Algoritmos de Ordenação

Transcrição

1 Algoritmos de Ordenação Introdução à Ciência da Computação Prof. Edison Ishikawa

2 Objetivo Apresentar diferentes algoritmos de ordenação de dados Mostrar como analisar os algoritmos em termos de tempo de execução Apresentar as diferentes abordagens para projetar algoritmos

3 Introdução Computadores são muitas vezes usados para colocar listas em algum tipo de ordem: Nomes em ordem alfabética s pela data Itens em ordem numérica Classificar listas permite: Encontrar coisas rapidamente Facilita identificar os extremos Exemplo: Classificar notas de uma prova Nota mais baixa e alta se tornam evidentes

4 Introdução Se você usar o algoritmo errado, pode demorar muito tempo para ordenar uma lista grande, mesmo em um computador rápido Para nossa sorte, vários algoritmos de ordenação são conhecidos

5 Restrição do Computador O computador só consegue comparar coisas dois a dois Para facilitar o nosso entendimento dos algoritmos vamos ordenar uma lista pelo peso de seus itens E para saber qual é o mais leve ou mais pesado... Usaremos uma balança

6 Vamos utilizar a seguinte instância de entrada Cada bola tem um peso diferente Só pegando para saber a diferença Para ordenar pelo peso usaremos uma balança

7 Vamos utilizar a seguinte instância de entrada Como não temos uma balança real, os pesos das bolas estão pintadas na bola, mas para todos os efeitos, não sabemos quanto pesa cada bola...

8 Algoritmo da Bolha Vamos começar com um algoritmo intuitivo Imagine que os itens são bolhas com diferentes pesos Os mais leves vão para cima No final a lista fica ordenada

9 Algoritmo BubleSort Pego os dois primeiros Já estão relativamente ordenados Movo a janela uma posição para cima F A Ç O O M A I S L E V E S U B I R

10 Algoritmo BubleSort 3 é mais leve que seis Troco a ordem F A Ç O O M A I S L E V E S U B I R

11 Algoritmo BubleSort Movo a janela Troco

12 Algoritmo BubleSort Movo a janela Como estão relativamente ordenados, mantenho!

13 Algoritmo BubleSort Movo a janela e troco

14 Algoritmo BubleSort Subo a janela e troco

15 Algoritmo BubleSort Subo a janela e troco

16 Algoritmo BubleSort Ainda não está ordenado! Começo tudo de novo

17 Algoritmo BubleSort Na primeira passada fiz n comparações Para estar ordenado terei que fazer n passadas Ou seja, no total farei n 2 comparações

18 Mas como projetar algoritmos melhores? Vamos ver algumas estratégias...

19 Dado o problema de ordenação, como projetar o algoritmo? Estratégia - Definição Passos intermediários que se pretende dar para atingir um objetivo em determinado período de tempo Entrada: sequência de números qualquer passos intermediários Saída: Objetivo = sequência de números ordenada de forma crescente

20 Estratégia da Força Bruta Não sei ordenar o vetor Testo todas as permutações possíveis até chegar a uma que satisfaça: a 1 a 2... a n

21 Estratégia da Força Bruta Passo 1 - Enumero as permutações

22 Estratégia da Força Bruta Passo 2 Testo as permutações até que, pegando cada bola em sequência, dois a dois, o anterior seja sempre mais leve

23 Estratégia da Força Bruta Passo 2 - Testo as permutações até que, pegando cada bola em sequência, dois a dois, o anterior seja sempre mais leve Anterior mais pesado que posterior? SIM Permutação não ordenada

24 Estratégia da Força Bruta Passo 2 - Testo as permutações até que, pegando cada bola em sequência, dois a dois, o anterior seja sempre mais leve Anterior mais pesado que posterior? SIM Permutação não ordenada

25 Estratégia da Força Bruta Tenho que testar todas as permutações São P n = n! permutações Cada permutação tem n elementos Logo o algoritmo terá que executar n. n! passos Tem como melhorar este algoritmo?

