AULA 17 A TRANSFORMADA Z - DEFINIÇÃO

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1 Processameto Digital de Siais Aula 7 Professor Marcio Eisecraft abril 0 AULA 7 A TRANSFORMADA Z - DEFINIÇÃO Bibliografia OPPENHEIM, A.V.; WILLSKY, A. S. Siais e Sistemas, a edição, Pearso, 00. ISBN Págias HAYKIN, S.; VAN VEEN, B. Siais e sistemas, Bookma, 00. ISBN Págias A Trasformada Z 6.. Defiição Vimos que qualquer sequêcia x [ ] cuja soma dos módulos é fiita pode ser facilmete computada o domíio da frequêcia pela trasformada de Fourier ( e ) X. No etato, existem dois problemas a abordagem por trasformadas de Fourier. O primeiro é o fato de que estas trasformadas são de tempo cotíuo. A solução para este problema, como também já vimos, é a defiição da TFD e da FFT. O segudo problema aida ão foi resolvido: existem muitos siais úteis a prática como u [ ] e [ ] discreto ão existe. u - para os quais a trasformada de Fourier de tempo Sedo assim, cosideraremos agora uma extesão da trasformada de Fourier de Tempo Discreto para resolver este segudo problema. Esta extesão é chamada de Trasformada Z. Sua versão bilateral (ou de dois lados) provê outro domíio o qual uma classe maior de sequêcias e sistemas pode ser aalisada equato que a versão uilateral (ou de um lado) pode ser usada para obter resposta de sistemas com codições iiciais e mudaças a etrada. 6.. A Trasformada Z Bilateral A trasformada Z de uma sequêcia x [ ] é dada por

2 Processameto Digital de Siais Aula 7 Professor Marcio Eisecraft abril 0 ( ) = Z = x z X z x = () em que z é uma variável complexa. O cojuto de valores de z para os quais X existe é chamada de região de covergêcia (RDC) e é dada por R x < z < Rx+ () para úmeros positivos R x e x+ R. A trasformada z iversa de uma fução complexa X é dada por x j [ ] = Z [ X ] = X z dz π C (3) em que C é um cotoro o setido ati-horário eglobado a origem e cotido a RDC. Cometários:. A variável complexa z é chamada de frequêcia complexa e é dada por z = z e, em que z é a ateuação e ω é a frequêcia real.. Como a RDC () é defiida em termos do módulo z, a RDC terá sempre a forma de um ael aberto como mostrado a seguir. Note que a zero e R x+ pode ser. R x pode ser igual 3. Se R R etão a RDC é um espaço ulo e a trasformada Z ão existe. < x+ x

3 Processameto Digital de Siais Aula 7 Professor Marcio Eisecraft abril 0 Figura A região de covergêcia da Trasformada Z (INGLE; PROAKIS, 000). 4. A fução z = (ou z = e ) é uma circuferêcia de raio uitário o plao z e é chamada de circuferêcia uitária. Se a RDC cotém a circuferêcia uitária, etão podemos calcular X sobre a circuferêcia uitária. X [ ] j ω X ( e ) = x[ ] e = F x[ ] z= e = = Assim, a trasformada de Fourier de tempo discreto ( e ) como um caso especial da trasformada z X. X pode ser vista Exercício. (INGLE; PROAKIS, 000, p. 8) Seja x [ ] = a u[ ], < a < 0. (Esta sequêcia é chamada de sequêcia de tempo positivo). Determie X e determie a RDC. Muitas vezes X tem forma de uma fução racioal B X = A 3

4 Processameto Digital de Siais Aula 7 Professor Marcio Eisecraft abril 0 em que B é o poliômio umerador e A é o poliômio deomiador. As raízes de B são chamadas de zeros de X e as raízes de A são chamadas de pólos de X. Desta forma, podemos represetar x [ ] por um diagrama de pólos e zeros o qual os zeros são deotados por e os pólos por. Exercícios. (INGLE; PROAKIS, 000, p. 8) Desehe o diagrama de pólos e zeros do sial do Exercício. 3. (INGLE; PROAKIS, 000, p. 8) Seja x [ ] = b u[ ], < b < 0. (Esta sequêcia é chamada de tempo egativo). Determie X, sua RDC e desehe seu diagrama de pólos e zeros. 4. (INGLE; PROAKIS, 000, p. 83) Seja: x [ ] = x [ ] + x [ ] = a u[ ] b u[ ] 3. (Esta sequêcia é chamada de sequêcia de dois lados). Determie X 3, sua RDC e desehe seu diagrama de pólos e zeros. Observado as RDC s dos exercícios ateriores, podemos estabelecer as seguites propriedades: I. A RDC é sempre limitada por uma circuferêcia já que a codição de covergêcia está relacioada ao módulo z. 4

5 Processameto Digital de Siais Aula 7 Professor Marcio Eisecraft abril 0 II.A sequêcia x [ ] = a u[ ] do Exercício é um caso especial de uma sequêcia à direita, defiida como uma sequêcia [ ] 5 x que vale zero para < 0. Do Exercício a sequêcia RDC para sequêcias à direita é sempre o exterior de um círculo de raio R. Se 0, etão a sequêcia à direita é também x chamada de sequêcia causal. III. A sequêcia x [ ] = b u[ ] 0 do Exercício 3 é um caso especial de uma sequêcia à esquerda, defiida como uma sequêcia x [ ] que vale zero para 0 0. Se 0, a sequêcia resultate é chamada de ati-causal. Do Exercício 3 a RDC de sequêcias de lado esquerdo é sempre o iterior de uma circuferêcia de raio R x+. IV. A sequêcia x 3 [ ] do Exercício 4 é uma sequêcia de dois lados. A RDC para sequêcias com dois lados é sempre um ael aberto R x < z < Rx+ se ela existir. V. As sequêcias que valem zero para < e > são chamadas de sequêcias de duração fiita. A RDC para tais sequêcias é o plao z iteiro. Se < 0 etão z = ão está a RDC. Se > 0 etão z = 0 ão está a RDC. VI. A RDC ão pode icluir pólos já que X coverge uiformemete esta região. VII. Existe ao meos um pólo a periferia de uma RDC para uma X racioal. VIII. A RDC é uma região cotíua; isto é, a RDC ão pode ser dividida em pedaços. Em processameto digital de siais, os siais são cosiderados causais já que quase todos os dados digitais são adquiridos em tempo real. Assim, a úica RDC de iteresse para ós é a dada o cometário.

6 Processameto Digital de Siais Aula 7 Professor Marcio Eisecraft abril 0 Exercícios 5. Ecotre a trasformada-z de: (a) δ [ ] (b) u [ ] (c) cos ( β) u[ ] (d) u [ ] u[ 5] 6