E-books PCNA. Vol. 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 ARITMÉTICA E EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

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1 E-books PCNA Vol. 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 ARITMÉTICA E EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

2 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 SUMÁRIO Apresetação Capítulo Aritmética e Expressões Algébricas Ordem e Precedêcia dos Cálculos Operações com Números Fracioários Soma e Subtração Deomiadores iguais Deomiadores diferetes Multiplicação de Frações Divisão de Frações Expressões Algébricas Simplificação de Frações Algébricas Poteciação Propriedades Radiciação Propriedades Racioalização de deomiadores Logaritmo Propriedades Poliômios Adição e Subtração de Poliômios Multiplicação de Poliômios Produtos Notáveis Divisão de Poliômios Raiz de um Poliômio Fatoração de Poliômios Págia 1

3 2 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 EXERCÍCIOS PROPOSTOS GABARITO Págia 2

4 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 Apresetação Ao chegar à UFPA, você tem a possibilidade de cursar gratuitamete cursos de ivelameto em Ciêcias Básicas (Física, Química e Matemática). Assistido às aulas o próprio ambiete em que cursará sua graduação, isso auxiliará você a adquirir o cohecimeto ecessário para efretar melhor o programa curricular do seu curso. Etão seja Bem-vido ao Curso de Nivelameto em Matemática Elemetar do PCNA. Este é o primeiro de uma série de cico E-books que vão lhe acompahar durate o curso, o professor utilizará este material como apoio às suas aulas e é fudametal que você o leia e acompahe as atividades propostas. A série E-books PCNA-Matemática foi desevolvida com o propósito de apresetar o coteúdo do curso de Matemática Elemetar, forecedo também ferrametas para facilitar o esio e a apredizagem do Cálculo Diferecial e Itegral que você irá ecotrar em breve a sua graduação. Neste fascículo você irá ecotrar o coteúdo de Aritmética e Expressões Algébricas. É bom lembrar que ão se pode apreder Cálculo sem algus pré-requisitos, que muitas das vezes ão valorizamos por acharmos simples e descomplicados, todavia, ateção e compreesão se fazem ecessária. Págia

5 4 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 Capítulo 1 1. Aritmética e Expressões Algébricas O estudo de cálculo exige muito mais que o cohecimeto de limite, derivada e itegral. Para que o apredizado seja satisfatório o domíio de tópicos de aritmética e álgebra é essecial. Soma de fração, poteciação e até mesmo produtos otáveis podem passar despercebidos pelos aluos que estudaram o esio fudametal a algum tempo e ão lembram. Este capítulo aborda tais assutos de forma sitética e com exemplos detalhados para melhor etedimeto do leitor. Ao fim do capítulo o leitor será capaz de realizar as operações aritméticas e algébricas, tais como poteciação e radiciação, resolver problemas de logaritmo utilizado suas propriedades, aalisar problemas com módulo e recohecer poliômios Ordem e Precedêcia dos Cálculos Sempre que você se deparar com uma expressão umérica para resolver você deve respeitar a seguite ordem de prioridade: a) Agrupametos prévios pelo uso de traço de frações, radical, parêteses, chaves e colchetes. No caso de agrupametos com múltiplos por parêteses resolver do itero ao extero; b) Poteciação e radiciação; c) Multiplicação e divisão; d) Adição e subtração. 1) Págia 4

6 5 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO Note que este exemplo ão existem parêteses, chaves ou colchetes, portato a ordem de resolução deve ser primeiramete multiplicação e/ou divisão e depois as somas e subtrações. Nos exemplos 2 e, com a preseça de parêteses, as operações detro dos parêteses têm prioridade. De forma semelhate, o exemplo 4, com a preseça do radical, este deve ser resolvido primeiro. 2) ( 2 + 1) (5 + ) ) (( 2 + 1). 2 6 ). (5 + ) 2 ( ). 8 ( 6 ) ) Operações com Números Fracioários Soma e Subtração Para a soma ou a subtração de duas frações deve-se observar se os deomiadores são iguais ou diferetes. Os Págia 5

