Matemática A Extensivo V. 6

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1 Matemática A Etesivo V. 6 Eercícios 0) B Reescrevedo a equação: A raiz do umerador é e do deomiador é zero. Fazedo um quadro de siais: Q + + O que os dá como solução R 0<. 0) 0 0. Falso. ² < 9 ² 9 < 0 Ecotrado as raízes temos: ² 9 = 0 ² = 9 = ± 9 = ± Fazedo o estudo dos siais: 0. Verdadeiro. ² + 0 Ecotrado as raízes temos: ± = 0 ± 6 = = = = = = 0 6 = + = = 0, , Etão a solução da iequação é: S = { R 0,} 0. Verdadeiro. ( 8)² = ² = 0 ² = 0 = = 00 Não tem raiz real. S = = 8 S = Assim, (S S ) A 08. Verdadeiro. = 8 + = 8 + = ou = (8 + ) = S A 6. Verdadeiro. ² 9 ² 9 0 = e = Solução: S = { R < < } Etão a solução da iequação é: S = { R } Matemática A

2 Ecotrado as raízes de ² = 0, temos: 7± 9 0 = = 7 ± 9 = 7 ± 7 0 = + = = = 7 = = = = = 0 = = = 6 = + = = S = { R 8} Etão a solução da iequação é: S = { R < ou > }. Note que o está em S S. Falso. ² Ecotrado as raízes, temos: = e = Fazedo S I, temos: S 8 I 0 S I 8 S = [, 8], logo, 6, 7 e 8 são as soluções iteiras da iequação. 0) 6 0) D Etão a solução da iequação é: S = { R }. Fazedo a itersecção, temos: A S A S A S = { R } ² Ecotrado as raízes de ² + 0 = 0, temos: = ± ( ) = ± 9 = ± m + > 00 m > 00 m > 76 m > 76 m > 09, 8 m > m 700 > m + 8 m 68 > m + 8 m multiplicado toda a iequação por : 90 > m + 8m 90 > m 90 > m 096,66 > m Etão 09, < m < 096,66. Logo o úico iteiro que satisfaz esse itervalo é 096: = 6 Matemática A

3 0) B ² + < 0 Ecotrado as raízes de ² + = 0, temos: ± = ± 6 = = ± = 8 = = 8 06) D ( )² > ² > ² > 0 ² 7 + > 0 Ecotrado as raízes de ² 7 + = 0, temos: 7± 9 8 = = 7 ± = 7 ± = = = 07) D S = { R < ou > }. + + Parte I: + + Parte II: + 08) C 09) D 0) A Parte I: + Parte II: + Logo:, etão a = e b = a + b = + = Parte I: Parte II: S = { Z }. ( ) > ( ) > 0 ( ) > 0 ( ) > 0 Fazedo o estudo dos siais: Q + + Logo, S = R < <. O maior iteiro que satisfaz a iequação é. S = { Z } + = Matemática A

4 ) C ) D Primeiro jovem: t t 960 t 960 t 980 Segudo jovem: t t t 6000 t 000 Etão 980 t 000. Isso sigifica que os joves viveram simultaeamete em SP de 980 até 000. Note que g() é ão egativa o itervalo e que f() = g ( ). Sabedo que ão eiste raiz egativa de ídice par, é possível afirmar que o domíio de f() é { R } ) S = { R < } A = { R ² 6 + < 0} Ecotrado as raízes de ² 6 + = 0, temos: 6± 6 0 = = 6 ± 6 = 6 ± = = = B = { R ² + + > 0} Ecotrado as raízes de ² + + = 0, temos: = ± +.( ) = ± 6 = ± = = = = B = { R < < } C = { R ² 8 + 0} Ecotrado as raízes de ² 8 + = 0, temos: 8± 6 8 = = 8 ± 6 = 8 ± = 6 = = 6 A = { R < <} C = { R ou 6} Determiado a itersecção, temos: A B C A B C 6 Etão S = { R < }. Matemática A

