DERIVADA DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL

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1 DERIVADA DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL

2 Editora da Uiversidade Estadual de Marigá Reitor: Prof Dr Gilberto Cezar Pavaelli Vice-Reitor: Prof Dr Agelo Priori Pró-Reitora de Pesquisa e Pós-Graduação: Prof a Dr a Alice Eiko Murakami Diretora de Pesquisa e Pós-Graduação: Profª Drª Maria Helea A Dias Coordeador Editorial: Profª Drª Ruth Izumi Setoguti CONSELHO EDITORIAL Profª Drª Ruth Izumi Setoguti, Prof Dr Beedito Prado Dias Filho, Prof Dr Carlos Alberto Scapim, Prof Dr Edso Carlos Romualdo, Prof Dr Eduardo Augusto Tomaik, Prof Dr Edvard Elias de Souza Filho, Profª Drª Hilka Pelizza Vier Machado, Prof Dr José Carlos de Sousa, Prof Dr Luiz Atoio de Souza, Prof Dr Lupércio Atoio Pereira Secretária: Maria José de Melo Vadrese

3 Carla Motorfao João César Guirado João Roberto Gerôimo Jorge Ferreira Lacerda Rui Marcos de Oliveira Barros Valdei Soliai Fraco DERIVADA DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL Coleção Fudametum º 7 Marigá 6

4 Divisão de editoração Capa arte fial Projeto gráfico e editoração eletrôica Tipologia Tiragem Marcos Kazuoshi Sassaka Luciao Wilia da Silva Marcos Cipriao da Silva Norberto Pereira da Silva Paulo Beto da Silva Solage Marli Oshima Luciao Wilia da Silva Marcos Kazuoshi Sassaka Luciao Wilia da Silva Marcos Kazuoshi Sassaka Garamod eemplares Dados Iteracioais de Catalogação-a-Publicação (CIP) (Biblioteca Cetral - UEM, Marigá PR, Brasil) L74 Limites e cotiuidade de fuções reais de uma variável real / Carla Motorfao [et al] -- Marigá, PR : Eduem, 6 47 p:il (Coleção Fudametum ; 6) ISBN Cálculo diferecial Limites de fuções Cotiuidade de fuções I Motorfao, Carla II Título CDD ed55 Copright 6 para João Roberto Gerôimo Todos os direitos reservados Proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo mecâico, eletrôico, reprográfico etc, sem a autorização, por escrito Todos os direitos reservados desta edição 6 para Eduem Edereço para correspodêcia: Eduem Editora da Uiversidade Estadual de Marigá Av Colombo, Campus Uiversitário, Marigá-Paraá Foes: (44) Fa: (44) eduem@uembr - Visite Livraria Eduem Av Colombo, Campus Uiversitário, Marigá-Paraá Foe/ Fa: (44) livrariaeduem@uembr

5 Apresetação Este trabalho tem como objetivo apresetar, de maeira cocisa, os coceitos e resultados do Cálculo Diferecial e Itegral de uma variável e está dividido em quatro volumes que tratam especificamete dos seguites assutos: I Cojutos Numéricos e Fuções; II Limites e Cotiuidade; III Derivadas e Aplicações; IV Itegrais e Aplicações Neste terceiro volume são apresetados o coceito de derivada, suas pricipais propriedades e algumas aplicações O teto está escrito em uma liguagem precisa e esclarecedora Precisa, porque a Matemática ão pode ser costruída sem o devido rigor a liguagem e a lógica de suas proposições; esclarecedora, porque desejamos evitar o aparecimeto de defiições e omeclaturas desecessárias, que dificultem o camihar do estudate durate a leitura desta obra Visado à complemetação dos tetos, estará dispoível a Iteret uma págia cujo acesso pode ser feito através do edereço wwweduemuembr/calculo Nesta págia serão apresetados mais eemplos, biografias, fatos históricos e curiosidades ieretes ao Cálculo, bem como serão propostos mais eercícios e referêcias bibliográficas, para permitir ao estudate aprofudar seus estudos em ível de graduação Lembramos que por ser um teto a ser aplicado em disciplias de cálculo o ao letivo de 6, a págia estará em processo de costrução ão cotedo de imediato todas as iformações propostas, mas que o decorrer do ao isso deverá estar cocretizado

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7 Sumário Itrodução 9 O Coceito de Derivada 9 Reta Tagete Derivada de uma Fução Quado ão eiste a derivada? 4 Regras de Derivação 9 Derivada de Fuções Trigoométricas Derivada da Fução Composta Derivada da Fução Iversa 5 Derivação Implícita 6 Máimos e Míimos 8 Teste da Derivada Primeira Derivadas de Ordem Superior 4 Teste da Derivada Seguda 5 Potos de Ifleão 7 Aplicações 4 Diferecial 4 Fórmula de Talor 4 Regra de L Hospital 44 Esboço de Gráfico de Fuções 45 Problemas de Máimo e Míimo 49 Taas Relacioadas 5 Formulário Geral 5

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9 Derivada de Fuções Reais de Uma Variável Real Carla Motorfao, João César Guirado, João Roberto Gerôimo, Jorge Ferreira Lacerda, Rui Marcos de Oliveira Barros e Valdei Soliai Fraco Itrodução Se uma gradeza depede de uma gradeza, etão a defiição da derivada de em relação a formaliza o coceito ituitivo da taa de variação istatâea de em relação a Se, por eemplo, determia a posição de um móvel sujeito a uma variação uidimesioal em sua posição de repouso depededo do tempo, a taa de variação istatâea de em relação a é a velocidade istatâea do móvel em fução do tempo A derivação é um coceito matemático que se torou ferrameta para a solução de iúmeros problemas como veremos adiate Vamos primeiramete ilustrar a ecessidade do uso da ferrameta derivação, utilizado um problema muito simples, mas que a matemática estudada o esio médio ão cosegue resolver O Coceito de Derivada Ates de defiir derivada, vamos resolver um problema que, como você observará, tem muito a ver com o coceito de derivada Vamos chamá-lo de problema do galiheiro : Pretede-se cercar um galiheiro em forma retagular de modo a se obter a maior área possível, utilizado eatamete 8m de tela para cercá-lo Para resolver esse problema vamos chamar de e as dimesões do galiheiro Assim, a área desse galiheiro é dada por A(, ) = e seu perímetro por P(, ) = + Cosiderado que, este caso, o perímetro é cohecido, temos P(, ) = + = 8, dode = 4 Logo, podemos escrever a área A(, ) como fução do lado, ou seja, A( ) = (4 ) = 4 Observe que e ão podem ser egativos e como = 4, devemos ter < < 4 Portato, o domíio da fução A é o itervalo aberto(, 4) e o esboço do gráfico é dado por: Graf A

10 Observado esse gráfico otamos que em = a fução A assume o seu maior valor, ou o valor máimo da fução área Para essa abscissa, obtemos como ordeada = 4, que será o maior valor da área A Assim, o poto do gráfico ode ocorre esse máimo é (, 4) Você cosegue, de maeira ituitiva, traçar uma reta tagete ao gráfico este poto? Qual será o possível coeficiete agular dessa reta tagete? Reta Tagete O observado ateriormete ão acotece somete para o gráfico de uma fução quadrática, mas sim para uma ifiidade de gráficos de fuções os quais eistam ordeadas máimas ou míimas ode seja possível traçar sua tagete A relação etre o coeficiete agular da reta tagete e as ordeadas máimas ou míimas de uma curva motiva o uso da derivada como ferrameta para detectar possíveis potos de máimo ou míimo locais de uma fução Para chegar a tal coceito comecemos apresetado algumas tetativas de se defiir reta tagete a uma curva Vejamos que cada uma delas possui falhas, apresetado eemplos que comprovam esse fato Reta tagete a uma curva um poto é: ( a tetativa) a reta que itercepta (ou toca) a curva em apeas um poto Na figura a seguir, a reta r itercepta a curva em apeas um poto e, o etato, ão os parece que a reta r seja tagete à curva r ( a tetativa) a reta que toca a curva um poto e deia a curva em apeas um dos semi-plaos determiado por ela Parece razoável dizer que a reta r a figura a seguir é tagete à curva o poto de abscissa =, o etato esta reta ão deia a curva em apeas um dos semi-plaos determiado por ela r Palavra de origem latia tages que sigifica tocado

