Teoria dos Grafos Aula 3

Transcrição

1 Teoria dos Grafos Aula 3 Aula passada Exemplo (mapas) Definições Algumas propriedades Aula de hoje Representando grafos Matriz e lista Comparando tempos de acesso

2 Grafo G=(V, E) Grafo V = conjunto de vértices (inteiros) E = conjunto de arestas (pares não-ordenados) Representação matemática de grafos V = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Exemplo E = {(1,2), (1,5), (2,3), (2,6), (3,4), (5,4)} Representação visual de grafos

3 Representando Grafos Como representar grafos no computador? Estrutura de dados Duas estruturas fundamentais matriz lista

4 Representação via Matriz Como representar utilizando matrizes? Idéia: associar vértices às linhas e colunas da matriz elemento da matriz indica se há aresta Matriz de adjacência Matriz n x n (n é número de vértices) a ij = 1, se existe aresta entre vértices i e j a ij = 0, caso contrário.

5 Matriz de Adjacência Exemplo ? Algumas propriedades?

6 Representação via Matriz Matriz de adjacência Grafo completo? Grafo em ciclo? K 5 C

7 Matriz de Incidência Idéia: associar vértices às linhas e arestas às colunas elemento da matriz indica se aresta incide sobre o vértice Matriz de incidência Matriz n x m (n vértices, m arestas) a ij = 1, se vértice i incide sobre aresta j a ij = 0, caso contrário.

8 Matriz de Incidência Exemplo 1 e e e 1 e e 1 e 2 e 3 e e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e ? Algumas propriedades?

9 Custo de Memória Matriz de adjacência Matriz de incidência ex: 10 4 vértices 10 8 posições = 10 8 bytes = 100MB Considere grafos grandes e esparços grande: muitos vértices n 2 posições (1 bit) nm posições (1 bit) esparço: relativamente poucas arestas Matriz formada principalmente de zeros! Grande consumo de memória (desnecessário)! Como resolver este problema?

10 Representação via Listas Idéia: associar a cada vértice uma lista de vértices adjacentes (lista de vizinhos) Lista de adjacência Vértices associados a um vetor, dimensão n (número de vértices no grafo) Cada vértice possui uma lista de vértices adjacentes

11 Lista de Adjacência Exemplo > 2 > 3 2 > 1 > 3 3 > 1 > 2 > 4 4 > 3 Vetor de vértices Lista de vizinhos de cada vértice

12 Desvantagem Desvantagem da representação com lista? Considere grafos com muitas arestas listas de adjacência vão ser grandes (longas) Problema? Tempo de acesso! Ex. descobrir se dois vértices são vizinhos

13 Tempo de Acesso Vetor x Lista (código em Java) int n = ; Vector vec = new Vector(n); for(int i = 1; i <= n; i=i+1) vec.add((string) i); String p = vec[n-1]; int n= ; LinkedList ll = new LinkedList(); for(int i = 1; i <= n; i=i+1) ll.add((string) i); String p = ll.get(n-1); constante : não depende de n Quanto tempo para executar última linha? linear : depende linearmente de n, vezes maior! Por quê?

14 Vetor x Lista Memória do computador organizada como uma matriz 32 bits Vetor: alocação contígua em memória Lista: alocação elemento a elemento, ponteiro para próximo Capacidade: 4GB Como chegar no k-ésimo elemento? endereço do k-ésimo elemento?

15 Vetor x Lista Como chegar no k-ésimo elemento? Vetor Lista Variável vec tem o endereço base, onde começa o vetor na memória Cada elemento tem tamanho (L) Endereço do elemento k: base + (k-1)*l Constante! Variável ll tem o endereço do primeiro elemento Cada elemento tem endereço do próximo elemento Endereço do elemento k: tem que percorrer a lista! Proporcional a k!

16 Vantagens/Desvantagens Tempo de execução Matriz Lista Inserir aresta? O(1) O(1) Remover aresta? O(1) O(g max ) Testar adjacência (v 1 e v 2 são vizinhos)? Listar vizinhos de v? Descobrir vértice de maior grau? O(1) O(g max ) O(n) O(g max ) O(n 2 ) O(n g max )

17 Vetor de Adjacência Exemplo > > > > 3 Vetor de vértices Parecida com lista de adjacência Por quê? Vetor com vizinhos de cada vértice Mesma complexidade (memória e tempo) vantagens na prática

18 Matriz x Lista Qual é a estrutura mais adequada (ou mais eficiente)? Depende do algoritmo! Memória x Tempo: eficiente em que aspecto? matriz sempre utiliza mais memória (muitas vezes é inviável) matriz ou lista pode levar menos tempo Implementarão as duas!