, basta reduzirmos as frações ao meor deomiador comum e procedermos como o primeiro caso. Exemplo: + 8 caso: Multiplicação Multiplicação e Divisão Para multiplicar duas ou mais frações, basta dividirmos o produto dos umeradores pelo produto dos deomiadores. Exemplo: 9 6 Observação: Sempre que possível, devemos fazer a simplificação dos umeradores com os deomiadores, ates de efetuarmos o produto. Essa simplificação pode ser feita com umerador e deomiador da mesma fração ou etão com umerador de uma fração e deomiador de outra. Etão, a operação aterior, teríamos: 9 / / caso: Divisão Para dividir uma fração por outra, basta multiplicar a primeira pelo iverso da seguda. Exemplo: Dízimas São úmeros que possuem ifiitas casas decimais. Exemplos: 0,... 9,..., ,... π,... Os úmeros 9 ; ; ; ; π são deomiados 9 90 geratriz das dízimas apresetadas acima. Dízimas Não Periódicas As dízimas ão periódicas ou aperiódicas são aquelas que ão possuem período defiido. Dos exemplos citados acima é possível verificar que e π geram dízimas ão periódicas. Dízimas Periódicas As dízimas periódicas são aquelas que possuem período defiido. Dos exemplos citados acima é possível verificar 9 que ; ; geram dízimas periódicas Observações:. Todos os radicais iexatos geram dízimas aperiódicas;. Período é o úmero que se repete após a vírgula, a dízima periódica;. Dízimas periódicas simples são aquelas que apresetam o período logo após a vírgula;. Dízimas periódicas compostas são aquelas que apresetam parte ão periódica (úmero que aparece etre a vírgula e o período);. O úmero que aparece à esquerda da vírgula é deomiado parte iteira. REPRESENTAÇÃO E NOMENCLATURA Cosidere a dízima periódica,...,(), Etão, é a parte iteira é a parte ão periódica é o período

8 OBTENÇÃO DA GERATRIZ DA DÍZIMA PERIÓDICA º caso: Dízima periódica simples sem a parte iteira O umerador da geratriz é formado pelo úmero que forma o período e, o deomiador, por uma quatidade de oves que correspode à quatidade de algarismos que o período possui. Exemplo: 0, ,() 0, º caso: Dízima periódica simples com a parte iteira O umerador da geratriz é formado pela parte iteira seguida da periódica, meos a parte iteira. O deomiador é formado por uma quatidade de oves que correspode à quatidade de algarismos que o período possui. Exemplo:, ,(), º caso: Dízima periódica composta sem a parte iteira O umerador da geratriz é formado pela parte ão periódica seguida da periódica, meos a parte ão periódica. O deomiador é formado por uma quatidade de oves que correspode à quatidade de algarismos que o período possui, seguido de uma quatidade de zeros que correspode à quatidade de algarismos que a parte ão periódica possui. Exemplo: 0, ,(6) 0, º caso: Dízima periódica composta com a parte iteira O umerador é formado pela parte iteira seguida da parte ão periódica e periódica, meos a parte iteira seguida da parte ão periódica. O deomiador é formado por uma quatidade de oves que correspode à quatidade de algarismos que o período possui, seguido de uma quatidade de zeros que correspode à quatidade de algarismos que a parte ão periódica possui. Poteciação Cosidere dois úmeros aturais x e, com >. Deomiamos potêcia de base x elevada ao expoete, o úmero x que é o produto de fatores iguais a x. Assim, x x.x.x.x... x fatores Exemplo:.. Defiições Número elevado ao expoete ulo Por defiição temos x 0, desde que x 0. Exemplos: 0 0 ( 6 ) Idetermiado Número elevado ao expoete uitário Por defiição temos Exemplos: ( ) 0 0 x x. Potêcia de expoete iteiro egativo Por defiição x. x x x Exemplos: / Exemplo:,666...,(6), Observações:. zero egativo / (ão existe solução) x x. y y 8

9 Propriedades Produto de bases iguais m + m x x x + Exemplos: + Veja que os expoetes permaecem com os mesmos siais durate a operação. Divisão de bases iguais x m x m x Exemplos: ( ) + 8 Veja que o sial do expoete do deomiador muda durate a operação. m x m º caso: ( ) x Potêcia de potêcia Exemplo: ( ) 6 º caso: m ( ) m x x 8 Exemplo: 8 Veja que a resolução é feita de cima para baixo, ou seja, primeiro resolvemos. Potêcia de produto ou divisão ( x y) x y ode: a: radicado : ídice do radical ( N / ) x: raiz -ésima de a : radical Obs: Quado é omitido, sigifica que é igual a e o símbolo de radical refere-se à raiz quadrada. Exemplo: 6 8, pois 8 6. Para a e b positivos tem-se: Propriedades Radical de um produto a b a Exemplo: b Radical de um quociete a a b b Exemplo:. Exemplo:. Radical de uma potêcia m a m a Radical de outro radical m a m a Exemplo: 8 8 Exemplo: Racioalização Radiciação A radiciação é uma operação matemática oposta à poteciação (ou expoeciação). Para um úmero real a, a expressão a represeta o úico úmero real x que verifica x a e tem o mesmo sial que a (quado existe). Assim temos: a x x a Quado o deomiador de uma fração evolve radicais, o processo pelo qual se trasforma essa fração eutra cujo deomiador ão tem radicais chama-se racioalização da fração. Exemplos: a) X X b X b X b. b b b b b 9