11 ( a tetativa) a reta que toca a curva sem cortá-la Novamete a figura aterior temos uma reta tagete que corta a curva Além dessas, aparecem outras que em merecem cometários Por eemplo: Tagete é uma reta que tagecia a curva Depois de muitas tetativas (frustradas) surgiu o coceito atual de reta tagete, formulado por Fermat em toro de 6: Cosidere uma curva dada pelo gráfico de uma fução = f ( ) e P um poto fio sobre essa curva (ver figura a seguir) Seja Q um segudo poto próimo de P sobre a curva e desehe a reta secate PQ A reta tagete à curva em P é defiida como a posição limite da reta secate quado Q desliza ao logo da curva em direção a P r P Q = f() Eemplo : Vamos determiar a reta tagete à curva = os potos de abscissas = e = (i) = : Cosidere a reta secate passado pelos potos (, ) e ( h, h ) com h suficietemete h pequeo A equação dessa reta secate é dada por = ( ) Quado h se aproima de, o h poto ( h, h ) se aproima de (,) e a reta secate de equação = h tede à reta de equação = Dessa forma, temos que a reta de equação = é a reta tagete à curva (ii) = : Cosidere a reta secate passado por P (, ) e Q( + h,( + h) ) = Q( + h,+ h + h ), com h suficietemete pequeo A equação da reta secate por P e Q é dada por + h + h = ( ) = ( + h)( ) + h = o poto (, ) Quado h tede a, o poto Q se aproima de P, e a reta secate de equação = ( + h)( ) se aproima da reta de equação = ( ) Assim, a reta de equação = ( ) é a reta tagete à curva = o poto (, ) Eercício : Utilizado a idéia do eemplo aterior, ecotre a reta tagete à curva potos ode = e = = os

12 Derivada de uma Fução As cosiderações feitas ateriormete sobre ordeadas máimas e míimas do gráfico de uma fução e a motivação do coceito de reta tagete iduzem a seguite defiição: Defiição: Sejam f : ( a, b) R uma fução e ( a, b) A derivada de f o poto, deotada df por f '( ) ou por ( ), é o limite d lim f ( ) f ( ), caso eista Se este limite eiste, dizemos que f é derivável ou difereciável em Quado ão eiste este limite dizemos que f ão é derivável o poto Podemos escrever a fórmula da defiição da derivada de outra maeira Tomado =, temos f ( + ) f ( ) f '( ) = lim = lim, ode = f ( + ) f ( ) Os limites laterais lim + f ( ) f ( ) e lim f ( ) f ( ) são chamados, respectivamete, derivada à direita e derivada à esquerda de f o poto deotadas, respectivamete, por f '( + ) e f '( ) Proposição: Seja f uma fução defiida em ( a, b ), com ( a, b) A derivada de f em eiste se, e somete se, as derivadas laterais f '( + ) e f '( ) eistem e são iguais Demostração: Segue imediatamete da defiição de limite Defiição: Seja f uma fução defiida em ( a, b ) Se f é derivável em todos os potos de ( a, b ), dizemos que f é derivável o itervalo ( a, b ) Eemplo : Sedo f ( ) temos que =, determiemos f '(), f '() e f '( a ), para todo a R Por defiição, f ( ) f () f '() = lim = lim = lim = Logo, f '() = f ( ) f () 4 ( )( + ) f '() = lim = lim = lim = lim( + ) = 4 f ( ) f ( a ) a ( a )( + a) f ' ( a) = lim = lim = lim = lim ( + a ) = a a a a a a a a Logo, f '( a) = a, a R Logo, f '() = 4 Eemplo : Sedo f ( ) =, determiemos f '( a ), para todo a R Por defiição, temos que f ( ) f ( a ) a ( a )( + a + a ) f ' ( a) = lim = lim = lim = lim ( + a + a ) = a a a a a a a a

13 Logo, f '( a ) = a, a R Eemplo 4: Sedo Segue que, f ( ) =, calculemos f '( a ), para todo a R Por defiição, a f ( ) f ( a ) a f ' ( a ) lim lim ( ) = = = lim a a = lim = lim = a a a a a a a a( a ) a a a * f '( a ) =, a R a Eemplo 5: Sedo, < f ( ) =, =, verifiquemos se eiste f '() Temos, > f ( ) f () f '( ) = lim = lim = lim = + f ( ) f () f '( ) = lim = lim = lim = Como as derivadas laterais são diferetes, cocluímos que ão eiste f '() Eemplo 6: Sedo f ( ) =, determiemos os potos ode esta fução possui derivada e calculemos o seu valor Se a >, etão, a a + a a f '( a ) = lim = lim = lim = lim = a a a a + a a ( a )( + a ) a + a a Assim, f '( a ) =, se a > a A defiição formal de derivada, apresetada aqui, relacioa-se com o problema de determiar a reta f ( a + ) f ( a) tagete ao gráfico de uma fução f o poto ( a, f ( a )), pois o quociete é o coeficiete agular da reta secate ao gráfico de f que passa pelos potos P( a, f ( a )) e Q( a +, f ( a + )) Fazer o poto Q se aproimar do poto P, pode ser formalizado eigido que teda a Etão, a reta secate pelos potos P( a, f ( a )) e Q( a +, f ( a + )), que possui equação f ( a + ) f ( a) f ( a + ) f ( a) f ( a ) = ( a), tederá, caso eista o limite lim = f '( a ), à reta tagete ao gráfico de f o poto P( a, f ( a )) de equação f ( a ) = f '( a )( a), isto é, a icliação da reta tagete ao gráfico de f o poto ( a, f ( a )) é f '( a ) Pode ocorrer, cotudo, que eista a reta tagete ao gráfico de f um poto ( a, f ( a )), sem que eista a derivada f '( a ) Neste caso, a reta tagete é vertical e é dada pela equação = a Como Eemplo 7: Sedo f ( ) f '( ) =, >, temos que =, ecotremos a equação da reta tagete ao gráfico de f o poto (9, ) f '(9) = Segue que a icliação m da reta tagete t ao gráfico 6

14 de f o poto (9, ) é igual a 6 Isto é, m = Logo, a equação da reta t é dada por 6 seja, = + 6 = ( 9), ou 6 Eercícios: Ecotre a equação da reta tagete à curva = f ( ) o poto P, sedo a fução f dada por: a) f ( ) = ; P =, b) f ( ) = + + ; P = (, ) Se 4 Se f ( ) / =, ecotre a derivada de f, usado a defiição, e determie o domíio de f ' 4 + f ( ) =, ecotre a derivada de f, usado a defiição, e determie o domíio de f ' 5 Quado ão eiste a derivada? Quado uma fução f ão é derivável um poto sigifica que ão eiste o limite estudar as situações mais comus para a ão eistêcia desse limite lim Vamos Proposição: Seja f uma fução defiida em ( a, b ), com ( a, b) Se f possui derivada em, etão f é cotíua em Demostração: Para todo ( a, b),, podemos escrever Logo, Assim, f ( ) f ( ) f ( ) = f ( ) f ( ) + f ( ) = ( ) + f ( ) f ( ) f ( ) lim ( ) = lim ( ) + lim ( ) = f f f ( ) f ( ) = lim ( ) lim + lim ( ) = '( ) + ( ) = ( ) f f f f lim f ( ) = f ( ) Portato, f é cotíua em A proposição aterior também os idica uma das situações em que a derivada ão eiste: Se a fução f é descotíua em Eemplo 8: Dada a fução lim f ( ) = lim = e são diferetes, temos que ão eiste = a, etão f ão é derivável em = a, f ( ) =, ecotre, se possível, f '() Temos que, > lim f ( ) = lim ( ) = Como os limites laterais de f quado tede a + + lim f ( ) e, assim, f ão é cotíua em = Logo, pela proposição 4

