2.2. Séries de potências

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1 Capítulo 2 Séries de Potêcias 2.. Itrodução Série de potêcias é uma série ifiita de termos variáveis. Assim, a teoria desevolvida para séries ifiitas de termos costates pode ser estedida para a aálise de covergêcia de séries de potêcias. As séries de potêcias podem ser usadas em várias aplicações como ecotrar aproximações de úmeros irracioais tais como 2, π, e, etc., para ecotrar valores aproximados de itegrais que ão podem ser itegrados de forma aalítica tais como /2 0 e t2 dt e 0 Cos( x)dt, etc. e, pricipalmete, a resolução de equações difereciais que seria a aplicação mais importate do poto de vista da egeharia elétrica Séries de potêcias Defiição : Uma série de potêcias em (x a) é uma série da forma: c o + c (x a) + c 2 (x a) c (x a) +... (2.) que é represetada de forma esquemática por c (x a) Um caso especial acotece quado a = 0. Nesse caso temos uma série de potêcias em x da seguite forma: c = c o + c x + c 2 x c +... (2.2) Neste caso aalisamos apeas as séries de potêcias da forma (2.2) mas essa teoria pode ser usada para aalisar (2.) apeas fazedo a trasformação x = x a. O tópico de iteresse é ecotrar os valores de x para os quais a série de potêcias (2.2) coverge. Assim, podemos cosiderar as séries de potêcias como a seguite fução: f(x) = c (2.3)

2 que tem como domíio todos os valores de x para os quais (2.2) coverge. Em geral, séries de potêcias do tipo (2.2) podem covergir apeas para x = 0, para valores de x de um itervalo especificado ou para todos os valores de x. Exemplo : Ecotrar os valores de x para os quais a série de potêcias Usamos o teste da razão e, portato, temos o seguite: u = x ( + )x+ 3 u + = 3 + = ( + )x x é covergete. L = u + u = (+)x x = x(+) 3 = x 3 ( ) (+) De acordo com o teste da razão, a série aterior é covergete se L <. Assim, temos: L = x 3 ( ) (+) = x 3 < = x < 3 Adicioalmete, usamos o teste da razão para provar que a série é divergete para L >, isto é, para x > 3. Etretato, para L = (que equivale a x = 3) o teste da razão ão apreseta prova coclusiva. Em outras palavras, para L =, o teste da razão ão pode ser usado para provar a covergêcia de uma série. Assim, precisamos provar a covergêcia ou divergêcia da série para x = 3 usado outras estratégias. Para L = = x 3 = = x = ±3 Para x = 3 = 3 = 3 3 = Nesse caso a série é claramete divergete e pode ser verificado usado a propriedade: u = = que prova que a série é divergete. Para x = 3 = 3 = ( 3) 3 = ( ) Nesse caso a série também é divergete e pode ser verificado usado a propriedade: u = (( ) ) = ± que prova que a série é divergete. Portato, a série em aálise coverge apeas para o itervalo aberto ( 3, 3). Exemplo 2: Ecotrar os valores de x para os quais a série de potêcias ( ) + x 2 (2 )! é covergete. 2

3 Usamos o teste da razão e, portato, temos o seguite: u = ( ) + x2 (2 )! u + = ( ) +2 x2+2 (2+2 )! = ( )+ ( ) x2 x 2 (2+)! = ( )( ) + x2 x 2 (2+)(2)(2 )! L = u + u = ( )x 2 ( ) + x 2 (2+)(2)(2 )! ( ) + x 2 (2 )! = ( )x 2 2(2+) = L = x 2 ( ) 2(2+) = x 2 (0) = 0 < A relação aterior mostra que L < para todo valor de x e, portato, a série é covergete para todo valor de x tal que x (, ). Este problema mostra um tipo especial de série que coverge para todos os valores de x. Exemplo 3: Ecotrar os valores de x para os quais a série de potêcias é covergete. Usamos o teste da razão e, portato, temos o seguite: u = u + = ( + )! + = ( + )x L = u + u = (+)x = ( + )x = x ( + ) Na relação aterior, se x = 0 etão L = 0 < e, portato, a série é covergete para x = 0. Para x 0 etão L = e esse caso a série é divergete. Este problema mostra um tipo especial de série que coverge apeas para x = 0. Oservação: Para verificar o itervalo de covergêcia de uma série de potêcias dos problemas deste capítulo vamos usar o teste da razão ou o teste da raiz que permite ecotrar o itervalo de covergêcia mas, adicioalmete, esse caso devemos usar outros teoremas do capítulo de séries ifiitas com termos costates para verificar a covergêcia os extremos do itervalo de covergêcia como foi realizado o exemplo. Teorema : Sobre covergêcia de séries de potêcias: Se a série de potêcias c é covergete para x = x com x 0 etão ela é obsolutamete covergete para todos os valores de x para os quais x < x. Teorema 2: Sobre divergêcia de séries de potêcias: Se a série de potêcias c é divergete para x = x 2 etão ela é divergete para todos os valores de x para os quais x > x 2. Teorema 3: Sobre covergêcia de séries de potêcias: 3

