Geometria Computacional
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- Isaque João Batista Belmonte Mendonça
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1 GeoComp 2014 p. 1/29 Geometria Computacional Cristina G. Fernandes Departamento de Ciência da Computação do IME-USP cris/ segundo semestre de 2014
2 GeoComp 2014 p. 2/29 Poliedros Descrição vaga: região do espaço cuja fronteira é formada por um número finito de faces poligonais, qualquer par das quais são ou disjuntas, ou tem um vértice em comum ou tem uma aresta em comum.
3 GeoComp 2014 p. 2/29 Poliedros Descrição vaga: região do espaço cuja fronteira é formada por um número finito de faces poligonais, qualquer par das quais são ou disjuntas, ou tem um vértice em comum ou tem uma aresta em comum. Definição da página 19 do livro de Preparata & Shamos: Um poliedro em IR 3 é a região do espaço limitada por um conjunto finito de polígonos (planos) tal que cada aresta de um destes polígonos é compartilhada por exatamente um outro polígono (polígono adjacente) e nenhum subconjunto dos polígonos tem essa mesma propriedade.
4 GeoComp 2014 p. 2/29 Poliedros Descrição vaga: região do espaço cuja fronteira é formada por um número finito de faces poligonais, qualquer par das quais são ou disjuntas, ou tem um vértice em comum ou tem uma aresta em comum. Definição da página 19 do livro de Preparata & Shamos: Um poliedro em IR 3 é a região do espaço limitada por um conjunto finito de polígonos (planos) tal que cada aresta de um destes polígonos é compartilhada por exatamente um outro polígono (polígono adjacente) e nenhum subconjunto dos polígonos tem essa mesma propriedade. Os vértices e arestas do polígono são os vértices e arestas do poliedro; os polígonos são as faces do poliedro.
5 GeoComp 2014 p. 3/29 Fronteira de um poliedro pontos (vértices), de dimensão zero; segmentos (arestas), de dimensão um; polígonos (faces), de dimensão dois. Às vezes é conveniente exigirmos que os polígonos sejam convexos (neste caso permitimos que duas faces sejam coplanares).
6 GeoComp 2014 p. 3/29 Fronteira de um poliedro pontos (vértices), de dimensão zero; segmentos (arestas), de dimensão um; polígonos (faces), de dimensão dois. Às vezes é conveniente exigirmos que os polígonos sejam convexos (neste caso permitimos que duas faces sejam coplanares). Em um poliedro, temos que: Componentes se intersectam propriamente ; A topologia local é própria ; A topologia global é própria.
7 GeoComp 2014 p. 4/29 omponentes se intersectam propriamente Para cada par de faces, exigimos que: elas sejam disjuntas, ou elas tenham um único vértice em comum, ou elas tenham dois vértices e a aresta os ligando em comum.
8 GeoComp 2014 p. 4/29 omponentes se intersectam propriamente Para cada par de faces, exigimos que: elas sejam disjuntas, ou elas tenham um único vértice em comum, ou elas tenham dois vértices e a aresta os ligando em comum. B A C A face A e B não intersectam C propriamente.
9 GeoComp 2014 p. 5/29 Topologia local própria A topologia local é como a superfície (fronteira) do poliedro se parece na vizinhança de um ponto.
10 GeoComp 2014 p. 5/29 Topologia local própria A topologia local é como a superfície (fronteira) do poliedro se parece na vizinhança de um ponto. Na vizinhança de cada ponto, a superfície de um poliedro deve ser indistinguível de um disco a menos de dobrar e esticar a superfície como se esta fosse feita de um material moldável (não podemos cortar a superfície).
11 GeoComp 2014 p. 5/29 Topologia local própria A topologia local é como a superfície (fronteira) do poliedro se parece na vizinhança de um ponto. Na vizinhança de cada ponto, a superfície de um poliedro deve ser indistinguível de um disco a menos de dobrar e esticar a superfície como se esta fosse feita de um material moldável (não podemos cortar a superfície). A superfície não é um disco na vizinhança dos pontos marcados.
12 GeoComp 2014 p. 6/29 Topologia global própria A superfície deve ser conexa, fechada e limitada.
13 GeoComp 2014 p. 6/29 Topologia global própria A superfície deve ser conexa, fechada e limitada. Estamos admitindo aqui que um poliedro tenha buracos (como um pneu ou donut). O número de buracos é chamado de genus da superfície. Uma superfície de genus 1: um torus.
