Ordenação por Troca. Bubblesort Quicksort

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1 Ordeação por roca Bubblesort Quicksort

2 ORDENAÇÃO Ordear é o processo de orgaizar uma lista de iformações similares em ordem crescete ou decrescete. Especificamete, dada uma lista de ites r[0], r[], r[2],..., r[-], cada item a lista é chamado registro. Uma chave, k[i], é associada a cada registro r[i]. Diz-se que a lista está ordeada pela chave se i precede j implicar que k[i] < k[j] (ou k[i] > k[j]) em alguma ordeação as chaves

3 . ORDENAÇÃO POR ROCA. Ordeação por Bolha Em cada um dos exemplos subsequetes, x é um vetor de iteiros do qual os primeiros devem ser ordeados de modo que x[i] x[j] para 0 i < j <. A ideia básica por trás da ordeação por bolha é percorrer a lista sequecialmete varias vezes. Cada passagem cosiste em comparar cada elemeto a lista com seu sucessor (x[i] com x[i+]) e trocar os dois elemetos se eles ão estiverem a ordem correta

4 Exemplo, 25, 57, 48, 37, 2, 92, 86, 33 Primeira Passagem x[0] com x[] (25 com 57) ehuma troca x[] com x[2] (57 com 48) troca x[2] com x[3] (57 com 37) troca x[3] com x[4] (57 com 2) troca x[4] com x[5] (57 com 92) ehuma troca x[5] com x[6] (92 com 86) troca x[6] com x[7] (92 com 33) troca

5 Observe que, depois da primeira passagem, o maior elemeto está em sua posição correta. Em geral x[-i] ficara a posição correta depois da iteração i. 25, 57, 48, 37, 2, 92, 86, 33 O cojuto completo de iterações fica assim: iteração iteração iteração iteração iteração iteração iteração iteração

6 Algoritmo bubblesort0 (it x[ ], it ) { it j, pass; for (pass = 0; pass < ; pass++){ /*repetição extera, cotrola - passages*/ for (j = 0; j < pass; j++){ /*repetição itera, cotrola as comparações*/ if (x[j] > x[j+]) { /*elemeto fora da ordem é ecessária uma troca*/ troca(x[j], x[j+]); } } } }

7 Algoritmo aprimorado bubblesort (it x[ ], it ) { it j, pass; bool switched = true; for (pass = 0; pass < - && switched; pass++){ /*repetição extera, cotrola o de passages*/ switched = false; for (j = 0; j < - pass - 2; j++){ /*repetição itera, cotrola cada passagem idividual*/ if (x[j] > x[j+]){ /*elemeto fora da ordem é ecessária uma troca*/ } } } } switched = true; troca(x[j], x[j+]);

8 Complexidade de empo Sem o aprimorameto Numero de comparações: (-)/2 Numero de trocas: melhor caso: ehuma pior caso: (-)/2 Com o aprimorameto Numero de comparações será (-) + (-2) (-k) = (2k-k 2 -k)/2 Como k = O(), etão, o aprimorameto ão muda a complexidade de tempo do algoritmo Coclusão fial: A complexidade do algoritmo de ordeação por bolha = O( 2 )

9 .2 QuickSort A ordeação por troca de partição ou quicksort é provavelmete o algoritmo de ordeação mais utilizado.

10 Idéia Básica Quicksort trabalha particioado um vetor em duas partes e etão as ordeado separadamete. Especificamete, seja x um vetor e o umero de elemetos o vetor a ser classificados. Escolha um elemeto a uma posição especifica detro do vetor, digamos a posição j. Os elemetos de x são particioados de modo que a é colocado a posição j e as seguites codições são observadas:. Cada elemeto as posições 0 até j- são meor ou igual a a. 2. Cada elemeto as posições j+ até - são maior que a a. O mesmo processo é repetido com os subvetores x[0] até x[j-] e x[j+] até x[-] e com quaisquer vetores criados pelo processo em sucessivas iterações, o resultado fial será uma lista ordeada.

11 Algoritmo Básico quicksort (it x[], it lb, it ub) { it j; } if (lb > ub) retur; j = partitio(x, lb, ub); quicksort(x, lb, j-); quicksort(x, j+, ub); Os parâmetros lb e ub delimitam os subvetores detro do vetor origial, detro dos quais a ordeação ocorre. A chamada iicial pode ser feita com quicksort(x, 0, -); O poto crucial é o algoritmo de partição.

