. Dessa forma, quanto menor o MSE, mais a imagem

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1 Uiversidade Federal de Perambuco CI / CCEN - Área II 1 o Exercício de Cálculo Numérico ( 18 / 06 / 2014 ) Aluo(a) 1- Questão 1 (2,5 potos) Cosidere uma imagem digital como uma matriz bidimesioal de dimesões M N. Em algumas aplicações que requerem grade precisão, como em aplicações evolvedo images médicas ou idustriais, é ecessário medir de forma quatitativa a qualidade de uma imagem trasformada por um processo qualquer que possa adicioar ruído, como durate a trasmissão ou compressão da mesma. Assim, compara-se a imagem origial com a imagem resultate após essa trasformação. Uma métrica comumete aplicada para medir a qualidade de uma imagem trasformada g em relação à sua imagem origial f é o erro médio quadrático, defiido como MSE= 1 M 1 N 1 MN ( f ( x, y ) g ( x, y ) ) 2. Dessa forma, quato meor o MSE, mais a imagem x=0 y=0 trasformada se assemelha da imagem origial. Dadas as duas images f (origial) e g (trasformada) represetadas por matrizes 4x4 como se segue e a máquia F=(10,4, 9,9) : a) calcule o MSE etre f e g utilizado a máquia F (1,0 poto) b) Defia a região de valores de MSE que resultam em overflow a máquia F (0,5 poto) c) Defia a região de valores de MSE que resultam em uderflow a máquia F (0,5 poto) d) Quatos valores de MSE possuem represetação exata em F? (0,5 poto)

2 Questão 2 (3,0 potos) Seja f ( x )=x 3 e x +2 a) Localize graficamete a raiz egativa da fução f(x) mais próxima da origem. (1,0 poto) b) Determie, aaliticamete, um itervalo de separação de amplitude 1 referete à raiz localizada o item aterior. (Prove que este é um itervalo de separação) (1,0 poto) c) Use o método de Newto para ecotrar a raiz de f(x) utilizado como aproximação iicial o poto médio do itervalo defiido o item b. Execute o método até que f ( x ) <1, x x <1, Execute, o máximo, 4 iterações. Trabalhe com 4 decimais e arredodameto padrão. (1,0 poto) e Questão 3 (2,0 potos) Seja o seguite tabelameto: x i 1 1,5 2,5 3,5 f( x i ) 10 4,25-1,25 3,25 Determie o poliômio de grau 2, P(x) = ax 2 + bx + c que melhor se ajusta a este tabelameto mas que admite x = 2 e x = 3 como suas raízes. Use o arredodameto padrão e quatro casas decimais de precisão. Questão 4 (2,0 potos) Determie, aproximadamete, o vetor solução do sistema de equação liear a seguir, com tolerâcia de 10-2, isto é, faça iterações até que: Máx 1 i x i () x i () Caso isso ão ocorra até a terceira iteração, pare. Use 3 casas decimais e arredodameto padrão. Parta do vetor ulo e use o método iterativo de Gauss-Seidel, depois de obter uma codição suficiete de covergêcia para o método. m =0 a i =0 g j (x i )g ( x i )= g j ( x i )f (x i ) j=0,1,,m i =0 i 1 ( x ) i =(1/a ii )[ b ( i a ij x ) j j=1 x i ( ) =(1/a ii ) [ b i x i+1 =x i f (x i ) f ' ( x i ) j=1 j i )] ( a ij x j j=i+1 i=1,, ( a ij x j )] i=1,,

3 Gabarito Questão 1 a) Note que a subtração de dois úmeros represetáveis por uma máquia de poto flutuate iguais será 0 e ão cotribuirá em ada para o MSE, etão só precisamos calcular cosiderado os valores diferetes, que são os que ão estão riscados abaixo: Represetado cada um deles para a máquia F=(10,4, 9,9 ) : ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ Fazedo as operações de detro dos somatórios : ^ ^-1 = ^-1, ao quadrado, ^-2 = ^ ^ ^-1 = ^-1 = ^-2, ao quadrado, ^-4 = ^- 3 = ^ ^ ^-1 = ^-1, ao quadrado, ^-2 = ^-1 = ^ ^ ^-1 = 0 Agora somado: ^ ^ ^-3 ( ) 10^ ^ ^ ^-1 ( ) 10^-1 = ^-1 = ^-1

4 Falta o termo de ormalização 1/MN ^0 x ^0 = ^0 = ^ ^0 / ^1 = ^-1 = ^-2 Fialmete ^-2 x ^-1 = ^-3 = ^-2 = ^-2 b) Ocorre overflow a máquia F quado temos um x > ^9 ou x < ^9. Como o MSE é sempre positivo, temos que valores de MSE > ^9 causam overflow. Também ocorerá overflow se N 1 MN > ^9 ou se (f (x, y ) g ( x, y ) ) 2 >9.999 x10 9. M 1 x=0 y=0 c) xmi = ^-9. Como MSE é sempre positivo ocorrerá uderflow (partido de tabelas de valores represetáveis por F) se 0 < MSE < ^-9. Também ocorrerá overflow se qualquer uma das codições abaixo ocorrer: 0 < ( f ( x, y ) g (x, y ) ) < ^-9 para algum par (x, y) ^-9 < (f ( x, y ) g (x, y ) ) < 0 para algum par (x, y) 0 < (f ( x, y ) g (x, y ) ) 2 < ^-9 para algum par (x, y) d) Basta calcular quatos valores ão egativos são represetáveis em F. Isto é: 9 x 10^3 x = valores para o MSE terão represetação exata em F. Questão 2 a) Fazedo-se e x = x localizamos graficamete a raiz desejada, etre -1 e -2. b) (i) A fução f(x) é cotíua em toda a extesão dos reais, logo também é cotíua em [-2, -1]. (ii) Sua derivada é f (x) = 3x 2 e x que é sempre positiva o itervalo [-2, -1] (uma vez que 3x 2 é maior do que e x o itervalo), portato f(x) é estritamete crescete ele. (iii) Além disso, temos que f(-2) é egativo equato que f(-1) é positivo. Dados (i), (ii) e (iii), [-2, -1] é um itervalo de separação. c) x 0 = -1.5 Temos que x =x x 3 e x +2 3x 2 e x

5 Assim: x f(x) x x 0-1,5 1, , , , , , , , , ,24312E-05 4,24308E , ,27315E-10 Questão 3 Como o poliômio é de grau 2 e admite x = 2 e x = 3 como raízes temos que ele deve ser da forma a 0 (x 2) (x 3) = a 0 (x 2 5x + 6). Seja g 0 = x 2 5x + 6 i xi f(xi) g0 G0^2 f(xi)g0(xi) ,5 4,25 0,75 0,5625 3, ,5-1,25-0,25 0,0625 0, ,5 3,25 0,75 0,5625 2,4375 SUM 5, ,9375 a 0 x 5,1875 = 25,9375 -> a 0 = 5 Logo o poliômio é 5x 2 25x + 30 Questão 4 No formato abaixo, ão temos garatia de covergêcia: No etato, se trocarmos a posição das lihas podemos obter o sistema equivalete abaixo, que é de diagoal domiate por liha: Calculado através de Gauss-Seidel a ordem x 1, x 2, x 3, teremos: x 1 = (7-2x 2 + x 3 )/5 x 2 = (7x 1 + 2x 3 )/10 x 3 = ( x 1 + 2x 2 )/6 x 1 x 2 x 3 Máx 1 i x i () x i () , ,400 0,980-0,640 0, ,880 0,488-1,064 0, ,992 0,482-1,010