14 GeoComp 2014 p. 6/29 Topologia global própria A superfície deve ser conexa, fechada e limitada. Estamos admitindo aqui que um poliedro tenha buracos (como um pneu ou donut). O número de buracos é chamado de genus da superfície. Uma superfície de genus 1: um torus. Poliedros de genus zero são topologicamente equivalentes a uma esfera e muitas vezes são chamados de poliedros simples.
15 GeoComp 2014 p. 7/29 Resumo Fronteira de um poliedro: coleção finita de polígonos planos convexos limitados (as faces do poliedro) tal que: As faces se intersectam propriamente; A vizinhança de cada ponto é topologicamente um disco aberto; A superfície é conexa, ou equivalentemente o 1-esqueleto é conexo. 1-esqueleto: grafo formado pelos vértices e arestas dos polígonos.
16 GeoComp 2014 p. 7/29 Resumo Fronteira de um poliedro: coleção finita de polígonos planos convexos limitados (as faces do poliedro) tal que: As faces se intersectam propriamente; A vizinhança de cada ponto é topologicamente um disco aberto; A superfície é conexa, ou equivalentemente o 1-esqueleto é conexo. 1-esqueleto: grafo formado pelos vértices e arestas dos polígonos. A fronteira é fechada e contém no seu interior uma porção limitada do espaço. Cada aresta é compartilhada por exatamente duas faces; essas faces são ditas adjacentes.
17 GeoComp 2014 p. 8/29 Poliedro convexo P poliedro, e aresta de P O ângulo diedral com relação a e é o ângulo interno entre os planos formados pelas faces de P que compartilham e. F 2 e angulo diedral em e F 1
18 GeoComp 2014 p. 8/29 Poliedro convexo P poliedro, e aresta de P O ângulo diedral com relação a e é o ângulo interno entre os planos formados pelas faces de P que compartilham e. F 2 e angulo diedral em e F 1 Um poliedro é convexo se todos os seus ângulos diedrais são convexos, ou seja, no máximo π.
19 GeoComp 2014 p. 8/29 Poliedro convexo P poliedro, e aresta de P O ângulo diedral com relação a e é o ângulo interno entre os planos formados pelas faces de P que compartilham e. F 2 e angulo diedral em e F 1 Um poliedro é convexo se todos os seus ângulos diedrais são convexos, ou seja, no máximo π. Poliedros convexos são chamados de politopos.
20 GeoComp 2014 p. 9/29 Politopos regulares Polígono regular: tem ângulos iguais em cada vértice e todas as aresta têm o mesmo comprimento. Existem infinitos polígonos regulares: triângulo equilátero, quadrado, pentágono, hexágono, heptágono, etc.
21 GeoComp 2014 p. 9/29 Politopos regulares Polígono regular: tem ângulos iguais em cada vértice e todas as aresta têm o mesmo comprimento. Existem infinitos polígonos regulares: triângulo equilátero, quadrado, pentágono, hexágono, heptágono, etc. Surpreendentemente, existem somente cinco politopos regulares: os chamados sólidos Platônicos.
22 GeoComp 2014 p. 9/29 Politopos regulares Polígono regular: tem ângulos iguais em cada vértice e todas as aresta têm o mesmo comprimento. Existem infinitos polígonos regulares: triângulo equilátero, quadrado, pentágono, hexágono, heptágono, etc. Surpreendentemente, existem somente cinco politopos regulares: os chamados sólidos Platônicos. Ideia da prova: ângulos internos de um polígono regular aumentam com o número de vértices, mas não existe muito espaço (no máximo 2π) para colocarmos esses ângulos ao redor de um vértice do politopo.
23 GeoComp 2014 p. 10/29 Prova usando a fórmula de Euler P: poliedro regular com p vértices em cada face. Cada face é um polígono regular.
24 GeoComp 2014 p. 10/29 Prova usando a fórmula de Euler P: poliedro regular com p vértices em cada face. Cada face é um polígono regular. Soma dos ângulos internos de uma face: (p 2)π. Logo o ângulo interno em cada vértice da face é (1 2 p )π.
25 GeoComp 2014 p. 10/29 Prova usando a fórmula de Euler P: poliedro regular com p vértices em cada face. Cada face é um polígono regular. Soma dos ângulos internos de uma face: (p 2)π. Logo o ângulo interno em cada vértice da face é (1 2 p )π. r: número de arestas incidentes a cada vértice de P. Soma dos ângulos faciais em cada vértice é no máximo 2π. Logo, r(1 2 p )π < 2π 1 2 p < 2 r pr < 2r +2p pr 2r 2p+4 < 4 (p 2)(r 2) < 4.