4 Seja c uma série de potêcias. Nesse cotexto, apeas uma e somete uma das seguites afirmações é verdadeira:. A série coverge somete para x = A série é absolutamete covergete para todos os valores de x. 3. Existe um úmero R > 0 tal que a série é absolutamete covergete para todos os valores de x para os quais x < R e, a série é divergete para todos os valores de x para os quais x > R. Observações: As seguites observações são importates em relação ao Teorema 3: O Teorema 3 ão diz ada em relação a covergêcia em x = R. O cojuto de valores de x para os quais a série de potêcias é covergete é chamado de itervalo de covergêcia da série de potêcias. Se uma série de potêcias é covergete para valores de x < R com R > 0 etão R é chamado de raio de covergêcia. O teste da razão é o teorema mais adequado para determiar o itervalo de covergêcia. Etretato, o teste da razão ão respode sobre a covergêcia as extremidades do itervalo de covergêcia. Se uma série de potêcias é absolutamete covergete em uma extremidade etão é absolutamete covergete em ambas extremidades. Uma série de potêcias defie uma fução que tem como domíio o itervalo de covergêcia. Existem séries de potêcias para os quais ão é simples determiar a covergêcia ou divergêcia os extremos do itervalo de covergêcia Derivação de séries de potêcias Sabemos que uma série de potêcias c defie uma fução cujo domíio é o itervalo de covergêcia. Nesse cotexto, um tópico importate é aalisar as características de covergêcia das séries obtidas derivado uma série de potêcias com itervalo de covergêcia cohecido. Teorema 4: A derivada de uma série de potêcias tem o mesmo raio de covergêcia: Se c é uma série de potêcias com um raio de covergêcia R > 0 etão a série também tem R como raio de covergêcia. Exemplo 4: Verificar o Teorema 4 para a série de potêcias f(x) = Usamos o teste da razão para ecotrar o raio de covergêcia da série origial: 2 c u = x 2 u + = x+ ( + ) 2 4

5 L = u + u = + (+) 2 2 = + 2 (+) 2 x = L = x ( = x < Assim, o raio de covergêcia é R =. A derivada da série origial assume a seguite forma: f (x) = 2 = Usamos também o teste da razão para ecotrar o raio de covergêcia da derivada da série origial: u = x u + = x ( + ) L = u + u = (+) = (+) x = + L = x ( ) + = x < Assim, o raio de covergêcia é R =. Portato, foi verificado que o raio de covergêcia da série origialf(x) é a mesma da série obtida da derivada de f(x). Em resumo, o exemplo cofirma o Teorema 4 que afirma que f(x) e f (x) tem o mesmo raio de covergêcia. Etretato, o Teorema 4 ão diz ada em relação a covergêcia os extremos do raio de covergêcia, isto é, se existe alguma relação etre a covergêcia de f(x) os extremos do raio de covergêcia e a covergêcia de f (x) os extremos do raio de covergêcia. O Teorema 4 é válido para as sucessivas derivadas de f(x). Teorema 5: Geeralização do Teorema 4: Se o raio de covergêcia da série c é R > 0 etão o raio de covergêcia da série ( ) c 2 =2 também tem R como raio de covergêcia. O Teorema 5 pode ser estedido para todas as derivadas da série origial. Teorema 6: Uma série e suas derivadas tem o mesmo itervalo de covergêcia aberto: Seja c uma série de potêcias com raio de covergêcia R > 0. Etão se f(x) é uma fução defiida por f(x) = c etão existe f (x) para todo x do itervalo de covergêcia ( R, R) sedo dado por: f (x) = c. 5