7 6 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 procedimetos de cálculo variam de acordo com os deomiadores apresetados Deomiadores iguais Neste caso, os umeradores devem ser somados ou subtraídos, de acordo com os siais operatórios, e o valor do deomiador matido. 1) ) ) ) Deomiadores diferetes Neste caso, deve-se determiar com atecedêcia o míimo múltiplo comum (m.m.c.) etre todos os deomiadores das frações evolvidas, de modo a igualar os deomiadores e aplicar a regra acima. Exemplo: 1) ? O MMC é obtido a partir da fatoração simultâea dos deomiadores, como segue abaixo: Págia 6

8 7 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 4, 2 2, 2 1, 1, O MMC etão é igual a 12. Prossegue-se adotado o MMC como deomiador comum para as duas frações. Novos umeradores são obtidos para ambas as frações dividido-se o MMC pelo atigo deomiador e multiplicado este resultado pelo atigo umerador, como exemplificado a seguir: 2) ? 2 9 (12 ) 2 (12 4) ,9,12 2 5,9,6 2 5,9, 5,,1 5,1,1 5 1,1, (180 5) 2 (180 9) 8 (180 12) (180 9) 8 (180 12) Págia 7

9 8 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 OBS: Para efetuar a soma de frações com deomiadores diferetes podemos utilizar qualquer múltiplo comum. A forma mais simples de ecotrar um múltiplo comum é multiplicar todos os deomiadores. ) (9. 12). 2 + (5. 12). 8 (5. 9) Multiplicação de Frações O produto de duas ou mais frações é o produto dos seus umeradores dividido pelo produto dos seus deomiadores. Observe que os exemplos abaixo ós simplesmete multiplicamos umerador por umerador e deomiador por deomiador. Em certos casos, é possível simplificar. 1 1) ) ) (5. 4) (. 4 ). 2 (. 5 ) Págia 8

10 9 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 4) 10. ( ) (5 ) ( ) Divisão de Frações No caso de divisão etre frações procede-se multiplicado a primeira fração pelo iverso da seguda: a b c a b c d a b d c a d b c d 1 1) ) ) ) Nos casos acima a primeira fração deve ser matida e é multiplicada pela iversa da seguda fração. 1.. Expressões Algébricas Recebe o ome de expressão algébrica a expressão matemática a qual se faz uso de letras, úmeros e operações Págia 9

11 10 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 aritméticas. As letras costituem a parte variável da expressão, pois elas podem assumir qualquer valor umérico. Cotiuam válidas todas as regras da aritmética. 1) 2 x 7 x x. (2 x). 7. x 2 x2 21 x 2) 2 x + y x 4 x y y. (2 x + y) x. ( 4 x) 2 x y + y2 4x 2 x. y x y Observe os exemplos que os deomiadores são diferetes, portato fazemos o MMC etre eles, como estamos em um caso algébrico o MMC é, simplesmete, a multiplicação etre eles. É comum ecessitar simplificar as expressões algébricas para a resolução de problemas. Técicas como agrupameto, evidêcia do fator comum, etc., são ormalmete adotadas para a simplificação e/ou fatoração das expressões. Utilize as técicas de agrupameto e evidêcia dos fatores comus para simplificar as expressões algébricas abaixo: 1) x + 2 y x + y (x. x) + (2. y + y) x(1 ) + y (2 + 1) 2 x + y Nesse exemplo foram agrupados todos os termos com x em um parêteses e todos os termos com y em outro. Quado as operações são algébricas podemos somar ou subtrair termos semelhates, esse caso x e x são semelhates, logo podemos subtraí-los. 2) x + 2 y (x + y) x + 2y + ( ). (x + y) Págia 10

12 11 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 x + 2 y + ( x y) (x x) + (2 y y) x(1 ) + y(2 ) 2 x y ) x (2 y x + y ) x (2 y + y x) x ( y x) x + x y 4x y 4) x + 2 (y ( x + y)) x + 2 ( y + ( 1) (x + y)) x + 2 ( y + ( x y)) x + 2 ( y y x) x + 2( x) x 6x 5x A fatoração cosiste em represetar um úmero ou uma expressão algébrica como produto, respetivamete, de outros úmeros ou de outras expressões algébricas. 1) 6 a b 12 b 6 b (a 2) 2) 9 x x y x ( y) ) a x + b x + a y + b y x(a + b) + y (a + b) (a + b) (x + y) 1..1 Simplificação de Frações Algébricas Para simplificar frações algébricas devemos seguir a seguite regra: fatorar o umerador e o deomiador e assim, dividir o umerador e deomiador em seus fatores comus. Fique ateto: Só podemos simplificar os fatores (termos) que estejam multiplicado tato o umerador quato o deomiador. Págia 11

