PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS CADERNO DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS

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1 PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS CADERNO DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS - Determie quais sequêcias (siais discretos o tempo) abaixo são periódicos ou aperiódicos. No caso dos siais periódicos, determie o período dos mesmos. a) x()=cos(0,25 π) b) x()=re {e jπ /2 }+Im {e jπ /8 } c) x()=se(π+ 0,2 ) d) x()=e j π 6 cos (π /7 ) 2 - Determie quais são as partes par e ímpar dos seguites siais: a) x()=u() b) x()=a u( ) 3 - Se x ( ) é par e se x 2( ) é ímpar, como será a fução x ( ) x 2 ( )? 4 - Se x()=0 para < 0, obteha uma expressão x() em termos de parte par, x p( ) e parte ímpar, x i(), e utilizado essa expressão determie x() quado x p ()=(0,9 ) u( ). Determie se é possível ou ão obter uma expressão simular para x() em termos da parte ímpar. 5 - Se x e () for a parte simétrica cojugada de uma sequêcia x(), qual simetria das partes real e imagiária x p( ) possui? 6 - Determiar a parte cojugada simétrica da sequêcia x()=je jπ / Dada a sequêcia x()=(6 )[u( ) u( 6 )], esquematize: a) y ( )=x (4 ) b) y 2 ()=x (2 3) c) y 3()=x(8 3) d) y 4 ()=x ( 2 2+) 8 - A otação x(( )) N é utilizada para defiir uma seqüêcia da seguite forma x(( )) N =x ( módulo N ) ode módulo N é o positivo a faixa [0,N-] que permaece após a divisão de por N. Por exemplo, ((3 )) 8 =3, ((2)) 8 =4 e (( 6 )) 4 =2. Se x ()= ( 2 ) se(π /2)u(), faça um esquema de a) x (( )) 3 e b) x (( 2) A potêcia de um sial real x() é defiida como a soma dos quadrados da seqüêcia, ou P= x 2 () supoha que a seqüêcia x() teha uma parte par x p ( ) igual a = x e ()= ( 2 ) Se a potêcia em x() é iguala 5, determie a patêcia da parte ímpar, x i () de x().

2 0 - Cosidere a sequêcia x()= ( 2 3) u( ) a) Determie o valor umérico de A= k= u( ) b) Calcule o valor da potêcia em x() P= x 2 () = c) Se x () é uma etrada para um sistema variate o tempo defiido por y( )=x (), determie a potêcia o sial da saída(i.e. avalie a soma). - Expresse a sequêcia x ()={ =0 2 = 3 = 2 0 outros} Como a soma de degraus uitário escaloados e deslocados. 2 - Para cada um dos sistemas abaixo, x() é a etrada e y() é a saída. Determie quais dos sistemas é homogêeo, quais dos sistemas é aditivo e quais dos sistemas é liear. a) y()=log( x()) b) y()=6x(+2)+4x( +)+2x()+ c) y( )=6x()+[ x(+ )x( )]/ x() d) y( )x( )se(π /2 ) y ( ) = Re x( ) e) { } f) y ( )= 2 [ x()+x()] 3 - Um sistema liear é aquele que é homogêeo e aditivo. a) Dê um exemplo de sistema que seja homogêeo, mas ão aditivo. b) Dê um exemplo de sistema que seja aditivo, mas ão aditivo. 4 - Determie se cada um dos seguites sistemas é ivariate ao deslocameto o tempo: a) y()=x ()+x( )+x ( 2 ) b) y( )=x ()u( ) c) y( )= x(k ) k= d) y( )=x ( 2 ) e) y( )=x (( )) N f) y ( )=x ( ) 5 - Um sistema liear discreto o tempo é caracterizado por sua resposta h k ( ) a uma amostragem uitária δ ( k). Para cada sistema liear defiido abaixo, determie se eles são ou ão ivariates ao deslocameto o tempo. a) h k ( )=( k )u ( k) 2