15 5 aterior, f ão é derivável em = Portato, ão eiste f '() Perceba a ilustração a seguir a impossibilidade de eistêcia de uma reta tagete ao gráfico de f o poto (, f ()) π se( ), 4 Eemplo 9: A fução f dada por f ( ) = ão é derivável em = porque ão é, > 4 cotíua este poto Para verificar a descotiuidade da fução em = vamos calcular os limites laterais: lim f ( ) = π lim se( ) 4 = e lim f ( ) = lim + + = + 4 Observado o gráfico da fução f também percebemos a impossibilidade da eistêcia de uma reta tagete ao gráfico de f o poto (,) Uma outra situação que os leva à ão eistêcia da derivada de uma fução f em um poto = é o caso em que o gráfico da fução apreseta um bico Neste caso, a fução f é cotíua em e o que ocorre é que as derivadas laterais em = são distitas O próimo eemplo ilustra esta situação +, Eemplo : Cosidere a fução f defiida por f ( ) = O gráfico de f apreseta um ( ), > bico o poto P (, ) Quado Q(, f ( )), tede ao poto P, com >, temos que a reta 5

16 secate r que passa por P e Q tede para uma reta t; porém, quado Q(, f ( )), tede ao poto P, com <, temos uma reta secate r tededo para uma reta t ' diferete de t P P t ' t As retas t e t ' ão poderiam mesmo ser iguais, pois: f ( ) f () + lim = lim = lim = e f ( ) f () + lim = lim = lim ( ) = Assim, os coeficietes agulares das retas t e t ' são distitos Este eemplo mostra aida que a recíproca da proposição aterior ão é verdadeira, porque a fução é cotíua em =, lim f ( ) = lim f ( ) =, mas f ão é derivável em = + Eemplo : Cosidere a fução f defiida por f ( ) = O gráfico de f tem um bico o poto (, ) e, portato, f ão é derivável em = Sabedo que a fução f ( ) = é cotíua em =, procuremos suas derivadas laterais f ( ) f () f '( ) = lim = lim = lim ( ) = e + f ( ) f () f '( ) = lim = lim = lim = Como as derivadas laterais em = são diferetes, f ão é derivável em = O comportameto do gráfico de f pode ser visto a ilustração a seguir 6

17 ALERTA: Não podemos cofiar o esboço de gráficos para tirar coclusões acerca da eistêcia ou ão de derivadas O gráfico de uma fução f, por ser formado de potos (, f ( )) R, ão os é visível, pois só visualizamos objetos do mudo real O que coseguimos eergar são esboços, são aproimações de gráficos de fuções! Quado os deparamos com um comportameto de um esboço de gráfico, as proimidades de um poto, que se assemelhe a um bico, devemos utilizar a represetação aalítica da fução para procurarmos as derivadas laterais Cuidado especial deve ser tomado quado aalisamos gráficos de fuções por itermédio de um software gráfico ou mediate o uso de calculadoras gráficas Nessas codições, devido à graulação da tela, podemos tirar coclusões equivocadas a respeito da derivabilidade de fuções Eemplo : A fução f ( ) = ão é derivável em = Como f () =, a derivada em = f ( ) é dada por lim, se este limite eistir Porém, este limite ão eiste De fato, utilizado a defiição de módulo Assim, f ( ) lim lim lim lim lim = = = = = +, < f ( ) =,, f ( ) Logo, ão eiste lim e, portato, f ão é derivável em = O comportameto do gráfico de f pode ser visto a ilustração a seguir

18 Eemplo : A fução f ( ) = ão é derivável em = Se o limite lim derivada de f em = é dada por este limite Calculado este limite, vemos que Logo, f ão é derivável em = lim f ( ) f () eistir, a = lim = + Observe que este eemplo, apesar da ão eistêcia da derivada de f o poto (, ), a saber, a reta de equação = f '(), eiste reta tagete ao gráfico Isto sigifica que a eistêcia de reta tagete ao gráfico de uma fução f um poto ( a, f ( a )) ão garate que a fução f seja derivável em = a Eemplo 4: A fução f ( ) = f ( ) f () mostremos que lim e + f ( ) f () f '( ) = lim = +,, > ão é derivável em = Para verificar isso, ão eiste De fato, calculado as derivadas laterais de f em = lim + = lim = ( ) = lim = lim = + ( )( + ) + + f ( ) f () f '( ) = lim = + lim = Como f '( ) f '( ), segue que f ão é derivável em =, temos 8

19 9 Observe que a derivação de fuções é um processo de obter, a partir de uma fução f, uma outra fução f ' com um domíio evetualmete meor O domíio de f ' é o cojuto dos potos do domíio de f os quais f é derivável Regras de Derivação As proposições a seguir permitem ecotrar a derivada de certas fuções, sem precisar recorrer à defiição de limite Proposição: Se c é uma costate e f ( ) Demostração: Para qualquer a R temos = c, etão f '( ) = f ( ) f ( a ) c c f '( a ) = lim = lim = lim = a a a a a Logo, f '( ) = Proposição: Se N e f ( ) =, etão Demostração: Para qualquer a R temos f '( ) = f ( ) f ( a) a ( a )( + a + + a + a ) f '( a ) = lim = lim = lim = a a a a a a = lim( + a + + a + a ) = a a Assim, f '( ) = Eemplo 5: A derivada da fução f ( ) = é a fução f ' dada por 99 f '( ) = Proposição: Se N e f ( ) =, etão Demostração: Para qualquer * a R temos f '( ) = 9

20 ( ) '( ) lim a a a f a = = lim = lim = a a a a ( a ) a a a ( a ) = lim lim a a a a Pela proposição aterior, lim a a = a tem-se Proposição: Seja N e Demostração: Temos ( a ) lim = a a a e como f '( a ) = a, a Assim f ( ) =, se > etão f '( ) = f '( ) = f ( ) f ( a ) a f '( a ) = lim = lim a a a a Se fizermos u = e b = a >, quado tede a a ( a) temos u tededo a b ( u b) Assim, a u b f '( a ) = lim = lim = lim = = = a a u b u b a u b u b b a u b Portato, temos f '( ) = quado > Proposição: Sejam f uma fução, c uma costate e g a fução defiida por g( ) = c f ( ) Etão, se f ' eiste, temos que g ' eiste e g '( ) = c f '( ) Demostração: Para qualquer a Dom f ' temos g( ) g( a) c f ( ) c f ( a ) f ( ) f ( a) g ' ( a ) = lim = lim = lim c = a a a a a a f ( ) f ( a ) = c lim = c f '( a) a a Portato, g '( ) = c f '( ) Eemplo 6: A derivada da fução f ( ) = é a fução f '( ) = Proposição: Sejam f e g fuções e h a fução defiida por h( ) = f ( ) + g( ) Etão, se f ' e eistem, temos que h ' eiste e h '( ) = f '( ) + g '( ) Demostração: Para qualquer a Dom f ' Dom g ' temos g '