13 12 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 2x 4y 2 (x 2y) 1) 2 2x 2 x 2 x 2y x 2y 1 x x a x + b x x (a + b) 2) a + b a + b 1.4. Poteciação x 2y x a + b x x 1 x a + b A poteciação equivale a uma multiplicação de fatores iguais. Podemos dizer também que é a quatidade de vezes que o úmero será multiplicado por ele mesmo. De um modo geral, sedo a um úmero real e um úmero atural 2 defiimos: a a a a p ( vezes o fator a) a p Ode: a base; expoete; p potêcia 1) ) ( 2) 2 ( 2) ( 2) 4 ) 27 4) ( ) ( ) ( ) ( ) 27 Um erro muito comum ocorre quado o aluo cofude e ao ivés de multiplicar o um úmero vezes por ele mesmo acaba multiplicado a base pelo expoete. Não esqueça também de fazer o jogo de siais Propriedades Cosidere a e b úmeros reais ão ulos, e m iteiros: 1) Potêcia de expoete ulo e igual a 1: 2) Potêcia de base igual a 1: a 0 1 e a 1 a Págia 12

14 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO ) Potecia de expoete egativo: a 1 a 4) Multiplicação de potêcias de mesma base: a. a m a +m 5) Divisão de potêcias de mesma base: a a m am 6) Multiplicação de potêcias de expoetes iguais: a. b (a. b) 7) Divisão de potêcias de expoetes iguais: a b (a b ) 8) Potêcia de uma potêcia: (a ) m (a).m Nos exemplos a seguir, observe o uso das propriedades da potêcia as expressões. 1) ( ) ( 4 2 ) ( ) Págia 1

15 14 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO ) ( ) 2 ( 7 ) ) x y ( x y) 2 x y (x y) 2 x y x 2 y 2 x 2 y 1 2 x 1 y 1 x y 1 ( ) 2 1 ( 7 ) 1 ( ) 2 ( 7 ) 1 ( ) 2 7 ( ) 4) ( 27 ) (x + x2 x ). x x. x + x2. x x x + x 2 ( ) x 0 + x 2 x ) 2 x x. 6x ( 2. 6) x ( 12 ) x 4 x (2 2 ) x 2 2x 6) 2 x 2x 2 x. 2x 2 x. ( 2 ) x 2 x. 9 x (2. 9) x 18 x Págia 14

16 15 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 7) ( a2 b ). a + b a.2. a + b b. a 6. a 1 b 9 + b a 5 + b b 9 b 9 a 5 + b 1 b9 + a 5. b a 5 8) a 2. ( a b ). a b 2 a 2. a b. a b 2 a 2. a. a b. b 2 a2 +1 b +2 a 0 b 1 1 b 1 b1 b Nos exemplos abaixo, determie o valor de x: 9) x 9 x 2 x 2 10) 11) 2 x + 2 x x + 2 x x ( ) 24 2 x 24 2 x 24 2x 8 2 x 2 x 6 x x 1 6 x 5 6 x x 6 6x 5 6 x x x x ( ) x ( 5) x 6 6 x 6 2 x 2 Págia 15

17 16 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO Radiciação A radiciação é uma operação matemática iversa da poteciação, ou seja, se a b etão b a Ode o símbolo é o radical; 0; a radicado; braiz; ídice. 1) 2) ) b b 4 16 b 4 (2) 4 b 2 Logo b b 27 b ( ) b logo 16 b 27 b 2 16 Como ão existe um úmero que elevado a um expoete par seja um úmero egativo etão 16 ão existe o cojuto dos úmeros reias Obs.: Não existe raiz de um radicado egativo se o ídice for par Propriedades Sejam 0 e m 0 Págia 16

