SEQUÊNCIAS IMPORTANTES PARA O LIMITE

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1 começado a eteder CÁLCULO Volume Um - SEQUÊNCIAS IMPORTANTES PARA O LIMITE Uma sequêcia ifiita de úmeros () é covergete a um úmero o quado () se tora (ou é sempre) igual a o, ou se tora cada vez mais próima de o e tão próima quato se queira. Dizemos, com isso, que () tede a o, e escrevemos: () o deve ser lido como (a sequêcia) tede a o e sigifica uma destas possibilidades resumidas ao lado. ( ) se tora (ou é sempre) igual a o, ( ) o quado se tora cada vez mais próima de o ou e tão próima quato se queira. Eemplo 5A As sequêcias seguites covergem para : A sequêcia (a) é sempre igual ao próprio, portato, covergete a ; (b) se tora, portato, igualmete é covergete a. Se quisermos que (c) seja mais próima a do que o úmero,95, basta cosiderar seu º termo em diate. Se quisermos (c) mais próima a do que o úmero,9999, basta cosiderar seu 5º termo em diate. Assim, (c) se tora cada vez mais próima a e tão próima a quato se queira. Aálise semelhate pode ser feita para (d). Veja que (f) se aproima cada vez mais próima de qualquer úmero maior que, mas ão fica tão próima àquele úmero quato se queira. Por eemplo, (f) se tora cada vez mais próimo de mas uca mais próimo do que o úmero,5. Na verdade, (f) coverge para o úmero. (a) : (...) (b) : (...) (c) : (,9,99,999, ) (d) : (,,0,00,000...) Veja que (a) é a sequêcia costate e, portato, covergete para coforme a defiição. A sequêcia (b) se tora igual a e, portato, coverge também para este úmero. Por outro lado, (b) e (c) se toram cada vez mais próimas a e tão próimas quato se queira de. Eemplo 5B As sequêcias seguites ão covergem para : (e) : (...) (f) : (,9,99,999, ) (g) : (0, 0,0 0,00 0,00...) De fato, (e) ão se tora em ; ão é uma sequêcia covergete para úmero. Por outro lado, (f), apesar de se torar cada vez mais próima a (ou a qualquer outro úmero maior que ), ão se tora tão próima a quato quisermos, pois sempre estará separada de por um úmero maior que. Fialmete, (g) ão se tora cada vez mais próima a apesar de se torar tão próima a quato se queira para seus termos de ordes pares. Uma sequêcia pode ser, etão, cosiderada uma fução de domíio atural ão-ulo e, cosequetemete, pode ter uma fórmula. Por eemplo, as fuções (c) e (d) do eemplo 5A têm as seguites fórmulas: Assim, para cada iteiro e positivo, teremos associado um termo da sequêcia que pode ser calculado utilizado-se a fórmula da sequêcia. Desta forma, c = c() e d = d(). No estudo dos ites, estes dois tipos de sequêcia, sitetizados em a 0, são importates para a defiição de ites potuais. c 0 = = = = 4 + b =,9 b =,99 b =,999 b4 =,9999 b d 0 = = = = 4 + c =, c =,0 c =,00 c4 =,000 c