5 ) D A: y + 6 = = y + = y B: y + = 0 + = y + = y A > B + > + multiplicado toda a iequação por 6: + 8 > + 0 > 0 8 > ) C A: B: A = B = = = = = = y + + = y y = 0 Substituido y em (*), temos: + 0 = 7 = 7 0 = 8) B C = ,² fução do custo diário R = 6, fução do preço de veda L = R C fução do lucro L = 6, ( ,²) L = 6, 0 0,² L = 0,² +, 0 Ecotrado as raízes de 0,² +, 0 = 0, temos: =, ± 0, 0.( 0,) =, ± 0, 0, =, ± 0, 0,, 0, = = = 0 0, = 6) D LT (q) = FT(q) CT(q) 0 = q (q + ) 0 = q q = q = q q = 7) B Tipo I: (em que é o preço e os quilos de arroz) Tipo II: y (em que é o preço e y os quilos de arroz) + y =7 (*) Sabemos que o preço por quilo da mistura é R$,0, etão: 7., =. Logo, temos a seguite equação para o preço: + y = (**) Motado um sistema com (*) e (**), temos: + y= 7 multiplicado a primeira liha por : + y= ) C S = { N 0 }. y = = y (*) A cm² y (**) Substituido (*) em (**), temos:. ( ) ² ² 0 Matemática A

6 Ecotrado as raízes de ² = 0, temos: = ± + 96 = ± 00 = ± 0 = = 6 = Não covém um lado com valor egativo. Note que >, pois a difereça etre os lados é de cm. ) B f() = 6 ² e g() = f ( ) 0 g ( ) Ecotrado as raízes de 6 ² = 0 e = 0, temos: 6 ² = 0 6 = ² ± 6 = = ± 0) B ( )( ) 0 Note que a iequação é do o grau a forma fatorada, com = e =. Podemos escrever a iequação ² + 0. Pelo estudo de siais, temos: = 0 = ) B Somado os valores iteiros desse itervalo, temos: = multiplicado toda a iequação por ( )( ): ( + )( ) ( + )( ). ( ) ² + (² + ) ² + ² + + Notem que o ovo deomiador é ( )( ), que é uma equação de o grau com raízes = e =, etão: Fazedo o estudo de siais, temos: f() + g() + f() + g() Etão e ) A f() = + e g() = ² f(). g() 0 Ecotrado as raízes de + = 0 e ² = 0, temos: + = 0 = { R ou < < } 6 Matemática A

7 GABARITO ² = 0 ( ) = 0 = 0 ou = Fazedo o estudo de siais, temos: f() + + g() + 0 f(). g() Etão, { R 0 ou } Logo, a =, b = 0 e c = a² + b² + c² = ( )² + 0² + ² = = 8 ) B Fazedo o estudo de siais, temos: f() + + g() + + f() + + g() Etão, S = [, ) [, + ) f() =, g() = ² e h() = + f ( ). g ( ) 0 h ( ) Ecotrado as raízes de = 0, ² = 0 e + = 0, temos: = 0 = ) A f() = ² e g() = f ( ) 0 g ( ) Ecotrado as raízes de ² = 0 e = 0, temos: ² = 0 = ± ² = 0 = ± + = ± 6 = ± = ou = + = 0 = Fazedo o estudo de siais: ) Para f(). g(): = 0 = f() + + g() f(). g() + + Matemática A 7

8 GABARITO 6) A f g ) Para ( ). ( ) : h ( ) f(). g() h() h() f(). g() Etão, S = { R < ou }. Os úmeros aturais pertecetes à solução são, e. Logo, ² + ² + ² = 7) C Seja f() =, g() = ( 8)² e h() = ( + )³. f(). g(). h() > 0 Ecotrado as raízes: ) Para f(): = 0 = ) Para g(): Note que podemos reescrever g() = ² 6 + 6, ou seja, ( 8)( 8), etão 8 = 0 = 8 f() = ² e g() = f ( ) 0 g ( ) Ecotrado as raízes ² = 0 e = 0, temos: ² = 0 = ² ± = ) Para h(): Note que h() = ( + )( + )( + ), etão + = 0 = ( + ) ( + ) + + = 0 = ( + ) + h() + Fazedo o estudo de siais, temos: Fazedo o estudo de siais, temos: f() + + g() + + f() + + g() S = ], ] ], ] f() + + g() h() f()g()h() + 8 S = (, ). Etão, os úmeros iteiros são:,,, 0. 8 Matemática A