6 Observação: O Teorema 6 prova que o itervalo de covergêcia aberto é o mesmo para f(x) e f (x) mas ão prova que a covergêcia seja a mesma para os extremos do itervalo de covergêcia. Em outras palavras, a covergêcia pode ser diferete os extremos do itervalo de covergêcia. Exemplo 5: Ecotrado o itervalo de covergêcia: + Seja f(x) = ( + ) 2. Nesse cotexto: (a) ecotre o domíio de f(x); (b) ecotre f (x) e o domíio correspodete. Ecotramos o domíio de f(x) usado o teste da razão: u = x+ ( + ) 2 u + = x+2 ( + 2) 2 = x+ x ( + 2) 2 L = u + u = + x (+2) 2 + (+) 2 ( 2 = + +2) = x ( ) = x Para covergêcia L = x < e, portato, existe covergêcia para x < = x (, ). Para termiar a aálise de f(x) devemos avaliar a covergêcia os extremos do itervalo de covergêcia. Para x = temos o seguite: ( + ) 2 = ( + ) = 2 A relação aterior é uma série hiper-harmôica com p = 2 e, portato, é uma série covergete. Alterativamete, também podemos usar o Teste da itegral da seguite forma: f(x) dx = [ dx ( + x) 2 = ] + x que também prova que f(x) é covergete em x =. Para x = temos o seguite: ( ) = +x ( ) + ( + ) 2 = = 2 que é uma série covergete porque é absolutamete covergete já que foi provado que ( + ) 2 é covergete. Também podemos provar a covergêcia da série aterior usado o Teorema para séries alteradas da seguite forma: a ( = ) (+) 2 ( = ) que também prova que f(x) é covergete em x =. Assim, foi provado que a série coverge os extremos do itervalo de covergêcia e, portato, o domíio de f(x) é o itervalo [, ]. = 0 6

7 Ecotramos o domíio de f (x) igorado, pela última vez, o Teorema 6: A forma matemática de f (x) pode ser obtida de f(x) e assume a seguite forma: f(x) = x + x2 4 + x3 9 + x x+ ( + ) = + ( + ) 2 = f (x) = + x 2 + x2 3 + x x = + ou melhor diretamete da relação geérica mas verificado o ite iferior (Ver Teorema 6). Usado o teste da razão temos o seguite: u = x ( + ) u + = x+ ( + 2) = x x ( + 2) L = u + u = x (+2) (+) x = + +2 = x ( ) + +2 = x Para covergêcia L = x < e, portato, existe covergêcia para x < = x (, ). Para termiar a aálise de f (x) devemos avaliar a covergêcia os extremos do itervalo de covergêcia. Para x = temos a série que é uma série harmôica e, portato, represeta uma série ( + ) divergete. Podemos também usar o Teste da itegral da seguite forma: g(x) dx = dx ( + x) = [L( + x)] 0 = L( + x) L = que também prova que f (x) é divergete em x =. ( ) Para x = temos o seguite: ( + ) que é uma série alterada. Usado o Teorema para séries alteradas temos o seguite: a ( ) = (+) que prova que f (x) é covergete em x =. Assim, foi provado que a série coverge em um dos extremos e diverge o outro extremo. Portato, o domíio de f (x) é o itervalo [, ). = 0 Em resumo, o exemplo 5 que foi propositalmete desevolvida de forma excessivamete detalhada, mostra que uma série de potêcias e a série obtida derivado essa série apresetam o mesmo raio de covergêcia e, portato, tem o mesmo itervalo aberto de covergêcia ( R, R) mas os extremos do itervalo de covergêcia podem apresetar características de covergêcia diferetes. Assim, por exemplo, o exemplo 7

8 5 a série origial coverge os dois extremos do itervalo de covergêcia mas a derivada diverge o extremo x =. Exemplo 6: Provar que e x = para todo valor de x. Iicialmete verificamos que coverge para todo x usado o teste da razão. u = x u + = x+ ( + )! = x x ( + ) L = u + u = x (+) = x + = x ( ) + = 0 Assim, foi provado que a série coverge para todos os valores de x e podemos escrever a relação: f(x) = (2.4) A cotiuação ecotramos uma relação matemática para f (x) da seguite forma: f(x) = + x + x2 2! + x3 3! x +... = (2.5) Da relação aterior ecotramos a forma matemática de f (x): f (x) = + x + x2 2! + x3 3! x ( )! + x +... = (2.6) Das relações (2.5) e (2.6) ecotramos o seguite: f (x) = f(x) = dy dx = y (2.7) Da relação (2.5) e lembrado que a fução que tem como derivada a própria fução multiplicado por um fator adicioal é a fução e x etão a solução de (2.7) é o seguite: y = f(x) = C e x Como f(0) = = = C e 0 = C = = f(x) = e x = f(x) = e x = 8

