Algoritmo de Dijkstra Estudo e Implementação

Transcrição

1 Teoria dos Grafos 0/0 Algoritmo de Dijkstra Estudo e Implementação Professora: Claudia Boeres Alunos: José Alexandre Macedo Maycon Maia Vitali

2 Problema do Caminho Mínimo Qual o caminho mínimo entre um vértice e os demais de um grafo?

3 Problema do Caminho Mínimo Aplicações Calculo de rotas

4 Problema do Caminho Mínimo Aplicações Algoritmos de roteamento (Vetor de Distâncias)

5 Problema do Caminho Mínimo Aplicações Pré computação para heurísticas do Caixeiro Viajante

6 Solução mais simples... O algoritmo de busca em largura (BFS) calcula o caminho mínimo entre os vértices de grafos não valorados 0 0

7 Algoritmo de Dijkstra Encontra o caminho mínimo de origem única Características Funciona para grafos ponderados Apenas para arestas com peso positivo Os grafos podem conter ciclo

8 Algoritmo de Dijkstra Relembrando o algoritmo...

9 Algoritmo de Dijkstra Estruturas necessárias

10 Algoritmo de Dijkstra

11 Algoritmo de Dijkstra Vértice inicial Função de peso Remove vértice com distância mínima do conjunto Q

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15 0

16 0

17 0 {,,,,, }

18 0 {,,,,, }

19 0 {,,,, }

20 0 {,,,, } {}

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65 0 9 {} {,,,,, }

66 0 9 {} {,,,,, }

67 FIM! 0 9 {} {,,,,, }

68 Implementação Estruturas de dados considerada Lista de adjacência com pesos nos nós v0 v v v v v v0 v v v0 v v Algoritmo implementado utilizando heaps

69 Hã?! heap!? Características dos heaps (árvores especiais): Se B é filho de A, então valor(b) > valor(a) Implementações de fila de prioridade Heaps mais comuns heap binário: STL priority_queue do C++ heap binomial heap de fibonacci: implementado no trabalho

70 Heap Binário Implementações de min-heap ou max-heap Implementado pela STL priority_queue do C++ Complexidade: Inserção O(log n) Remoção do mínimo O(log n)

71 Heap de Fibonacci Composto por várias árvores enraizadas Cada nó x possui como apontadores: p[x] para seu pai child[x] para qualquer um de seus filhos left[x] e right[x] para seus irmão Fila circular duplamente encadeada No nós raiz, left[x] e right[x] apontam para os nós raízes vizinhos. min[h] aponta para o valor mínimo do heap

72 Exemplo de Heap de Fibonacci

73 Exemplo de Heap de Fibonacci

74 Heap de Fibonacci: Inserção

75 Heap de Fibonacci: Inserção Inserir um elemento no heap = O(?)

76 Heap de Fibonacci: Inserção Inserir um elemento no heap = O()

77 Heap de Fibonacci: Extrair Mínimo

78 Heap de Fibonacci: Extrair Mínimo

79 Heap de Fibonacci: Extrair Mínimo

80 Heap de Fibonacci: Extrair Mínimo

81 Heap de Fibonacci: Extrair Mínimo

82 Heap de Fibonacci: Extrair Mínimo

83 Heap de Fibonacci: Extrair Mínimo

84 Heap de Fibonacci: Extrair Mínimo

85 Heap de Fibonacci: Extrair Mínimo

86 Heap de Fibonacci: Extrair Mínimo

87 Heap de Fibonacci: Extrair Mínimo

88 Heap de Fibonacci: Extrair Mínimo

89 Heap de Fibonacci: Extrair Mínimo

90 Heap de Fibonacci: Extrair Mínimo

91 Heap de Fibonacci: Extrair Mínimo

92 Heap de Fibonacci: Extrair Mínimo O(log n)

93 Implementação: Complexidade Estruturas de Dados Consideradas Tipo de grafos Heap Binário Vetor Estático Heap de Fibonacci INSERÇÃO O(log n) O() O() REMOVE-MIN O(log n) O(n) O(log n) Grafo Genérico Grafo Denso e v(v-)/ = O(v²) Grafo Esparso e v- = O(v) Heap Binário O((v + e) log v) O(v² log v) O(v log v) Vetor Estático O(v²) O(v²) O(v²) Heap de Fibonacci O(e + v log v) O(v² + v log v) = O(v²) O(v + v log v) = O(v log v)

94 Implementação Linguagem C++ Bateria de Testes Grafos Denso Esparso Completo Número de vértices variando entre 0 e 000 (de 0 em 0 com um total de 00 amostras)

95 Esparso (, Mb) Testes

96 Testes Esparso (, Mb) Denso (,9 Gb)

97 Testes Esparso (, Mb) Denso (,9 Gb) Completo (, Gb)

98 Testes Esparso (, Mb) Denso (,9 Gb) Completo (, Gb) ~9Gb de Grafos!!

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100 Resultados (Grafos Esparso)

101 Resultados (Grafos Denso)

102 Resultados (Grafos Completo)

103 Conclusão Qual a melhor estrutura?

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