2 começado a eteder CÁLCULO Volume Um - 4 Assim, a sequêcia dos úmeros aturais (0,,,,...) tede a + porque se tora cada vez maior e tão positiva quato se queira. O mesmo dizer para as sequêcias de múltiplos, por eemplo, de 5, (0, 5, 0, 5,...). A sequêcia dos iteiros egativos (,,,...) tede a porque se tora cada vez meor e tão egativa quato se queira. A sequêcia (,9,99,999, ) se tora cada vez maior mas ão tão positiva quato se queira. Logo, ão tede a + (mas sim, tede a ). A sequêcia (,,0,00,000...) se tora cada vez meor mas ão tão egativa quato se queira. Logo, ão tede a (mas sim, tede a ). Uma sequêcia ifiita de úmeros () tede a mais ifiito quado () se tora cada vez maior e tão positiva quato se queira. Uma sequêcia ifiita de úmeros () tede a meos ifiito quado () se tora cada vez meor e tão egativa quato se queira: cada vez maior e ( ) quado ( ) se tora tão positiva quato se queira. cada vez meor e ( ) quado ( ) se tora tão egativa quato se queira. Eemplo 5C A sequêcia h = 0 tede a mais ifiito, pois, se tora cada vez maior e tão positiva quato se queira. Escrevemos (h) +. Veja a tabela seguite seus valores iiciais: h h h h4 h Eemplo 5D A sequêcia i = 0 tede a meos ifiito, pois, se tora cada vez meor e tão egativa quato se queira. Escrevemos (i). Veja a tabela seguite seus valores iiciais: i i i i4 i Podemos sitetizar estes primeiros tipos em a 0 e as duas últimas sequêcias em 0. Jutamete com as sequêcias dos tipos de c 0 e de d 0, estas duas sequêcias, h = 0 e i = 0 são as sequêcias mais importates para o coceito ituitivo dos ites. LIMITES PONTUAIS FINITOS A ão ser quado epresso claramete o cotrário, daqui pra frete vamos cosiderar f() cotíua as proimidades de = a e eceto possivelmete para o próprio = a. Por 5 eemplo, f(), é cotíua as 5 Cosidere uma fução real f() cotíua as proimidades de = a e eceto possivelmete em = a. Sobre seu domíio, cosidere uma sequêcia () covergete ao valor a, isto é, () a. Ocorre, porém, que as respectivas images de (), isto é, os valores = f() formarão uma outra sequêcia de úmeros que poderá covergir para um úmero L: proimidades de a = 5, mas ão é cotíua este poto. 4 L Tomamos uma sequêcia qualquer () que tede ao valor a e observamos a formação da sequêcia de images () () se tederá a algum valor L. A sequêcia () da ilustração tede a a por valores meores que a, mas, por ser qualquer, 4 a ( ) poderia teder também a a por valores maiores que este.

3 começado a eteder CÁLCULO Volume Um - 5 Assim, é importate observar que () é a sequêcia de images de (), isto é, = f(), = f(), = f(), etc. Quado qualquer sequêcia () do domíio covergete para o úmero a implicar uma sequêcia de images () covergete para um mesmo úmero L, dizemos que o ite de f() quado a é igual a L. Se ( ) a implicar em ( ) L Etão af() L Como a fução é cotíua as proimidades de = a, etão, basta que duas sequêcias () do domíio que covirjam para a, uma pela esquerda e outra pela direita, impliquem em sequêcias de images () que tedam ao mesmo valor L para que eista o ite e seja igual a L, isto é, a f() L. Isso porque, ituitivamete, se uma sequêcia em que covirja para a pela esquerda implicar uma sequêcia de images em que covirja para L, etão, todas as outras sequêcias em que covirjam para a pela esquerda terão images que covirjirão para L. O mesmo dizer para a direita. L a () pela esquerda de a L a () pela direita de a Eemplo 5E Calcule os ites, observado que as fuções são cotíuas para = a: a) 5( 9) b) 0 0 c) a) ( 9). Tomemos duas sequêcias covergetes para 5, uma pela 5 esquerda de 5 e outra pela direita de 5. Tais sequêcias gerarão em duas sequêcias que covergem para 6, coforme otamos as tabelas: 9 9 Aqui, tomamos as duas sequêcias () discutidas a seção aterior que podem ser resumidas em 5 0. Observe como as sequêcias () geradas tedem para o valor 6. 4,9 5,0000 5, 7,0000 4,99 5,9000 5,0 6,000 4,999 5, ,00 6,0000 4,9999 5, ,000 6,0000 4, , ,0000 6, Assim, o ite de a() 9 quado tede a 5 é igual a 6: 5( 9) 6 Observe como a fução a() = 9 é cotíua também em = 5, o que tora o seu ite quado 5 igual ao próprio valor assumido em = 5, isto é, a(5) = 5 9 = 6. Assim, quado a fução for cotíua também o poto para ode teder, teremos: Assim, quado f() for cotíua, o ite de f() quado teder a a será f(a). Na abordagem mais formal do Cálculo, o coceito de cotiuidade da fução em = a é o do ite este poto ser f(a). Se f() é cotíua em = a Etão af() f(a)

