Recursão David Déharbe
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- Letícia Salazar Fidalgo
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1 Recursão David Déharbe 1 1
2 Objetivos da aula O conceito de recursão. Exemplos. Programação em C. 2 2
3 Roteiro da aula Revisão de funções; Motivação; Definição; Dois exemplos básicos; Recursão mútua; Dois exemplos avançados. comparação com iteração. 3 3
4 Revisão das sub-rotinas. Exemplo: int f (int c) return c * 2; int main (void) int a = 1, b = 0; b = f(a); a = f(b); printf("a = %i, b = %i\n", a, b); 4 4
5 Revisão das sub-rotinas. Exemplo: int f (int c) return c * 2; int main (void) int a = 1, b = 0; b = f(a); a = f(b); printf("a = %i, b = %i\n", a, b); a b
6 Revisão das sub-rotinas. Exemplo: int f (int c) return c * 2; int main (void) int a = 1, b = 0; b = f(a); a = f(b); printf("a = %i, b = %i\n", a, b); a b c
7 Revisão das sub-rotinas. Exemplo: int f (int c) return c * 2; int main (void) int a = 1, b = 0; b = f(a); a = f(b); printf("a = %i, b = %i\n", a, b); a b c
8 Revisão das sub-rotinas. Exemplo: int f (int c) return c * 2; int main (void) int a = 1, b = 0; b = f(a); a = f(b); printf("a = %i, b = %i\n", a, b); a b
9 Revisão das sub-rotinas. Exemplo: int f (int c) return c * 2; int main (void) int a = 1, b = 0; b = f(a); a = f(b); printf("a = %i, b = %i\n", a, b); a b c
10 Revisão das sub-rotinas. Exemplo: int f (int c) return c * 2; int main (void) int a = 1, b = 0; b = f(a); a = f(b); printf("a = %i, b = %i\n", a, b); a b c
11 Revisão das sub-rotinas. Exemplo: int f (int c) return c * 2; int main (void) int a = 1, b = 0; b = f(a); a = f(b); printf("a = %i, b = %i\n", a, b); a b
12 Motivação Recursão é uma outra forma de calcular repetições. Aplicável no processamento de dados cuja definição pode ser feita com uma auto-referência: os ancestrais de X = os pais de X, digamos P + os ancestrais de P. os números naturais = 0 sucessor de um número natural. (sucessor n)! = (sucessor n) n! Não usa construção específica como while. Usa chamada de sub-rotina. Aplicável quando o resultado de uma sub-rotina pode ser calculado usando uma outra chamada à mesma sub-rotina. 5 5
13 Definição Recursão 1. ver "Recursão". 6 6
14 Definição É um método de resolução de problema aplicado quando a solução pode ser calculada a partir da solução de uma instância menor do problema. Exemplo: Ordenar um conjunto L de n itens. (Recursivamente) ordenar os n-1 primeiros itens, seja L' o resultado ; inserir o último item de L em L'. - (inserção em um conjunto já ordenado) 7 7
15 Término A execução de uma função recursiva provoca uma nova chamada à mesma função. Como fazer com que o cálculo termine? São dois critérios que devem ser obecedidos para garantir o término: Se o cálculo de f(a) chama recursivamente f(b), então, de alguma forma, b tem que ser menor que a. (lembre-se do variante do laço, deve haver um variante de parâmetro: uma medida que decresce à cada chamada recursiva) O corpo da função deve incluir pelo menos um caso onde o valor de retorno não depende de uma chamada recursiva: é o caso de base. 8 8
16 Exemplo 1: problema e solução recursiva. Impressão de uma linha com os n primeiros elementos de uma progressão geométrica q: elemento inicial r: razão n: quantidade de elementos a imprimir q q r q r r q r r r... q r n-1 \n Solução recursiva: se n > 0: imprime q, o primeiro elemento, e imprime uma linha com os n-1 primeiros elementos de uma progressão geométrica com elemento iniciao q r e razão r. se n = 0: imprime uma quebra de linha. 9 9