18 17 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 1) Raiz de radicado ulo: 0 0 2) Raiz de ídice uitário ulo: 1 a a ) Produto de radicais de mesmo ídice: a. b. c a. b. c 4) Divisão de radicais com mesmo ídice: 5) Potêcia de uma raiz: a b a b ( a) m a m 6) Raiz elevada a expoete igual ao seu ídice: 7) Raiz de uma raiz: ( a) a m a.m a 8) Multiplicação de raiz por uma costate a b a b A raiz é apeas uma forma de represetar a poteciação com expoete fracioário. Assim, toda raiz pode ser escrita em forma de potêcia como: a m a m Págia 17

19 18 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 1) Utilizado as regras da poteciação, demostre as seguites regras da radiciação: a) b) a 1 a c) a d) a a 1 1 a 1 a. b. c a. b. c a 1. b 1. c 1 (a. b. c) 1 a. b. c ( a) m a m ( a) m (a 1 ) m a 1.m a m a m e) m a a 1.m.m a m a.m a m a 1 (a 1 m )1 a 1.1 m Nos exemplos abaixo calcule as raízes idicadas: 2) ( ) ( ) ) 6 5 ( ) Págia 18

20 19 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 Simplifique as expressões abaixo, cosiderado a > 0 4) a. a a 1 2. a 1 2 a a 1 a 5) a. a a 1. a 1 a 1 +1 a 2 a 2 6) a. a 2 a 1. a 2 a 1 +2 a a 7) ( a ) (a 2) a. 2 a 9 2 a 9 a 8. a a 4 a 1.6. Racioalização de deomiadores Racioalização de deomiadores é o processo para a obteção de uma fração com deomiador racioal equivalete a uma aterior que possuía um ou mais radicais o deomiador. Ou seja, é elimiação do radical do deomiador. A técica cosiste em multiplicar os termos desta fração por uma expressão com radical, deomiada fator racioalizate. 1 Caso: O deomiador é um radical de icide 2 (raiz quadrada) Neste caso o deomiador tem a forma a. O fator racioalizate de a é a pois: a a a 1 2 a 1 2 a a 1 a Págia 19

21 20 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 1) ) ) a a a a a a a 1 a 1 2 a 1 2 a 1 2 a5 6 6 a a5 a 2 Caso: Quado o deomiador há um úmero somado ou dimiuído à uma raiz quadrada Neste caso o deomiador tem as formas: a + b ou a b O fator itegrate de (a + b) é (a b) e o fator itegrate de (a b) é (a + b) pois: (a + b) (a b) a a a b + a b b b a 2 b 1) (4 5) ( 5 5) Págia 20

22 21 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 2) ) (2 + ) a b a + b a b a + b ( a b) ( a b) ( a + b) ( a b) a b a b a a b a b a + b2 a 2 b a + b2 ( a) 2 b 2 a b 2 Caso: O deomiador é um radical de ídice geérico Neste caso o deomiador tem a forma a. O fator racioalizate de a é a 1 a 1 pois: a a 1 a 1 a 1 a (1 + 1 ) a 1+ 1 a a 1 a Págia 21

23 22 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 1) ) ) ( ) (2 + 2) (1+ 4 ) Caso: O deomiador é um radical de icide geérico e radicado elevado a uma potêcia geérica m Neste caso o deomiador tem a forma a m com m < O fator racioalizate de a m é a m pois: a m a m a m a m a (m + m ) a m+ m a a 1 1) ( ) a m 5 7 2) Págia 22

24 2 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO (1 +2 ) Logaritmo 2 2 O logaritmo de um úmero positivo a a base b, positiva e diferete de 1, é o expoete c que se deve elevar b para obter a. ode a > 0, b > 0 e b 1. se log b a c etão c logaritmo; b base; a logaritmado. b c a A otação do logaritmo decimal, de base igual a 10, é: log a log 10 a A otação do logaritmo atural, de base igual ao úmero de Euler e , é: l a log e a Nota: Não devemos cofudir logaritmo atural e logaritmo eperiao. Algumas vezes ambos são tratados como siôimos, mas a verdade o logaritmo eperiao refere-se a um logaritmo a base 1 e. 1) log 100 x 10 x x 10 2 x 2 2) log 0,1 x 10 x 0,1 10 x 10 1 x 1 Págia 2