4 começado a eteder CÁLCULO Volume Um - 6 Esta coclusão abreviará a obteção dos outros dois ites seguites: Veja que as duas fuções dos ites (b) e (c) são cotíuas em = 0 e = respectivamete. Isso tora seus ites estes potos iguais aos valores b(0) e c() respectivamete. Somete para facilitar a referêcia às fuções, cotiuamos a eumeração do eemplo aterior. b) c) 4 Eemplo 5F Calcule os seguites ites, observado que a fução ão é cotíua em ehum dos potos = a: d) 6 e) f) 9 9 6,9 4,9,99 4,99,999 4,999,9999 4,9999, , , 5,,0 5,0,00 5,00,000 5,000,0000 5,0000 Usamos aqui as sequêcias 0. d) Como o eemplo aterior, tomamos duas sequêcias em covergetes para, uma pela esquerda e outra pela direita e observamos as duas sequêcias images em covergido para o ite 5, coforme as tabelas ao lado. Assim, podemos escrever: 6 5 Não podemos usar aqui a substituição de = a fórmula da fução pois isso implicaria a divisão de 0 por 0. Assim, d() ão é cotíua em =. Mas, isso ão impede que seu ite eista quado, coforme previa defiição. A mesma coclusão, porém, poderíamos ter obtido caso utilizássemos a fatoração do umerador seguida pelo cacelameto de ( ) umerador com ( ) deomiador: Fatoramos o umerador pelas raízes da equação do º grau. Em seguida, cacelamos ( ) umerador com ( ) deomiador e simplificamos a fução para ( + ). Este cacelameto só é válido por que o fato de garate que uca será igual a ; caso cotrário, seríamos impedidos de cacelar 0 umerador com 0 deomiador. 6 ( ) ( ) ( ) 5 ( ) Este cacelameto é permitido uma vez que, equato teder a, uca será igual a, ocasião em que cairíamos o erro de cortar 0 umerador com 0 deomiador. Fialmete, substituímos o valor = a epressão simplificada, resultado o mesmo valor 5 obtido ateriormete através das sequêcias de images. A seguir, esboçamos o gráfico da fução 6 d() : Nas proimidades de = (e em todos os demais potos), a fução terá o mesmo comportameto desta reta, o que os permite substituir o valor = 5 em ( + ) para obter o ite 5. Mas, apesar deste poto ão pertecer a d(), seu ite quado eiste e será 5, justamete o valor que d() teria caso fosse cotíua este poto.

5 começado a eteder CÁLCULO Volume Um - 7 Para obter (e), fatoramos o umerador como difereça de cubos e o deomiador como fator comum. Para obter (f), multiplicamos a fução pela fução costate (escrita como cojugado do umerador dividido por ele mesmo). Isso cai a multiplicação do biômio-soma pelo difereça, o que eia o radical. Porém, o mais importate é que podemos cacelar ( 9) umerador com ( 9) deomiador, o que tora possível o cálculo do ite substituido = 9 a epressão simplificada. Este procedimeto algébrico represeta um magífico atalho para a obteção dos outros dois ites, cujas fuções também ão são cotíuas por resultarem a divisão de 0 por 0 estes potos: 5 ( 5) ( 5 5) e) ( 5) ( 9) f) ( 9) ( ) Veja que, para obter o valor umérico para os três ites deste eemplo, poderíamos calcular as duas sequêcias ou proceder da forma algébrica idicada. No etato, a fatoração, ou a multiplicação pela fução costate escrita de forma de radicais coveiete, será o camiho mais preciso sempre que, ao tetar substituir = a a fução, obtivermos o resultado de zero dividido por zero, o que é cohecido como idetermiação do tipo 0/0. Eemplo 5G, se Cosidere a fução defiida por g(), se. Ecotre g(). g() 0,9,8 0,99,98 0,999,998 0,9999,9998 0,99999,99998 g(),,,0,0,00,00,000,000,0000,0000 Como a fução ão é cotíua em =, ão podemos usar a simples substituição para obter o ite. Por outro lado, também ão teremos a idetermiação do tipo 0/0 para utilizarmos a fatoração ou a fução costate escrita de forma de radicais coveiete. Assim, vamos usar o camiho tradicioal de escolher duas sequêcias em covergetes para, uma pela esquerda e outra pela direita. Porém, observamos sequêcias em covergido para valores diferetes! Assim, cosultado a defiição de ite, temos sequêcias em que ão covergem para o mesmo valor L. Com isso, o ite de f() quado tede para ão eistirá. g() Veja que, em qualquer outro poto o de g() diferete de =, o ite eistirá e será igual a g(o). Porém, justamete esta descotiuidade, =, temos que a aproimação pela esquerda e pela direita geram sequêcias em que covergem para valores diferetes: Isso porque o gráfico da fução g() são duas semiretas que ão têm as mesmas origes. Situações como esta motivaram a defiição dos ites laterais.

