Algoritmos em Grafos: Caminho Mínimo

Transcrição

1 Algoritmos em Grafos: Caminho Mínimo Letícia Rodrigues Bueno UFABC

2 Problema 2: Menor caminho entre duas cidades Dado um mapa de cidades, contendo as distâncias entre cidades, qual o menor caminho entre quaisquer cidades A e B?

3 Problema 2: Menor caminho entre duas cidades Dado um mapa de cidades, contendo as distâncias entre cidades, qual o menor caminho entre quaisquer cidades A e B? Este problema pode ser modelado através de um grafo: Cidade: vértices; Estradas entre cidades: arestas ponderadas com peso que indicam distância entre cidades. Esse problema é conhecido como Problema do Caminho Mínimo.

4 Abordagem Problema do caminho mínimo é semelhante a problema do número de Erdõs;

5 Abordagem Problema do caminho mínimo é semelhante a problema do número de Erdõs; Podemos utilizar uma idéia semelhante ao BFS ; Levar em consideração: O problema tem subestrutura ótima.

6 t 1 x s y 2 z

7 t 1 x s y 2 z

8 t 1 x s y 2 z

9 t 10 1 x s y 2 z

10 8 t 1 x 14 s y 2 z 7

11 8 t 1 x 13 s y 2 z 7

12 8 t 1 x 9 s y 2 z 7

13 8 t 1 x 9 s y 2 z 7

14 u 2 v 9 1 relaxa(u, v): 2 se v.d > u.d + p(u, v) então 3 v.d = u.d + p(u, v) 4 v.p = u u u u Relaxa(u,v) v 2 7 (a) v 2 6 Relaxa(u,v) v 2 6 (b)

15 1 dijkstra(g, s): 2 para u em V(G) faça 3 u.d = 4 u.p = None s.d = 0 6 A = Heap(V(G)) \\ com base em d 7 S = [ ] 8 enquanto tamanho(a) > 1 faça 9 u = retira_min(a) 10 S = S + u 11 para v em adj(u) faça 12 relaxa(u, v) 13 refaz_heap(a)

16 1 dijkstra(g, s): 2 para u em V(G) faça 3 u.d = 4 u.p = None s.d = 0 6 A = Heap(V(G)) \\ com base em d 7 S = [ ] 8 enquanto tamanho(a) > 1 faça 9 u = retira_min(a) 10 S = S + u 11 para v em adj(u) faça 12 relaxa(u, v) 13 refaz_heap(a) Análise da complexidade:

17 1 dijkstra(g, s): 2 para u em V(G) faça 3 u.d = 4 u.p = None s.d = 0 6 A = Heap(V(G)) \\ com base em d 7 S = [ ] 8 enquanto tamanho(a) > 1 faça 9 u = retira_min(a) 10 S = S + u 11 para v em adj(u) faça 12 relaxa(u, v) 13 refaz_heap(a) Análise da complexidade: Construção do heap (linha 6): O(n)

18 1 dijkstra(g, s): 2 para u em V(G) faça 3 u.d = 4 u.p = None s.d = 0 6 A = Heap(V(G)) \\ com base em d 7 S = [ ] 8 enquanto tamanho(a) > 1 faça 9 u = retira_min(a) 10 S = S + u 11 para v em adj(u) faça 12 relaxa(u, v) 13 refaz_heap(a) Análise da complexidade: Construção do heap (linha 6): O(n) retira_min (linha 9) tem complexidade (log n) e é executado n vezes: O(n log n)

19 1 dijkstra(g, s): 2 para u em V(G) faça 3 u.d = 4 u.p = None s.d = 0 6 A = Heap(V(G)) \\ com base em d 7 S = [ ] 8 enquanto tamanho(a) > 1 faça 9 u = retira_min(a) 10 S = S + u 11 para v em adj(u) faça 12 relaxa(u, v) 13 refaz_heap(a) Análise da complexidade: Construção do heap (linha 6): O(n) retira_min (linha 9) tem complexidade (log n) e é executado n vezes: O(n log n) refaz_heap (linha 13) tem complexidade (log n) e é executado m vezes: O(m log n)

20 1 dijkstra(g, s): 2 para u em V(G) faça 3 u.d = 4 u.p = None s.d = 0 6 A = Heap(V(G)) \\ com base em d 7 S = [ ] 8 enquanto tamanho(a) > 1 faça 9 u = retira_min(a) 10 S = S + u 11 para v em adj(u) faça 12 relaxa(u, v) 13 refaz_heap(a) Análise da complexidade: Construção do heap (linha 6): O(n) retira_min (linha 9) tem complexidade (log n) e é executado n vezes: O(n log n) refaz_heap (linha 13) tem complexidade (log n) e é executado m vezes: O(m log n) Complexidade total: O((n+m) log n)

21 Problemas do Caminho Mínimo Caminho mínimo de fonte única; Caminho mínimo de destino único; Caminho mínimo entre quaisquer vértices u e v; Caminho mínimo de todos os vértices para todos os vértices: Algoritmo de Floyd-Warshall O(n 3 ).

22 Limitações do algoritmo de Dijkstra Não funciona para grafos com ciclos com pesos negativos;

23 Limitações do algoritmo de Dijkstra Não funciona para grafos com ciclos com pesos negativos; Alternativa: Algoritmo de Bellman-Ford de complexidade O(n m).

24 Exercícios 2. Faça a análise da complexidade (tempo e espaço) do algoritmo de Dijkstra quando a representação do grafo é por matriz de adjacências.

25 Exercícios 2. Faça a análise da complexidade (tempo e espaço) do algoritmo de Dijkstra quando a representação do grafo é por matriz de adjacências. 3. Faça a análise da complexidade do algoritmo de Dijkstra quando a fila de prioridades é uma lista (ordenada e não-ordenada).

26 Exercícios 2. Faça a análise da complexidade (tempo e espaço) do algoritmo de Dijkstra quando a representação do grafo é por matriz de adjacências. 3. Faça a análise da complexidade do algoritmo de Dijkstra quando a fila de prioridades é uma lista (ordenada e não-ordenada). 4. Dê exemplo de um grafo com pesos negativos em que o algoritmo de Dijkstra não retorna a resposta correta.

27 Bibliografia Utilizada CORMEN, T. H.; LEISERSON, C. E.; RIVEST, R. L. e STEIN, C. Introduction to Algorithms, 3 a edição, MIT Press, 2009.