21 h( ) h( a ) f ( ) + g( ) f ( a) g( a ) f ( ) f ( a ) g( ) g( a ) h '( a) = lim = lim = lim + = a a a a a a a f ( ) f ( a ) g( ) g( a ) = lim + lim = f '( a) + g '( a) a a a a Portato, h '( ) = f '( ) + g '( ) Eemplo 7: A derivada da fução 4 f ( ) = + é a fução f '( ) = 4 Eemplo 8: A taa de variação istatâea de = f ( ) por uidade de variação de em é a derivada de uma fução f um poto (, f ( ) Eistem iúmeras aplicações de taa de variação: velocidade, aceleração, crescimeto populacioal, etc Como eemplo cosidere uma partícula que se move sobre uma reta ordeada segudo a lei de posição s( t ) = s + vt + a t, ode s, v e a são costates, com t medido em segudos e s em metros, etão a derivada da fução que forece a posição da partícula o ds( t ) istate t é = v + at A fução derivada da fução que forece a posição é a fução velocidade dt istatâea o istate t Proposição: Sejam f e g fuções e h a fução defiida por h( ) = f ( ) g( ) Etão, se f ' e eistem, temos que h ' eiste e h '( ) = f '( ) g( ) + f ( ) g '( ) g ' Demostração: Para qualquer a Dom f ' Dom g ' temos h( ) h( a ) f ( ) g( ) f ( a ) g( a) h '( a) = lim = lim = a a a a f ( ) g( ) f ( a) g( ) + f ( a ) g( ) f ( a) g( a ) = lim = a a f ( ) f ( a ) g( ) g( a) = lim g( ) + lim f ( a ) = f '( a ) g( a) + f ( a ) g '( a) a a a a Portato, h '( ) = f '( ) g( ) + f ( ) g '( ) Observe que usamos aqui o fato de que sedo g derivável em a, tem-se que g é cotíua em a e, portato, lim g ( ) = g ( a ) a Eemplo 9: A derivada da fução f ( ) ( )( 5) = + é a fução ( ) ( )( ) f '( ) = se Proposição: Sejam f e g fuções e h a fução defiida por h( ) = f ( )/ g( ), ode g( ) Etão, f ' e g ' eistem, temos que h ' eiste e Demostração: f '( ) g( ) f ( ) g '( ) h '( ) = [ g( )]

22 Para qualquer a Dom f ' Dom g ' temos h '( a ) = f ( ) f ( a ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim g g a f g a f a g = lim = a a a a g( ) g( a ) f ( ) g( a ) f ( a ) g( a ) + f ( a ) g( a ) f ( a ) g( ) = lim = a a g( ) g( a ) f ( ) f ( a ) g( ) g( a ) = lim g( a ) f ( a ) a a a = g( ) g( a ) f '( a ) g( a) f ( a ) g '( a ) = [ g( a )] f '( ) g( ) f ( ) g '( ) Portato, h '( ) = g( ) [ ] Novamete, usamos o fato de as fuções f e g serem deriváveis em = a e a fução g ser cotíua em = a Eemplo : A derivada da fução f ( ) = é a fução 7 + ( + ) ( ) ( ) ( 7 + ) 7 7 f '( ) = Eercício 5 Use regras de derivação para calcular a derivada das seguites fuções: a) 6 5 f ( ) = ; b) g( ) = ; c) 5 h( t ) = ( t t + ) ( t ) ; d) + r f ( r ) = r r Derivada de Fuções Trigoométricas Precisamos relembrar dois resultados chamados limites fudametais se t Limite Fudametal : lim = t t Limite Fudametal : cos t lim = t t Utilizado esses limites fudametais podemos demostrar as próimas duas proposições Proposição: Se f ( ) = se, etão f '( ) = cos Demostração:

23 Para qualquer R temos f '( ) = se( + ) se se cos( ) + se( )cos se lim = lim = cos( ) se( ) = lim se + lim cos = se + cos = cos Portato, f '( ) = cos Proposição: Se f ( ) = cos, etão f '( ) = se Demostração: Para qualquer R temos f '( ) = cos( + ) cos cos cos( ) se se( ) cos lim = lim = cos( ) se( ) = lim cos lim se = cos se = se Portato, f '( ) = se Eercício 6 Utilizado as regras de derivação, calcule ', ode a) = tg ; b) = cotg ; c) = sec ; d) = cossec e) se = ; f) = cos ; g) = se Derivada da Fução Composta Cosiderado a fução h( ) se ( ) = + + e tetado calcular sua derivada pelo limite otaremos que os cálculos ão são tão simples e as regras que temos até o mometo ão os permitem obter o desejado Por outro lado, podemos escrever h( ) = ( f g )( ) ode f ( ) = se e g( ) = + + Assim, tedo as derivadas de f e de g e cohecedo alguma regra para derivar uma composição de fuções o assuto está resolvido Tal regra eiste e é uma das mais importates e mais usadas o Cálculo, deomiada regra da cadeia Sua demostração ão é trivial e para fazê-la será utilizado o seguite resultado: Proposição: Se f é uma fução derivável em, etão ( ) f + h f ( ) = f '( ) + α( h), ode lim α( h) = h h Demostração: Utilizado a defiição de derivada, sabemos que Se defiirmos f '( ) = h ( ) f + h f ( ) lim h

24 teremos lim g( h) = h ( ) f + h f ( ) f '( ), h g( h) = h,, h = Cosiderado α = g, temos que α ( h) satisfaz a codição que lim α( h) = h Corolário: Se f e α são defiidas coforme proposição aterior, etão ( ) [ α ] f ( ) = f + h f ( ) = f '( ) + ( h) h Demostração: Para h, segue imediatamete que ( ) [ α ] f ( ) = f + h f ( ) = f '( ) + ( h) h Se h =, temos a idetidade = Teorema (Regra da Cadeia): Sejam as fuções u = f ( ) derivável o poto e = g( u) derivável em u = f ( ) Etão, a fução composta F = g f, isto é, F( ) = g[ f ( )] é derivável em e sua derivada é dada por F '( ) = g '[ f ( )] f '( ) Demostração Como, por hipótese, f e g são deriváveis em temos: h ( + ) ( ) = [ '( ) + α( )] e ( ) ( ) [ '( ) β( )] f h f f h h ode lim α( h) = e lim β( k) = k g u + k g u = g u + k k Escolhemos k = f ( + h) f ( ) = [ f '( ) + α( h) ] h e teremos ( ) Assim f + h = u + k ( ( )) = ( ) [ '( ) β( )] F( + h) = ( g f )( + h) = g f + h = g( u + k) g u + g u + k k = = g( u ) + [ g '( u ) + β( k) ][ f '( ) + α( h) ] h = + [ + γ ] γ ( h) β( f ( h) f ( )) f '( ) α( h) g ' u α( h) ode = + [ + ] + ( ) g( u ) g '( u ) f '( ) ( h) h, Por outro lado, f é cotíua em e β é cotíua em =, logo lim f ( + h) f ( ) = e etão lim γ ( h) = Portato, h h [ '( ) '( ) + γ ( )] F( + h) F( ) F( + h) g( u ) g u f h h = = = g '( u ) f '( ) + γ ( h), h h h ou seja, F( + h) F( ) lim = lim [ g '( u ) f '( ) + γ ( h) ] = h h h [ ] [ γ ] = lim g '( u ) f '( ) + lim ( h) = g '( u ) f '( ) h h Portato, F '( ) = g '[ f ( )] f '( ) 4

