1. O que é a eficiência assintótica de um algoritmo. Explique com suas palavras.

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1 Disciplina: Estrutura de Dados II Turma: 4EC/5CC Data: 13/11/15 Nota: Professor: Renato E. N. de Moraes Semestre: Valor: 0,0 pts Aluno: Lista de exercícios O que é a eficiência assintótica de um algoritmo. Explique com suas palavras. 2. Qual a importância prática da notação O? 3. Explique o que significa um algoritmo de ordenação necessitar de 2n 2 + 7n + 9 comparações e como isto está relacionado a seu tempo de execução. 4. Qual algoritmo você julga melhor: um que executa utilizando 700n operações ou outro que utiliza 0,3n 2 +n operações para resolver um mesmo problema? 5. Suponha que você dispõe de um algoritmo A, O(n 2 ), e outro B, O(nlogn), ambos resolvendo um mesmo problema. Sabe-se, cotidianamente, que o algoritmo A é mais usado, pois é mais rápido que B. Como? 6. Qual a ordem de complexidade O(f(n)) para as funções: (a) 40n 3 (b) 0,3n 2 2n (c) 45logn+n (d) 8logn+2log 4 n+log 7 8n (e) n 2 +log 20 n (f) n 2 1+2n 7. Qual o algoritmo mais eficiente segundo as funções da questão anterior? Qual o menos eficiente? 8. Por que, em geral, é melhor trocar um algoritmo por outro mais eficiente do que simplesmente aumentar o poder de processamento de um computador (e.g., trocar por um processador mais potente)? 9. O procedimento seguinte faz o preenchimento de um vetor. No algoritmo, identifique claramente o que representa o tamanho do problema e, em função disso, faça a análise completa de complexidade de tempo. Não são necessárias provas formais. Proc Preenche(var A: arranjo; Tam: inteiro) A[0] = 1 Para I = 1 até Tam-1 Se I mod 2 = 0 par Ent~ao A[I] = 3 * H[I-1] + 1 Sen~ao A[I] = 0 Para J = 0 até I-1 A[I] = A[I] + A[J]

2 Fim-para Fim-se Fim-para Fim-proc 10. Porque podemos descartar os termos de menor ordem e todos os coeficientes da expressão que representa o custo de um algoritmo quando consideramos sua eficiência assintótica? 11. Qual a ordem de complexidade do algoritmo que faz pesquisa binária em uma tabela? Qual o número mínimo de comparações com a chave de busca que pode ocorrer até achar um registro na tabela? Qual o número máximo? 12. Utilizando o algoritmo da Seleção Direta (b) O que você poderia dizer sobre o pior e sobre o melhor caso para este algoritmo? 13. Escreva uma versão recursiva do algoritmo de ordenação por seleção. 14. Considere a implementação do algoritmo SelectionSort dada por: void selecao (int n, int v[]) int i, j, min, x; for (i = 0; i < n-1; ++i) min = i; for (j = i+1; j < n; ++j) if (v[j] < v[min]) min = j; x = v[i]; v[i] = v[min]; v[min] = x; (a) Na função seleção, que acontece se trocarmos for ( i = 0 por for (i = 1)? Que acontece se trocarmos for (i = 0; i < n-1 por for ( i = 0; i < n? (b) Na função seleção, troque a comparação v[j] < v[min] por v[j] <= v[min]. A nova função continua produzindo uma ordenando crescente de v[0..n-1]? 15. Escreva uma função que permute os elementos de um vetor inteiro v[0..n-1] de modo que eles fiquem em ordem decrescente. 16. Faça uma análise da complexidade do algoritmo Selection Sort. Evidencie os custos relacionados a (1) Comparações e (2) Permutações, mostrando qual tem mais influência sobre o tempo de execução. 17. Utilizando o algoritmo Heapsort

3 (b) O que é um heap? (c) Quais são as operações básicas realizadas sobre um heap e qual o tempo para realização destas operações? (d) Modifique o algoritmo Heapsort para realizar a ordenação de dados em ordem decrescente, mas continue fazendo ordenação local. 18. Discuta a seguinte implementação do algoritmo Heapsort: void bottom_up_heapsort (int n, int v[]) int m, f, max, t; constroi_heap (n, v); for (m = n; m > 1; --m) max = v[1]; f = 2; while (f <= m) if (f < m && v[f] < v[f+1]) ++f; v[f/2] = v[f]; f *= 2; if (f < m) t = v[f], v[f] = v[m], v[m] = t; while (f > 1 && v[f/2] < v[f]) t = v[f], v[f] = v[f/2], v[f/2] = t; v[m] = max; void constroi_heap (int n, int v[]) int m, f, t; for (m = 1; m < n; ++m) f = m+1; while (f > 1 && v[f/2] < v[f]) t = v[f/2], v[f/2] = v[f], v[f] = t;

4 19. Utilizando o algoritmo Merge Sort (b) Qual o desempenho assintótico do algoritmo? 20. Considere a função abaixo: void intercala1 (int p, int q, int r, int v[]) int i, j, k, *w; w = malloc ((r-p) * sizeof (int)); i = p; j = q; k = 0; while (i < q && j < r) else w[k++] = v[j++]; while (j < r) w[k++] = v[j++]; for (i = p; i < r; ++i) v[i] = w[i-p]; free (w); (a) Analise e discuta a seguinte alternativa para a função intercala1 (detalhes de alocação e liberação de memória foram omitidas): i = p; j = q; k = 0; while (i < q && j < r) if (v[i] > v[j]) w[k++] = v[j++]; while (j < r) w[k++] = v[j++]; for (i = p; i < r; ++i) v[i] = w[i-p]; (b) Analise e discuta a seguinte alternativa para a função intercala1 (detalhes de alocação e liberação de memória foram omitidas):

5 i = p; j = q; k = 0; while (i < q && j < r) else w[k++] = v[j++]; for (i = p; i < j; ++i) v[i] = w[i-p]; 21. Critique a função de intercalação abaixo. (Observe que a função faz a intercalação inloco, ou seja, não usa um vetor auxiliar). Ela está está correta? Quais as invariantes do while? Qual o consumo de tempo? int i, k, t; i = p; while (i < q && q < r) if (v[i] >= v[q]) t = v[q]; for (k = q - 1; k >= i; k--) v[k+1] = v[k]; v[i] = t; q++; i++; 22. Discuta a seguinte implementação do algoritmo Mergesort: void mergesort (int p, int r, int v[]) if (p < r) int q = (p + r) / 2; mergesort (p, q, v); mergesort (q, r, v); intercala (p, q, r, v); 23. Qual a diferença entre a propriedade de uma árvore binária de pesquisa e a propriedade de um heap? 24. Considere o seguinte algoritmo de ordenação: dado um conjunto de valores a serem ordenados, construa uma árvore binária de pesquisa e imprima os valores dos nodos durante um percorrimento da árvore em pré-ordem. Discuta o custo deste algoritmo para o pior e melhor caso? Como ele se compara com os custos do Quicksort e do Merge Sort? 25. Escreva uma função que imprima as chaves de uma árvore-b em ordem decrescente.