9 Exemplo 7: Mostre que y = x + é solução da equação diferecial d2 y dx 2 y + x = 0. A série de potêcias mostrada (que a verdade é igual a e x ) é covergete para todo x e, portato, y = x + é covergete para todos os valores de x. Ecotramos as derivadas de y da seguite forma: y = dy dx = + = + ( )! = + = + y = d2 y dx 2 = =2 ( ) 2 ( )! = =2 2 ( 2)! = = Agora substituímos y e y a equação diferecial: [ x + que prova que y é uma solução da equação diferecial. ] + x = 0 = 0 = Itegração de séries de potêcias As séries de potêcia também podem ser itegradas e a ova série ecotrada após a itegração também tem o mesmo raio de covergêcia da série origial. Este tópico ão é aalisado este trabalho e apresetamos apeas o Teorema 7 que relacioa uma série de potêcias e a itegral dessa série. Teorema 7: Sobre itegração de séries de potêcias: Seja c uma série de potêcias cujo raio de covergêcia é R > 0. Etão se f(x) é uma fução defiida pela relação f(x) = c, f(x) é itegrável em todo o subitervalo ( R, R) e podemos calcular a itegral de f(x) itegrado termo a termo a série de potêcias dada, isto é, se x está em ( R, R) etão x c + f(t)dt =. Além disso, o raio de covergêcia da série resultate é R. o Série (de potêcias) de Taylor Nesta seção aalisamos dois tipos muito especiais de séries de potêcias, isto é, a série de potêcias de Taylor e a série de potêcias de Maclauri. Seja f(x) uma fução defiida da seguite forma: f(x) = c = c 0 + c x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x c +... (2.8) 9

10 com raio de covergêcia R > 0. Pelo Teorema 6 da existêcia de derivadas de séries de potêcias para o itervalo ( R, R) sabemos que existem sucessivas derivadas de f(x). Assim, f(x) é ifiitamete derivável o itervalo ( R, R). Dessa forma, algumas derivadas de (2.8) são as seguites: f i (x) = c + 2c 2 x + 3c 3 x 2 + 4c 4 x c +... (2.9) f ii (x) = 2c 2 + (2).(3) c 3 x + (3).(4)c 4 x ( ) c (2.0) f iii (x) = (2).(3) c 3 + (2).(3).(4)c 4 x... + ( )( 2) c (2.) f iv (x) = (2).(3).(4)c ( )( 2)( 3) c (2.2). ode podemos verificar facilmete de que existem ifiitas derivadas. Em x = 0 as relações (2.8),(2.9),(2.0),(2.)e (2.2) assumem a seguite forma: f(0) = c 0 f i (0) = c f ii (0) = 2c 2 f iii (0) = (2).(3) c 3 f iv (0) = (2).(3).(4) c 4 = c 0 = f(0) c = f i (0) c 2 = f ii (0) 2! c 3 = f iii (0) 3! c 4 = f iv (0) 4! Assim, podemos geeralizar e ecotrar uma relação para c : c = f () (0) (2.3) Portato, (2.8) assume a seguite forma: f(x) = c = f(0) + f i (0)x + f ii (0) 2! x 2 + f iii (0) 3! x f () (0) +... = A série de potêcias (2.4) é chamada de série (de potêcias) de Maclauri. f () (0) (2.4) A série (2.4) pode ser geeralizada em (x a). Assim, cosideremos a fução f(x) da seguite forma: f(x) = c (x a) = c 0 + c (x a) + c 2 (x a) 2 + c 3 (x a) 3 + c 4 (x a) c (x a) +... (2.5) Se o raio de covergêcia dessa série é R > 0 etão f(x) é ifiitamete derivável o itervalo (a R, a+r). Dessa forma, as derivadas de (2.5) assumem a seguite forma: f i (x) = c + 2c 2 (x a) + 3c 3 (x a) 2 + 4c 4 (x a) c (x a) +... (2.6) f ii (x) = 2c 2 + (2).(3) c 3 (x a) + (3).(4)c 4 (x a) ( ) c (x a) (2.7) f iii (x) = (2).(3) c 3 + (2).(3).(4)c 4 (x a)... + ( )( 2) c (x a) (2.8) f iv (x) = (2).(3).(4)c ( )( 2)( 3) c (x a) (2.9). 0