12 Exemplo: Ordeação do vetor iicial Supohamos que o primeiro elemeto (25) é escolhido para colocar a sua posição correta, teremos: Como 25 está a sua posição fial, o problema foi decomposto a ordeação dos subvetores: (2) e ( ). O subvetor (2) já está classificado. Repetir o processo para x[2]...x[7] resulta em: 2 25 ( ) 57 (92 86)

13 Exemplo: Se cotiuarmos particioado 2 25 ( ) 57 (92 86), teremos: 2 25 (37 33) (92 86) 2 25 (33) (92 86) (92 86) (86)

14 Método de Particioameto Cosidere a = x[lb] como o elemeto cuja posição fial é a procurada. Dois poteiros up e dow são iicializados como os limites máximo e míimo do subvetor que vamos aalisar. Em qualquer poto da execução, todo elemeto acima de up é maior do que a e todo elemeto abaixo de dow é meor ou igual a a.

15 Os dois poteiros up e dow são movidos um em direção ao outro da seguite forma:. Icremete dow em uma posição até que x[dow] > a. 2. Decremete up em uma posição até que x[up] a. 3. Se a up > dow, troque x[dow] por x[up]. O processo é repetido até que a codição descrita em 3. falhe (quado up dow). Neste poto x[up] será trocado por x[lb], cuja posição fial era procurada, e up é retorado em j.

16 Exemplo: A = x[lb] = 25 dow--> dow up <--up dow <--up dow <--up dow up dow up

17 dow--> up dow up dow up dow up up,dow up 2 dow up dow

18 Algoritmo de Particioameto it partitio(it x[], it lb, it ub) { it a, dow, up; } a = x[lb]; up = ub; dow = lb; while (dow < up) { while (x[dow] <= a && dow < ub) dow++; while (x[up] > a) up--; if (dow < up) troca(x[dow], x[up]); } x[lb] = x[up]; x[up] = a; retur up;

19 Eficiêcia do Quicksort O tempo de execução do QuickSort depede se o particioameto é balaceado ou ão.. O pior caso do QuickSort ocorre quado o particioameto gera um cojuto com elemeto e outro com - elemetos para todos os passos do algoritmo. Desde que o particioameto custa O() a recorrêcia este caso tora-se () = (-) + O() como () = O(), ão é difícil mostrar que () = O( 2 ). (() = + (-) = + (-) + (-2) ())

20 2. O melhor caso ocorre quado o particioameto sempre gera dois sub-cojutos de tamaho /2, temos a recorrêcia () = 2(/2) + O() Etão, () = O(log).

21 ( )=2 ( 2 ) +α =2 ( 2 ( 4 ) +α 2 ) +α=22 ( 4 ) +α+α =2 2 ( 2 ( 8 ) +α 4 ) +α+α2=23 ( 8 ) +α+α+α =2 log ( )+α+...+α log =2 log +α log = O ( log ) 2 m = m=log 2 log < log log 2 log <log ( log ) log <log +log (log )

22 3. Caso Médio. O algoritmo partitio leva tempo proporcioal ao, deotado. Supohamos que a lista é separada em duas sublistas de comprimeto k e --k, respectivamete. Etão, temos () = + (k) + ( - - k) Mas, ão sabemos o valor exato do k. Portato, calculamos a media de todas possibilidades de k: ( ) k 0 k k

23 ) ( 2 S S S Substrai as duas formulas e rearraja: Isso pode ser simplificado para: (Porquê?) ( )=α+ 2 k = ( k )

24 H S H H S k k S S k k od e S H Etão, () = O(l ) H ( )= ~ l

25 Aproximado H() x dx x dx l l l l H

26 Cometários sobre o Quicksort Para evitar o pior caso e casos ruis ode elemetos estão em grupos ordeados pode-se utilizar uma estratégia probabilística: Selecioe, ao ivés do primeiro elemeto para ser a, um elemeto aleatório. Critérios: Seleção totalmete radômica: selecioe qualquer elemeto do subvetor usado um gerador de úmeros aleatórios. Desvatagem: tempo de processameto extra para o gerador. Seleção da mediaa etre os três elemetos: lb, ub e elemeto o meio. Seleção média: usa o valor media do subvetor. odos estes métodos melhoram a performace média.