26 GeoComp 2014 p. 11/29 Prova usando a fórmula de Euler P: poliedro regular com p vértices em cada face. r: número de arestas incidentes a cada vértice de P. (p 2)(r 2) < 4 Note que p 3 e r 3. Então...
27 GeoComp 2014 p. 11/29 Prova usando a fórmula de Euler P: poliedro regular com p vértices em cada face. r: número de arestas incidentes a cada vértice de P. (p 2)(r 2) < 4 Note que p 3 e r 3. Então... p r (p 2)(r 2) Nome Descrição tetraedro 3 triângulos incidentes a cada vértice cubo 3 quadrados incidentes a cada vértice octaedro 4 triângulos incidentes a cada vértice dodecaedro 3 pentágonos incidentes a cada vértice icosaedro 5 triângulos incidentes a cada vértice
28 GeoComp 2014 p. 12/29 Politopos regulares Os cinco sólidos Platônicos: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.
29 GeoComp 2014 p. 13/29 Fórmula de Euler V : número de vértices E: número de arestas F: número de faces Nome (p, r) V E F Tetraedro (3, 3) Cubo (4, 3) Octaedro (3, 4) Dodecaedro (3, 5) Icosaedro (5, 3)
30 GeoComp 2014 p. 13/29 Fórmula de Euler V : número de vértices E: número de arestas F: número de faces Nome (p, r) V E F Tetraedro (3, 3) Cubo (4, 3) Octaedro (3, 4) Dodecaedro (3, 5) Icosaedro (5, 3) V E +F = 2.
31 GeoComp 2014 p. 14/29 Prova da Fórmula de Euler A prova consiste em três partes: Transformar o poliedro simples em um grafo planar. Um teorema para árvores. Prova por indução.
32 GeoComp 2014 p. 14/29 Prova da Fórmula de Euler A prova consiste em três partes: Transformar o poliedro simples em um grafo planar. Um teorema para árvores. Prova por indução. O 1-esqueleto de um poliedro é um grafo planar G.
33 GeoComp 2014 p. 14/29 Prova da Fórmula de Euler A prova consiste em três partes: Transformar o poliedro simples em um grafo planar. Um teorema para árvores. Prova por indução. O 1-esqueleto de um poliedro é um grafo planar G. Indução: Se G é uma árvore, V = E +1.
34 GeoComp 2014 p. 14/29 Prova da Fórmula de Euler A prova consiste em três partes: Transformar o poliedro simples em um grafo planar. Um teorema para árvores. Prova por indução. O 1-esqueleto de um poliedro é um grafo planar G. Indução: Se G é uma árvore, V = E +1. Senão G tem um circuito C. Seja e uma aresta de C, e G = G e. G é conexo e tem V vértices, E 1 arestas e F 1 faces.
35 GeoComp 2014 p. 14/29 Prova da Fórmula de Euler A prova consiste em três partes: Transformar o poliedro simples em um grafo planar. Um teorema para árvores. Prova por indução. O 1-esqueleto de um poliedro é um grafo planar G. Indução: Se G é uma árvore, V = E +1. Senão G tem um circuito C. Seja e uma aresta de C, e G = G e. G é conexo e tem V vértices, E 1 arestas e F 1 faces. Por indução, V (E 1)+(F 1) = 2 = V E +F.
36 GeoComp 2014 p. 15/29 Consequências Linearidade do número de arestas e faces: Se n = V, então E = O(n) e F = O(n).
37 GeoComp 2014 p. 15/29 Consequências Linearidade do número de arestas e faces: Se n = V, então E = O(n) e F = O(n). Podemos assumir s.p.g. que todas as faces são triângulos. Logo E = 3F/2 e 2E = 3F.
38 GeoComp 2014 p. 15/29 Consequências Linearidade do número de arestas e faces: Se n = V, então E = O(n) e F = O(n). Podemos assumir s.p.g. que todas as faces são triângulos. Logo E = 3F/2 e 2E = 3F. Aplicando a Fórmula de Euler, V E +F = 2 V E +2E/3 = 2 V 2 = E/3 E = 3V 6 = O(n)
39 GeoComp 2014 p. 15/29 Consequências Linearidade do número de arestas e faces: Se n = V, então E = O(n) e F = O(n). Podemos assumir s.p.g. que todas as faces são triângulos. Logo E = 3F/2 e 2E = 3F. Aplicando a Fórmula de Euler, e V E +F = 2 V E +2E/3 = 2 V 2 = E/3 E = 3V 6 = O(n) F = 2E/3 2V 4 = O(n).