25 24 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 ) log 2 4 x 2 x 4 2 x 2 2 x 2 4) log 2 ( 1 2 ) c 2c 1 2 2c c 2 5 c 5 5) log 1 x x 1 x 0 c 0 6) log1 4 (2 2) x ( 1 4 ) x 2 2 ( 1 2 2) x (2 2 ) x 2 (1+1 2 ) 2 2x 2 2 2x 2 x 2 7) l 1 e c ec 1 e ec e 1 c 1 8) l e c e c e e c e 1 c 1 9) Calcule o valor de log 1,4 usado a defiição de logaritmo e as aproximações: ,01 e ,845. log 1,4 x 10 x 1,4 10 x x x x 10 0, , x 10 0,01+0, x 10 0,146 x 0,146 log 1,4 0,146 Págia 24

26 25 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO Propriedades 1) Logaritmo de 1 em qualquer base b é 0. 2) Logaritmo da base é 1. ) Logaritmo de um produto 4) Logaritmo de um quociete 5) Logaritmo de uma potêcia log b 1 log b b 0 0 log b b log b b 1 1 log b (a. c) log b a + log b c log b ( a c ) log b a log b c log b a log b a 6) Mudaça da base b para a base c log b a log c a log c b 7) Igualdade de logaritmos de mesma base se log b x log b y etão x y 8) Relações etre potêcias e logaritmos de mesma base. log b b a a e b log b a a 1) log(0,1 10) log 0,1 + log 10 log log Págia 25

27 26 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 2) log 2 ( 1 16 ) log 2 1 log 2 16 log log ) 2 log ) 4 log 2 4 (2 2 ) log log log log ) e l x e l x x 6) l(a) + l(b) l (e) l ( a b e ) Resolva as equações abaixo: 7) log 2 x ( 2) x x 1 ( 2) x 1 2 x x ) l x 2 x 2 4 l x 2 e2 x x e 2 9) 2 log 2 x log 2 4 log 2 x 2 log x 2 4 x 2 ou x 2, pois ( 2) 2 (2) 2 4 Como o logaritmado x ão pode ser egativo, só x 2 é solução da equação. 10) e 4x+8 1 Págia 26

28 27 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 e 4x+8 1 Para isolar a variável x a equação é ecessário aplicar o logaritmo l os dois lados da equação, etão: 1.8. Poliômios l(e 4x+8 ) l ( 1 ) 4x + 8 l 1 l 4x l 4x 8 l 8 l x x l Defie-se um poliômio p(x) de grau a expressão algébrica a seguite forma: p(x) a x + a 1 x 1 + +a 1 x + a 0 Em que os coeficietes a, a 1,, a 1 e a 0 são úmeros reais e é um úmero iteiro. O grau do poliômio é grau de seu termo (moômio) de maior potêcia. O poliômio completo. b(x) 5x 2 + x é um poliômio de 2º grau O poliômio c(x) x x é de º grau, com coeficietes a 2 a Adição e Subtração de Poliômios Para adicioar ou subtrair dois poliômios devemos somar ou subtrair os termos de mesmo grau. Págia 27

29 28 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 1) Sejam os poliômios: p(x) 5 x 2 x + 2x q(x) 4x 2 + x 4 6x 2 a) Calcule r(x) p(x) + q(x) r(x) [ 5 x 2 x + 2x ] + [4x 2 + x 4 6x 2 ] (Orgaize por ordem decrescete do grau) r(x) [ 2 x x 2 x + 5] + [x 4 6x 2 + 4x 2] (Agrupe os termos de mesmo grau) r(x) x x x 2 6 x 2 x + 4x r(x) x 4 + 2x + ( 6)x 2 + ( 1 + 4)x + + (5 2) r(x) x 4 + 2x 9x 2 + x + b) Calcule s(x) p(x) q(x) s(x) [ 5 x 2 x + 2x ] [4x 2 + x 4 6x 2 ] s(x) [ 2 x x 2 x + 5] [x 4 6x 2 + 4x 2] s(x) 2 x x 2 x + 5 x 4 + 6x 2 4x + 2 s(x) x x x x 2 x 4x s(x) x 4 + 2x + ( + 6)x 2 + ( 1 4)x + (5 + 2) Págia 28

