Uma recorrência é uma equação que descreve uma função em termos do seu valor em entradas menores

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2 Uma recorrêcia é uma equação que descreve uma fução em termos do seu valor em etradas meores T( ) O( 1) T( 1) 1 se 1 se 1 Útil para aálise de complexidade de algoritmos recursivos ou do tipo dividir para coquistar

3 Número de multiplicações quado = 1 é zero T( 1) 0 Número de comparações quado > 1 é 1 mais o úmero de multiplicações para -1 T( ) 1T( 1) it fatorial(it ) { if( == 1) { retur 1; } else { retur *fatorial(-1); } }

4 O que é relevate pro custo? Número de marcações, úmero de chamadas Depede de quê? Parâmetro altura T( 0) 0 T( ) 2T( 1) 1 void regua(it esq, dir, alt){ if(alt <= 0) retur; it m = (esq + dir) / 2; marca(m, alt); regua(esq, m, alt 1); regua(m, dir, alt 1); }

5 Expade a árvore de recursão Calcula o custo em cada ível da árvore Soma os custos de todos os íveis Calcula a fórmula fechada do somatório Mas em sempre fucioa

6 Número de chamadas recursivas T( 1) 1 T( 2) 1 T( ) T( 1) T( 2) it fib(it ) { if( < 3) { retur 1; } else { retur fib(-1) + fib(-2); } }

7 Complicado de resolver pela árvore de recorrêcia Árvore desbalaceada Somatório irregular

8 Simples e direto Você chuta uma solução Verifica a solução por idução matemática Como fazer bos chutes? Usado árvores de recursão! Soluções de recorrêcias similares Refiameto iterativo Experiêcia

9 Recorrêcia T( 1) 1 T( 2) 1 T( ) T( 1) T( 2) Chute: expoecial T( ) O( 2 ) Usaremos idução para provar T( ) c2 1 supodo T ( 1) c2

10 Esse chute é bom? Vamos ecotrar um iferior para a recorrêcia Chute: expoecial! T( ) Ω 3/ 2 Usaremos idução para provar T ( ) c( 3/ 2)

11 Provamos que T( ) O( 2 ) e T( ) Ω 3/ 2 Logo, a fução recursiva pra calcular o -ésimo úmero de Fiboacci tem custo expoecial De fato T( ) Θ( φ ), ode φ = ( /2 )/2 = 1,61803 é a proporção áurea

12 Recorrêcia T( 1) 1 T( ) 2T( / 2) Dá pra fazer direto pela árvore de recorrêcia Dá pra usar a árvore de recorrêcia pra fazer um chute e usar o método da substituição Para facilitar, assuma que é potêcia de 2

13 Qual a solução da recorrêcia T( 1) 1 T( ) 2T log Um parete distate de R( ) 2R( / 2) m m/ Fazedo m = log(), temos T( 2 ) 2 2 m Fazedo S( m) T( 2 ), temos S( m) S( m/ 2) m O( mlog m) T( 2 T( ) O(log log log ) T 2 m m )

14 Cosidere a recorrêcia T( 1) 1 T( ) 2T( / 2) 1 Vamos chutar T() = O() Usado o método da substituição ecotramos T ( ) c1, o que ão implica T( ) c Você pode chutar T() = O( 2 ) Mas osso chute iicial T() = O() está correto

15 Para elimiar o termo de ordem iferior (+1), vamos subtrair um termo de ordem iferior da ossa suposição pro passo idutivo Vamos provar que T() = O() supodo T( ) c b Obviamete, se provarmos etão T( ) c T( ) c b

16 Cosidere a recorrêcia que já resolvemos T( 1) 1 T( ) 2T( / 2) Cuidado para ão cometer o erro a seguir Chutar T() = O() Ecotrar T() c + Falar que T() = O() No passo idutivo, precisamos ecotrar exatamete o que foi suposto

17 Solução por árvore de recorrêcia Nem sempre dá pra resolver Solução por substituição Chute uma solução e verifique Provar exatamete o que foi suposto o passo idutivo Mecaismos para solução Trasformação de variáveis Lembrar de soluções para recorrêcias similares Remoção de termos de ordem iferior Refiameto iterativo

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19 Método receita de bolo para resolver recorrêcias do tipo T( ) at( / b) f ( ) ode a 1, b 1e f ( ) positiva Este tipo de recorrêcia é típico de algoritmos dividir para coquistar Dividem um problema em a subproblemas Cada subproblema tem tamaho /b Custo para dividir e combiar os resultados é f()

20 Seja ) ( ) / ( ) ( f b at T )). ( Θ( ) ( temos, para ) ( ) / ( e se para ) Ω( ) ( Se ). log Θ( ) ( temos ), Θ( ) ( Se ). Θ( ) ( temos, com ), ( ) ( Se log log log log log f T c cf b af f T f T O f a a a a a b b b b b ε ε ε ε

21 O resultado da recorrêcia depede da logb a comparação etre f ( ) e logb a Note que a difereça etre f ( ) e tem que ser poliomial, isto é, tem que ser ε pelo meos Por causa disso o teorema mestre ão se aplica a todas recorrêcias Existe um itervalo etre os casos 1 e 2, e outro itervalo etre os casos 2 e 3.

22 Resolva a recorrêcia T( ) 9T( / 3) usado o teorema mestre Caso 1 se aplica, temos 2 T( ) Θ( )

23 Resolva a recorrêcia T( ) T( 2/ 3) 1 usado o teorema mestre Caso 2 se aplica, temos T( ) Θ(log( ))

24 Resolva a recorrêcia T( ) 3T( / 4) log usado o teorema mestre Caso 3 se aplica, temos T( ) Θ( log )

25 Resolva a recorrêcia T( ) 2T( / 2) log Nehum caso do teorema mestre de aplica Descobrir um chute usado árvore de recorrêcia e provar com método da substituição