26 Estratégia Branch and Bound

27 Estratégia Branch and Bound Aparentemente melhorou Mas existem instâncias, denominadas de pior caso, em que o número de passos do algoritmo de ordenação branch-and-bound é da mesma ordem de grandeza do algoritmo de força bruta... Definitivamente, para este tipo de problema, este caminho não está levando a bons resultados

28 Estratégia Incremental Começo com um vetor de tamanho 1 como já está ordenado, posso começar pelo próximo passo Aumento o tamanho para 2 O segundo elemento não necessariamente está ordenado, então percorro o vetor e insiro este elemento na sua posição Aumento o tamanho para 3 O terceiro elemento não necessariamente está ordenado, então percorro o vetor e insiro este elemento na sua posição

29 Ordenação por Inserção

30 Algoritmo insertionsort def insertionsort(lista): for i in range(1, len(lista)): davez = lista[i] k = i while k>0 and davez < lista[k-1]: lista[k] = lista[k-1] k = k - 1 lista[k] = davez

31 Algoritmo insertionsort Note que neste algoritmo temos dois loops aninhados para i = 2... n faça enquanto j 1 e valor < v[j] faça Cada um dá n passos Logo no total teremos aproximadamente n.n = n 2 passos Melhorou, mas o BubbleSort também é da ordem de n 2 passos Será que estamos indo na direção correta...?

32 Estratégia Dividir para Conquistar Esta estratégia envolve 3 passos a cada nível da recursão: Divida o problema em um número de subproblemas. Conquiste os subproblemas resolvendo-os recursivamente. Se, entretanto, o tamanho do subproblema é suficientemente pequeno, resolva o problema de maneira direta. Combine as soluções dos subproblemas na solução do problema original [Cormen89]

33 Estratégia Dividir para Conquistar Algoritmo MergeSort Divida a sequência de n elementos a serem ordenados em duas subsequências de n/2 elementos. Conquiste ordenando as subsequências recursivamente usando MergeSort Combine intercalando (merge) as duas subsequências para produzir o vetor ordenado

34 MergeSort D I V I D I R

35 MergeSort C O N Q U I S T A R

36 Algoritmo MergeSort def intercala(esquerda, direita): final = [ ] while esquerda or direita: if len(esquerda) and len(direita): if esquerda[0] < direita[0]: else: final.append(esquerda.pop(0)) final.append(direita.pop(0)) if not len(esquerda): if len(direita): final.append(direita.pop(0)) def mergesort(lista): if len(lista) < 2: return lista meio = len(lista) // 2 return intercala(mergesort(lista[:meio]), l = [7,4,2,1,5,6,3,8] l=mergesort(l) print(l) mergesort(lista[meio:])) if not len(direita): if len(esquerda): final.append(esquerda.pop(0)) return final

37 Algoritmo MergeSort O tempo de execução T(n) do MergeSort é o resultado da soma dos tempos de execução das duas chamadas recursivas, cada uma delas com tempo de execução T(n/2). Como condição inicial, para n=1, T(1)=1, e assumindo que n é uma potência de 2, a fórmula básica que expressa o número de iterações é: T(n) = 2T(n/2) + n Dividindo por n T(n)/n = T(n/2)/(n/2) + 1 Como a equação é válida para qualquer potência de 2.. T(n/2) /(n/2)= T(n/4)/(n/4) +1 T(n/4)/(n/4) = T(n/8)/(n/8) T(n/n)/(n/n) = T(1) /1 + 1 Somando tudo, conclui-se que T(n) = n + n log 2 n

38 Estratégia Dividir para Conquistar Uma mesma estratégia pode ser usada de formas diferentes Vamos ver como o algoritmo QuickSort usa esta mesma estratégia

39 Algoritmo QuickSort Escolho um objeto de forma aleatória.

40 Algoritmo QuickSort Escolho um objeto de forma aleatória. Coloco os mais leves na direita e os mais pesados a esquerda. Repito o procedimento para o grupo da esquerda e da direita

