Professor Mauricio Lutz LIMITES

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1 LIMITES ) Noção ituitiva de ites Seja a fução f ( ) +. Vamos dar valores de que se aproimem de, pela sua direita (valores maiores que ) e pela esquerda (valores meores que ) e calcular o valor correspodete de y: y + y +, 0,,,6 0,7,,, 0,9,8,0, 0,9,9,0,0 0,98,96,0,0 0,99,98 Notemos que à medida que se aproima de, y se aproima de, ou seja, quado tede a ( ), y tede para ( y ), ou seja: ( + ) Observamos que quado tede para, y tede para e o ite da fução é. Esse é o estudo do comportameto de f () quado tede para ( ). Nem é preciso que assuma o valor. Se f () tede para ( f ( ) ), dizemos que o ite de f () quado é, embora possam ocorrer casos em que para o valor de f () ão seja. De forma geral, escrevemos: f ( ) b se, quado se aproima de a ( a ), f () se aproima de b ( f ( ) b ) Seja, agora a fução +, f ( ), se Como + ( )( + ), temos: ( )( + ), f ( ), se RS 77 km 7 Passo Novo Foe/Fa: () -9600

2 Podemos otar que quado se aproima de ( ), f () se aproima de, embora para tehamos f ( ), o que ocorre é que procuramos o comportameto de y quado. E, o caso, y. Logo, o ite de f () é. Escrevemos: ( )( + ) f ( ) ( + ) + Se g : R R e g ( ) +, g( ) ( + ) +, embora g( ) f ( ) em. No etato, ambas têm o mesmo ite. ) Defiição de ite Dizemos que o ite da fução f () quado tede a a é igual ao úmero real L se, e somete se, os úmeros reais f () para os ifiitos valores de permaecem próimos a L, sempre que estiver muito próimo de a. Idica-se: f ( ) L ) Propriedades dos ites ) Limite de uma costate O ite de uma costate é a própria costate. Eemplo: k k RS 77 km 7 Passo Novo Foe/Fa: () -9600

3 ) Limite da soma e difereça O ite da soma é soma dos ites. O ite da difereça é a difereça dos ites. [ f ( ) ± g( ) ] f ( ) ± g( ) Eemplo: [ + ] + + ) Limite do produto O ite do produto é o produto dos ites. Eemplo:..9 6 [ f ( ). g( ) ] f ( ). g( ) ) Limite do quociete O ite do quociete é o quociete dos ites desde que o deomiador ão seja zero. f ( ) f ( ) g( ) g( ) Eemplo: ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) + 6 ) Limite de uma potêcia O ite de uma potêcia eésima de uma fução é igual à potêcia eésima do ite. [ f ( ) ] ( f ( ) ) * Ν Eemplo: ( + ) ( ( + ) ) ( + ) 6 6 ) Limite da raiz O ite da raiz eésima de uma fução é igual a raiz eésima do ite dessa fução. f ( ) f ( ) Eemplo: 8 RS 77 km 7 Passo Novo Foe/Fa: () -9600

4 Eercícios Determie: a) 7 b) e) ( + ) f) ( + + ) 0 d) c) ( + ) g) 6 h) ( )( ) i) + j) k) ( ) 6 l) ( + ) m) 8 ) o) ( + )( ) p) ( ) 0 q) r) + 0 s) t) + Gabarito a) 7 b) c) d) 66 e) 9 f) g) 6 h) i) 9 j) k) 79 l)6 m) ) o) 0 7 p) q) r) 6 s) t) 7 ) Limites laterais Se se aproima de a através de valores maiores que a ou pela sua direita, escrevemos: f ( ) b + Este ite é chamado de ite lateral à direita de a. Se se aproima de a através de valores meores que a ou pela sua esquerda, escrevemos: f ( ) c Este ite é chamado de ite lateral à esquerda de a. O ite de f () para a eiste se, e somete se, os ites laterais à direita e a esquerda são iguais, ou seja: Se f ( ) f ( ) b, etão f ( ) b. + Se f ( ) f ( ), etão ão eiste f ( ). + RS 77 km 7 Passo Novo Foe/Fa: () -9600

5 ) Cotiuidade Dizemos que uma fução é cotiua um poto a do seu domíio se as seguites codições são satisfeitas: eiste f (a) eiste f ( ) f ( ) f ( a) Eemplo: Verificar se a fução Cálculo de f () f ( ) é cotíua em. f ( ) f () Calculo do f ( ) : ( + )( ) ( + ) + Como f ( ) f (), f () é cotíua em. Eercícios ) Dada a fução a) 0. b). c). f ( ), diga se f () é cotíua os potos: + ) Dada a fução a). b). + f ( ), diga se f () é cotíua os potos: + 0 Gabarito )a)cotíua b) descotíua c) cotíua )a) cotíua b) descotíua RS 77 km 7 Passo Novo Foe/Fa: () -9600

6 6 6) Limites evolvedo ifiitos 0 Eemplo: ) Limites evolvedo fuções compostas Se f c g( ) b e f é cotíua em b etão: c ( g( ) ) f ( b) f ( g( ) ) c c g ( ) g( ) c Eemplo: + ( + )( + 9) ( + 9) 7 ( ) ( ) + 9) 8) Limite da fução poliomial para ± ± f ( ) a ± f ( ) a g( ) ± b ± m m Eemplos: ) Dada a fução f ( ) +, calcular f ( ). + f ( ) ( ) ) Calcular RS 77 km 7 Passo Novo Foe/Fa: () -9600

7 7 ) Calcular ( + + ) + ( + + )( ) + ( ) Eercícios Calcule: + a) ( + 7) + 7 d) ( + + ) g) b) ( + ) e) h) j) + 7 k) + m) ) c) ( + + ) f) i) l) o) ( + ) Gabarito a) + b) + c) + d) e) f) 0 g) + h) i) 9 j) / k) / l) 7/ m) ) + o) 9) Limite epoecial fudametal + e, e Eemplo: 0 0 ( + ) e e e RS 77 km 7 Passo Novo Foe/Fa: () -9600

8 8 0) Limite trigoométrico fudametal 0 0 se sek m se8 Eemplos: a) Calcule 0 se8 se se b) Calcule 0 se se se. 0 se 0 se. k m..8 8 Eercícios Calcule: a) + 6 b) + c) d) + a e) se 0 f) se 0 g) se 0 se h) se 0 i) j) 0 se seπ seπ Gabarito a) 6 e b) e c) e e d) e e) / f) g) / h) / i) j) / RS 77 km 7 Passo Novo Foe/Fa: () -9600