25 5 Se = ( u) e u = u( ) são fuções deriváveis, com a otação de Leibiz, a regra da cadeia é dada por: d d du = d du d Eemplo : Apliquemos a regra da cadeia para a fução h( ) se ( ) u( ) = + + e h( u) = se u Assim, dh dh du d d = = [se u] ( + + ) = d du d du d = (cos u)( + 4 ) = ( + 4 )cos( + + ) Mais geralmete, para h( ) = se ( f ( )) temos ( ) 5 Eemplo : Cosiderado ( ) 4 = + + Seja h '( ) = cos f ( ) f '( ), se f '( ) eiste h( ) = +, vamos calcular h '( ), utilizado a regra da cadeia Seja 5 u( ) = + e h( u) 4 = u Assim, dh dh du d 4 5 ( ) d = = u ( + ) = 4 u (5 4 ) = 4( + ) (5 4 ) d du d du d Mais geralmete, para h( ) = [ f ( )], Z, temos h '( ) = [ f ( )] f '( ), se f '( ) eiste Eercício 7 Calcule a derivada das fuções defiidas a seguir: a) ( ) ( ) f = + b) f ( ) = cos ( ) c) h( ) = cos ( ) d) g) se f ( ) = tg + tg e) h( ) = f) f ( ) = ( )cos h) ( ) j) f ( ) se 7 cos (( ) ) = + l) = i) g( ) tg(5 ) 5/ ( + 4) g( ) = ( + ) / 5 6 /5 f ( ) = ( + 5 ) ( + se ) f ( ) = cos t m) f ( ) = se ( ) 4 t 4t Derivada da Fução Iversa Nesta seção trataremos de um resultado que segue imediatamete da Regra da Cadeia e facilita a derivação de muitas fuções como, por eemplo, as fuções trigoométricas iversas Teorema: Dada uma fução f, supohamos que eista a sua iversa = f ( ), etão g '( ) = f '( ) g = f Se f '( ) e Demostração: Seja F( ) = ( g f )( ) = Utilizado a regra da cadeia e derivado ambos os lados da equação em relação a, temos F '( ) = g '[ f ( )] f '( ) = Logo, 5

26 F '( ) = g '[ f ( )] f '( ) =, ou seja, g '( ) = f '( ) Na otação de Leibitz escrevemos: d = d d d Eemplo : Dada a fução g( ) = arcse, vamos ecotrar sua derivada g '( ) A fução π π π π = f ( ) = se é ijetora em [, ] e, portato, possui iversa g :[,] [, ] dada por g( ) = arcse Assim, para qualquer (, ) temos d g ( ) = = d d se cos d π π Da Idetidade Fudametal da Trigoometria, segue que cos = se = Como [, ], temos que cos Logo, cos = Assim, g '( ) = =, (,) Podemos cos memorizar esse resultado: d arcse = d Eercício 8 Ecotre a derivada das fuções arccos, arctg, arccotg, arcsec e arccossec Eemplo 4: Sejam f e g fuções moótoas decrescetes, uma iversa da outra Se f () = e f '() =, etão 4 Eercícios: g '() = = = 4 f '() 4 9 A fução ecotre g '() f ( ) = 9 é crescete para < Se g é a fução iversa de f este itervalo, A fução f ( ) = 9 é decrescete para < < Se h é a fução iversa de f este itervalo, ecotre h '() A fução ecotre g '() f ( ) = 9 é crescete, para > Se g é a fução iversa de f este itervalo, Derivação Implícita As fuções abordadas até agora foram da forma = f ( ), as quais determiam eplicitamete em termos de Muitas vezes, etretato, ecotramos equações em e como, por eemplo, + = ; 6

27 7 + = e =, que ão forecem eplicitamete como fução de, mas estabelecem apeas uma relação etre e Às vezes eistem fuções = f ( ), com em algum itervalo I, que verificam a equação dada Neste caso, dizemos que a equação determia implicitamete como fução de ou que f é fução implícita a equação Além disso, uma equação pode determiar uma ou mais fuções implícitas Quado uma fução = f ( ) é defiida implicitamete por uma equação, podemos obter uma outra equação que evolve a derivada de f, d Este método, referido como derivação implícita, será apresetado a d seguir, por meio de algus eemplos Nos eemplos a seguir suporemos que a equação dada defie como fução de, para em algum itervalo aberto, e que esta fução seja derivável este itervalo 5 Eemplo 5: Dada a equação + + =, vamos ecotrar d Usado regras d de derivação, derivamos ambos os lados da equação em relação a, obtedo: Colocado d d e, portato, d d d d d 4 d 5 d = d d d d d d d d em evidêcia e sabedo que d = obtemos: ( 5 d 4 + ) = ( + 5 ) d 4 ( + 5 ) 5 ( + ) d = d 5, quado + Eemplo 6: Vamos calcular d d para a equação + = Derivado ambos os lados da equação d em relação a, obtemos + = e, assim, d =, quado d d d Eemplo 7: Vamos calcular d para a equação + = 6 Derivado ambos os lados da equação em relação a, obtemos d d + d + d + =, ou seja, d ( + ) = d d Portato, =, quado + d + Proposição: Se r Q e f ( ) =, etão r r f '( ) = r Demostração: (i) Se, escrevedo p r = com p, q Z, q > e tomado q p q =, temos q p = Derivado esta equação em relação a, obtemos 7

28 ou melhor, q d d q p = p, q q p d = p (*) d Substituido p q = e q p = em (*) segue que q p p q d d p = p Logo, p q d p r r = = d q (ii) Se =, o resultado segue da defiição de derivada Eercício Calcular d d para as equações a seguir: a) = ; b) (5 + ) se = 9 Máimos e Míimos No iício deste teto observamos um eemplo em que o poto de máimo da fução ocorreu o poto ode a icliação da reta tagete ao gráfico da fução é igual a zero Nesta seção, demostraremos este e outros resultados que permitem ecotrar os valores máimos e míimos de uma fução qualquer, caso eistam Defiição: Seja f uma fução defiida um itervalo [ a, b ] a) Dizemos que f assume um valor máimo local, ou máimo relativo, em ( a, b), se para algum δ >, tivermos f ( ) f ( ), ( δ, + δ ) Nesse caso, dizemos que f ( ) é valor máimo local ou relativo de f, dizemos que a fução f assume em um valor máimo Se ocorrer f ( ) f ( ), [ a, b] absoluto b) Dizemos que f assume um valor máimo local, ou máimo relativo, em = a, se para algum δ >, tivermos f ( ) f ( a ), [ a, a + δ ) Defie-se aalogamete máimo local em = b c) Dizemos que f assume um valor míimo local, ou míimo relativo, em ( a, b), se para algum δ >, tivermos f ( ) f ( ), ( δ, + δ ) Nesse caso, dizemos que f ( ) é valor míimo local ou relativo de f 8

29 9 Se ocorrer f ( ) f ( ), [ a, b] absoluto, dizemos que a fução f assume em um valor míimo d) Dizemos que f assume um valor míimo local, ou míimo relativo, em = a, se para algum δ >, tivermos f ( ) f ( a), [ a, a + δ ) Defie-se aalogamete míimo local em = b Coveção: Quado os referirmos a potos do gráfico de f diremos, por eemplo, o poto ( a, f ( a )) é um poto de máimo do gráfico de f, ou que o gráfico de f tem um poto de míimo local em ( c, f ( c )) Dizemos aida que f assume um valor etremo local, ou relativo, em, se f assume um valor máimo ou míimo local, ou relativo, em Observação: Todo poto de máimo absoluto, respectivamete, míimo absoluto, é também um poto de máimo local, respectivamete, míimo local Eemplo 8: A fução f ( ) = assume um valor míimo absoluto em = De fato,, para todo R, ou seja, f ( ) f (), para todo R e, portato, f assume o valor míimo absoluto em = Eemplo 9: A fução f ( ) = cos tem máimo local os potos = kπ, k Z e míimo local os potos = (k + ) π, k Z De fato, cos, R ; cos =, quado = kπ, k Z e cos =, quado = (k + ) π, k Z Temos que cos[(k + ) π ] cos cos( kπ ), k Z e R Eemplo : A fução f ( ),5, cujo gráfico é dado a seguir, tem máimo local em =, em = e em = ; máimo absoluto em = ; míimo local em =, em = e em = 5 e míimo absoluto em = =, defiida o itervalo [ ] Defiição: Seja f uma fução defiida um itervalo [, ] crítico de f, se ocorrer uma das codições: (a) f '( ) = ; (b) f ão é derivável em a b Dizemos que ( a, b) é um poto Eemplo : A fução = f ( ), cujo gráfico foi dado o último eemplo, admite quatro potos críticos =, =, = e =, pois f '( ) =, f '( ) =, f '() ão eiste e f '() = 9

