( 7) ( 3) Potenciação

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1 Poteciação Defiição: Calcular a potêcia de um úmero real a equivale a multiplicar a, por ele mesmo, vezes. A otação da operação de poteciação é equivalete a: Eemplos: 6; 7 9 a a. a. a... a vezes Propriedades: m m+ 5 ) a. a a Eemplo:. ; ) a a m m a ; a 0 Eemplo : ) a Eemplo : m m.. 6 ) ( a ) a Eemplo: ( ) vezes 5) m m m m m a..... a Eemplo: 8 6) ( a b) a. b. Eemplo: (5.) a a 7) ; b 0 b b Eemplo: 8) b ; b 0 b Eemplo: m m 9) a a, > Eemplo: OBS: 0 0; 00 ; ( ) 9; 9; ( ) 7; 8 ( 8 ) ( 8) ; 9 ( 7) ( 7)

2 .8 Fução epoecial Defiição: A fução f: IR IR dada por f()a (a ; a>0) é deomiada fução epoecial de base a e defiida para todo real. Eemplos: ( ) f f f f f 5 ) (, 5 ) (, 5 ) (, ) (, ) ( Domíio: IR Imagem: IR * + Gráfico: Vamos costruir os gráficos de algumas fuções epoeciais e observar algumas de suas propriedades. O gráfico da fução epoecial apreseta dois tipos de comportameto: um, quado a>, e outro quado 0<a<. Eemplo: f(), a> Eemplo :, ode 0<a<

3 Eemplo : Vamos costruir o mesmo diagrama os gráficos das fuções y e y. Caso geral:

4 Propriedades:. f()a f(0)a 0, isso sigifica que o par ordeado (0;) pertece a toda fução epoecial.. Como a>0 e a, temos duas possibilidades: a> ou 0<a<. ) a > No gráfico de ya, quado a>, vemos que a fução epoecial é crescete, pois, esse caso, aumetado o valor de, sempre aumeta o valor de y. Quado a>, temos: > a > a Eemplo: > >.) 0<a< No gráfico de ya, quado 0<a<, vemos que essa fução epoecial é decrescete, pois, esse caso, aumetado o valor de, sempre dimiui o valor de y. Quado 0<a<, temos: > a < a Eemplo: 7> (/) 7 < (/). Como a>0 e a, etão a >0, IR. Daí, Im(f)IR * + (a fução epoecial é estritamete positiva). Na represetação gráfica da fução epoecial, temos uma reta horizotal assítota (y0), que represeta o limite iferior da fução. 5. Essa propriedade é muito útil a resolução de equações epoeciais. Quado a>0, temos a a Eercícios: ) ) ) ) Dê o cojuto imagem da fução aterior.

5 Eercícios propostos ) ) Respostas: ) ) Equações epoeciais São equações em que a icógita é um epoete. Resolvem-se estas equações utilizado-se propriedades da poteciação. Eistem duas situações: Eercícios: 5

6 ) Eercícios propostos: ) ) ) 5) Respostas ) a) S{} b) S ) a) S{-} b) S{7/5} c) S{-} d) S ) S{} ) a) S{-} b) S c)s{0} 5) a) S{} b) S{-,} c)s{0,} 6

7 Iequação epoecial Uma iequação epoecial é aquela que apreseta a icógita o epoete de pelo meos uma potêcia. Um método usado para resolver iequações epoecias cosiste em reduzir ambos os membros da iequação a potêcias de mesma base a (0<a ) e daí resolver coforme a base: Eemplos: Eercícios: ) Resolva as iequações: a) 5 > 5 7 b) 0,0 > 0,0 7

8 ) ) Eercícios propostos: ) ) ) ) Respostas: ) ) ) S{ IR/ <<} ) 8

9 Fução logarítmica Logaritmos a base 0 O pricípio básico a resolução de equações e iequações epoeciais foi a comparação de potêcias com mesma base. Esse pricípio, o etato, é iadequado para resolver uma equação epoecial do tipo: 0. Na resolução dessa equação, a dificuldade está em escrever o úmero sob a forma de potêcia com base 0. Com estudos feitos até aqui, ão sabemos qual é o valor de em como determiá-lo. Para solucioar este e outros problemas, vamos estudar os logaritmos. Defiição: Sedo a e b úmeros reais positivos, com a, chama-se logaritmo de b a base a o epoete ao qual se deve elevar a base a de modo que a potêcia a seja igual a b. log b a a Na epressão log b,temos : b a a é a base do logaritmo; b é o logaritmado; é o logaritmo. Eemplos: Eemplo: Calcule, através da defiição: a) log 9 b) log 6 0,5 OBS: As restrições para a (0<a ) e para b (b>0), colocadas a defiição, garatem a eistêcia e a uicidade de log a b. Cosequêcias Aplicado a defiição do logaritmo obtém-se as seguites coseqüêcias: 9

