1 Amintas engenharia

Transcrição

1 1 Amitas egeharia

2 2 Cálculo Numérico 1. Itrodução Amitas Paiva Afoso

3 3 1. Itrodução O que é o Cálculo Numérico?

4 4 1. Itrodução O Cálculo Numérico correspode a um cojuto de ferrametas ou métodos usados para se obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada. Esses métodos se aplicam pricipalmete a problemas que ão apresetam uma solução exata, portato precisam ser resolvidos umericamete.

5 5 O Cálculo Numérico é uma metodologia para resolver problemas matemáticos por meio de uma máquia calculadora ou um computador, sedo de grade importâcia pois, embora os métodos aalíticos usualmete os foreçam a resposta em termos de fuções matemáticas, existem problemas que ão possuem solução aalítica. Mas, mesmo estes casos podemos obter uma solução umérica para o problema. 1. Itrodução Uma solução via Cálculo Numérico é um cojuto de dados uméricos que forecem uma aproximação para a solução exata do problema, aproximação esta que pode ser obtida em grau crescete de exatidão.

6 6 1. Itrodução Utilizamos apeas as quatro operações aritméticas (soma, subtração, multiplicação e divisão) e operações lógicas para computar um resultado umérico, o que tora a combiação computadorcálculo umérico perfeita.

7 7 1. Itrodução Fluxograma Solução Numérica MODELO PROBLEMA MATEMÁTICO modelagem resolução SOLUÇÃO PROBLEMA LEVANTAMENTO DE DADOS CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO ESCOLHA DO MÉTODO NUMÉRICO IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL ANÁLISE DOS RESULTADOS VERIFICAÇÃO

8 8 1. Itrodução Duas fases podem ser idetificadas o diagrama: MODELAGEM - é a fase de obteção de um modelo matemático que descreve o comportameto do sistema físico em questão. RESOLUÇÃO - é a fase de obteção da solução do modelo matemático através da aplicação de métodos uméricos.

9 9 1. Itrodução A escolha do método mais eficiete deve evolver: Precisão desejada para os resultados; Capacidade do método em coduzir aos resultados desejados (velocidade de covergêcia); Esforço computacioal despedido (tempo de processameto, ecoomia de memória ecessária para a resolução).

10 10 1. Itrodução A solução umérica evolve: A elaboração de um algoritmo, que é a descrição seqüecial dos passos que caracterizam um método umérico; A codificação do programa, quado implemetamos o algoritmo uma liguagem de programação escolhida; O processameto do programa, quado o código ates obtido é editado em um arquivo para que possa ser executado pelo computador.

11 11 1. Itrodução Duas idéias são freqüetes em cálculo umérico, a de iteração ou aproximação sucessiva e a de aproximação local. Iteração. Em um setido amplo, iteração sigifica a repetição sucessiva de um processo. Um método iterativo se caracteriza por evolver os seguites elemetos: Aproximação iicial: cosiste em uma primeira aproximação para a solução do problema umérico. Teste de parada: é o istrumeto por meio do qual o procedimeto iterativo é fializado. Aproximação local. Aqui a idéia é aproximar uma fução por outra que seja de mauseio mais simples. Por exemplo, aproximar uma fução ão liear por uma fução liear em um determiado itervalo do domíio das fuções.

12 12 1. Itrodução Exemplo: Circuito elétrico composto de uma fote de tesão e um resistor. V i R V R i = 0 i = V R Solução exata Itrodução de um diodo o circuito: kt ( i) = l + 1 q I s i kt i v V R i l + 1 = 0 q I s V i D R Solução utilizado métodos uméricos

13 13 1. Itrodução Por que produzir resultados uméricos?

14 14 1. Itrodução 1. Um problema de Matemática pode ser resolvido aaliticamete, mas esse método pode se torar impraticável com o aumeto do tamaho do problema. Exemplo: solução de sistemas de equações lieares.

15 15 1. Itrodução 2. A existêcia de problemas para os quais ão existem métodos matemáticos para solução (ão podem ser resolvidos aaliticamete). Exemplos: e x2 dx 2 2 a) ão tem primitiva em forma simples; y ʹ = y + t b) ão pode ser resolvido aaliticamete; c) equações difereciais parciais ão lieares podem ser resolvidas aaliticamete só em casos particulares.

16 16 1. Itrodução Os métodos uméricos buscam soluções aproximadas para as formulações matemáticas. Nos problemas reais, os dados são medidas e, como tais, ão são exatos. Uma medida física ão é um úmero, é um itervalo, pela própria imprecisão das medidas. Daí, trabalha-se sempre com a figura do erro, ierete à própria medição. Os métodos aproximados buscam uma aproximação do que seria o valor exato. Dessa forma é ierete aos métodos se trabalhar com a figura da aproximação, do erro, do desvio.

17 17 1. Itrodução Fução do Cálculo Numérico a Egeharia Buscar solucioar problemas técicos através de métodos uméricos Þ modelo matemático

18 18 1. Itrodução Passos para a resolução de problemas MODELAGEM REFINAMENTO RESULTADO DE CIÊNCIAS AFINS PROBLEMA RESULTADO NUMÉRICO MENSURAÇÃO ESCOLHA DE MÉTODOS TRUNCAMENTO DAS ITERAÇÕES ESCOLHA DE PARÂMETROS

19 19 1. Itrodução Fluxograma Solução Numérica MODELO PROBLEMA MATEMÁTICO modelagem resolução SOLUÇÃO PROBLEMA LEVANTAMENTO DE DADOS CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO ESCOLHA DO MÉTODO NUMÉRICO IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL ANÁLISE DOS RESULTADOS VERIFICAÇÃO

20 20 1. Itrodução Ifluêcia dos Erros as Soluções Exemplo 1: Falha o laçameto de mísseis (25/02/1991 Guerra do Golfo míssil Patriot) Limitação a represetação umérica (24 bits) Erro de 0,34 s o cálculo do tempo de laçameto

21 21 1. Itrodução Ifluêcia dos Erros as Soluções Exemplo 2: Explosão de foguetes (04/06/1996 Guiaa Fracesa foguete Ariae 5) Limitação a represetação umérica (64 bits/ 16 bits) Erro de trajetória 36,7 s após o laçameto Prejuízo: U$ 7,5 bilhões

22 22 1. Itrodução Aplicações de cálculo umérico a egeharia. Determiação de raízes de equações Iterpolação de valores tabelados Itegração umérica, etre outros.

23 23 1. Itrodução Forecer codições para que os aluos possam cohecer, calcular, utilizar e aplicar métodos uméricos a solução de problemas de egeharia. Estudar a costrução de métodos uméricos, aalisar em que codições se pode ter a garatia de que os resultados computados estão próximos dos exatos, baseados os cohecimetos sobre os métodos.

24 O que a disciplia vai oferecer? 24 Visão de Egeharia x Matemática/Computação Coceitos e etedimetos básicos de CN Exemplos de custos de erros uméricos as egeharias Icremetação do perfil profissioal Noções de precisão e eficiêcia as soluções Itrodução dos métodos tradicioais Aplicação de ferrametas dispoíveis

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