11 Para x = a as relações (2.5),(2.6),(2.7),(2.8)e (2.9) assumem a seguite forma: f(a) = c 0 = c 0 = f(a) f i (a) = c = c = f i (a) f ii (a) = 2 c 2 = c 2 = f iii (a) 2! f iii (a) = (2).(3) c 3 = c 3 = f iii (a) 3! f iv (a) = (2).(3).(4) c 4 = c 4 = f iv (a) 4!. Assim, podemos geeralizar e ecotrar uma relação para c : c = f () (a) (2.20) Portato, (2.5) assume a seguite forma: f(x) = c (x a) = c 0 + c (x a) + c 2 (x a) 2 + c 3 (x a) 3 + c 4 (x a) c (x a) +... f(x) = c (x a) = f(a) + f i (a)(x a) + f ii (a) 2! f(x) = c (x a) = (x a) 2 + f iii (a) 3! (x a) f (a) (x a) +... f () (a) (x a) (2.2) A série de potêcias (2.2) é chamada de série (de potêcias) de Taylor. A figura mostra o itervalo de covergêcia da série de Taylor para x a < R. a R a x a + R ( ) Figura 2.: Itervalo de covergêcia da série de Taylor Exemplo 8: Ecotre a série de Maclauri para f(x) = se x A forma geral da série de Maclauri assume a seguite forma: f(x) = se x = f () (0)

12 Assim, os termos da série assumem a seguite forma: f (o) (x) = f(x) = se x = f (o) (0) = 0 f i (x) = cos x = f i (0) = f ii (x) = se x = f ii (0) = 0 f iii (x) = cos x = f iii (0) = f iv (x) = se x = f iv (0) = 0 f v (x) = cos x = f v (0) = f vi (x) = se x = f vi (0) = 0 f vii (x) = cos x = f vii (0) = f viii (x) = se x = f viii (0) = 0. Substituido a relação geral temos o seguite: f(x) = se x = x x3 3! + x5 5! x7 7! + x9 9! +... = ( ) x2+ (2 + )! Exemplo 9: Ecotre a série de Taylor para f(x) = se x em a A forma geral da série de Taylor assume a seguite forma: Da relação aterior temos o seguite: f(x) = se x = f () (a) (x a) (x a)2 (x a)3 (x a)4 se x = se a + cos a (x a) se a cos a + se a ! 3! 4! Pode-se verificar que a relação aterior se trasforma a série de Maclauri quado a = 0. Exemplo 0: Ecotre a série de Maclauri para f(x) = e x A forma geral da série de Maclauri assume a seguite forma: Neste caso temos o seguite: f(x) = e x = f () (0) f(x) = e x = f () (x) = e x = f (0) = e 0 = A relação aterior mostra que todas as derivadas são iguais a e x e essas derivadas em x = 0 valem. Assim, temos o seguite: 2

13 f(x) = e x = f () (0) = + x + x2 2! + x3 3! + x4 4! x +... = Exemplo : Ecotre a série de Maclauri para f(x) = cos x A forma geral da série de Maclauri assume a seguite forma: f(x) = cos x = Assim, os termos da série assumem a seguite forma: f () (0) f (o) (x) = f(x) = cos x = f (o) (0) = f i (x) = se x = f i (0) = 0 f ii (x) = cos x = f ii (0) = f iii (x) = se x = f iii (0) = 0 f iv (x) = cos x = f iv (0) =. Substituido a relação geral temos o seguite: f(x) = cos x = x2 2! + x4 4! x6 6! + x8 8! +... = ( ) x2 (2)! 2.6. Represetação adequada de uma fução pela série de potêcias Existe aida um tópico adicioal delicado e importate. Pretede-se saber se uma fução que é represetada por uma série de Taylor em x a e com raio de covergêcia R > 0 é represetada adequadamete pela série de potêcias para todos os valores de o itervalo (a R, a+r). Em outras palavras, queremos provar se uma série de potêcias realmete represeta uma fução f(x) o domíio represetado pelo itervalo de covergêcia da série de potêcias. Essa questão pode ser verificada usado o Teorema 8. Teorema 8: Usado para verificar se uma série de potêcias represeta adequadamete uma fução f(x): Seja f(x) uma fução derivável, assim como todas as derivadas (supor que f(x) é ifiitamete derivável) em algum itervalo (a R, a + R). Etão essa fução pode ser represetada por sua série de Taylor f () (a) (x a) para todo x tal que x a < R : R (x) = f (+) (ξ ) (+)! (x a) + = 0 ode cada ξ está etre x e a. A relação: 3

