Teoria dos Grafos. Edson Prestes

Transcrição

1 Edson Prestes

2 Introdução Representação Mostre que todo passeio de u até v contém um caminho de u até v. Considere um passeio de comprimento l de u até v. Se l = 0 então temos um passeio sem nenhuma aresta. Isto denota que o caminho entre u e v também tem comprimento igual a 0. Se l > 0, temos que considerar o seguinte. Se o passeio de u a v não possuir nenhum vértice que tenha sido visitado duas vezes, então ele corresponde a um caminho entre u e v.

3 Introdução Representação Se existe um vértice w que tenha sido visitado mais que uma vez, podemos remover as arestas e vértices entre as duas aparições de w. Se existirem mais vértices que tenham sido visitados mais que uma vez o processo é repetido. Isto produz um passeio mais curto onde cada vértice é visitado uma única vez. Logo existe nesta situação um caminho entre u e v.

4 Introdução Representação Mostre que todo grafo com n vértices e k arestas, onde n > k, tem no mínimo n-k componentes Um grafo com n vértices com nenhuma aresta tem n componentes. Cada aresta reduz a quantidade de componentes em 1 unidade. Então, quando k arestas tiverem sido adicionadas ao grafo, o número de componentes será no mínimo n-k.

5 Introdução Representação Mostre que um grafo G com n vértices e c componentes, tem uma quantidade de arestas k que satisfaz a seguinte desigualdade O limite inferior foi mostrado anteriormente. O limite superior é definido da seguinte maneira. Considere a situação extrema, onde temos (c-1) componentes correspondendo a (c-1) vértices de grau igual a 0; e n-c+1 vértices constituindo um grafo completamente conexo. Este grafo irá possuir

6 Introdução Representação Mostre que todo grafo simples com dois ou mais vértices tem pelo menos dois vértices de mesmo grau Considere um grafo com n vértice. Se o grafo é simples então o grau de cada vértice deve variar de 0 a n-1. Se existir um vértice de grau 0 então não existe um vértice de grau n-1, e vice versa. Logo, teremos n-1 valores de graus a associar a n vértices. Usando o principio de Dirichlet, podemos considerar n caixas rotuladas com os valores de graus de 0 a n-1. Porém sabendo que apenas n-1 caixas serão preenchidas. Distribuindo n-1 vértices em cada uma das n-1 caixas de acordo com seu respectivo grau fará com que cada uma das caixas válidas seja preenchida. O n-ésimo vértice será associado a uma caixa que já possui um elemento. Logo, a caixa escolhida terá 2 vértices, indicando que existem dois vértices com mesmo grau.

7 Introdução Isomorfismo Dois grafos G e G' são isomorfos, ou seja, apresentam as mesmas propriedades estruturais. se eles Definição: Dois grafos G e G' são isomorfos se existe uma função bijetora tal que G G

8 Introdução Isomorfismo Os grafos abaixo são isomorfos? Sim!

9 Introdução Isomorfismo Os grafos abaixo são isomorfos? G G Não! O grafo G é bipartido e o G não é.

10 Introdução Isomorfismo Os grafos abaixo são isomorfos? Sim!

11 Introdução Isomorfismo Os grafos abaixo são isomorfos? Não!

12 Introdução Isomorfismo A relação de isomorfismo é uma relação de equivalência sobre o conjunto de grafos simples. Propriedade reflexiva: uma permutação da identidade dos vértices de G é um isomorfismo de G para si próprio. Propriedade simétrica: Se é uma função que define o isomorfismo entre G e G', então f -1 é a função que define o isomorfismo entre G' e G. Logo, temos que

13 Introdução Isomorfismo Propriedade de Transitividade: Suponha que as funções e definam a relação de isomorfismo entre os grafos G e H; e H e M, respectivamente. Sabemos que e que Como f define uma relação de isomorfismo, se existe uma aresta tal que f(u)=x e f(v)=y., então Logo,.Portanto, a composicão lof define a relação de isomorfismo entre G e M, ou seja,

14 Introdução Isomorfismo Uma relação de equivalência divide um conjunto de grafos em classes de equivalência, onde dois grafos pertencem ao mesmo conjunto sse eles são isomorfos. Uma classe isomórfica de grafos é uma classe de equivalência de grafos regida por uma relação de isomorfismo. Um exemplo de classe isomórfica é a classe chamada grafo de petersen.

15 Introdução Grafo de Petersen Um grafo de Petersen é um grafo simples não orientado gerado usando o seguinte conjunto S={1,2,3,4,5}. Seus vértices estão associados a subconjuntos de dois elementos de S. Os vértices formados a partir destes subconjuntos serão conectados por uma aresta se seus subconjuntos correspondentes forem disjuntos.

16 Introdução Grafo de Petersen O grafo abaixo é isomórfico ao grafo de Petersen?

17 Introdução Grafo de Petersen Mostre que dois vértices não adjacentes em um grafo de Petersen têm exatamente 1 vizinho em comum. Dois vértices A e B não adjacentes no grafo de Petersen são subconjuntos de 2 elementos que compartilham um único elemento. Um vértice adjacente tanto à A quanto à B tem que ser um subconjunto disjunto dos dois subconjuntos associados à A e à B. Como estes dois vértices são escolhidos a partir do conjunto {1,2,3,4,5}, a quantidade de elementos resultante da união dos subconjuntos associados a eles é igual a 3. Então existe exatamente uma única combinação de 2 elementos para o terceiro vértice de forma que ele seja adjacente tanto ao vértice A quanto ao vértice B.

18 Introdução Automorfismo Um automorfismo de um grafo G é um isomorfismo de G para si próprio. Os automorfismos de G são as permutações de V(G) que podem ser aplicadas a ambas as linhas e colunas da matriz de adjacência sem mudar a adjacência entre os vértices de G. Considere um grafo G representado pela matriz de adjacência abaixo

19 Introdução Automorfismo G possui 2 automorfismos: ele próprio e a permutação que mapeia o vértice 1 para o vértice 4 e o vértice 2 para o vértice 3. Realizando o mapeamento Re-arranjando linhas e colunas

20 Introdução Automorfismo Apenas trocar a identidade do vértice 1 pela identidade do 4 não é um automorfismo de G. Embora este grafo seja isomórfico ao grafo G, ele não é um automorfismo de G. Realizando o mapeamento Re-arranjando linhas e colunas

21 Trabalho - Definição Problema 1 Desenvolver um algoritmo que receba como entrada um grafo G e produza como saída α(g) e ω(g), assim como os conjuntos de vértices que deram origem a estas medidas. A descrição do grafo deve ser feita através de arquivo texto. Entrega 30/11

22 Trabalho - Definição Problema 2 Dado um mapa composto por obstáculos, uma posição inicial e uma posição final, construa uma RRT que encontre um caminho livre de obstáculos entre a posição final e a posição inicial. 1 ponto extra se a implementação funcionar no simulador do robô. Links uteis (temos o livro na biblioteca :) Informações úteis sobre o simulador Falar com o Edson ou com membros do grupo de Edson. Entrega 30/11