17 Exemplo 1: implementação #include <stdio.h> /* para printf */ void imprime_pg (double q, double r, int n) if (n == 0) printf("\n"); else printf("%.2lf ", q); imprime_pg (q * r, r, n-1); int main () int n; double q, r; scanf("%lf %lf %i", &q, &r, &n); imprime_pg(q, r, n); 10 10
18 Exemplo 1: implementação #include <stdio.h> /* para printf */ void imprime_pg (double q, double r, int n) if (n == 0) printf("\n"); else main printf("%.2lf ", q); imprime_pg (q * r, r, n-1); q r n int main () int n; double q, r; scanf("%lf %lf %i", &q, &r, &n); imprime_pg(q, r, n); 10 10
19 Exemplo 1: implementação #include <stdio.h> /* para printf */ void imprime_pg (double q, double r, int n) if (n == 0) printf("\n"); else printf("%.2lf ", q); imprime_pg (q * r, r, n-1); main imprime_pg q r n q r n int main () int n; double q, r; scanf("%lf %lf %i", &q, &r, &n); imprime_pg(q, r, n); 10 10
20 Exemplo 1: implementação #include <stdio.h> /* para printf */ void imprime_pg (double q, double r, int n) if (n == 0) printf("\n"); else printf("%.2lf ", q); imprime_pg (q * r, r, n-1); main imprime_pg q r n q r n int main () int n; double q, r; scanf("%lf %lf %i", &q, &r, &n); imprime_pg(q, r, n); 10 10
21 Exemplo 1: implementação #include <stdio.h> /* para printf */ void imprime_pg (double q, double r, int n) if (n == 0) printf("\n"); else printf("%.2lf ", q); imprime_pg (q * r, r, n-1); main imprime_pg q r n q r n int main () int n; double q, r; scanf("%lf %lf %i", &q, &r, &n); imprime_pg(q, r, n);
22 Exemplo 1: implementação #include <stdio.h> /* para printf */ void imprime_pg (double q, double r, int n) if (n == 0) printf("\n"); else printf("%.2lf ", q); imprime_pg (q * r, r, n-1); main imprime_pg imprime_pg q r n q r n q r n int main () int n; double q, r; scanf("%lf %lf %i", &q, &r, &n); imprime_pg(q, r, n);
23 Exemplo 1: implementação #include <stdio.h> /* para printf */ void imprime_pg (double q, double r, int n) if (n == 0) printf("\n"); else printf("%.2lf ", q); imprime_pg (q * r, r, n-1); main imprime_pg imprime_pg q r n q r n q r n int main () int n; double q, r; scanf("%lf %lf %i", &q, &r, &n); imprime_pg(q, r, n);
24 Exemplo 1: implementação #include <stdio.h> /* para printf */ void imprime_pg (double q, double r, int n) if (n == 0) printf("\n"); else printf("%.2lf ", q); imprime_pg (q * r, r, n-1); main imprime_pg imprime_pg q r n q r n q r n int main () int n; double q, r; scanf("%lf %lf %i", &q, &r, &n); imprime_pg(q, r, n);
25 Exemplo 1: implementação #include <stdio.h> /* para printf */ void imprime_pg (double q, double r, int n) if (n == 0) printf("\n"); else printf("%.2lf ", q); imprime_pg (q * r, r, n-1); main imprime_pg imprime_pg imprime_pg q r n q r n q r n q r n int main () int n; double q, r; scanf("%lf %lf %i", &q, &r, &n); imprime_pg(q, r, n);
26 Exemplo 1: implementação #include <stdio.h> /* para printf */ void imprime_pg (double q, double r, int n) if (n == 0) printf("\n"); else printf("%.2lf ", q); imprime_pg (q * r, r, n-1); main imprime_pg imprime_pg imprime_pg q r n q r n q r n q r n int main () int n; double q, r; scanf("%lf %lf %i", &q, &r, &n); imprime_pg(q, r, n);