9 GABARITO 8) A f() = ( ² + 0)³ e g() = ²( ) f ( ) < 0 g ( ) Logo, f ( ): g ( ) f() Ecotrado as raízes: ) Para f(): Note que podemos escrever como ( ² + 0)( ² + 0)( ² + 0). Calculado as raízes da equação do grau ² + 0 = 0, ecotramos Δ = 79. 9) C g() f() g() S = ], + ) f() = ² + e g() = f ( ) < 0 g ( ) ) Para g(): ² = 0 0 = Ecotrado as raízes de ² + = 0 e = 0, temos: ² + = 0 = ± +. = ± 9 = ± 7 = e = ( ) = ( )... ( ) = 0 = Etão, g(): g() + 0 = 0 = = Matemática A 9

10 0) B Fazedo o estudo de siais, temos: f() g() f() g() + + / + + / + + / / Etão, S = R < < ou> f() = ² + 8 e g() = f ( ) g ( ) + 8 Note que =, logo: Ecotrado as raízes de ² + 6 = 0 e = 0, temos: ² + 6 = 0 = ± +.( ) = ± = ± = = e = ) B = 0 = Fazedo o estudo de siais, temos: f() g() Etão, S = [, [ ], + ) + > > 0 multiplicado a iequação por + +. ( + ) > 0 > 0 > 0 > > Aalisado o deomiador + : + = 0 = Fazedo o estudo de siais, temos: + / / Etão, S = (, ), + 0 Matemática A

11 ) C ( )( + ) multiplicado a iequação por ( )( + ) ² + + ² + 0 ² 0 Ecotrado as raízes de ² = 0 e ² + 9 = 0, temos: ² = 0 ² = = ± = ± ) B ) C I) + II) + S = { R }, etão a = e b = b a = ( ) = + = ( ) f() = =, através da defiição de módulo = 9 ² = 0 9 = ² ± 9 = ± = D = { R } I) = ( ) se < : ( ) = = II) = se > = Im = {, } ) A Fazedo o estudo de siais, temos: Etão, S = ], ] [, [ A = { Z + < } + < < + < I) < + < 6 < II) + < < < A = { Z 6 < < } A = {,,,,, 0,,, } B= { Z > } > > > B = { Z < ou > } B = (, ) (, + ) Etão, A B = {, } Matemática A

12 GABARITO 6) B 8) D f() = + + = 0 = = = g() = ² 9 ² 9 = 0 ² = 9 = ± f() = + 0 Aalisado o sial de ² + 0 = 0: = 0 ± ( ) = 0 ± 0 = 0 ± 0 = 0 = = ± Fazedo o estudo de siais temos: f() g() + + f() + + g() 9) B Logo, D= {}. Calculado a imagem, temos: f() = f() = f() = 7 0 f() = 7 Etão Im = {7}. f() = ( ) f ( ) Note que f() =, etão a divisão das duas fuções g ( ) ateriores ão pode ser egativa, pois ão tem raiz egativa de ídice par para os reais. Logo: 7) D D = { R < ou < } h h. h. h + h + h 7 Achado as raízes: ³ = 0 ³. (² ) = 0 I) ³ = 0 = 0 II) ² = 0 ² = = ± = ± Etão, a altura máima é de 7 cm, ou,7 m. Matemática A

13 0) B Aalisado os siais: (I) (II) + + f() + + Etão, D = [, 0] [, + ) = ( ) 0 = + + Etão: multiplicado por : ) B ) D + Caso I) + + Caso II) + ( ) = + ) C Logo,. Aalisado o deomiador: ou Porém, o umerador, etão o domíio é D = R ou < Caso I) < ( ) + < + < 7 < 7 Caso II) ( ) < < < 7 < 7 ) C < 0,0 0,0 < < 0, < < < < 0 00,99 < <,0 Etão, para ecotrar o meor valor de N, >,99. Logo, para =,99, temos: ² < N (, 99) < N,960 < N 0,099 < N 0,099 < N f() = Aalisado o umerador: 0 Matemática A