6 começado a eteder CÁLCULO Volume Um - 8 Quado qualquer sequêcia do domíio covergete para o úmero a por valores meores que a, () a, implicar uma sequêcia de suas images covergete para o mesmo úmero L, isto é, () L, dizemos que o ite lateral de f() quado () a ( tede a a pela esquerda) é igual a L. Se ( ) a implicar em ( ) L Etão a f() L Obviamete, estas defiições serviram para abordar situações como a do eemplo aterior: os ites laterais de g() quado tede a pela esquerda e pela direita são: g() g() Aalogamete, quado qualquer sequêcia do domíio covergete para o úmero a por valores maiores que a, () a+, implicar uma sequêcia de suas images covergete para o mesmo úmero L, isto é, () L, dizemos que o ite lateral de f() quado () a+ ( tede a a pela direita) é igual a L. Se ( ) a implicar em ( ) L Etão f() L a Assim, o ite deste último eemplo, g(), ão eiste porque os ites laterais são diferetes. Corolário 5A O ite de f() quado tede a a eistirá quado seus respectivos ites laterais eistirem e forem iguais. Este resultado é cosequêcia bastate direta das três defiições de ites (potual e dois laterais) vistas até aqui. LIMITES PONTUAIS INFINITOS () ( ) Quado qualquer sequêcia do domíio () covergete para o úmero a, isto é, () a, implicar uma sequêcia de images () tededo sempre a mais ifiito, isto é, () +, dizemos que o ite de f() quado a é igual a mais ifiito. () a () Se ( ) a implicar em ( ) Etão a f() Novamete, devido à cotiuidade da fução próima a = a, tomaremos apeas duas sequêcias () e () covergido para a, uma pela esquerda e outra pela direita de a. Se estas duas implicarem em sequêcias () e () tededo a +, o ite potual a f() será +. ( ) a () Aalogamete, quado qualquer sequêcia do domíio () covergete para o úmero a, isto é, () a, implicar uma sequêcia de images () tededo sempre a meos ifiito, isto é, (), dizemos que o ite de f() quado a é igual a meos ifiito. ( ) () Se ( ) a implicar em ( ) Etão a f() Neste último caso, também tomamos sequêcias, () e () covergido para a, uma pela esquerda e outra pela direita.

7 começado a eteder CÁLCULO Volume Um - 9 h(),9 00, , , Eemplo 5H Calcule os seguites ites: h) ( ) i) ( ) ( ) j) h(), 00, , , h() ( ) h) ( ). Iicialmete, percebemos que a fução é descotíua para = e que a idetermiação gerada ão é do tipo 0/0. Assim, temos que escolher as duas sequêcias covergetes para, uma pela esquerda e outra pela direita e observar que as duas sequêcias geradas em se toram cada vez maiores e tão grades quato se queiram. Logo, estas duas sequêcias tedem para mais ifiito e isso os permite cocluir que: ( ) A reta = é assítota vertical e = 0 é assítota horizotal de h(). O gráfico de h() é mostrado ao lado. Veja que as sequêcias () e () tededo para o valor implicam em sequêcias de images () e () tededo para +. Um atalho para a coclusão de que este ite é mais ifiito poderia ser o de estimar as sequêcias metalmete em vez de calculá-las eatamete. Um pouco de prática e isto se torará rotia. i(),9 00, , , i(), 00, , , i) ( ). Como o item aterior, percebemos que a fução é descotíua em = e que a idetermiação ão é do tipo 0/0. Assim, temos que tomar as duas sequêcias em covergido para, uma pela esquerda e outra pela direita como mostrado as tabelas ao lado. Percebemos que as images geradas são sequêcias tededo a meos ifiito, o que os permite cocluir que: ( ) O gráfico da fução i() está mostrado ao lado. Veja que as sequêcias em i() ( ) tededo para gerarão duas sequêcias de images tededo para. Estas sequêcias poderiam também ser obtidas metalmete, o que facilitaria a coclusão de que este ite potual é meos ifiito. Observe aida que a reta = é assítota vertical desta fução e a reta = 0 é assítota horizotal. j() 0, , , , i(),.000, , , ( ) j). Também este caso, vemos que a fução é descotíua em = e que a idetermiação também ão é do tipo 0/0. Assim, tomamos duas sequêcias () e () tededo para, a primeira pela esquerda e a seguda pela direita de, o que gerará duas sequêcias de images () e (), a primeira tededo a e a seguda tededo a +, coforme observamos as tabelas ao lado. Adaptado as defiições de ites laterais potuais fiitos para ites laterais potuais ifiitos, podemos escrever que:

8 começado a eteder CÁLCULO Volume Um - 0 j( ) ( ) ( ) ( ) Veja o gráfico que a sequêcia () que tede a pela esquerda gera uma sequêcia de images () tededo a. Por outro lado, a sequêcia () que tede a pela direita gera uma sequêcia de images () tededo a. Assim, etededo o corolário 5A para ites potuais ifiitos, cocluímos que este ite ão eistirá: Veja que = é assítota vertical, equato que = 0 é assítota horizotal de j(). *************** ( ) Todos os eemplos de ites estudados até aqui são cosiderados ites potuais, uma vez que as sequêcias () tedem a um úmero real a. As sequêcias de images (), porém, poderão ser, coforme vimos, covergetes a um outro úmero real L ou etão tederem a mais ou a meos ifiito. No primeiro caso, os ites potuais são fiitos e o segudo caso, ifiitos. Na próima seção, estudaremos os ites o ifiito, que ocorrem quado as sequêcias () tederem a mais ou a meos ifiito. EXERCÍCIOS IMEDIATOS ) Ecotre os valores para os quais as sequêcias seguites tedem: 7 a b 9 c 0 d 0 e 5 f 0 0 ) a) Ecotre (0 ) escolhedo duas sequêcias em covergetes 5 para 5, uma pela esquerda e outra pela direita e obtedo as sequêcias de images. b) Qual seria um atalho para a obteção deste ite e em que circustâcias você poderá usá-lo ) a) Ecotre 6 6 escolhedo duas sequêcias em covergetes 6 para 6, uma pela esquerda e outra pela direita e obtedo as sequêcias de images. b) Qual seria um atalho para a obteção deste ite e em que circustâcias você poderá usá-lo

9 começado a eteder CÁLCULO Volume Um - 4) Calcule rapidamete os ites: a) d) g) b) 7 c) e) h) f) i) 0 49 se () Dica 5: em (b), calcule os ites laterais substituido f() pela parte correta da fórmula da fução. Este eercício é uma refleão sobre o coceito de cotiuidade: uma fução é cotíua em = a se, e somete se, a f() f(a). Este fato é a recíproca verdadeira daquele já ecotrado o teto, ode tíhamos que, se a fução é cotíua em = a, etão, a f() f(a)., se 5) Cosidere a fução defiida por f()., se a) Esta fução é cotíua para = b) Ecotre os ites laterais para. c) Eistirá f() Justifique sua resposta. d) O que mudaria em (a), (b) e (c) se a fórmula a fução costasse f() = e) O que mudaria em (a), (b) e (c) se a fórmula a fução costasse f() = 5 6) Cosidere a fução defiida por g() ão eiste., se g(). Mostre que, se 7) Calcule metalmete os seguites ites: a) 9 ( 9) 5 4 ( 5) b) ( 4) 4 8 c) 8 8 d) EXERCÍCIOS INTERMEDIÁRIOS 8) Ecotre algebricamete o valor de 6 se 0,5. se 0,50 9 9) Ecotre algebricamete o valor de 0. 0) Calcule metalmete: 5 a) 0 b) 0 5 EXERCÍCIOS AVANÇADOS Dica : multiplique a fução pela fução costate escrita de forma a trasformar o deomiador da fução de A B para A B, o que eiará o radical e permitirá o cacelameto com o umerador. ) Ecotre algebricamete o valor de. f(5 h) f(5) ) Calcule algebricamete h0 as seguites situações: h a) f() 5 b) f() 7 9 c) f() d) f() e) f() f) f()