27 Exemplo 1: implementação #include <stdio.h> /* para printf */ void imprime_pg (double q, double r, int n) if (n == 0) printf("\n"); else printf("%.2lf ", q); imprime_pg (q * r, r, n-1); main imprime_pg imprime_pg imprime_pg q r n q r n q r n q r n int main () int n; double q, r; scanf("%lf %lf %i", &q, &r, &n); imprime_pg(q, r, n);
28 Exemplo 1: implementação #include <stdio.h> /* para printf */ void imprime_pg (double q, double r, int n) if (n == 0) printf("\n"); else printf("%.2lf ", q); imprime_pg (q * r, r, n-1); main imprime_ imprime_ imprime_ imprime_ pg pg pg pg q r n q r n q r n q r n q r n int main () int n; double q, r; scanf("%lf %lf %i", &q, &r, &n); imprime_pg(q, r, n);
29 Exemplo 1: implementação #include <stdio.h> /* para printf */ void imprime_pg (double q, double r, int n) if (n == 0) printf("\n"); else printf("%.2lf ", q); imprime_pg (q * r, r, n-1); main imprime_ imprime_ imprime_ imprime_ pg pg pg pg q r n q r n q r n q r n q r n int main () int n; double q, r; scanf("%lf %lf %i", &q, &r, &n); imprime_pg(q, r, n);
30 Exemplo 1: implementação #include <stdio.h> /* para printf */ void imprime_pg (double q, double r, int n) if (n == 0) printf("\n"); else main printf("%.2lf ", q); imprime_pg (q * r, r, n-1); q r n int main () int n; double q, r; scanf("%lf %lf %i", &q, &r, &n); imprime_pg(q, r, n); \n 10 10
31 Exemplo 1: implementação #include <stdio.h> /* para printf */ void imprime_pg (double q, double r, int n) if (n == 0) printf("\n"); else main printf("%.2lf ", q); imprime_pg (q * r, r, n-1); q r n Caso de base? int main () int n; double q, r; Variante? scanf("%lf %lf %i", &q, &r, &n); imprime_pg(q, r, n); \n 10 10
32 Exemplo 2: problema e solução recursiva. Cálculo do fatorial. n: valor dado se n > 1, então n! = (n-1) n = (n-1)! n Solução recursiva: se n > 1: calcule (n-1)!, seja r o valor obtido multiplique n com r, o valor obtido é o resultado. se n = 1: o resultado é
33 Exemplo 2: implementação #include <stdio.h> /* para printf */ int fatorial (int n) if (n == 1) return 1; else int r; r = fatorial(n-1); return r * n; int main () int n, f; scanf("%i", &n); f = fatorial(n); printf("%i\n", f); 12 12
34 Exemplo 2: implementação #include <stdio.h> /* para printf */ int fatorial (int n) if (n == 1) return 1; else return fatorial(n-1) * n; int main () int n, f; scanf("%i", &n); f = fatorial(n); printf("%i\n", f); 12 12
35 Exemplo 2: implementação #include <stdio.h> /* para printf */ int fatorial (int n) if (n == 1) return 1; else return fatorial(n-1) * n; int main () int n, f; Caso de base? Variante? scanf("%i", &n); f = fatorial(n); printf("%i\n", f); 12 12
36 Recursão mútua Vimos exemplos de uma função chamando a si mesmo. É possível que hajá uma chamada a si mesmo indireta, através de outra função (ou funções). Esta possibilidade é muito útil para tratar entidades com definições inter-dependentes ver a sintaxe dos comandos da linguagem C vistos até agora. <comando> ::= <comando condicional>... <comando condicional> ::= if ( <expressao> ) <comando> 13 13
37 Recursão mútua: exemplo #include <stdio.h> int par (int); int impar (int); int main () int n; scanf("%i", &n); if (par(n)) printf("%i eh par.\n", n); else printf("%i eh impar.\n", n); int par (int n) if (n == 0) return 1; else return impar(n-1); int impar (int n) if (n == 0) else return par(n-1); 14 14