14 ) S = { R ou 6 9} Modo: ² 0 + = ² 0 + = ou ² 0 + = + ² + 6 = 0 ou ² = 0 Segue um esboço dos gráficos das fuções dadas por f() = ² 0 + e g() =. y y = g() y = f() Desse esboço, podemos cocluir que: f() g() ou 6 9. Resposta: ou 6 9 Modo: ² 0 +, R ² 0 + = 0 = ou = 7 = 0 = Resposta: 6 ou 9 ou 9 ou S = { R ou 6 9} Matemática A

15 6) C Domíio de f() = 0 f() = g() = f/g D = { R/ 0 ou > } Domíio de f() = > 0 > < D = { R < < } Domíio de f() = tg () π + kπ π + kπ π. + k π. + k k + D = ( ) π R /, k z Domíio de f() = se 0 D = { R } Domíios coeretes: D = { R }; D = { R 0 ou > } ;D = { R < < } Matemática A

16 GABARITO 7) E Sabedo que o volume é igual ao produto das três dimesões, temos etão a seguite fução: V = (0 ). (0 )., tal que C = 0 é a equação do comprimeto, etão: 0. Verdadeiro. Por defiição, sabemos que a imagem de uma fução g() = a é igual a R +, porém a f() = + terá sua imagem deslocada duas uidades, etão Im = ], + [. 0. Falso. f(a + b) = a + b + = a. b + f(a) = a + f(b) = b + 0 = 0 0 = 0 = = f(a) + f(b) = a + + b + f(a) + f(b) = a + b Falso. f() é crescete, pois a base é maior que. 6. Verdadeiro. f( + ) = + + e f() = +, etão: f( + ) f() = + + ( + ) f( + ) f() = + + f( + ) f() = + f( + ) f() =. f( + ) f() =. ( ) f( + ) f() =. =. L = 0 é a equação da largura, etão: 0 = 0 0 = 0 = = 9) C Por defiição, temos que y = a > 0 para todo real, ou seja, y > 0 (Im = R + ) e para a >, etão f() = a é crescete. 0) D f( + ) = 0 + = 0. 0² = f( + ) = 0 + = 0. 0¹ = 0. 0 f() = 0 f( ) = 0 = 0 = H = é a equação da altura, etão: = Aalisado o sial temos que os itervalos positivos são (0, ) e (0, + ). Porém, como estamos aalisado os lados de uma figura, C > 0, L > 0, H > 0 e V > 0. Logo, o domíio da fução é (0, ). 8) 9 0. Verdadeiro.f(f()) = f() + f(f()) = + + Calculado f(f(0)) temos: f(f(0)) = f(f(0)) = + + f(f(0)) = + f(f(0)) = 7 + f(f(0)) = 9 f ( + ) f ( + ) = f ( ) f ( ) f ( + ) f ( + ) 0.( 00 0) = f ( ) f ( ) 0. 0 f ( + ) f ( + ) = 90 = = 00 = 0² f ( ) f ( ) ) a) () =. ; a = e k = f() = k. a, A = (, ) e B =, 9 Quado =, temos y = : = k. a¹ = k. a = k aplicado a propriedade a a a. a = k (*) = 6 Matemática A

17 Quado =, temos y = 9 9 = k. a² substituido (*) 9 =. a. a² aplicado a propriedade a a m = a + m 9 =. a 9 = a. 9 6 = a a = (**) Substituido (**) em (*): k =. k =. k = b) f(0) = e f() = 7 f() =. Quado = 0, etão f(0) =. 0 =. = Quado =, etão f() =. =. 7 8 = 7 ) D ) A Por defiição, sabemos que a imagem de uma fução g() = a é igual a R +. Porém, a f() = + terá a sua imagem deslocada três uidades, etão Im = ], + [ (t) = 00. t Quado (t) = 00, etão: 00 = 00. t dividido toda a equação por 00: = t fatorado: 9 = t 9 = t 7 = t Etão, t = 7h, ou seja, dia e horas. Matemática A 7

