Análise de Complexidade para algoritmos iterativos e recursivos

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1 Disciplina: Matemática Discreta Agostinho Iaqchan Ryokiti Homa Análise de Complexidade para algoritmos iterativos e recursivos Algoritmos iterativos - complexidade expressa através de somatórios. Algoritmos recursivos - complexidade expressa através de recorrências. Formas de resolver recorrências: Método da Substituição Árvore de Recorrência Para um determinado algoritmo iterativo Escolha uma unidade para medir o tamanho da entrada. Identifique a operação básica do algoritmo. Expresse o número de execuções da operação básica por um somatório. Ache uma forma fechada para o somatório. Determine a complexidade do algoritmo abaixo que retorna o maior elemento em um vetor de inteiros. Maximo(A, n) 1 max = A[1] 2 for i = 2 to n 3 if A[i ] > max 4 max = A[i ] return max Determine a complexidade do algoritmo de ordenação Bolha abaixo. O algoritmo recebe um array A de números reais com n elementos, onde n 2. Bolha (A, n) 1 for i = 1 to n 1 2 for j = 1 to n i 3 if A[j ] > A[j + 1] 4 temp = A[j ] 5 A[j ] = A[j + 1] 6 A[j + 1] = temp Para um determinado algoritmo iterativo

2 Método da substituição: utilizado para o cálculo de recursões o método da substituição contabiliza a complexidade computacional de cada iteração até o término da recursão. Ex: Cálculo de fatorial 1 Fat(n) 2 if n=1 3 then retorna (1) 4 else retorna (Fat(n-1) * n) Considere um procedimento recursivo para resolver o problema da Torre de Hanoi (movendo os pinos de A a C ). Quantos movimentos são realizados para n discos? 1. Resolva recursivamente o problema de mover os top n 1 discos do pino A para o pino B 2. Mova o disco n ao pino C. 3. Resolva recursivamente o problema de mover os n 1 discos do pino B para o pino C. {

3 Diversos algoritmos recursivos seguem uma abordagem dividir/resolver, para adotar tais algoritmos, divida o problema em vários subproblemas mais simples e resolva os subproblemas recursivamente. Se o tamanho do problema é para uma constante suficientemente pequena, a solução mais simples executa em O(1)=c. Suponha que a divisão do problema gere a subproblemas, cada um tendo do tamanho original, Se levarmos o tempo D(n) para dividir o problema em subproblemas e o tempo C(n) para combinar as soluções intermediárias, teremos a recorrência: { Ex: Alguns algoritmos como as MergeSort utilizam do método de dividir e resolver, neste caso o algoritmo divide a lista e faz 2 iterações, uma para cada nova lista. Considerando que ao término das iterações o algoritmo consolida as ordenações temos que: ( ), para a complexidade computacional de divisão e consolidação da ordenação dada pelo produto de por uma constante, ou seja, Ex: Para uma dada lista o algoritmo divide e faz nova interação Para o cálculo da complexidade computacional de tal algoritmo pelo método da substituição é necessário calcular o numero k de interações para n ( )

4 ( ( ) ) ( ) ( ) logo para k interações ( ( )), para k um nº inteiro Árvore de Recorrência Traçar uma árvore de recorrência pode ajudar a pressupor a solução da recorrência. Cada nó representa o custo de um único subproblema entre as chamadas recursivas. Somamos os custos dentro de cada n nível da arvore para obter um conjunto de custos por nível. Para resolver a recorrência, somamos os custos de cada nível da árvore. Uma árvore de recorrência é normalmente usada em conjunto com o método da substituição. Para a saida da iteração haverá uma complexidade c.n logo a complexidade total é o somatório de cn de todas as iterações, como a altura da árvore sera temos que:

5 Determine: