Circuitos Hamiltorianos

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1 Circuitos Hamiltorianos Vimos que o teorema de euler resolve o problema de caracterizar grafos que tenham um circuito em que cada aresta apareça exatamente uma vez. Vamos estudar aqui uma questão relacionada. Dado um grafo G, é possível achar um circuito de G em que cada vértice de G apareça uma única vez? Em 1859, o matemático irlandês Sir Willian Hamilton introduziu um quebra-cabeça com formato de dodecaedro que é um figura sólida de 12 faces pentagonais idênticas.

2 Cada vértice foi rotulado com o nome de uma cidade. A questão proposta por Hamilton foi começar em uma cidade e fazer um tour pelo mundo visitando cada cidade uma única vez, voltando à cidade original. O quebra-cabeça é fácil de resolver se espicharmos as faces do dodecaedro planificando-o

3 Definição: dado um grafo G, um circuito Hamiltoniano para G é circuito simples que inclui todos os vértices de G. Ou seja, é uma seqüência de vértices adjacentes e arestas distintas em que cada vértice aparece exatamente uma vez O problema de Hamilton é, portanto, achar um caminho Hamiltoniano no grafo abaixo.

4 Note que um circuito Euleriano inclui todos os vértices, mas pode visitar um vértice mais de uma vez. No caso de caminhos Eulerianos, resolvemos com elegância o problema, caracterizando que são Eulerianos. Matemática não é tão eficiente aqui. Vamos supor que G tenha um circuito Hamiltoriano C: v0 e1 v1 e2 v2... vn-1 en vn e considere o subgrafo H formado por C. Note que o número de vértices é igual ao número de arestas, pois v0=vn e ei ej Note ainda que H tem os mesmos vértices de G e que cada vértice de H tem grau 2.

5 Proposição1: Se um grafo G tem um circuito Hamiltoriano então G tem um subgrafo H tal que. 1. H contem todos os vértices de G 2. H é conexo 3. H tem tantos vértices quanto arestas 4. Todo vértice de H tem grau 2 Essa preposição serve para mostrar que determinado grafo não tem circuito Hamiltoriano.

6 Ex: Mostre que o grafo G abaixo não tem circuito Hamiltoriano a c b e d Se G tivesse um circuito Hamiltoriano teria um subgrafo em que todos os vértices a,b,c,d,e tem grau 2. Como b tem grau 4, duas arestas tem de ser removidas. Quais? {a,b} não pode, pois a teria grau 1. Similarmente {e,b}, {b,c} e {b,d} Então não dá!

7 O problema do caixeiro viajante Considere o mapa da figura mostrando 4 cidades e a distância (em Km) entre elas. b 30 c Qual a rota passando por 30 todas as cidades que minimiza a distância a ser percorrida. a d 40 Solução: o problema pode ser resolvido escrevendo todos os circuitos Hamiltorianos começando e terminando em a e calculando a distancia total.

8 a 30 b d 25 c Rota ABCDA ABDCA ACBDA ACDBA ADBCA ADCBA Distancia total = = = = = = 25

9 O problema do caixeiro viajante geral envolve encontrar um circuito Hamiltoriano que minimize a distância total percorrida. Aplicações * empresas de transportes * coletores de lixo * carteiro Como resolver este problema? Uma maneira é escrever todos os circuitos Hamiltorianos e começando e terminando em um aresta e escolher um que tenha distância mínima. Esse método não é pratico, pois não há métodos eficientes para determinar e em geral, há muitos circuitos Hamiltorianos. Quantos caminhos Hamiltorianos tem um grafo completo com n vértices? (n-1)!

10 Representação Matricial de Grafos Como representar um grafo em um computador? Considere o dígrafo abaixo. v1 e1 v2 v3 A matriz v1 v2 v Representa o dígrafo no sentido seguinte

11 Definição: Seja G um (dí)grafo com vértices ordenados v1,v2,v3,... A matriz de adjacência de G A = (a ij ) onde a ij = o número de arestas de v i, a v j Ex v 1 v 4 v 3 v 2 Tem matriz de adjacência v 1 [ ] v v v Note que a matriz de adjacência de um grafo é simétrica

12 Ex: qual o dígrafo representado pela matriz de adjacências A = V 1 [ ] V V V 4 Solução : como a matriz não é simétrica, a matriz representa um dígrafo. v1 v2 v4 v3

13 Qual a relação entre matrizes de adjacências e componentes conexas? Por exemplo v1 v3 v4 v6 A= v2 v v7

14 Observe os zeros. A matriz fica uma matriz de blocos na diagonal e zeros fora da diagonal. É fácil mostrar o seguinte Teorema: Seja G um grafo com componentes G1,..., Gk, cada um com ni vértices. Se os vértices estão numerados consecutivamente, então a matriz de adjacências de G tem a forma A1 0 A Ak Onde cada Ai é a matriz de adjacências dos grafo Gi, i=1...k