30 29 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 s(x) x 4 + 2x + x 2 5x + 7 2) Calcule r(x) 2 p(x) q(x), ode p(x) 2x 2 + 5x 2 q(x) x + 2x 1 r(x) 2 ( 2x 2 + 5x 2) ( x + 2x 1) r(x) 4x x 4 + 9x 6x + r(x) 9x 4x 2 + (10 6)x + ( 4 + ) r(x) 9x 4x 2 + 4x 1 No caso de adição e subtração de dois poliômios podemos orgaizar o poliômio por ordem decrescete do grau de seus moômios, e efetuar estas operações como usualmete fazemos a forma: 1) Sejam os poliômios: p(x) 2x x + 5 x 2 e q(x) 6x 2 x 4 + 4x 2 a) Calcule a Soma: p(x) + q(x) Págia 29

31 0 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO x x 2 x +5 x 4 6x 2 +4x 2 x 4 +2x 9x 2 +x + b) Calcule a Subtração: p(x) q(x) +2x x 2 x +5 x 4 6x 2 +4x 2 x 4 +2x +x 2 5x Multiplicação de Poliômios Para multiplicar dois poliômios, utiliza-se a propriedade distributiva da multiplicação: (a + b)(c + d + f) (ac) + (ad) + (af) + (bc) + (bd) + (bf) 1) Sejam os poliômios p(x) x + x e q(x) x 5 x.calcule s(x) p(x). q(x) s(x) ( x + x )(x 5 x ) s(x) ( x). (x 5 ) + ( x). ( x ) + (x )(x 5 ) + (x )( x ) s(x) x. x 5 + x. x + x. x 5 x. x Págia 0

32 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 s(x) x 6 + x 4 + x 8 x 6 s(x) x 8 + ( 1 1) x 6 + x 4 s(x) x 8 2 x 6 + x 4 2) Sejam os poliômios: p(x) 2x 1 q(x) x 2 + x Calcule r(x) p(x). q(x) r(x) (2x 1). ( x 2 + x) r(x) (2x). ( x 2 ) + (2x). (x) + ( 1). ( x 2 ) + +( 1). (x) r(x) 2. x. x x. x + 1. x 2. x r(x) 2x + 6x 2 + x 2 x r(x) 2x + 7x 2 x ) Dado a figura abaixo, expressar o poliômio que represeta a área formada as regiões I e II. A x E 5x + 1 B x I II D F C Págia 1

33 2 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 Sabemos que a área do retâgulo é dada pelo produto de seus lados. O retâgulo ABCD é formado pela soma das áreas I e II. Sua área é calculada pelo produto de AD por AB. Assim temos: x. (x + 5x + 1) x(6x + 1) 18x 2 + x Podemos efetuar a multiplicação de dois poliômios como usualmete fazemos esta operação com úmeros reais a forma: 2x 1 x 2 +x 6x 2 x 2x + x 2 2x + 7x 2 x Produtos Notáveis Algus produtos são utilizados frequetemete e são chamados de produtos otáveis. Eis algus deles: a) Produto da soma pela difereça de dois termos: (x + a). (x a) x 2 a 2 b) Quadrado da soma de dois termos: (x + a) 2 (x + a). (x + a) x 2 + 2ax + a 2 Págia 2

34 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 c) Quadrado da difereça de dois termos: (x a) 2 (x a). (x a) x 2 2ax + a 2 d) Cubo da soma de dois termos: (x + a) x + x 2 a + xa 2 + a e) Cubo da difereça de dois termos: (x a) x x 2 a + xa 2 a 1) (k 5) 2 k 2 2. k k 2 10k ) (2 t + ) 2 (2 t) (2 t). () t t + 9 ) ( 2x)( + 2x) () 2 (2x) 2 9 4x 2 4) 9y 2 + x 2 6yx ( y) 2 2. (y). (x) + (x) 2 (y x) Divisão de Poliômios Para dividir dois poliômios a(x) e b(x), o processo é semelhate ao da divisão de dois úmeros reais. Os termos do quociete q(x) são escolhidos de modo que os termos de maior grau dos dividedos ao logo da operação sejam elimiados. O resto r(x) é o dividedo que tem grau meor que o divisor. Págia