38 Recursão mútua: exemplo #include <stdio.h> int par (int); int impar (int); int main () int n; scanf("%i", &n); if (par(n)) printf("%i eh par.\n", n); else printf("%i eh impar.\n", n); int par (int n) if (n == 0) return 1; else return impar(n-1); int impar (int n) if (n == 0) else return par(n-1); 14 Caso de base? Variante? 14
39 Exemplo 3: descrição O quebra-cabeça das Torres de Hanoi foi proposto pelo matemático francês Édouard Lucas em Considerando uma torre de n discos de circonferência crescente, inicialmente empilhados em ordem crescente de circonferência sobre uma entre três varas. O objetivo é transferir a torre inteira para uma outra vara, movendo apenas um disco de cada vez, e nunca colocando um disco em cima de um disco de menor tamanho. A B C 15 15
40 Exemplo 3: uma solução manual 16 16
41 Exemplo 3: uma solução manual 16 16
42 Exemplo 3: requisitos Definir uma sub-rotina que imprime as instruções para resolver o quebra-cabeça das torres de Hanoi. A sub-rotina deve ter como parâmetro o número de discos, e deve imprimir uma lista de comandos no formato "mover X para Y" onde 1 X, Y 3. Exemplos: para 1 disco mover 1 para 3 para 2 discos mover 1 para 2 mover 1 para 3 mover 2 para
43 Exemplo 3: requisitos Definir uma sub-rotina que imprime as instruções para resolver o quebra-cabeça das torres de Hanoi. A sub-rotina deve ter como parâmetro o número de discos, e deve imprimir uma lista de comandos no formato "mover X para Y" onde 1 X, Y 3. Exemplos: para 1 disco mover 1 para 3 para 2 discos mover 1 para 2 mover 1 para 3 mover 2 para 3 hanoi 3 Mover de 1 para 3 Mover de 1 para 2 Mover de 3 para 2 Mover de 1 para 3 Mover de 2 para 1 Mover de 2 para 3 Mover de 1 para
44 Exemplo 3: resolução recursiva Hanoi (k, V1, V2, V3) move k discos da vara V1 para a vara V3, utilizando a vara V2 como ponto intermediário. Hanoi (k, V1, V2, V3): Para k = 0: nada a fazer Para k > 1: realizar Hanoi (k-1, V1, V3, V2), mover o k-ésimo disco de V1 para V2, realizar Hanoi(k-1, V3, V2, V1) A B C V1 V2 18 V3 18
45 Exemplo 3: resolução recursiva Hanoi (k, V1, V2, V3) move k discos da vara V1 para a vara V3, utilizando a vara V2 como ponto intermediário. Hanoi (k, V1, V2, V3): Para k = 0: nada a fazer Para k > 1: realizar Hanoi (k-1, V1, V3, V2), mover o k-ésimo disco de V1 para V2, realizar Hanoi(k-1, V3, V2, V1) A B C V1 V2 18 V3 18
46 Exemplo 3: resolução recursiva Hanoi (k, V1, V2, V3) move k discos da vara V1 para a vara V3, utilizando a vara V2 como ponto intermediário. Hanoi (k, V1, V2, V3): Para k = 0: nada a fazer Para k > 1: realizar Hanoi (k-1, V1, V3, V2), mover o k-ésimo disco de V1 para V2, realizar Hanoi(k-1, V3, V2, V1) A B C V1 V2 18 V3 18
47 Exemplo 3: resolução recursiva Hanoi (k, V1, V2, V3) move k discos da vara V1 para a vara V3, utilizando a vara V2 como ponto intermediário. Hanoi (k, V1, V2, V3): Para k = 0: nada a fazer Para k > 1: realizar Hanoi (k-1, V1, V3, V2), mover o k-ésimo disco de V1 para V2, realizar Hanoi(k-1, V3, V2, V1) A B C V1 V2 18 V3 18
48 Exemplo 3: implementação #include <stdio.h> /* para printf */ void hanoi_rec (int n, int v1, int v2, int v3) if (n == 0) return; else hanoi_rec(n-1, v1, v3, v2); printf("mover de %i para %i\n", v1, v2); hanoi_rec(n-1, v3, v2, v1); void hanoi (int n) hanoi_rec(n, 1, 3, 2); int main () int n; scanf("%i", &n); hanoi(n); 19 19
