Teoria dos Grafos. Profa. Alessandra Martins Coelho

Transcrição

1 Teoria dos Grafos Profa. Alessandra Martins Coelho fev/2014

2 Avaliação 2 Provas 30 pontos cada; 3 Implementações 10 pontos cada; 1 Seminário 10 pontos; Listas de exercícios Listas não valem nota, entretanto... as provas serão baseadas nas listas (pequena) ajuda no final (se necessário)

3 Bibliografia Paulo Oswaldo Boaventura Netto; Samuel Jurkiewicz. Grafos: Introdução e Prática. Editora Bluscher. São Paulo ISBN: Paulo Oswaldo Boaventura Netto. Grafos: Teoria, modelos, algoritmos. 5ª ed. Editora Bluscher. São Paulo ISBN: Biblioteca

4 Bibliografia Marco Cesar Goldbarg; Elizabeth Goldbarg. Grafos: Conceitos, algoritmos e aplicações. Rio de Janeiro: Elsevier, tid=90343&seg=3&cat=274&tit=grafos Capítulo 7 ZIVIANI, Nivio. Projeto de algoritmos: com implementações em Pascal e C. 3. ed. rev. e ampl.. São Paulo, SP: Cengage Learning Biblioteca

5 Ementa Conceitos Básicos Exemplos de aplicação dos modelos em Grafos Caminhos Subconjunto de vértices e arestas Coloração Fluxo em redes Árvores

6 Primeiras Ideias

7 Primeiras Ideias O que é um grafo? Um grafo é uma estrutura representada como um conjunto de pontos (vértices) ligados por retas (arestas). Dependendo da aplicação, as arestas podem ser direcionadas, e são representadas por setas.

8 Primeiras Ideias O que é um grafo? Abstração que permite representar o relacionamento entre pares de elementos Onde: Elementos vértices do grafo (computadores, empresas, cidades, países, pessoas, páginas web, etc...) Relacionamentos arestas do grafo (conexão, distância, amizade, custo, etc...)

9 Primeiras Ideias Graficamente, aparece representado por uma figura com nós ou vértices, significando os elementos, unidos por um traço denominado aresta configurando a relação imaginada

10 Primeiras Ideias Exemplo: Tráfego Rodoviário/Aéreo Transporte comercial entre cidades

11 Primeiras Ideias Matematicamente chama-se grafo a um par G=(V,A), tal que V=V(G)={v1,...,vn} é o conjunto dos vértices (não vazio e finito) e A=A(G) é o conjunto das arestas ou ligações entre os vértices, isto é, A(G)={a1,..., am}, com ak={vki,vkj}, para k {1,...,m}, ( V = n, A = m).

12 Primeiras Ideias Para se conhecer um grafo precisamos saber quais são seus vértices e quem está ligado com quem. V={1,2,3,4,5,6} A={(1,2), (1,3), (2,4),(3,4), (4,5) e (5,6)}

13 Primeiras ideias Pontes de Königsberg Euler º registro de um problema relacionado com o que hoje em dia se chama de teoria dos grafos.

14 Pontes de Königsberg No rio Pregel, que corta a cidade de Königsberg (hoje kaliningrad Rússia) haviam duas ilhas que, na época, eram ligadas entre si por uma ponte. As duas ilhas se ligavam ainda às margens por mais seis pontes. Dizia-se que os habitantes da cidade, nos dias soalheiros de descanso, tentavam efetuar um percurso que os obrigasse a passar por todas as pontes, mas apenas uma vez em cada uma. Como as suas tentativas foram sempre falhadas, muitos deles acreditavam que não era possível encontrar tal percurso. Será que tinham razão?

15 Primeiras Ideias Euler: raciocínio muito simples. Transformar os caminhos em retas e suas intersecções em pontos, criando possivelmente o primeiro grafo da história. A B D C Existe o trajeto de percorrer todas as pontes uma única vez e retornar ao ponto inicial? Resposta: NÃO. Porque?

16 Primeiras Ideias Ciclo Euleriano Passando por todas as arestas uma única vez e retornando ao ponto inicial: este percurso (ciclo) só existe se o grau dos vértices (retas) for par. Onde, o grau de um vértice é o número de arestas incidentes. A B D A grau 3 B grau 5 C grau 3 D grau 3 Não existe Ciclo Euleriano neste exemplo C

17 Primeiras Ideias Ciclo Euleriano Teorema Um grafo G conexo, possui ciclo euleriano se e somente se todo vértice de G possuir grau par. Um grafo é conexo se existir caminho entre quaisquer dois vértices.

18 Grafo vazio é aquele que contém exclusivamente vértices. Grafo de jogos antes do início do campeonato

19 Grafo Trivial Um grafo é dito trivial ou singleton quando possui somente um vértice

20 Grafo Direcionado Um grafo é dito direcionado ou orientado quando o sentido das ligações entre os vértices é importante. Nesse caso, as arestas possuem um sentido marcado por uma seta e recebem o nome de arcos.

21 Grafo rotulado Um grafo é dito rotulado se existem atribuições associadas a suas arestas ou vértices (numéricas ou alfanuméricas)

22 Pseudografo Um grafo que contém no mínimo um laço é denominado pseudografo.

23 Multigrafo Um grafo não direcionado que possui no mínimo duas arestas paralelas é denominado multigrafo.

24 Multigrafo direcionado Um grafo direcionado que possui dois ou mais arcos de mesma direção ligando um mesmo par de vértices é denominado multigrafo direcionado.

25 Grafo reflexivo É um grafo em que todos os vértices possuem um laço associado.

26 Buquê é um grafo que contém apenas um vértice com n laços.

27 Hipergrafo é um conjunto H=(V,ξ), onde V representa o conjunto de vértices de H e ξ é uma família das partes de N. N={1,2,3,4,5,6} ξ={(1,2,3); (3,4); (4,5,6)}

28 Grafo Ponderado Um grafo é ponderado ou valorado se existem pesos associados às suas arestas ou vértices

29 Grafo misto Um grafo pode possuir simultaneamente arcos e arestas. Neste caso, são chamados de grafos mistos.

30 Exemplos de grafos direcionados e transformação do grafo misto

31 Ordem e tamanho de um grafo Ordem de um grafo é o número de vértices que ele possui. Tamanho que um grafo é o número de ligações que ele possui Grafo (1) ordem?? e tamanho?? Grafo (2) ordem?? e tamanho??

32 Grafo finito Um grafo é dito finito quando possui um número finito de vértices, caso contrário, é infinito.

33 Adjacência de vértices Dois vértices i e j são vizinhos ou adjacentes quando existe uma aresta que liga i a j ou viceversa. O conjunto de vértices vizinhos do vértice i é denominado N(i) ou Γ(i). A noção de vizinhança de vértices é associada a grafos não orientados. Vértices adjacentes ao vértice 3

34 Vértice sucessor e antecessor Um vértice j é sucessor de i se existe pelo menos um arco ligando i a j. Os sucessores do vértice i são Γ+(i). No caso da ocorrência da relação inversa diz-se que o vértice j é antecessor de i. Os antecessores do vértice i são Γ-(i). Conjunto de antecessores do vértice 3, Γ-(3)= {1} e o conjunto de sucessores de 3, Γ+(3) ={4,5}

35 Arestas Adjacentes Duas arestas são adjacentes quando compartilham o mesmo vértice.