40 GeoComp 2014 p. 16/29 Primitiva p 0, p 1, p 2 : três pontos não-colineares em um plano π. Sejam a = p 1 p 0 = (x a,y a,b a ) e b = p 2 p 0 = (x b,y b,z b ). O produto vetorial a b é normal a π e definido por
41 GeoComp 2014 p. 16/29 Primitiva p 0, p 1, p 2 : três pontos não-colineares em um plano π. Sejam a = p 1 p 0 = (x a,y a,b a ) e b = p 2 p 0 = (x b,y b,z b ). O produto vetorial a b é normal a π e definido por y a z a a b = y b z b z a x a i+ z b x b x a y a j + x b y b k.
42 GeoComp 2014 p. 16/29 Primitiva p 0, p 1, p 2 : três pontos não-colineares em um plano π. Sejam a = p 1 p 0 = (x a,y a,b a ) e b = p 2 p 0 = (x b,y b,z b ). O produto vetorial a b é normal a π e definido por y a z a a b = y b z b z a x a i+ z b x b x a y a j + x b y b k. a x b b a b x a
43 GeoComp 2014 p. 17/29 Primitiva O produto vetorial a b é normal a π e definido por y a z a a b = y b z b z a x a i+ z b x b x a y a j + x b y b k. a x b b a b x a O comprimento do produto vetorial a b é a área do parelelogramo com vértices 0, a, b e a + b.
44 GeoComp 2014 p. 18/29 Primitiva p 0, p 1, p 2 : três pontos não-colineares. π: o plano que contém estes pontos.
45 GeoComp 2014 p. 18/29 Primitiva p 0, p 1, p 2 : três pontos não-colineares. π: o plano que contém estes pontos. Semi-espaço positivo de (p 0,p 1,p 2 ): lado de π apontado pelo vetor normal a (p 0,p 1,p 2 ). Semi-espaço negativo de (p 0,p 1,p 2 ): lado de π oposto ao apontado pelo vetor normal a (p 0,p 1,p 2 ).
46 GeoComp 2014 p. 18/29 Primitiva p 0, p 1, p 2 : três pontos não-colineares. π: o plano que contém estes pontos. Semi-espaço positivo de (p 0,p 1,p 2 ): lado de π apontado pelo vetor normal a (p 0,p 1,p 2 ). Semi-espaço negativo de (p 0,p 1,p 2 ): lado de π oposto ao apontado pelo vetor normal a (p 0,p 1,p 2 ). Sejam a := p 1 p 0 e b := p 2 p 0. Ponto p 3 está no semi-espaço positivo de (p 0,p 1,p 2 ) se c (a b) > 0, onde c := p 3 p 0. Ponto p 3 está no semi-espaço negativo de (p 0,p 1,p 2 ) se c (a b) < 0.
47 GeoComp 2014 p. 19/29 Primitiva Dados pontos p 0,p 1,p 2,p 3 em IR 3, a operação primitiva TESTE-DE-ORIENTAÇÃO(p 0,p 1,p 2,p 3 ) (ou ESQUERDA(p 0,p 1,p 2,p 3 )) decide em qual semi-espaço do plano orientado π do triângulo (orientado) (p 0,p 1,p 2 ) o ponto p 3 está.
48 GeoComp 2014 p. 19/29 Primitiva Dados pontos p 0,p 1,p 2,p 3 em IR 3, a operação primitiva TESTE-DE-ORIENTAÇÃO(p 0,p 1,p 2,p 3 ) (ou ESQUERDA(p 0,p 1,p 2,p 3 )) decide em qual semi-espaço do plano orientado π do triângulo (orientado) (p 0,p 1,p 2 ) o ponto p 3 está. Se p i = (x i,y i,z i ), para i = 0,1,2,3, então o resultado do teste de orientação é dado pelo sinal do determinante x 0 y 0 z 0 1 x 1 y 1 z 1 1. x 2 y 2 z 2 1 x 3 y 3 z 3 1
49 GeoComp 2014 p. 20/29 Primitiva TESTE-DE-ORIENTAÇÃO(p 0,p 1,p 2,p 3 ) decide em qual semi-espaço do plano orientado π está p 3. Se p i = (x i,y i,z i ), para i = 0,1,2,3, então o resultado do teste de orientação é dado pelo sinal do determinante x 0 y 0 z 0 1 x 1 y 1 z 1 1. x 2 y 2 z 2 1 x 3 y 3 z 3 1 O valor absoluto deste determinte é 6 vezes o volume sinalizado do tetraedro cujos vértices são p 0,p 1,p 2,p 3.
