Aplicações Diferentes Para Números Complexos

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1 Material by: Caio Guimarães (Equipe Rumoaoita.com) Aplicações Diferetes Para Números Complexos Capítulo I Cometário Iicial O artigo que aqui apresetamos ão tem como objetivo itroduzir ao leitor o assuto úmeros complexos. O artigo tem como objetivo aprofudar os cohecimetos de alguém que já estudou o assuto (mesmo que brevemete) abrido os seus horizotes para ovas aplicações (ou aplicações diferetes como diz o título) dos úmeros complexos. Revisão de Complexos: A uidade complexa é defiida como i = 1. Cosidere o complexo z= x+ y.i x,y. Defiimos: - Módulo (orma) de z: z = x+ y.i = x² + y² - Partes Real e Imagiaria de z: e(z) = x Im(z) = y y - Argumeto de z: θ = arg(z) = arctg + 2.k. π k x - Complexo cojugado de z: z = x yi Um úmero complexo pode ser represetado o plao complexo como um vetor (sedo a parte real de um complexo represetado o eixo horizotal e sua parte imagiária o eixo vertical). A extremidade do vetor é chamado afixo (x,y) de um complexo.

2 Da figura, um complexo pode ser escrito a forma trigoométrica: z= z. cosθ+ i.seθ ( ) Notação: Usaremos o decorrer do artigo as otações: cisθ = cosθ+ i.seθ Exercícios de Revisão: 1. Prove as seguites propriedades: i) z = r.cisθ w =ρ.cisα z.w = ( ρ.r ).cis( θ+α ) z ρ w r z = r w =ρ 0 z.w = r. ρ z r = w ρ ii) z= r.cisθ w =ρ.cis α =.cis( θ α) iii) iv) z.z = z ² v) z = z vi) z1 + z2 = z1 + z2 vii) z.z 1 2 = z.z 1 2 viii) z + w z+ w

3 2. Prove por idução a lei de Moivre: ( z) = ( r.cisθ ) = r cis(. θ ) para atural positivo. Esteda o raciocíio para iteiros. 2 π z = 1 z= cis para atural, e k iteiro. 3. Mostre que: ( ) k θ θ 4. Mostre que: 1+ cis θ= 2.cos.cis 2 2 z 5. Utilize o resultado acima para mostrar que 1 + z 2 para z de 2 módulo uitário tal que z 1 e atural. (IME 2002) 1 6. Seja P(z) = a 0.z + a 1.z a 1.z + 1 um poliômio com coeficietes reais. Mostre que se x é raiz da equação P(z)=0, etão o cojugado de x também será raiz. 7. (ITA) Sejam os úmeros complexos distitos z e w, (ode z tem módulo uitário). Mostre que: z w 1 z.w = 1

4 Forma Polar de Complexos: Resultado cohecido do Cálculo Diferecial e Itegral, podemos expadir fuções como séries de potêcias de x (Expasão de Taylor): 4 6 x² x x cosx = ! 4! 6! x x x sex = x... 3! + 5! 7! x x x x e = 1 + x ! 3! 4! Desses resultados segue que: x² x x x cosx + i.sex = 1 + i.x i. + i ! 3! 4! 5! ix x² x x x e = 1 + i.x i. + i ! 3! 4! 5! Temos uma idetidade de fuções: ix cosx + i.sex = e Com, isso temos que todo complexo pode ser escrito a forma: i z= z.cisθ= z.e θ A demostração da expasão da série de taylor foge aos objetivos do artigo.

5 Aplicação 1: Complexos em Somatórios Biomiais: Algo iteressate que podemos retirar das propriedades de úmeros complexos é a sua propriedade de potêcia. Em ciclos de 4 potêcias o umero complexo i se repete. Vamos usar esse fato para ossa vatagem i = i = i =... = i = i = i =... = i i = i = i =... = i = i = i =... = i Do desevolvimeto biomial de Newto temos: x = 1 + C.x+ C.x² C.x ( ) A partir daí podemos tirar algus resultados bastate úteis: Fazedo x=1 a expressão acima, temos o cohecido Teorema das Lihas do Triâgulo de Pascal: ( 1+ 1) = 1+ C 1 + C C = 2 C 1 C 2....C 1 1 = = 0 Fazedo x=- 1: ( ) ( ) Utilizado os resultados acima é possível provar (verifique como exercício): C + C + C +... = C + C + C +... = 2 Ou seja, foi obtido facilmete, com coceitos básicos a soma biomial de combiações de tomadas em úmeros pares (bem como ímpares).

