Noções da Teoria dos Grafos. André Arbex Hallack

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1 Noções da Teoria dos Grafos André Arbex Hallack Junho/2015

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3 Índice 1 Introdução e definições básicas. Passeios eulerianos Introdução histórica Passeios eulerianos Ciclos hamiltonianos 5 3 Árvores 7 Referências 11 i

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5 Capítulo 1 Introdução e definições básicas. Passeios eulerianos 1.1 Introdução histórica O Problema das pontes de Königsberg Na cidade de Königsberg, sete pontes cruzam o rio Pregel, estabelecendo ligações entre duas ilhas e entre as ilhas e as margens opostas do rio, conforme a ilustração abaixo: Problema: É possível fazer um passeio pela cidade, cruzando cada ponte exatamente uma vez? Em 1736, Euler publicou um artigo demonstrando que tal passeio é impossível. Mais importante é o fato de Euler ter formulado um critério geral para resolver o problema acima, o que é considerado como o primeiro teorema da chamada TEORIA DOS GRAFOS, a qual possui desdobramentos e aplicações nas mais diversas áreas. 1

6 2 CAPÍTULO 1 Definição 1.1. Um GRAFO é uma coleção G = (N, A) constituída por um conjunto não-vazio e finito N de NÓS (ou pontos, ou vértices) e um conjunto A de ARCOS (ou arestas), sendo que cada arco liga dois nós (não necessariamente distintos). Exemplos: Um grafo é dito SIMPLES quando cada par de nós é ligado por no máximo um arco e nenhum nó é ligado a si próprio (nenhum laço). Caso contrário, temos o chamado MULTIGRAFO. Um arco é dito INCIDENTE nos nós aos quais está associado e vice-versa. Um nó é dito ISOLADO quando não está ligado a nenhum outro. Dois arcos incidentes num mesmo nó são ditos ADJACENTES. Dois nós incidentes num mesmo arco são ditos adjacentes. arcos. O GRAU de um nó é o número de arcos incidentes no nó, sendo que cada laço conta como dois Teorema 1.2. (Euler) A soma dos graus dos nós de um grafo é igual ao dobro do número de arcos. Prova: Ao somarmos os graus contamos cada arco duas vezes, uma vez em cada extremidade. Corolário 1. O número de nós de grau ímpar de todo grafo é sempre par. De fato, se denotarmos por d i o grau de cada nó i no grafo G = (N, A), temos: 2 #A = d i = d i + d i i IN d i par d i ímpar Como 2 #A e d i são pares, então d i é par e para que a soma de números d i par d i ímpar ímpares seja par, devemos ter uma quantidade par de números ímpares. Exercício: Prove que numa festa com 51 pessoas existe sempre uma pessoa que conhece um número par de outras pessoas.

7 Introdução e definições básicas. Passeios eulerianos Passeios eulerianos Definição 1.3. Um PASSEIO entre os nós i e j de um grafo é uma sequência alternante de nós e arcos, começando em um dos nós i ou j e terminando no outro, tal que cada arco percorrido é incidente aos nós que o cercam na sequência. Um passeio é dito FECHADO quando começa e termina no mesmo nó. Um CAMINHO é um passeio que não contém nós repetidos. Dois nós estão CONECTADOS se existe um caminho entre eles no grafo. Um grafo é dito CONEXO quando cada par de nós está conectado, caso contrário ele é dito DESCONEXO. Um passeio em um grafo é dito EULERIANO quando passa por todo arco exatamente uma vez. À luz das definições acima, o Problema das pontes de Königsberg refere-se exatamente à existência ou não de um passeio euleriano pela cidade (grafo), quando se considera as pontes como arcos e os territórios (ilhas ou margens) como nós: O argumento de Euler para as pontes de Königsberg: Consideremos um dos territórios (ilhas ou margens), que chamaremos de território I. Suponhamos que o passeio não começa em I. Então entramos em I pela primeira vez através de uma ponte que é incidente em I e saímos de I por outra ponte incidente em I. Cada entrada-e-saída de I corresponde ao uso de duas pontes. Como I tem um número ímpar de pontes incidentes, na última vez que usamos uma ponte incidente em I, entramos em I e não podemos mais sair, ou seja, o passeio termina necessariamente em I. Assim, pelo mesmo argumento, se o passeio começa em qualquer território, deve necessariamente terminar nos outros três (contradição!), pois todos têm um número ímpar de pontes incidentes.