41 Algoritmo QuickSort Repita até que nenhum grupo tenha mais do que um objeto

42 Algoritmo QuickSort E a lista está ordenada!!!

43 Algoritmo QuickSort Você achou que o quicksort é eficiente? Depende, se o pivot for escolhido adequadamente (o peso médio do grupo)... No entanto, se o quicksort escolher sempre o peso mais leve... A quantidade de comparações têm a mesma ordem de grandeza do que o algoritmo insertionsort (n 2 ) No melhor caso e no caso médio a complexidade é n.log 2 n

44 Considerações Finais Existe uma melhor estratégia? Depende do problema Depende da estrutura de dados utilizada Existem algoritmos que foram projetados sem a utilização de estratégias e que são muito bons É ciência, envolve pesquisa e técnica, mas também é arte, envolve imaginação e criatividade

45 O que é um bom algoritmo? Um bom algoritmo é como uma faca afiada: faz exatamente o que ela tem que fazer com o mínimo de esforço. Usar o algoritmo errado para resolver um problema é como tentar fatiar um filé de peixe com uma chave de fenda. Eventualmente se consegue algo digerível, mas o esforço gasto será maior que o necessário, e o resultado não será esteticamente agradável... [Cormen89]

46 O que é um bom algoritmo? Algoritmos projetados para resolver o mesmo problema frequentemente são muito diferentes em se tratando de eficiência. Esta diferenças podem ser mais significativas do que a diferença entre um PC e um supercomputador. Exemplo: vamos comparar um supercomputador usando insertionsort e um PC usando mergesort. A tarefa é a mesma para os dois. Ordenar um vetor com 1 milhão de números. [Cormen89]

47 O que é um bom algoritmo? O supercomputador executa 100 milhões de instruções por segundo O PC executa 1 milhão de instruções por segundo O insertionsort para ordenar n números tem que executar 2n 2 instruções. O mergesort para ordenar n números tem que executar 50n log n instruções. [Cormen89]

48 O que é um bom algoritmo? Calculando o tempo de execução... O supercomputador com insertionsort leva: 2.(10 6)2 instruções = segundos = 5,56 horas 10 8 instruções/segundo O PC com mergesort leva: 50 x 10 6 log 10 6 instruções = segundos = 16,67 min 10 6 instruções/segundo [Cormen89]

49 Resumindo A comparação do exemplo entre InsertionSort/Supercomputador e MergeSort/PC mostra que os algoritmos, como o hardware do computador, são tecnologia! O desempenho total do sistema depende de um algoritmo bem projetado tanto quanto da escolha do hardware mais rápido. Assim como o hardware avança rapidamente na tecnologia, os avanços nos algoritmos não ficam para trás. [Cormen89]

50 De que se trata tudo isso? É muito mais fácil encontrar uma informação em uma lista ordenada Lista telefônica, dicionários e índices de livros utilizam ordem alfabética Em uma lista de números ordenada, os pontos extremos são fáceis de ver porque eles estão no começo e no fim da lista Também é fácil de encontrar itens repetidos, eles ficam juntos

51 De que se trata tudo isso? Computadores gastam muito tempo ordenando as coisas Portanto os cientistas da computação devem descobrir algoritmos rápidos e eficientes para fazer isto Alguns algoritmos mais lentos podem ser úteis em situações especiais, porém os métodos mais rápidos, como o quicksort, são geralmente utilizados Existem várias estratégias para fazer algoritmos. No caso da ordenação, a estratégia dividir para conquistar, quicksort, deu um dos melhores resultado

52 Dúvidas

53 Curiosidade 1 Existe algum algoritmo de ordenação pior que o Força Bruta? Lema: para o pior não há limites ;-(

54 BOGOSORT

55 BOGOSORT Quantos passo será que ele leva para chegar ao resultado final? O que é mais fácil, ordenar um vetor grande com BOGOSORT ou ganhar na megasena?

56 Curiosidade 2 Existe um algoritmo que ordena um vetor em O(n) É o BucketSort No entanto o espaço usado pode ser proibitivo Exemplo: Inteiros de 32 bits, vou precisar de 2 n baldes, não importa de se são 10 ou um milhão de números

57 Referências Thomas M. Cormen et all. Introduction to algorithms. The Mit Press, Jayme L. Szwarcfiter e Lilian Markenzon. Estrutura de Dados e seus Algortimos. LTC editora, 2012.