30 O teorema a seguir caracteriza os potos críticos ode a derivada eiste Teorema: Seja f ( ) = uma fução defiida um itervalo [, ] a b e derivável o itervalo ( a, b ) Se f tem um máimo local ou um míimo local em ( a, b) e se f '( ) eiste, etão f '( ) = Demostração: Faremos a demostração para o caso em que é poto de máimo local Se em tivermos míimo local, a demostração é feita de forma aáloga e é deiada como eercício Como f tem um máimo local em, eiste δ > tal que f ( ) f ( ), ( δ, + δ ) Seja h um úmero real tal que δ < h < δ Etão f ( + h) f ( ), pois + h ( δ, + δ ) e, f ( + h) f ( ) f ( + h ) f ( ) portato, para h > e para h < h h Logo, ( ) + f + h f ( ) f '( ) = lim e + h h + ( ) f + h f ( ) f '( ) = lim h h Assim, f '( ) f '( ) Como f é difereciável em, f '( + ) e f '( ) são ambos iguais a f '( ) Logo, f '( ) = f ( ) Eemplo : A recíproca do teorema aterior ão é verdadeira De fato, se cosiderarmos a fução =, temos f '( ) = e, portato, f '() = Mas f ão assume valor máimo local em valor míimo local em =, pois f () = > f ( ), se < e f () = < f ( ), se > Sobre a eistêcia de potos críticos temos o seguite teorema: Teorema (de Rolle): Se f é uma fução cotíua o itervalo fechado [ a, b ] e derivável o itervalo aberto ( a, b ) com f ( a ) = f ( b), etão eiste pelo meos um poto ( a, b) tal que f '( ) = Demostração: Supohamos que f '( ) para a < < b ; segue do teorema aterior que f ão tem em máimo, em míimo em ( a, b ) Como f é cotíua em [ a, b ], pelo Teorema de Weierstrass, ela tem um máimo e um míimo este itervalo Sedo f ( a ) = f ( b), a úica possibilidade é que f seja ideticamete costate em [ a, b ] Neste caso, '( ) ( a, b), tal que f '( ) = f =, ( a, b) o que é absurdo Logo, eiste O teorema a seguir geeraliza o aterior e tem muitas aplicações o Cálculo Teorema (do Valor Médio): Se f é uma fução cotíua o itervalo fechado [ a, b ] e derivável o itervalo aberto ( a, b ), etão eiste um poto ( a, b), tal que f ( b) f ( a ) f '( ) = b a Demostração: Cosideremos a fução g dada pela difereça etre as fuções f e a fução afim cujo gráfico é a reta T que passa pelos potos A = ( a, f ( a )) e B = ( b, f ( b))

31 g ( ) f (b) B T - g ( ) A f (a) Graf f a b Note que a equação da reta que passa por A e B é dada por f ( b) f ( a ) f ( a) = ( a ) b a Assim, temos que a fução g é da forma f ( b) f ( a ) g( ) = f ( ) ( a ) + f ( a ) b a A fução g assim defiida é cotíua em [ a, b ], pois é a soma da fução f com uma fução afim, que são cotíuas em [ a, b ]; g é derivável em ( a, b ), pois a fução f e toda fução afim são deriváveis em ( a, b ) ; g satisfaz g( a ) = g( b) = Desta forma, podemos aplicar o Teorema de Rolle à fução g e cocluir que g '( ) =, para algum ( a, b) Como = g '( ) = f '( ) Desta última igualdade temos f '( ) = Eemplo : A equação g '( ) = f '( ) f ( b) f ( a) b a uma raiz real De fato, supohamos que a equação f ( b) f ( a), segue-se que b a f ( b) f ( a ) b a + + c =, ode c é uma costate qualquer, ão pode ter mais do que + + c = teha duas raízes reais e, com < A fução defiida por f ( ) = + + c, c R é cotíua em (, ) e f ( ) = f ( ) = Logo, pelo Teorema de Rolle, deveria eistir um úmero (, ) tal que f '( ) =, isto é, + =, o que é um absurdo Portato, a equação real Teorema: Seja f ( ) (a) Se f '( ) > para a b (b) Se f '( ) para a b (c) Se f '( ) < para a b (d) Se f '( ) para a b = uma fução cotíua em [, ] + + c = ão pode ter mais do que uma raiz a b e derivável em ( a, b ) < <, etão f é moótoa crescete em [, ] a b < <, etão f é moótoa ão-decrescete em [, ] < <, etão f é moótoa decrescete em [ a, b ] < <, etão f é moótoa ão-crescete em [ a, b ] a b

32 Demostração: (a) Sejam e itervalo [, ] potos quaisquer de [, ] a b, com < Utilizado o Teorema do Valor Médio o e cosiderado que f '( ) > para (, ), segue-se que e, portato, f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) = f '( ) ( ) > a b >, isto é, f é moótoa crescete em [, ] Os outros casos têm demostração aáloga e serão deiados como eercício Eemplo 4: Cosidere a fução mootoicidade A fução f é cotíua e derivável em R e f ( ) = Vamos estudar esta fução quato a f '( ) = 6 = ( ) Portato, ( i ) f '( ) > ( ) > > ou < Desta forma, f é moótoa crescete em (,] e em [, + ); ( ii ) f '( ) < < < Desta forma, f é moótoa decrescete em [,] Este último teorema os permite euciar um teste muito importate para a determiação de potos de máimo e míimo locais de uma fução, cohecido como Teste da Derivada Primeira Observação: O Teorema de Weierstrass Se f é uma fução cotíua em [ a, b ], etão eistem, [ a, b] tais que f ( ) f ( ) f ( ), para todo [ a, b] garate a eistêcia de máimo e míimo absolutos para fuções cotíuas defiidas em itervalos fechados Para determiação de etremos absolutos de uma fução cotíua f em um itervalo fechado [ a, b ], devemos ecotrar os potos críticos de f em ( a, b ), calcular o valor de f os potos críticos e os potos = a e = b (etremos do itervalo) e comparar esses valores O maior valor será o valor máimo absoluto de f e o meor, o valor míimo absoluto Eemplo 5: Verifiquemos a eistêcia de etremos absolutos da fução f ( ) = o itervalo + [, ] Como a fução f é racioal e +, R, a fução é cotíua em R e, portato, cotíua em [, ] Logo, f admite máimo e míimo absolutos Devemos iicialmete ecotrar os potos críticos de f f '( ) = f '( ) = = ( + ) ou = Como (, ), o úico poto crítico de f em [, ] é = Temos que f () = ; f () = e f () = Portato, f () < f () < f () e, assim, f assume míimo absoluto em = e máimo absoluto em 5 = Observação: Sejam f : I R uma fução cotíua, I um itervalo aberto e I Se f ( ) é o úico valor etremo local de f, etão f ( ) é valor etremo absoluto de f Além disso, se f ( ) for valor máimo relativo (valor míimo relativo), etão f ( ) será valor máimo absoluto (valor míimo absoluto) a) Eercício Determie os máimos e míimos absolutos das seguites fuções, os itervalos idicados: 4 f ( ) =, [, ] ; b) 4 f ( ) =, [, ] ; c) f ( ) 4 = +,,