6 Será que sabemos calcular a seguite soma? C + C + C +... Utilizado os resultados já ecotrados seria iteressate termos um valor para x que mude sua potêcia em ciclos diferetes de 2. Bom, coforme foi dito, o umero complexo i muda sua potecia em ciclos de 4. Vejamos como isso pode os ajudar: ( ) x = 1 + C.x+ C.x² C.x Fazedo x = i ( 1+ i) = 1+ C.i+ C.i² + C.i³ = 1 C + C C + C i. C C + C C +... ( ) ( ) Da expressão acima tiramos dois resultados úteis: e( 1+ i) = ( 1 C + C C + C +... ) Im( 1 + i) = ( C C + C C +... ) Uma vez que: ( ) π π, temos: 4 Moivre 4 2 π 1+ i = 2.cis = 2.cis e( 1+ i ) = 2.cos 4 π Im( 1+ i ) = 22.se 4 E com isso temos mais duas somas biomiais importates: ( C C C C...).cos π = π ( C C + C C +...) = 2 2.se 4

7 Ora, uma vez que cohecemos: ( ) π 1 C + C C + C +... = 2.cos C + C + C +... = 2 Somado ambos as expressões, chegamos ao resultado (verifique): ( 1) π 1+ C + C + C +... = cos 4 Usado um raciocíio aálogo, utilize os resultados já obtidos para obter: ( 1) π C + C + C +... = se 4 Exercício: Obter uma expressão reduzida para os seguites somatórios: a) C + C + C b) C + C + C +...

8 Exercício Resolvida: (IME 2005) Determie uma expressão reduzida para o somatório: C + C + C + C +... Solução: Acabamos de trabalhar com somatórios biomiais com combiações tomadas em úmeros repetido em ciclos de 4. A questão proposta pelo IME é um somatório biomial com combiações tomadas em úmeros repetido em ciclos de 3. Procuramos algo que repita sua potêcia da seguite maeira: x = x = x... Do raciocíio acima, queremos x do tipo: 3 kπ = x x= cis kπ Usaremos o biomial de Newto para x cis 2 = : cis 2π 1 π π π C.cis 2 2 C cis 2 + = C..cis Da forma de Moivre: π π cis 2 = cis Logo: cis 2π 1 C.cis 2π 2 C.cis 4π 3 C.cis 6π 1+ = = 1+ C. + i. + C. i. + C. ( 1) C C C C C. 3 C 3 C. 3 C = + C i

9 Lembrado que: cis 2π π + = + i = + i = cis Das expressões acima: C C C C (i) e cis 2π π + = cos 1 = 1 + C C. C C. C (ii) Im cis 2π π + = se = Do Teorema das Lihas: C + C + C C = 2 (iii) Fazedo 2.(i) + (iii) π ( 2 C C + 2C C C +...) + C + C + C C = 2 + 2cos ( ) π C + C + C +... = 2 + 2cos 3 Segue que: C + C + C +... = π 2 + 2cos 3 3

10 Exercícios de Fixação: 1. (IME 2005) Determie uma expressão reduzida para o somatório : C + C + C + C +... OBS: É o item b da questão resolvida acima. Utilize um raciocíio rigorosamete aálogo. 2. Determie uma expressão reduzida para o somatório: C.sex+ C.se( 2x) + C.se( 3 x) C.se(x) Sugestão: Utilize o resultado do exercício 4 da parte de Revisão de Complexos. 3. Determie uma expressão reduzida para os somatórios sex + se( 2x) + se( 3x) + se( 4 x) se(.x) cosx + cos( 2x) + cos( 3x) + cos( 4 x) cos(.x) 4 Se = 1, 2, 3,..., prove que: 2π 4π 6π 2( 1) π cos + cos + cos cos = 1 2π 4π 6π 2( 1) π se + se + se se = 0 Sugestão: Lembre da expressão para somas de progressões geométricas. 5. Prove que para = 2, 3,... π ( ) se 2π π π se 3 se... 1 se = 2 1