Ordenação Interna. Prof. Jonas Potros

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1 Ordenação Interna Prof. Jonas Potros

2 Heap A estrutura de dados heap é um objeto arranjo que pode ser visto como uma árvore binária completa. A árvore está completamente preenchida em todos os níveis, exceto talvez no nível mais baixo. Podemos indicar que: dado um arranjo A de elementos, o heap formado por este arranjo, é construído por nível, o que garante que o heap será uma árvore completa; e que para realizarmos operações sobre o heap, a complexidade ser igual a O = log n (que é a altura da árvore representada pelo heap).

3 Heap Um arranjo A que representa um heap, é um objeto com dois atributos: 1. comprimento[a], que é o numero de elementos no arranjo; 2. tamanho[a], que é o número de elementos no heap armazenado dentro do arranjo A.

4 Estrutura de Dados (Heap) A raiz da arvore representada pelo heap é A[1] e, dado o índice i de um nó, os índices de seu pai PAI(i), do filho da esquerda ESQUERDA(i) e do filho da direita DIREITA(i) podem ser calculados de modo simples: PAI(i) : i/2; ESQUERDA(i) : 2*i; DIREITA(i): 2*i + 1; O nó 1 não tem pai e é chamado de raiz. Um nó i só tem filho esquerdo se 2*i m. Um nó i só tem filho direito se 2*i + 1 m. Um nó i é um folha se não tem filhos, ou seja 2*i > m.

5 Heap Máximo e Heap Mínimo Existem dois tipos de heaps binários: heaps máximos e heaps mínimos. Em ambos os tipos, os valores nos nós satisfazem a uma propriedade de heap, cujos detalhes específicos dependem do tipo de heap. Em um heap máximo, a propriedade de heap máximo é que, para todo nó i diferente da raiz, A[PAI(i)] >= A[i] isto é, o valor de um nó é no máximo o valor de seu pai. Desse modo, o maior elemento em um heap máximo é armazenado na raiz, e a subarvore que tem raiz em um nó contém valores menores que o próprio nó.

6 Heap Máximo e Heap Mínimo Um heap mínimo é organizado de modo oposto; a propriedade de heap mínimo é que, para todo nó i diferente da raiz, A[PAI(i)] <= A[i] Ou seja, o menor elemento em um heap mínimo está na raiz.

7 Manutenção da propriedade de heap (hipify) MAX-HEAP: Quando chamado, as arvores binárias com raízes em ESQUERDA(i) e DIREITA(i) são heaps máximos, mas que PAI(i) pode ser menor que seus filhos, assim violou a propriedade de heap máximo. A função desse, é deixar que o valor em A[i] flutue para baixo no heap máximo, de tal forma que a subarvore com raiz no índice i se torne um heap máximo.

8 Manutenção da propriedade de heap (hipify) MAX-HEAP (A, i) Esquerdo <- Filho Esquerdo(i) Direito <-Filho Direito(i) Se esquerdo estiver no tamanho de A e seu valor for > que o valor de seu o pai i então Maior <- Esquerdo Senão então Maior <- i Se direito estiver no tamanho de A e seu valor for > que o valor do Maior então Maior <- Direito Se o maior for diferente de i(pai) então troca(a,i,maior) MAX-HEAP(A, Maior)

9 Manutenção da propriedade de heap (hipify)

10 Construção do Heap (Build-Heap) Podemos utilizar o procedimento MAX-HEAP botton-up, a fim de converter um arranjo A[1..n], onde n = comprimento[a], em um heap máximo. Os elementos no subarranjo A[(piso(n/2)+1)..n] são todos folhas da árvore, e então cada um deles é um heap de 1 elemento com o qual podemos começar. Como cada folha não possui nenhum filho, um nó folha pode ser considerado como sendo uma subarvore que é um heap máximo. Portanto, para construir o heap, devemos começar sua construção no primeiro nó interno da árvore.

11 Construção do Heap (Build-Heap)

12 Construção do Heap (Build-Heap)

13 Filas de Prioridades Remoção de um nó do heap:

14 Filas de Prioridades Remoção de um nó do heap:

15 Filas de Prioridades Remoção de um nó do heap:

16 Filas de Prioridades Inserção de um nó no heap: Inserindo 50:

17 Filas de Prioridades Inserção de um nó no heap: Inserindo 50:

18 Filas de Prioridades Alteração de um nó do heap: Alterando a chave 7 para 100

19 Filas de Prioridades Alteração de um nó do heap: Alterando a chave 7 para 100

20 Heap sort - Foi desenvolvido em 1964 por Robert W. Floyd e J.W.J. Williams. - Faz parte da família de algoritmos de ordenação por seleção (custo elevado) e possui o mesmo princípio; - Tem um desempenho em tempo de execução muito bom em conjuntos ordenados aleatoriamente; - Tem um uso de memória bem comportado ; - O desempenho no pior cenário é praticamente igual ao desempenho em cenário médio.

21 Procedimentos Heapify: Garante a manutenção da propriedade do Heap. Executa em O(log2n); Build-Heap: Produz um heap a partir de um vetor não ordenado. Executa em O(n); Heap sort: Procedimento de ordenação local. Executa em O(nlog2n); 22

22 Pseudocódigo Heapsort(A) Heapsort(A) { Build-Heap(A) for i <- length(a) downto 2 { exchange A[1] <-> A[i] heapsize <- heapsize -1 Heapify(A, 1) }

23 Pseudocódigo - Build-heap (A) Utiliza o procedimento Heapify de forma bottom-up para transformar um vetor A[1..m] em um heap com m elementos. A[( n/2 +1)] a A[n] correspondem às folhas da árvore e portanto são heaps de um elemento. Basta chamar Heapify para os demais elementos do vetor A[]. Build-heap ( A ) begin heap_size[a] length[a]; for i length[a]/2 downto 1 do heapify(a, i); end 24

24 Pseudocódigo - Build-heap (A) 1 m A

25 Pseudocódigo - heapify ( A, i ) heapify ( A, i ) begin e Esquerda(i); d Direita(i); maior i; if (e <= heap_size[a] and A[e] > A[maior]) then maior <== e; /* filho da esquerda é maior */ if (d <= heap_size[a] and A[d] > A[maior]) then maior <== d; /* filho da direita é maior */ if (maior!= i) then begin troca(a[i] <==> A[maior]); heapify(a, maior); end end

26 Pseudocódigo - heapify (A,i) Reorganiza heaps Supõe que as árvores binárias correspondentes a Esquerda(i) e Direita(i) são heaps, mas A[i] (PAI) deve ser maior que seus filhos (max-heap) Exemplo: 27

27 Atividade 1 Apresente a árvore max-heap, min-heap; 2 Implemente o Build-Heap e Heapify para construir uma heap a partir do vetor: A

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