10 b) c) X a m X a + m X a X a. m m a a a b Observação: m X a b ( a + b ) ( a b ) (a + b) (a b) a b X ( a b) a b. Expressões Numéricas Para resolvermos as expressões uméricas, devemos seguir a seguite seqüêcia de operações:. As potêcias e as raízes; QUESTÕES DE PROVAS DE CONCURSOS. Os produtos e os quocietes, a ordem em que aparecem (esquerda para a direita);. As somas e as difereças, em qualquer ordem;. Nas expressões que apresetarem parêteses, colchetes e chaves, devemos começar pelas expressões eles cotidas, a partir do mais itero (parêteses).. (Moitor de Aluos-PMCG-SEMAD-MS/0-FAPEC).(Q.) Se o úmero N 6. 6, etão é correto afirmar que: a) N 8 b) N 6 c) N d) N 0 e) N 8. [Assist. Serv. Saúde II.-(Aux. Serv. Saúde)-SES-MS/0].(Q.) Os úmeros decimais represetados por A 0,6; B 0,6; C 0, e D 0,00 quado colocados em ordem decrescete assumem as seguites posições: a) C, A, D e B b) D, C, A e B c) B, A, D e C d) A, D, C e B e) C, D, A e B. (Moitor de Aluos-PMCG-SEMAD-MS/0-FAPEC).(Q.) Qual é o valor da expressão umérica a seguir? a) 8 b) 6 c) d) e) [Assist. Serv. Saúde II.-(Aux. Serv. Saúde)-SES-MS/0].(Q.) Um casal tem quatro filhos: Alberto (A), Bedito (B), Carlos (C) e Davi (D). o filho A tem da idade do pai, B tem 6 da idade do pai, C tem da idade do pai e D tem da idade do pai. Com essas iformações podemos afirmar que se colocarmos esses filhos em ordem do mais velho para o mais ovo teremos: a) B, D, C e A b) A, B, C e D c) D, C, A e B d) D, C, B e A e) C, D, A e B 8. [Assist. Serv. Saúde II.-(Aux. Serv. Saúde)-SES-MS/0].(Q.) O úmero 080 pode ser escrito como: I ² + II 0.0³ III ³ + 8.0² + 0.0¹ + IV ³ + 0.0² +.0¹ As afirmações acima podem ser falsas (F) ou verdadeiras (V) e aparecem a seguite ordem: a) F, F, V, F b) V, V, V, F c) F, F, F, V d) F, V, V, F e) V, F, V, F 6. [Assist. Serv. Saúde II.-(Aux. Serv. Saúde)-SES-MS/0].(Q.) 0 + Na expressão umérica x o valor de x pode ser expresso por: a) 0 b) ² c) 0.² d) ³ e) - 0

11 GABARITOS (6 QUESTÕES) CONJUNTOS NUMÉRICOS: Números Naturais, Iteiros e Suas Propriedades. Números Racioais. Noções Elemetares de Números Reais. Aplicações E A A C B D B B A E A B D E A D A NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS: Razões e Proporções, Divisão Proporcioal, Regras de Três Simples e Composta C E E D D B D C C B A D D C C E C B E C C C A D A C E C B PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS. APLICAÇÕES B C A B D B C D D C B A E D E ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE: Cotagem, Arrajos, Permutações e Combiações. Biômio de Newto. Evetos, Evetos Mutuamete Exclusivos, Probabilidade, Probabilidade Codicioal e Evetos Idepedetes. Aplicações D B A D A B A D D A C A C E A D D D D C E E D D B C C B A C D A E MATRIZES E SISTEMAS LINEARES: Operações com Matrizes, Matriz Iversa. Aplicações. DETERMINANTES: Cálculos de Determiates, Propriedades e Aplicações. Resolução e Discussão de Sistemas Lieares. Regra de Cramer B E B D E A E A B A A E E D A 86

12 6 FUNÇÕES: Noção de Fução. Gráficos. Fuções Crescetes e Decrescetes. Fuções Ijetoras, Sobrejetoras e Bijetoras. Fução Composta e Fução Iversa. Fuções Lieares, Afis e Quadráticas. Fuções Expoeciais e Logarítmicas A E B D B E B A E C D B B C E A D B B C A A D A EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES. APLICAÇÕES B A D D B A D D B E C B E D E C D C E B D C E C 6 E A 8 TRIGONOMETRIA: Arcos e Âgulos. Fuções Trigoométricas. Aplicações das Leis do Seo e do Cosseo. Resolução de Triâgulos. Aplicações A C C A B A A A E C B E E 9 POLINÔMIOS: Coceito, Adição, Multiplicação e Divisão de Poliômios e Propriedades D E B B D D E A C D B A E A B E 0 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS: Raízes, Multiplicidade de Raízes, Número de Raízes de uma Equação, Relação etre Coeficietes e Raízes. Aplicações A E C A C E C C A C C A GEOMETRIA ANALÍTICA: Coordeadas Cartesiaas, Distâcia etre Dois Potos, Equações da Reta, Área de um Triâgulo. Aplicações. Equações da Circuferêcia. Distâcias. Posições Relativas E B E B B C A C A B B D B A A A 8

13 GEOMETRIA PLANA: Retas. Circuferêcia e Círculo. Cogruêcia e Semelhaça de Triâgulos. Relações Métricas o Triâgulo. Áreas de Figuras Plaas. Aplicações C A C B E A E E C D A B E B A C D D A C C B B E B B D B E A E B D D B B A E D A E GEOMETRIA ESPACIAL: Cilidro, Esfera e Coe. Cálculo de Áreas e Volumes. Aplicações B B C C B D A C A B D E C B A C B C E 88