18 ) D f() = a Quado = ; y = 9 9 = a aplicado a propriedade a = a 9 = a 9 = a fatorado: (²) = a aplicado a propriedade (a ) m = a. m : = a = a ) B P = (6) Quado P = 7 78, etão: 7 78 = (6) = 6. (6) = 6. (6) = (6) 6 96 = 6 fatorado:. = (². ²) aplicado a propriedade a. b = (a. b) : (. ) = ((. )²) aplicado a propriedade (a ) m = a. m : (. ) = (. ) = = = 6) Verdadeiro. t = 0 N(0) = 00. N(0) = N(0) = 00. N(0) = Falso. t = N() = 00. m m N() = 00. aplicado a propriedade a = a : N() = 00. N() 707 < Verdadeiro. t = N() = 00. N() = 00. ² N() = 00. N() = 000 =. N(0) Verdadeiro. t = 6 N(6) = 00. N(6) = 00. ¹ N(6) = 00. N(6) = 000 =. N(0) 7) C f() = ab Quatidade iicial: f(0) = ab 0 = a =. Sabedo que a quatidade dobra a cada h, temos: f() = 0. b = 0 b = b =. 8) B Logo, f() =. ( ) =. =.. Etão: =. = 08 = = = t f(t) = k. Quado k = 8; f(t) =. Etão: t = 8. dividido a equação por 8: 8. 8 = 8 t t 6 = aplicado a propriedade a 9) D 6 t = fatorado: = a : ( 6 ) t = aplicado a propriedade (a ) m = a. m : 6 t = 6 = t multiplicado por : 6 = t multiplicado por : 6. = t = t f(t) = a. b t Quado t = 0; f(t) = 0. Etão: 0 = a. b = a = a (*) Quado t =, f(t) = Etão, 8. 0 = a. b = a. b substituido (*) = b³ dividido a equação por 0 000: 8 Matemática A

19 b = = b³ fatorado: ³ = b³ = b 60) B Reescrevedo a fução, temos: f(t) = t Quado t = 0 mi = h, etão: f = m m aplicado a prop. a = a : f = usado =,: f = , f = 000 f() = + e g() = Reescrevedo as fuções, temos: f() = + fatorado: f() = ( ) ( ) + aplicado a prop. (a ) m = a. m : f() = + separado as frações: f() = + aplicado a prop. a a m = a m : f() = + g() = fatorado: g() = ( ) ( ) aplicado a prop. (a ) m = a. m : g() = separado as frações: g() = aplicado a prop. a a m = a m : g() = [g()]² = ( )² de (a b)² = a² ab + b² [g()]² = ( )². ( ). ( ) + ( )² [g()]² = + Calculado [f()]² [g()]², temos: [f()]² [g()]² = + + ( + ) [f()]² [g()]² = [f()]² [g()]² = + aplicado a prop. a : 6) E [f()]² [g()]² = + = f() = + e h() = 9 f() = h() 9 = + aplicado a propriedade a = a : (9 ) = + aplicado a prop. (a ) m = a. m : 9 + = + fatorado: (²) + = + + = + + = + = + = = Substituido em uma das fuções, temos: h = + + = + = h = m m aplicado a propriedade a = a : h = h =. h =. h = = a Elevado as fuções ao quadrado: [f()]² = ( + )² de (a + b)² = a² + ab + b² [f()]² = ( )² +. ( ). ( ) + ( )² [f()]² = + + Matemática A 9

20 6) C f() = Como o epoete é uma equação de segudo grau, precisamos ecotrar o valor de máimo: v = b a v =.( ) v = v = Note que a base da fução está etre 0 e (0 < a < ), etão essa fução é decrescete, isto é, quado o epoete tiver o valor máimo, a potêcia terá o valor míimo. Etão, quado =, temos: f() =. f() = f() = 8 f() = 8 6) A A fução epoecial M(t) pode ser represetada pela equação M(t) = m + com m N e N* e seu gráfico passa pelos potos A = (0, 6) e B= (0, ). Para A temos: 6 = 0 m+ 6 = m = m fatorado: = m = m Para B temos: = + 0 ² = + 0 = + 0 multiplicado a equação por : = = 0 = 0 = 7 = t 0 Matemática A