14 R (x) = f (+) (ξ ) (x a) + ( + )! é chamado de resto. Assim, f(x) = P + R (x) em que P é o poliômio de Taylor de grau de f(x) em a. Exemplo 2: Provar que a série de Maclauri do exemplo 8 represeta de forma adequada a fução f(x) = e x para todos os valores de x (lembrado que o itervalo de covergêcia da série é (, )). Sabemos que f(x) = e x = coverge para (, ). Queremos saber se a série de Maclauri represeta f(x) = e x para qualquer valor de x desse itervalo de covergêcia. Assim temos o seguite: R (x) = R (x) = f (+) (ξ ) + mas como f () (x) = e x = f (+) (ξ) = e ξ = ( + )! eξ (+)! x+ para ξ que está etre 0 e x. Pretedemos provar que: R (x) = 0: Existem três casos: () x > 0, (2) x < 0, e (3) x = 0.. Se x > 0: Sabemos que 2. Se x < 0: 0 < ξ < x = e ξ < e x = 0 < eξ + (+)! x < ξ < 0 = 0 < e ξ < Etão se + > 0 = 0 < Se + < 0 = x+ (+)! < eξ + (+)! < 0 = Como o 3. Se x = 0: + (+)! ( + )! x+ < ( ) = 0 = e x x+ (+)! eξ (+)! x+ < x+ (+)! = R (x) = 0 = R (x) e x ( + )! x+ = 0 = R (x) Nesse caso a soma da série é igual a que equivale a e 0 = e, portato, a série represeta e x para todos os valores de x. Obsevação: Na prova aterior usamos a relação: que a série + ( + )! é covergete. = 0 + (+)! = 0 = 0 = 0 como sedo válida porque já sabemos Na Tabela é apresetada a série de Maclauri das fuções mais simples e válida para todos os valores de x. 4

15 Tabela : Série de Maclauri de fuções matemáticas simples e x = = + x + x2 ( ) x 2+ Se x = (2 + )! Cos x = Seh x = Cosh x = ( ) x 2 (2)! 2! + x3 3! +... = x x3 3! + x5 5! x7 7! +... = x2 2! + x4 4! x6 6! +... x 2+ (2 + )! = x + x3 3! + x5 5! + x7 7! +... x 2 (2)! = + x2 2! + x4 4! + x6 6! Resolução de equações difereciais usado séries de potêcias Uma das pricipais aplicações das séries de potêcia acotece a resolução de equações difereciais com coeficietes variáveis. Assim, apresetamos de forma resumida esse tipo de aplicação. Seja a equação diferecial: a(t)y (t) + b(t)y (t) + c(t)y(t) = 0 (2.22) em que a(t) 0 para α < t < β e a(t), b(t) e c(t) são poliomios. É razoável supor que a solução seja um poliomio y(t) com coeficietes descohecidos. Assim, após substituir y(t) e as derivadas em (2.22) podemos ecotrar o valor dos coeficietes descohecidos. Adicioalmete, se ecotramos duas soluções y (t) e y 2 (t) com a forma poliomial mecioada e com W [y (t), y 2 (t)] 0 (sedo W o Wroskiao) etão qualquer solução pode ser escrita a forma geral y(t) = c y (t) + c 2 y 2 (t) e, portato, o problema se reduz a ecotrar as duas soluções y (t) e y 2 (t). Exemplo 3: Resolver a seguite equação diferecial: ( + t 2 )y (t) + 3t y (t) + y(t) = 0 Vamos supor que a solução da equação diferecial assume a seguite forma poliomial: y(t) = a o + a t + a 2 t 2 + a 3 t 3 + a 4 t a t +... Assim, as derivadas dessa suposta solução são as seguites: y (t) = a + 2 a 2 t + 3 a 3 t a 4 t a t +... y (t) = 2 a 2 + (2).(3) a 3 t + (3).(4) a 4 t ( ) a t ( + 2)( + ) a +2 t