35 4 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 a(x) b(x). q(x) + r(x) a(x) r(x) q(x) + b(x) b(x) Calcule 1) f(x)/(g(x), sedo: f(x) x 2x e g(x) x + 1 Sabedo que: x 2x x + 1 x x 2 x 2 x + 1 x 2 2x +x 2 + x x +x + 1 (x 2x) ( x 2 x + 1). (x + 1) + 1 Tem-se: 1 f(x) g(x) (x 2x) (x + 1) (x2 x 1) + ( 1 x + 1 ) 2) p(x) f(x)/(g(x), sedo : f(x) x + 5x 2 + 8x + 4 e g(x) x + 2 Págia 4

36 5 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 x + 5x 2 + 8x + 4 x + 2 x 2x 2 x 2 + x + 2 x 2 + 8x + 4 x 2 6x 2x + 4 2x 4 p(x) f(x) g(x) x2 + x Raiz de um Poliômio Raízes ou zeros de um poliômio p(x) são os valores de x que toram p(x) 0, ou seja, os valores que zeram a equação. Um poliômio de grau tem raízes que podem ser reais ou complexas, distitas ou repetidas. Se x 1, x 2,, x são raízes de poliômio p(x) de grau, etão p(x 1 ) 0, p(x 2 ) 0, p(x ) 0. Um poliômio de 1 0 grau a forma p(x) ax + b tem uma raiz x 1 que pode ser calculada como ax 1 + b 0 x 1 b a Págia 5

37 6 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 Um poliômio de 2 0 grau a forma p(x) ax 2 + bx + c tem duas raízes x 1 e x 2 que podem ser calculadas pela fórmula de Bhaskara. x b ± 2 a ode b 2 4 a c Se > 0 etão x 1 e x 2 são raízes reais e distitas Se 0 etão x 1 e x 2 são raízes reais e iguais Se < 0 etão x 1 e x 2 são raízes complexas Graficamete, os zeros reais do poliômio p(x) são as iterseções do gráfico da fução p(x) com o eixo x. Caso 1: Raízes reais distitas Págia 6

38 7 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 Caso 2: Raízes reais iguais Caso : Raízes complexas Verifique se x é raiz dos poliômios abaixo: 1) p(x) x + 9 p( ). ( ) Págia 7

39 8 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 p( ) 0 Portato x é raiz de p(x). 2) r(x) x x + 9 r( ) ( ) ( ) + 9 r( ) r( ) 0 Portato x é raiz de r(x). ) s(x) x + 9x s( ) ( ) + 9( ) s( ) s( ) 0 Portato x ão é raiz de s(x). Ecotre as raízes dos poliômios abaixo: 4) p(x) x 6 p(x) x 6 0 x 6 0 x 6 x 6 x 2 Págia 8

40 9 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 5) s(t) 6 t + 18 s(t) 6t t t 18 t 18 6 t 6) g(x) x 2 x + 2 x 2 x Usado Bhaskara: a 1, b e c 2, ( ) > 0 ; raízes reais distitas ( ) ± 1 x 2.1 x x ± 1 2 7) g(x) 4x x x x Usado Bhaskara: a 4, b 16 e c 16, (16) ; raízes reais iguais Págia 9

41 40 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 (16) ± 0 x 2.4 x x ± ) p(t) t 2 2 t t 2 2 t 0 Usado Bhaskara: a 1, b 2 e c 0, ( 2) t t t ( 2) ± ± 2 2 Como o poliômio é icompleto (c 0) podemos resolvêlo diretamete a forma: t 2 2 t 0 t. (t 2) 0 zero, assim: Para um produto ser zero um dos dois fatores deve ser Págia 40

42 41 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 t 0 { ou t 2 0 t 1 0 t t 2 2 9) p(x) 4x x Usado Bhaskara: a 4, b 0 e c 16, (0) ( 16) 256 (0) ± 256 t 2.4 x x ± 16 8 ± 16 8 Como o poliômio é icompleto (b 0) podemos resolvê-lo diretamete a forma: 4x x x2 4 x 2 4 x 2 x 1 2 ou x 2 2 Págia 41