33 Teste da Derivada Primeira Utilizado os resultados acerca do crescimeto e decrescimeto de fuções do teorema aterior podemos demostrar, sem dificuldades,, o resultado a seguir: Teorema (teste da derivada primeira): Seja f uma fução cotíua o itervalo [ a, b ] e derivável em ( a, b ), eceto possivelmete em = c ( a, b) (a) Se f '( ) >, para a < < c e f '( ) < para c < < b, etão f tem um máimo local em = c (b) Se f '( ) <, para a < < c e f '( ) > para c < < b, etão f tem um míimo local em = c a c b a c b Nos eemplos a seguir aplicaremos o teste da derivada primeira para ecotrar os etremos locais das fuções Eemplo 6: Vamos ecotrar os etremos locais da fução f ( ) = Como f é uma fução poliomial, f é cotíua e derivável em R Como f '( ) = + 6 9, tem-se que f '( ) = = ou = Os potos críticos de f determiam a reta real três itervalos: (, ), (,) e (, + ) Como a fução f ' é cotíua em R, o sial de f ' em cada um destes itervalos ão muda e, por isso, pode ser determiado avaliado f ' em um poto qualquer do itervalo Escolhamos, por eemplo, os potos = 4, = e = que pertecem, respectivamete, aos itervalos (, ), (,) e (, + ) Temos f '( 4) = ( 4) 9 = 5 > ; f '() = = 9 < e f '() = = 5 > Pelo teste da primeira derivada cocluímos que em = f assume valor máimo local e em = f assume valor míimo local Eemplo 7: Vamos ecotrar os etremos locais da fução f ( ) = 4 6 Como f '( ) = 4 4 = 4 ( ) = 4 ( + )( ) tem-se que f '( ) = = ou = ou = Dessa forma, temos três potos críticos de f, a saber, =, = e = Para verificar o sial da derivada os itervalos determiados pelos potos críticos, escolhamos, por eemplo, os potos =, aos itervalos (, ), (,), (,) e (, ) =, = e = que pertecem, respectivamete, + Assim, temos: f '( ) = 4( ) ( + )( ) = 576 < ;

34 9 f '( ) = 4( ) ( + )( ) = > ; 4 9 f '( ) = 4( ) ( + )( ) = < ; 4 f '( ) = 4( ) ( + )( ) = 576 > Pelo teste da derivada primeira cocluímos que: em = f assume um míimo relativo; que em = f assume um máimo relativo e em = f assume um míimo relativo Eemplo 8: Vamos ecotrar os etremos locais da fução f ( ) = No Eemplo, mostramos que f '() ão eiste Logo, = é poto crítico de f Como f '( ) = >, se > e f '( ) = <, se <, segue do teste da derivada primeira que f assume um míimo relativo em = Derivadas de Ordem Superior f " ou Seja = f ( ) uma fução e f ' a sua derivada A derivada da fução d, chamada derivada seguda de f ou derivada de ordem de f d Aalogamete, podemos ecotrar a derivada terceira de f, deotada por sucessivas de f, até a derivada de ordem ou derivada -ésima de f, deotada por derivadas f ', caso eista, é deotada por f ''' e as demais derivadas ( ) f Defiição: Uma fução f é dita de classe C o itervalo ( a, b ), se para todo ( a, b) eistem as ( ) f ', f ", f ''',, f cotíuas em ( a, b ) Quado a fução possuir derivada de qualquer ordem em ( a, b ) dizemos que esta fução é de classe C o itervalo ( a, b ) Eemplo 9: Sedo Eemplo 4: Sedo 5 f ( ) = +, vamos ecotrar as derivadas sucessivas de f f ( ) 4 f '( ) = ; f (4) ( ) = ; f ''( ) = 6 ; f (5) ( ) = ; =, vamos ecotrar f "( ) f '''( ) = 6 ; ( f ) ( ) =, 6 f '( ) = = ; Observe que Dom f =R equato que Dom f ' = Dom f " =R 4 f ''( ) = = 9 9 Eemplo 4: Vamos ecotrar as quatro primeiras derivadas da fução f ( ) = se * f ( ) = se ; f '( ) = cos ; f ''( ) = se ; f '''( ) = cos ; f (4) ( ) = se π Eercício 4 Dada a fução f ( ) = se, calcule f '"( ) 4

35 5 Observemos que o teste da derivada primeira é útil para a determiação de etremos relativos, qualquer que seja a atureza do poto crítico ( f '( ) = ou f '( ) ão eiste) O teorema que apresetaremos a seguir mostra que o estudo do sial da derivada seguda em pode também ser útil a determiação de etremos relativos Este teorema é cohecido como Teste da Derivada Seguda, que em um grade úmero de casos é mais simples de ser aplicado do que o teste da derivada primeira Porém, esse teste apreseta mais restrições do que aquele, pois só possibilita localizar potos de máimo ou míimo relativos de uma fução f que ocorrem em potos críticos os quais a derivada primeira se aula Além do mais, mesmo para este tipo de poto crítico, o teste ão permite coclusões quado f "( ) = Teste da Derivada Seguda Ates de formalizarmos o teste, é preciso apresetar algumas defiições Defiição: Dizemos que o gráfico de uma fução f é côcavo para cima (respectivamete, côcavo para baio) um poto (, f ( )) se eiste f '( ) e eiste um itervalo aberto I cotedo, tal que para todos os valores de em I, com, o poto (, f ( )) do gráfico está acima (respectivamete, está abaio) da reta tagete ao gráfico em (, f ( )) Defiição: Dizemos que o gráfico de uma fução f é côcavo para cima (respectivamete, côcavo para baio) o itervalo ( a, b ) se o gráfico de f é côcavo para cima (respectivamete, côcavo para baio) em todos os potos de ( a, b ) (, f ( )) (, f ( )) a b a b Graf f é côcavo para cima em ( a, b ) Graf f é côcavo para baio em ( a, b ) Teorema: Seja f uma fução defiida em [ a, b ] e de classe C em ( a, b ) Neste caso, (a) Se f "( ) > para a < < b, etão o gráfico de f é côcavo para cima em ( a, b ) ; (b) Se f "( ) < para a < < b, etão o gráfico de f é côcavo para baio em ( a, b ) Demostração: Vamos demostrar apeas o item (a), pois o outro é aálogo e é deiado como eercício Devemos mostrar que o gráfico de f está sempre acima da reta tagete ao gráfico de f em qualquer poto (, f ( )) com ( a, b) A reta tagete ao gráfico de f em (, f ( )) tem a equação ou melhor, f ( ) f '( ) ( ) =, para f ( ) f '( ) ( ), = +, para, 5