16 Substituido as relações ateriores a equação diferecial temos o seguite: ( + t 2 )[2 a 2 + (2).(3) a 3 t + (3).(4) a 4 t ( ) a t ( + 2)( + ) a +2 t +...]+ 3t[a + 2 a 2 t + 3 a 3 t a 4 t a t +...] + [a o + a t + a 2 t 2 + a 3 t 3 + a 4 t a t +...] = 0 [2a 2 + a o ] + [a + 3a + (3).(2).a 3 ]t + [a 2 + (3).(2).a 2 + 2a 2 + (4).(3).a 4 ]t [a + 3 a + ( + 2)( + )a +2 + ( )a ]t +... = 0 Todos os coeficietes devem ser iguais a zero. Particularmete, para o coeficiete de t temos o seguite: a + 3 a + ( + 2)( + )a +2 + ( )a = 0 [ ]a + [( + 2)( + )]a +2 = 0 [ ]a + ( + 2)( + )a +2 = 0 = ( + )( + )a + ( + )( + 2)a +2 = 0 = ( + ) a +2 = ( + 2) a A relação aterior é chamada de fórmula de recorrêcia ou equação de difereças. Nessa relação, podemos ecotrar todos os valores de a se são cohecidos a o e a. Assim, podemos ecotrar duas soluções y (t) e y 2 (t) escolhedo em cada caso um par de valores para a o e a. Portato, geramos uma relação para y (t) usado os valores de a o = e a = 0 e também geramos uma relação para y 2 (t) usado os valores de a o = 0 e a = da seguite forma: Gerado y (t) com a o = e a = 0: Neste caso, todos os coeficietes impares, isto é, a, a 3, a 5,... são ulos porque a = 0. Para os coeficietes pares temos o seguite: a 2 = 2 a o = 2 a 4 = 3 4 a 2 = ().(3) (2).(4) a 6 = 5 6 a 4 = ().(3).(5) (2).(4).(6)... ().(3).(5).... (2 ) a 2 = ( ) = a 2 = ( ) ().(3).(5).... (2 ) (2).(4).(6).... (2) 2 = (().(2).(3).... ) ().(3).(5).... (2 ) a 2 = ( ) 2 = y (t) = ().(3).(5).... (2 ) ( ) 2 t 2 (2.23) Gerado y 2 (t) com a o = 0 e a = : Neste caso, todos os coeficietes pares são ulos. Para os coeficietes impares temos o seguite: a 3 = 2 3 a = 2 3 a 5 = 4 5 a 3 = (2).(4) (3).(5) 6 a 7 = 6 7 a 5 = (2).(4).(6) (3).(5).(7)...

17 a 2+ = ( ) (2).(4).(6).... (2) (3).(5).(7).... (2 + ) = 2 ( ) (3).(5).(7).... (2 + ) = y 2 (t) = ( ) 2 (3).(5).(7).... (2 + ) t2+ (2.24) Portato, a solução geral assume a seguite forma: y(t) = c y (t) + c 2 y 2 (t) e os valores dos coeficietes c e c 2 são ecotrados das codições iiciais ou das codições de cotoro (duas codições iiciais) Problemas propostos. Determie o itervalo de covergêcia das seguites séries de potêcia: x (a) x (c) (d) (e) (i) + (b) x (f) 2 2 (g) ( ) + x2 (2 )! 2 5 (x ) x (j) (k) L(+) 2. Determie o raio de covergêcia e o domíio de f(x) e f (x): x (a) x (b) x (c) 2 (d) 2 () (m) (x ) 3 (h) 4 +2 x 2 +3 (x+3) 2 3. Ecotre a série de Maclauri para se 2 x e para cos 2 x. Sugestão: use as idetidades: se 2 x = 2 ( cos 2x) e cos2 x = 2 ( + cos 2x). 4. Ecotre os três primeiros termos ão ulos da série de Maclauri para tg x. Use o resultado para ecotrar os três primeiros termos ão ulos da série de Maclauri para sec 2 x. 5. Ecotre a série de Maclauri para a fução coseo derivado a série de Maclauri para a fução seo. Também ecotre a série de Maclauri para a fução seo derivado a série da fução coseo. 6. Prove que a série 7. Prove que a série ( ) x 2+ (2+)! represeta o seh x para todos os valores de x. ( ) x 2 (2)! represeta o cosh x para todos os valores de x. 7