Alguns probleminhas...

Transcrição

1 Introdução Vários problemas da computação, com aplicações em diversos problemas importantes, nasceram de jogos ou brincadeiras. Hoje veremos uma pequana amostra deste fato.

2 Alguns probleminhas... Problema das 7 pontes de Königsberg Problema do carteiro chinês Ligar 3 casas com 3 companhias Problema das 4 cores Problema do caxieiro viajante Circuito hamiltoniano

3 As pontes de Königsberg No século XVIII, havia sete pontes cruzando o rio Pregel, que banhava a pequena cidade universitária prussiana de Königsberg, hoje Kaliningrad, Rússia. Quatro delas ligavam as margens opostas a uma pequena ilha formada nesse rio, outras duas ligavam as margens opostas a uma outra ilha, próxima à primeira, e a última ponte ligava as duas ilhas, conforme a figura.

4 As pontes de Königsberg

5 As pontes de Königsberg Os habitantes de Königsberg costumavam passear na sua cidade nas tardes ensolaradas de Domingo, mas nunca tinham conseguido dar um passeio especial: sair de casa, atravessar todas as pontes uma só vez e regressar a casa. No entanto a dúvida quanto à possibilidade persistia.

6 As pontes de Königsberg É possível resolver este problema?

7 As pontes de Königsberg Como provar que não tem mesmo solução? Como estabelecer resultados definitivos?

8 As pontes de Königsberg O grande matemático Euler resolver o problema em 1735.

9 As pontes de Königsberg Euler mostrou que: Se um diagrama contém somente vértices pares, ele pode ser atravessado começando e acabando no mesmo ponto. Se um diagrama contém, no máximo, dois vértices ímpares, ele também pode ser atravessado, mas não é possível voltar ao ponto de partida. Se o diagrama contém 2n vértices ímpares, onde n é um número inteiro qualquer, para atravessá-lo será necessário n passagens distintas por uma mesma linha.

10 As pontes de Königsberg A forma de modelagem proposta por Euler deu origem à Teoria dos Grafos. Esta teoria é hoje amplamente utilizada em computação para modelar problemas complexos.

11 Circuito Euleriano Dado um grafo qualquer, existe um passeio que inicial em algum nodo e percorre todas as arestas uma única vez e retorna ao nodo de partida? Aplicações: atendimento sequencial Coleta de lixo Transporte de cargas Vendas por atacado...

12 Problema do Carteiro Chinês Um carteiro deve percorrer um mesmo circuito todos os dias. Este circuito contém pesos, isto é, a distância em Km entre os trechos. Evidentemente, ele quer minimizar a distância percorrida. Se o grafo for euleriano, basta encontar o circuito euleriano. E se não for?

13 Problema do Carteiro Chinês Como isto pode ser resolvido?

14 Problema do Carteiro Chinês Basta duplicar as arestas que formam o camiho mínimo entre as arestas de grau ímpar. Este grafo agora é euleriano. Portanto, dado um grafo conexo com custo nas arestas, o objetivo do Problema do Carteiro Chinês é encontrar um caminho fechado de custo mínimo passando por cada aresta pelo menos uma vez.

15 É possivel ligar água luz e telefone em 3 casas sem cruzar linhas?

16 Problema modelado em grafos

17 Problema modelado em grafos

18 Planaridade em grafos Dado um grafo qualquer, é possível desenhá-lo sem que nenhuma aresta se cruze?

19 Planaridade em grafos Dado um grafo qualquer, é possível desenhá-lo em um plano sem que nenhuma aresta se cruze? Foi provado que o critério de planaridade pode ser determinado com base em dois grafos: K3,3 e K5

20 Aplicações Planaridade é um problema com diversas aplicações: Projeto de circuitos eletrônicos Visão computacional

21 O problema das 4 cores Dado um mapa qualquer, é possível colorir as regiões com apenas 4 cores?

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26 Este dá para fazer com 3...

27 Este exige 4 cores

28 Aplicações Controle das fases de semáforos em um determinado cruzamento. Definem-se quais fluxos de veículos não são permitidos simultaneamente e o objetivo é planejar o controle dos semáforos com o menor número de fases possível

29 Aplicações Problemas de Programação de Horários onde, por exemplo, se deseja determinar o número mínimo de dias para se realizar um período de provas em determinada instituição de ensino, onde duas provas não podem ser realizadas na mesma hora se for o mesmo professor que irá aplicá-las, ou se for aplicada na mesma turma, ou se for aplicada na mesma sala

30 Aplicações Alocação de faixas de freqüência para rádios FM, onde dois transmissores não podem transmitir na mesma faixas de freqüência se estiverem próximos um do outro.

31 Curiosidade A prova do teorema das 4 cores é extremamente curiosa. Foi demonstrado pela primeira vez em 1976, utilizando um computador IBM 360 que teve de realizar bilhões de cálculos. Em 1994 foi produzida uma prova simplificada, mas até hoje ninguém conseguiu uma demonstração que não recorra a um computador.