8 4 CAPÍTULO 1 O argumento anterior leva ao seguinte teorema: Teorema 1.4. (Euler) (a) Se um grafo conexo tem mais que dois nós com grau ímpar, então ele não admite um passeio euleriano. (b) Se um grafo conexo tem exatamente dois nós com grau ímpar, então ele admite passeio euleriano e todo passeio euleriano tem que começar em um desses nós de grau ímpar e terminar no outro. (c) Se um grafo conexo não tem nós com grau ímpar, então ele admite passeio euleriano e todo passeio euleriano é fechado. Exercício: Prove a partir do teorema acima que um grafo conexo tem um passeio euleriano fechado se, e somente se, todo nó tem grau par. Exercício: Quais dos grafos abaixo admitem um passeio euleriano? Em caso afirmativo, indique um passeio euleriano. Exercício: (a) Construa ou destrua UMA ponte em Königsberg para que se tenha um passeio euleriano (indique o passeio). (b) Mostre como se pode ter um passeio euleriano fechado construindo mais DUAS pontes em Königsberg (indique o passeio). (c) Mostre como se pode ter um passeio euleriano fechado construindo UMA ponte e destruindo OUTRA em Königsberg. (d) O que ocorre se destruirmos DUAS pontes em Königsberg?

9 Capítulo 2 Ciclos hamiltonianos Problema: Seis cidades (nós) são ligadas por uma rede de estradas (arcos) conforme o mapa (grafo) abaixo: Um vendedor pretende, partindo de uma cidade, passar exatamente uma vez em cada uma das demais cidades, terminando a viagem na cidade de origem. É possível realizar uma viagem nas condições acima? Definição 2.1. Um CICLO é um passeio fechado no qual apenas o nó inicial-terminal se repete. Um CICLO HAMILTONIANO é um ciclo que contém todos os nós de um grafo. Observações: (a) O problema acima equivale a perguntar se o grafo formado admite um ciclo hamiltoniano. (b) É claro que para um grafo admitir um ciclo hamiltoniano é NECESSÁRIO que ele seja conexo. (c) Não existem resultados gerais de caracterização dos grafos que admitem ciclos hamiltonianos. (d) Problema do caixeiro viajante: achar um ciclo hamiltoniano de custo mínimo, sendo o custo de um ciclo a soma dos custos dos arcos percorridos no ciclo. 5

10 6 CAPÍTULO 2 Proposição 2.2. Num ciclo com três ou mais nós são percorridos exatamente dois arcos incidentes em cada nó do ciclo. Corolário 1. Um grafo que tenha três ou mais nós e algum nó de grau menor ou igual a 1 não admite um ciclo hamiltoniano. Exercício: Resolva o problema inicial (do vendedor e as seis cidades): indique um ciclo hamiltoniano caso exista solução ou prove que não existe ciclo hamiltoniano algum. Exercício: Responda se os grafos abaixo admitem ou não um ciclo hamiltoniano. Indique um ciclo hamiltoniano em caso afirmativo ou prove que não admite, no caso negativo. Exercício: Um grafo G = (N, A) é dito BIPARTIDO quando seu conjunto N de nós pode ser particionado em DOIS subconjuntos tais que nós pertencentes a um mesmo subconjuntos não são adjacentes. (a) Prove que se um grafo bipartido G = (N, A) admite um ciclo hamiltoniano então os dois subconjuntos da partição de N têm o mesmo número de elementos. (b) Conclua que o grafo abaixo NÃO ADMITE um ciclo hamiltoniano. (c) Construa um grafo bipartido com um número par de nós, todos com grau maior ou igual a dois, e que não admite um ciclo hamiltoniano.