43 42 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 10) p(x) x + x 2 6x x + x 2 6x 0 x ( x 2 x 6) 0 x 0 x 1 0 { x 2 x 6 0 Usado Bhaskara para resolver a equação: x 2 x 6 0: ( 1) ( 6) 25 ( 1) ± 25 x 2.1 x x Assim: 1 ± 5 2 x 1 0 ; x 2 ; x Fatoração de Poliômios Cosidere o poliômio p(x) de grau p(x) a x + a 1 x 1 + +a 1 x + a 0 Se x 1, x 2,, x são raízes de p(x) etão, p(x) pode ser fatorado como: p(x) a (x x 1 )(x x 2 ) (x x 1 )(x x ) ode a é o coeficiete do termo de maior grau do poliômio. Págia 42

44 4 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 Se x 1, x 2,, x são raízes de p(x) etão, p(x) é divisível (resto igual a zero) por (x x i ) com i 1,,, ode x i é cada uma de suas raízes. Fatores os poliômios abaixo: 1) g(x) x 2 x + 2 Devemos primeiro ecotrar as raízes do poliômio. x ( ) ± ( ) x 1 2 ; x 2 1 x ± 1 2 Para g(x) tem-se que a 1, x 1 2 e x 2 1, etão: g(x) a (x x 1 )(x x 2 ) g(x) x 2 x + 2 (x 2)(x 1) 2) k(x) 8x + 2x Raízes: x ( 8) ± ( 8) x 1 ; x 2 1 x 8 ± 4 4 para k(x) tem-se que a 2, x 1 e x 2 1: Págia 4

45 44 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 k(x) a (x x 1 )(x x 2 ) k(x) 2x 2 8x (x )(x 1) ) Fatore e simplifique a expressão 2x 2 + 4x + 2 x + 1 Para faturar o umerador 2x 2 + 4x + 2, calculamos as raízes. x 1 1 ; x (4) ± (4) x 2 1 Tem-se que a 2, x 1 1e x 2 1 2x 2 + 4x + 2 2(x ( 1))(x ( 1)) x 4 ± 0 4 2x 2 + 4x (x + 1)(x + 1) Calculado a expressão: 2x 2 + 4x + 2 x + 1 2x2 + 4x + 2 x (x + 1)(x + 1) x + 1 2(x + 1) Págia 44

46 45 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Aqui estão questões relacioadas ao capítulo estudado. É importate o esforço para resolver todas as questões. Em caso de dúvidas os moitores do programa estão protos para lhe ajudar. Bos estudos! 1) Três atletas correm uma pista circular e gastam, respectivamete, 144 s, 120 s e 96 s para completar uma volta a pista. Eles partem do mesmo local e o mesmo istate. Após algum tempo, os três atletas se ecotram, pela primeira vez, o local da largada. Nesse mometo, quatas voltas o atleta MAIS VELOZ estará completado? 2) x y Se A xy, 2 x e 5 1 y, etão determie o valor de A ) Determie. 5 2 ax x 4) Determie o valor umérico da expressão a para x a 4 a e x ) Quato devemos adicioar ao quadrado de x + 2 para ecotrarmos o cubo de x -? Págia 45

47 46 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 6) Determie a quarta parte da difereça etre os quadrados dos poliômios x 2 + 2x - 1 e x 2-2x ) Se A 5x 2-2, determie o valor de A 2 - A ) (F.Carlos Chagas) Dado o poliômio P(x) x 2x 2 + mx 1, ode m R, se P(2). P(0), etão P(m) é igual a: a) 5 b) c) 1 d) 1 e) 14 9) (Cescem-SP) Se os poliômios f 2x (p 1)x + 2 e g qx + 2x +2 são idêticos, etão o valor da expressão p 2 + q 2 é: a) 1 b) 5 c) d) 2 e) 1 10) (UFMG) O valor da expressão E(x) 1 é x para x a) 5/8 b) ½ c) /8 d) /11 e) 5/11 11) (UFMG) Os poliômios P(x) px 2 + q(x) 4 e Q(x) x 2 + px + q são tais que P(x + 1) Q(2x) para todo x real. Os valores de p e q são: a) p 1 e q -4 b) p 2 e q 4 c) p 4 e q -4 d) p 4 e q 0 e) p -4 e q 0 Págia 46

48 47 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 1) 15 voltas. GABARITO 2) 1/2. ) 14/15. 4) 5/7. 5) x 10x 2 + 2x 1. 6) x 2 (2x 1). 7) 25x 4 5x ) Letra B. 9) Letra B. 10) Letra A. 11) Letra D. Págia 47