36 Vamos mostrar que dado ( a, b), a desigualdade a seguir é válida Temos dois casos a aalisar: f ( ) > f ( ) + f '( ) ( ), ( a, b), () Se >, eiste tal que < < e f ( ) f ( ) = f '( ) ( ) () Do fato de f "( ) > para em ( a, b ), segue-se que f ' é crescete em ( a, b ) Assim, como >, > Usado este tem-se f '( ) > f '( ) e, portato, f '( )( ) > f '( )( ) pois resultado a equação (), obtemos que f ( ) f ( ) > f '( )( ), isto é, f ( ) > f ( ) + f '( ) ( ), como queríamos Se <, eiste tal que < < e f ( ) f ( ) = f '( ) ( ) e, de forma aáloga ao caso, temos a iequação () Teorema (teste da derivada seguda): Seja f uma fução de classe crítico de f Etão, (a) Se f "( ) >, f tem um míimo relativo em ; C em ( a, b ) e um poto (b) Se f "( ) <, f tem um máimo relativo em Demostração: Segue imediatamete das defiições de máimo e míimo relativo, das defiições de cocavidade e do teorema aterior Eemplo 4: Dada a fução f ( ) = , ecotremos os etremos relativos, se eistirem Como f é uma fução poliomial, f é de classe C em R Temos f '( ) = e, portato, f '( ) = = ou = ; f ''( ) = é cotíua em R, etão calculado os siais da derivada seguda os potos críticos de f ecotramos f ''() = = > e f ''( ) = 6 ( ) + 6 = < Desta forma, cocluímos que em = f assume um valor máimo relativo e em = f assume um valor míimo relativo Temos Eemplo 4: Dada a fução f ( ) = 4 6, ecotremos os etremos relativos, se eistirem f '( ) = 4 4 = 4 ( ) = 4 ( + )( ) e, portato, f '( ) = = ou = ou = 4 Temos também f ''( ) = 7 cotíua em R e, etão, aalisado o sial da derivada seguda os potos críticos ecotramos f ''( ) = 7 = 48 > ; f ''() = e f ''() = 7 = 48 > Desta forma, cocluímos que em = e também em =, f assume valores míimos locais Não cocluímos ada a respeito dos valores de f o poto =, mas utilizado o teste da derivada primeira, como já foi feito o Eemplo 7, segue que em = f assume um máimo relativo 4 Eemplo 44: Dada a fução f ( ) = + 5, ecotremos os etremos relativos, se eistirem Temos que f é cotíua em R Para, e 4 5 f '( ) = + = (4 + 5) 6

37 f "( ) = = ( 5) Os potos críticos de f são =, pois f '() ão eiste; =, pois f '( ) = Além disso, temos f "( ) = > Pelo teste da derivada seguda f possui um míimo relativo em = O teste da derivada seguda ão se aplica para =, pois ão eiste f "() Neste caso, devemos aplicar o 5 teste da derivada primeira Aalisemos o sial da derivada os itervalos (,) e (, + ) Temos 4 f '( ) ( ) = = > e Logo, = ão é etremo relativo da fução f f '() = () 9 = > Eercício 5 Dadas as fuções f a seguir, determie os máimos e míimos relativos e absolutos de f, caso eistam, e determie quais os valores de ode eles ocorrem Utilize o teste da derivada primeira ou derivada seguda: a) c) f ( ) = 9 ; b) f ( ) = ( + ) ; d) 4 f ( ) = ( + 5) ; / / f ( ) = Potos de Ifleão Defiição: O poto (, f ( )) é um poto de ifleão do gráfico de f, se o gráfico tiver aí uma reta tagete e se eistir um itervalo aberto I, cotedo, tal que, se I, etão: (a) f "( ) < se < e f "( ) > se > ; ou (b) f "( ) > se < e f "( ) < se > f ( ) (, f ( )) f ( ) (, f ( )) (a) (b) Eemplo 45: No gráfico a seguir os potos A, D e G são eemplos de potos de ifleão 7

38 A B E G F D C O resultado a seguir permite ecotrar os possíveis cadidatos a potos de ifleão Teorema: Sejam f uma fução derivável um itervalo aberto cotedo e (, f ( )) um poto de ifleão do gráfico de f Se f "( ) eiste, etão f "( ) = Demostração: Seja g uma fução tal que g( ) = f '( ) Etão, g '( ) = f "( ) Como (, f ( )) é um poto de ifleão do gráfico de f temos que f "( ) troca de sial em e, portato, g '( ) troca de sial em Logo, pelo teste da derivada primeira, g tem um valor etremo local em e, portato, é um poto crítico de g Cosiderado que f "( ) eiste e como g '( ) = f "( ), segue que g '( ) eiste Logo, g '( ) = e, portato, f "( ) = Observe que podemos ecotrar os possíveis potos de ifleão mediate valores de ode a seguda derivada f "( ) ão eiste ou que são soluções da equação f "( ) = Para verificarmos se um poto (, f ( )) é de ifleão, podemos seguir os passos: (I) Verificar a eistêcia de f "( ) e, caso eista, aalisar as codições (a) e (b) da defiição; (II) Caso f "( ) ão eista, devemos verificar a eistêcia da reta tagete ao gráfico de f o poto (, f ( )) que, este caso, será vertical e, caso eista, devemos aalisar as codições (a) e (b) da defiição Eemplo 46: Vamos determiar os potos de ifleão do gráfico da fução defiida 4 por f ( ) = 4 Temos que e Portato, f ''( ) = = ou determiados pelos potos = e pertecem, respectivamete, aos itervalos f '( ) = = ( ) f ''( ) = 6 4 = ( ) = Para estudar o sial da derivada seguda os itervalos =, escolhamos, por eemplo, =, (,), (, ) e f ''( ) = ( ) = 6 > ; (, ) + Assim, = e = que 8

39 9 f ''( ) = 4( ) = 4 < ; f ''() = ( ) = > 6 Como f '() = e f ' = 9 (, f ( )) Portato, cocluímos que (, f ( )) = (, ) e gráfico de f Eercícios 6 Dado o gráfico de uma fução f defiida em R, temos que o gráfico de f possui reta tagete os potos (, f ( )) e 6 (, f ( )) = (, ) são potos de ifleão do determie: a) Im( f ) ; b) f (), f ( ), f ( ), f ( 4), f (4), f (), f (8), f (5) e f (6) ; c) Os etremos relativos e absolutos, se eistirem; d) Itervalos ode f é moótoa crescete e ode é moótoa decrescete; e) Os potos tais que f '( ) = ; f) os potos tais que f '( ) ão eiste; g) os potos de ifleão do gráfico de f ; h) f '(7) 7 Demostre os seguites resultados: a) Se f ( ) =, Z, etão f '( ) = ; b) Se g( ) = f( ) + f ( ) + + f ( ) = f ( ), etão i i = i = i g '( ) = f '( ) + f '( ) + + f '( ) = f '( ), desde que as fuções f i sejam deriváveis para i 8 Demostre as regras de úmeros 7 a da tabela de derivadas dada o fial deste teto 9

40 9 Demostre as regras de úmeros a 8 da tabela de derivação dada o fial deste teto Aplicações Esta seção se destia a mostrar aplicações do coceito de derivada em algumas situações especiais: diferecial, Fórmula de Talor, Regra de L Hospital, esboço de gráfico de fuções, problemas de máimo e míimo e taas relacioadas Diferecial d Na otação de Leibiz para a derivada de uma fução, f '( ) =, temos que d e d são utilizados d apeas como símbolos represetativos Vamos agora itroduzir sigificados para d e d de modo que, quado d, a razão d d seja idetificada com a derivada de = f ( ) em relação à variável Para isso, cosidere a equação = f ( ), ode f é uma fução, f '( ) sua derivada o poto e ode os acréscimos e estão ilustrados a figura a seguir + f ( + ) = f ( ) d + = d f ( + ) f ( ) Sabemos que f '( ) = lim, o que sigifica que quado está próimo de zero, tem-se próimo do coeficiete agular da reta tagete à curva ( ) = f o poto (, f ( )), ou seja, f '( ), se A epressão acima pode ser escrita da seguite forma: f '( ), se Defiição: Sejam = f ( ), ode f é uma fução derivável, e um acréscimo a variável A diferecial d da variável depedete é dada por d = f '( ) e a diferecial d da variável idepedete é dada por d = Observações: ) O valor de d depede tato de como de Vemos também que, quato à variável idepedete, ão há difereça etre o acréscimo e a diferecial d ; 4