49 Exemplo 3: implementação #include <stdio.h> /* para printf */ void hanoi_rec (int n, int v1, int v2, int v3) if (n == 0) return; else hanoi_rec(n-1, v1, v3, v2); printf("mover de %i para %i\n", v1, v2); hanoi_rec(n-1, v3, v2, v1); void hanoi (int n) hanoi_rec(n, 1, 3, 2); int main () int n; scanf("%i", &n); hanoi(n); 19 Caso de base? Variante? 19
50 Exemplo 4: Progressão de Fibonacci Os primeiros números de Fibonacci são: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... Os dois primeiros números da progressão de Fibonacci são 0 e 1. Os demais números são iguais à soma dos dois números anteriores. Seja fib(i) o elemento i da progressão de Fibonacci. fib(0) = 0, fib(1) = 1 se n 2, fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2) Escreva uma sub-rotina que, dado n, calcula fib(n)
51 Exemplo 4: Solução A natureza do problema é recursiva. A solução é direta
52 Exemplo 4: implementação #include <stdio.h> /* para printf */ int fibonacci (int n) if (n == 0) else if (n == 1) return 1; else return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2); int main () int n; scanf("%i", &n); fibonacci(n); 22 22
53 Exemplo 4: implementação #include <stdio.h> /* para printf */ int fibonacci (int n) if (n == 0) else if (n == 1) return 1; else return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2); int main () int n; scanf("%i", &n); fibonacci(n); Caso de base? Variante? 22 22
54 Questões de custo
55 Questões de custo... Com esta implementação recursiva, quantas somas são necessárias para calcular fib(n)? Seja custo(n) este valor
56 Questões de custo... Com esta implementação recursiva, quantas somas são necessárias para calcular fib(n)? Seja custo(n) este valor. Para n = 0:
57 Questões de custo... Com esta implementação recursiva, quantas somas são necessárias para calcular fib(n)? Seja custo(n) este valor. Para n = 0: 0 Para n = 1:
58 Questões de custo... Com esta implementação recursiva, quantas somas são necessárias para calcular fib(n)? Seja custo(n) este valor. Para n = 0: 0 Para n = 1: 0 Para n = 2:
59 Questões de custo... Com esta implementação recursiva, quantas somas são necessárias para calcular fib(n)? Seja custo(n) este valor. Para n = 0: 0 Para n = 1: 0 Para n = 2: 1 Para n = 3: =
60 Questões de custo... Com esta implementação recursiva, quantas somas são necessárias para calcular fib(n)? Seja custo(n) este valor. Para n = 0: 0 Para n = 1: 0 Para n = 2: 1 Para n = 3: = 2 Para n = 4: =
61 Questões de custo... Com esta implementação recursiva, quantas somas são necessárias para calcular fib(n)? Seja custo(n) este valor. Para n = 0: 0 Para n = 1: 0 Para n = 2: 1 Para n = 3: = 2 Para n = 4: = 4 Para n = 5: =
62 Questões de custo... Com esta implementação recursiva, quantas somas são necessárias para calcular fib(n)? Seja custo(n) este valor. Para n = 0: 0 Para n = 1: 0 Para n = 2: 1 Para n = 3: = 2 Para n = 4: = 4 Para n = 5: = 7 Em geral, se n 2, custo(n) = custo(n-1) + custo(n-2)
63 Questões de custo... Com esta implementação recursiva, quantas somas são necessárias para calcular fib(n)? Seja custo(n) este valor. Para n = 0: 0 Para n = 1: 0 Para n = 2: 1 Para n = 3: = 2 Para n = 4: = 4 Para n = 5: = 7 Em geral, se n 2, custo(n) = custo(n-1) + custo(n-2) + 1. Essa progressão cresce mais rápido que a progressão de Fibonacci