3 b) h k ( )=δ(2 k) c) h k ( )={ δ ( k kpar 5u( k ) kímpar} 6 - Seja T [] um sistema liear, ão ecessariamete ivariate o tempo, que teha uma resposta h k ( ) a etrada δ ( k ). Realize um teste em termos de h k ( ) que permita determiar se o sistema é ou ão estável e se é ou ão causal. 7 - Determie se os sistemas defiidos a questão 5Q são (a) estáveis, (b) causais. 8- Cosidere um sistema liear que teha resposta a um degrau uitário atrasado dado por s k ()=kδ( k ) ou seja, s k () é a resposta do sistema liear a etrada x()=u( k). Determie a resposta do sistema a etrada x ()=δ( k ), ode k ;é um iteiro arbitrário, e determie se esse sistema é ivariate ao deslocameto o tempo, estável ou causal. 9 - Cosidere um sistema cuja saída y( ) está relacioada a etrada x() por y( )= x(k )x(+k ) Determie se o sistema é (a) liear, (b) ivariate a k= deslocameto o tempo, ( c) estável, (d) causal Dada uma etrada x() e a saída y( ) de um sistema, qual dos seguites sistemas é causal? a) y( )=x 2 ( )u() b) y()=x ( ) c) y( )=x ()+x( 3)+x ( 0 ) d) y ( )=x () x( 2 ) e) y( )= x ( k ) N k= f) y ( )= k= x ( k ) 2 - Determie qual dos seguites sistemas é estável: a) y( )=x 2 () b) y( )=e x( ) /x( ) c) y( )=cos(x( )) d) y ( )= x(k ) k= e) y( )=log(+ x( )) f) y( )=x ()*cos(π /8) 22 - Determie quais dos seguites sistemas é iversível: a) y( )=2x() b) y( )=x () 3

4 c) y( )=x () x( ) d) y( )= x(k ) k= e) y ( )=Re {x () } 23 - Cosidere dois sistemas S e S 2 ligados em cascata, a) Se tato S como S 2, forem lieares, ivariates ao deslocameto o tempo, estáveis e causais será a cascata também liear, ivariate ao deslocameto o tempo, estável e causal? b) Se tato S como S 2, forem ão-lieares, será a cascata liear? c) Se tato S como S 2, forem variates ao deslocameto o tempo, será a cascata variate o tempo? Exercícios sobre covolução O primeiro valor ão ulo de uma sequêcia x() ocorre o ídice = -6 que tem valor x( 6)=3 e o último valor ocorre o ídice = 24, o qual x(24 )= 4. Qual é o ídice do primeiro valor ão ulo a covolução y ( )=x () x () Qual será esse valor? Qual será o último valor ão ulo? 25 - A covolução de duas sequêcia de comprimetos fiitos terá comprimeto fiito. Será verdade que a covolução de uma sequêcia fiita e uma outra ifiita terá comprimeto ifiito? 26 - Determie a covolução de duas sequêcias fiitas: x()=0,5 [u() u( 6) ] h( )=2se ( π 2 ) [u(+ 3) u( 4 )] 27 - Obteha uma forma compacta da covolução de x() e h() ode x()= ( u( ) 6) 6 h( )= ( 3 ) u( 3 ) 28 - Um sistema liear ivariate o tempo tem resposta a amostragem uitária h( )=u( ) determie a saída se a etrada for x ()= 3 u( ) 29- Se a resposta de um sistema liear ivariate o tempo a um degrau uitário for s( )= ( 2) u () determiar a resposta a amostragem uitária, h( ) Provar a propriedade comutativa da adição x() h )=h() x() 4

5 3 - Provar a propriedade distributiva da covolução h( ) [ x ( )+x 2 ( )] =h() x ( )+h( ) x 2 ( ) 32 - Seja h( )=3 ( 2) u( ) 2 ( 3) u( ) a resposta a amostragem uitária de um sistema liear ivariate o tempo. Se a etrada do sistema for um degrau uitário x()={ 0 0 outro} determiar lim y() ode y( )=h( ) x( ). 33 Covolva x()=(0,9 ) u( ) com a rampa h()u( ) 34 - Execute a covolução y( )=x () h() ode h( )= ( 2 ) u( ) e x()= ( 3) [u(k) u( 0 ] 35 - Seja h() uma expoecial trucada h( )= { α Outros valores} e x() um pulso discreto da forma Outros x( )= Determiar a covolução y( )=h() x ( ). 5