15 Vamos agora fazer uma importante interpretação de operações com matrizes de adjacências em relação a grafos. Considere o exemplo v2 e2 e1 v1 v3 e3 e4 Cuja Matriz de Adjacências é A= Quantos passeios de comprimento 2 existem ligando v2 a v2? Passando por v1: Passando por v2: Passando por v3: e1e1 e2e2 e3e3, e3e4, e4e4, e4e3 Portanto há 6 caminhos de comprimento 2 de v2 a v2

16 e1 v2 e2 E quantos passeios de comprimento 2 ligando v1 a v3? v1 e3 v3 e4 Passando por v1: Passando por v2: Passando por v3: Não tem e1e3, e1e4 Não tem Portanto há um total de dois passeios de comprimento 2 de v1 a v3. A questão geral é como determinar o número de passeios de vi a vj com um determinado comprimento. Podemos usar a multiplicação matrizes para responder essa questão: Vamos calcular A 2 = A A = Em particular o elemento 2,2 coincide. Porque? =

17 Examinemos o elemento 2 da matriz produto = Note que 6=1 * * * 2 No. de arestas de v2 a v1. No. de arestas de v1 a v2. No. de pares de arestas de v2 a v1 e de v1 a v2. = = No. de passeios de v2 a v2 de comprimento 2 passando por v1. Similarmente, temos No. de passeios de v2 a v2 passando por v2 (de comp. 2). No. de passeios de v2 a v2 passando por v3 (de comp. 2). Em geral, temos o seguinte

18 Teorema 6: Se G é um grafo com vértices v 1, v 2,..., v m e A é a matriz de adjacências de G, então para cada inteiro positivo n, o elemento i,j da matriz A n é o número de passeios de comprimento n de v i a v j. Prova: Por indução em n, o número de vértices Para n=1: A matriz A n = A, a matriz de adjacências e o elemento i,j da matriz é o número de passeios de comprimento 1. Por indução, supõe que o elemento i,j da matriz A k é o número de passeios de comprimento k de v i a v j. Temos de mostrar que o número de passeios de comprimento k+1 de v i a v j é o elemento i,j da matriz A k+1 Seja A=(a i,j ) e A k = (b i,j ) O elemento i,j de A k+1 = a i,1 b 1,j + a i,2 b 2,j +...+a i,m b m,j No de arestas de v i a v 1 * No de passeios de v 1 a v j de comprimento k Que é o número de passeios de comprimento k+1 de v i a v j passando por v 1

19 Isomorfismos de Grafos Lembremos que as figuras abaixo v 1 v 4 v 5 v 2 v 1 v 2 v 4 v 3 Representam o mesmo grafo. De fato cada vértice tem exatamente os mesmos vizinhos. E os diagramas abaixo representam o mesmo grafo? v1 v2 v3 v1 v3 v2 v 3 v 5 Não, pois os vizinhos de v2 no primeiro grafo são v1 e v3, ao passo que no da direita, é só v3. Entretanto, se renomearmos os vértices teremos o mesmo grafo. O que nos inspira a seguinte

20 Definição: Sejam G=(V,A) e G =(V,A ) dois grafos simples. G é dito isomorfo a G se existe função bijetora f : G > G que preserva adjacências: {u,v} é uma aresta de G se e somente se {f(u),f(v)} é uma aresta de G Exemplo: Considere os grafos w1 w3 v1 v2 v5 v3 v4 w4 w2 w5 São isomorfos. Um isomorfismo pode ser dado pela função: v1 v2 v3 v4 v5 w2 w3 w1 w4 w5

21 Como determinar se dois grafos são ou não isomorfos? Esse é problema muito difícil. Não, há, infelizmente, um método eficiente para resolver este problema. Se por inspeção, como fizemos, temos a sorte de verificar um isomorfismo, muito bem. Se não for possível, tenta-se mostrar que existe alguma diferença estrutural entre os dois grafos que evidencie o fato de eles não serem isomorfos. Definição: Uma propriedade P é dita invariante isomorfa se dados dois grafos isomorfos G e G, G tem a propriedade P, então G tem a propriedade P.

22 Teorema: São invariantes isomorfas as seguintes propriedades: 1. O no. de vértices 5. Ser conexo 2. O no. de arestas 6. Ter circuito Euleriano 3. O conjunto de vértices de grau k 7. Ter circuito Hamiltoniano 4. Circuito de comprimento k 8. No. de circuitos de comp k Exemplo: Verificar se são isomorfos os pares de grafos: Solução: Não são isomorfos pois o número de arestas não é o mesmo.

23 E para esse par de grafos, verifique se são isomorfos Note que eles têm o mesmo número de vértices e de arestas Têm o mesmo conjunto de graus: {2,2,2,3,3,4}

24 Vamos remover os vértices de grau 3. O grafo resultante é Note que eles não são isomorfos (e deveriam ser). Portanto, os grafos originais não são isomorfos Outra propriedade invariante importante é a planaridade, que vermos a seguir.