64 Questões de custo... Com esta implementação recursiva, quantas somas são necessárias para calcular fib(n)? Seja custo(n) este valor. Para n = 0: 0 Para n = 1: 0 Para n = 2: 1 Para n = 3: = 2 Para n = 4: = 4 Para n = 5: = 7 Em geral, se n 2, custo(n) = custo(n-1) + custo(n-2) + 1. Essa progressão cresce mais rápido que a progressão de Fibonacci... Podemos fazer melhor? 23 23
65 Exemplo 4: implementação iterativa #include <stdio.h> /* para printf */ int fibonacci (int n) if (n == 0) else if (n == 1) return 1; else int pen = 0, ult = 1, k, atual; k = 2; while (k <= n) atual = pen + ult; pen = ult; ult = atual; k = k + 1; return atual; 24 24
66 Exemplo 4: implementação recursiva 2 #include <stdio.h> /* para printf */ int fibonacci_rec (int n, int ult, int pen, int k) if (k == n) return ult + pen; else return fibonacci_rec(n, pen+ult, ult, k+1); int fibonacci (int n) if (n == 0) else if (n == 1) return 1; else return fibonacci_rec(n, 1, 0, 2); 25 25
67 Exemplo 4: implementação recursiva 2 #include <stdio.h> /* para printf */ int fibonacci_rec (int n, int ult, int pen, int k) if (k == n) return ult + pen; else return fibonacci_rec(n, pen+ult, ult, k+1); int fibonacci (int n) if (n == 0) else if (n == 1) return 1; else return fibonacci_rec(n, 1, 0, 2); Caso de base? Variante? 25 25
68 Conclusão Recursão: uma nova ferramenta para resolução de problemas. A recursão tem o mesmo poder de resolução que a iteração. Para determinados problemas, é muito mais fácil resolver com recursão. Para outros, é mais fácil com iteração. Em geral, é mais fácil programar uma solução recursiva correta; iteração é mais rápida que recursão; iteração consome menos memória que recursão.... mas cada caso é um caso
69 Exercícios David Déharbe 27 27
70 Exercício: MDC. O maior divisor comum de dois números inteiros positivos N e M, notado MDC(N, M), é maior número inteiro positivo P tal que P é um divisor de N; P é um divisor de M. Propriedades: Se M > N e N é um divisor de M, então MDC(N, M) = N senão MDC(N, M) = MDC(N, R) onde R é o resto da divisão de M por N. MDC(N, M) = MDC(M, N)
71 Exercícios. Considere o seguinte processo para gerar uma seqüência de números: Comece com um inteiro n. Se n é par, divida por 2. Se n é ímpar, multiplique por 3 e some 1. Repita esse processo com o novo valor de n, se n 1. Termina o processo quando n = 1. Por exemplo, a seqüência de números a seguir é gerada para n = 22: Escreva uma função não recursiva que, dado um inteiro positivo, imprime a sequência de números acima
72 Exercícios. 2.Escreva agora uma função recursiva que, dado um inteiro positivo, imprime a sequência de números. O comprimento da sequência gerada a partir de n é chamada o comprimento do ciclo de n. 3.Escreva uma função não recursiva que, dado n, retorna o comprimento do ciclo de n. 4.Escreva uma função recursiva que, dado n, retorna o comprimento do ciclo de n
73 Exercícios. Usando recursão: 1.Escreva uma rotina que tem como parâmetros N, o tamanho de um arranjo de int, V, o próprio arranjo, e K, um valor int, e retorna 1 se K pertence a V e 0 caso contrário. Assume que o conteúdo do arranjo é ordenado em ordem crescente. A recursão deve ser realizada com uma rotina auxiliar. 2.Escreva uma rotina que tem como parâmetros N, o tamanho de um arranjo de int, V, o próprio arranjo, e ordena o conteúdo de V em ordem crescente. A recursão deve ser realizada com uma rotina auxiliar
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