10 log a 0, pois a 0 log a a, pois a a log a a α α, pois a α a α a log a b b, pois o logaritmo de b a base a é justamete o epoete que se deve dar a base a para que a potêcia fique igual a b. bc log a blog a c (b>0;c>0) Sistemas de logaritmos O cojuto formado por todos os logaritmos dos úmeros reais positivos em uma base a (0<a ) é chamado sistema de logaritmos de base a. Por eemplo, o cojuto formado por todos os logaritmos de base dos úmeros reais positivos é o sistema de logaritmos de base. Eistem dois sistemas de logaritmos que são os mais utilizados em Matemática: a) o sistema de logaritmos decimais, que é o de base 0. Esse sistema foi desevolvido pelo matemático iglês Briggs (56-60). Idicaremos com log 0 ou log, o logaritmo decimal de. b) O sistema de logaritmos eperiaos, que é o de base e (e é um úmero irracioal que vale,788,,,) e cuja origem será eplicada em Cálculo. O ome eperiao deriva de Joh Napier (550-67), matemático escocês, autor do primeiro trabalho publicado sobre a teoria dos logaritmos. Represetaremos o logaritmo eperiao de com log e ou l. Eercício proposto Calcule pela defiição os seguites logaritmos a) log 9 b) log 8 c) log 5 65 d) log 000 e) log 8 6 0

11 Propriedades Eemplo: Eercícios propostos ) ) )

12 Respostas ) ) ) Mudaça de base Eemplos: Eercícios propostos

13 Fução logarítmica OBS: y ) ylog a a. O sigificado dessa epressão é que a fução logarítimica e a fução epoecial são iversas uma da outra. ) f()log a f()log a 0. Isso sigifica que o par ordeado (;0) pertece a toda fução logarítmica. ) Como a>0 e a, temos duas possibilidades: a> ou 0<a<. a) Seja a> < log a < log a f( ) < f( ). Daí, f é crescete. b) Seja 0<a< < log a > log a f( ) > f( ). Daí, f é decrescete.

14 Essas fuções são simétricas em relação à reta y. Assítotas horizotais e verticais a uma curva Assítotas verticais: paralelas ao eio y.

15 Assítotas verticais A reta a é uma assítota vertical do gráfico da fução f() se pelo meos uma das seguites codições ocorrer: ) lim + f () + ) lim f () + ) lim f () ) + f () a a a a Eemplo: fução tagete Assítotas horizotais: paralelas ao eio. A reta yb é uma assítota horizotal do gráfico da fução f() se pelo meos uma das seguites codições ocorrer: lim f ( b ou lim f ( b + ) Eemplo: f()e ) 0. OBS: Na represetação gráfica da fução logarítmica, temos uma assítota vertical Eercício Determie o domíio, a imagem e esboce o gráfico das seguites fuções: a) log b) log /6 5

16 Equações logarítmicas São equações que evolvem logaritmos. Para resolvê-las, seguimos os passos seguites:. Primeiramete, estabelecemos as codições de eistêcia, ecotrado os valores de para os quais eistem todos os logaritmos mecioados a equação; para isso, os logaritmados devem ser positivos e as bases, positivas e diferetes de (coforme a defiição de logaritmo). Resolver a equação. Aplicamos a defiição e as propriedades dos logaritmos para obter os valores de que, se satisfazerem as codições de eistêcia, serão soluções da equação. Eistem dois casos a resolver: 6

17 Eercícios propostos: ) Resolva as equações logarítmicas: a)log b) log 8 c)log 6 d)log () e)log 8 f)log g) log h)log (log ) + 9 ) Resolva as equações: a)log 7 ) log 5 b)log () c)log ( ) log 0 ( 7 7 d)log ( ) + log 0 ) Dê o domíio das fuções: a) f() log ( 6 + 8) b) g()log 7 + ( 7 + c)h()log 0) Respostas dos eercícios ) a) S{-8,8} b) S{9} c)s{} d)s{} e)s{/9} f)s{} g) S{} h) S{} ) a) S{} b) Sφ c)s{} d)s{} ) a) D{ IR/< ou >} b)d{ IR/,, } c)d{ IR/>5} 7

18 Iequação logarítmica São iequações que evolvem fuções logarítmicas. Eercícios propostos ) Resolva as iequações: a) log ( + 6) > log b)log ( ) < 5 8 ( 6) < log8 8 d)log5 ( 7) >.log5 0,( ) > log 0, 7 f )log ( ) > ( + ) < h) log0, 5 ( ) < c)log 6 e)log f) log 0 Respostas: )a) S{ IR/ > 5} b)s{ IR/>} c)s{ IR//<<6} d)s{ IR/>} e)s{ IR/<<0} f)s{ IR/>} g)s{ IR/-<<7} h)s{ IR/>/} 8