11 Capítulo 3 Árvores Problema: Através de cabos telefônicos (arcos) entre pares de cidades (nós), deseja-se configurar uma rede de comunicações (grafo) entre as sete cidades do mapa abaixo, de modo que possa haver comunicação entre cada par de cidades, ou seja, cada par de cidades esteja conectado por pelo menos um caminhona rede de comunicações (o grafo é conexo). (a) É possível obter uma rede (grafo) conexa com exatamente um caminho conectando cada par de cidades? (neste caso é fácil ver que o grafo será MINIMALMENTE CONEXO, ou seja, a remoção de qualquer arco irá tornar o grafo desconexo). (b) Dentre todas as redes (grafos) conexas possivelmente obtidas na letra (a) acima, é possível obter uma de menor custo (ÓTIMA)? Definição 3.1. Uma ÁRVORE é um grafo simples tal que para cada par de nós existe exatamente um caminho que os conecta. 7

12 8 CAPÍTULO 3 Observações: (a) O problema inicial equivale a perguntar se é possível formar uma árvore com os nós (cidades) dados e, em caso afirmativo, se existe uma árvore de menor custo. (b) Um grafo G é uma árvore se, e somente se, G é conexo e a remoção de qualquer um de seus arcos resulta em um grafo desconexo (uma árvore é um grafo MINIMALMENTE CONEXO). (c) Uma árvore não admte ciclos com três ou mais nós (pois se admitisse haveria mais de um caminho conectando dois nós) e a adição de um arco ligando dois nós que não eram ligados por um arco gera um ciclo com três ou mais nós (uma árvore é um grafo MAXIMALMENTE LIVRE DE CICLOS COM TRÊS OU MAIS NÓS). (EXEMPLOS) PROCEDIMENTO DE CRESCIMENTO DE ÁRVORE (como obter árvores) - Comece com um simples nó. - Repita o que se segue um número (FINITO) qualquer de vezes: Se G é o grafo até então formado, crie um novo nó e ligue-o por um arco novo a qualquer nó de G. Teorema 3.2. Todo grafo obtido pelo procedimento de crescimento de árvore é uma árvore e toda árvore pode ser obtida desta maneira. Corolário 1. Toda árvore com n nós tem n 1 arcos. O ALGORÍTMO GULOSO DE KRUSKAL (encontrando a árvore ótima) - Considere n nós e nenhum arco. - Construa um arco de menor custo entre dois nós distintos que não estejam ligados por um arco e de maneira que não se obtenha um ciclo com três ou mais nós. - Repita o procedimento acima até que se tenha n 1 arcos. Teorema 3.3. Dados n nós e nenhum arco, o Algorítmo Guloso produz uma árvore de menor custo (árvore ótima) entre todas as possíveis árvores com os n nós inicialmente dedos. Observação: Uma tentativa de adaptação do Algorítmo Guloso pode não funcionar para obter um ciclo hamiltoniano ótimo (Problema do caixeiro viajante). Exercício: (a) USANDO O PROCEDIMENTO DE CRESCIMENTO DE ÁRVORE, resolva a letra (a) do problema inicial, obtendo uma rede de comunicações minimalmente conexa entre as cidades dadas. (b) Considerando os custos proporcionais às distâncias, USE O ALGORÍTMO GU- LOSO e obtenha uma rede de comunicações minimalmente conexa e de menor custo possível (ótima) entre as cidades dadas, resolvendo assim a letra (b) do problema inicial.

13 Árvores 9 Exercício: Prove a Observação após o Teo 3.3 (Sugestão: considere os pontos A(0, 0), B(1, 0), C(0, 1) e D(9, 1)) Exercício: Para cada um dos grafos dados abaixo, faça o que se pede. - Responda se o grafo é uma árvore. - Se o grafo não for uma árvore, justifique. - Se o grafo for uma árvore, responda se é uma árvore de menor custo (custos proporcionais às distâncias) considerando os nós dados. Se não for uma árvore de menor custo, exiba uma árvore de menor custo com os nós dados.

14 10 CAPI TULO 3

15 Referências [1] Lovász, L. e outros, Matemática Discreta, Coleção Textos Universitários, SBM, Rio de Janeiro, [2] Santos, J. P. O. e outros, Introdução à Análise Combinatória, Editora Unicamp, Campinas,