50 GeoComp 2014 p. 20/29 Primitiva TESTE-DE-ORIENTAÇÃO(p 0,p 1,p 2,p 3 ) decide em qual semi-espaço do plano orientado π está p 3. Se p i = (x i,y i,z i ), para i = 0,1,2,3, então o resultado do teste de orientação é dado pelo sinal do determinante x 0 y 0 z 0 1 x 1 y 1 z 1 1. x 2 y 2 z 2 1 x 3 y 3 z 3 1 O valor absoluto deste determinte é 6 vezes o volume sinalizado do tetraedro cujos vértices são p 0,p 1,p 2,p 3. Chamamos de VOLUME6 a função que devolve o valor deste determinante (em analogia à função ÁREA2).
51 GeoComp 2014 p. 21/29 Estrutura de dados Problema: Dado um conjunto finito P de pontos no IR 3, encontrar o fecho convexo conv(p) dos pontos em P.
52 GeoComp 2014 p. 21/29 Estrutura de dados Problema: Dado um conjunto finito P de pontos no IR 3, encontrar o fecho convexo conv(p) dos pontos em P. Listas de faces Estrutura de dados para poliedros simpliciais Estrutura de dados winged-edge (arestas aladas)
53 GeoComp 2014 p. 21/29 Estrutura de dados Problema: Dado um conjunto finito P de pontos no IR 3, encontrar o fecho convexo conv(p) dos pontos em P. Listas de faces Estrutura de dados para poliedros simpliciais Estrutura de dados winged-edge (arestas aladas) Listas de faces: lista com a representação como um polígono de cada face.
54 GeoComp 2014 p. 21/29 Estrutura de dados Problema: Dado um conjunto finito P de pontos no IR 3, encontrar o fecho convexo conv(p) dos pontos em P. Listas de faces Estrutura de dados para poliedros simpliciais Estrutura de dados winged-edge (arestas aladas) Listas de faces: lista com a representação como um polígono de cada face. Desvantagens: informação de adjacência de um só tipo (entre vértices vizinhos em uma face). Caro determinar por exemplo se duas faces são adjacentes.
55 GeoComp 2014 p. 22/29 Poliedros simpliciais Suas faces são triangulares. ED para poliedros simpliciais: registros para vértices, arestas e faces. lista de vértices numa ordem arbitrária. arestas apontam para seus vértices extremos e as faces que separam. faces apontam para seus três vértices e arestas.
56 GeoComp 2014 p. 22/29 Poliedros simpliciais Suas faces são triangulares. ED para poliedros simpliciais: registros para vértices, arestas e faces. lista de vértices numa ordem arbitrária. arestas apontam para seus vértices extremos e as faces que separam. faces apontam para seus três vértices e arestas. Vantagem: mais fácil de manipular.
57 GeoComp 2014 p. 23/29 Arestas aladas Proposta por Baumgart em 1975, é a mais popular para representar a superfície de um poliedro. Seu foco são as arestas. Lembra a ED que vimos para mapas planares.
58 GeoComp 2014 p. 23/29 Arestas aladas Proposta por Baumgart em 1975, é a mais popular para representar a superfície de um poliedro. Seu foco são as arestas. Lembra a ED que vimos para mapas planares. A ED mantém uma lista de vértices, arestas e faces onde Vértice. cada vértice v mantém as suas coordenadas (x,y,z) e um apontador av(v) para uma aresta arbitrária incidente a v; Face. cada face f mantém um apontador para uma aresta arbitrária af(f) da fronteira de f; Aresta. cada aresta e tem oito apontadores...
59 GeoComp 2014 p. 24/29 Arestas aladas Cada aresta e tem oito apontadores: Dois apontadores para os extremos v 1 (e) e v 2 (e) de e. A ordem destes vértices fornece uma orientação para e.
60 GeoComp 2014 p. 24/29 Arestas aladas Cada aresta e tem oito apontadores: Dois apontadores para os extremos v 1 (e) e v 2 (e) de e. A ordem destes vértices fornece uma orientação para e. Apontadores fccw(e) e fcw(e) para as duas faces incidentes a e. A face fccw(e) é a esquerda de e = v 1 (e)v 2 (e) e a face fcw(e) é a direita. A aresta e induz orientação anti-horária (counterclockwise) em fccw(e) e orientação horária (clockwise) em fcw(e).
61 GeoComp 2014 p. 24/29 Arestas aladas Cada aresta e tem oito apontadores: Dois apontadores para os extremos v 1 (e) e v 2 (e) de e. A ordem destes vértices fornece uma orientação para e. Apontadores fccw(e) e fcw(e) para as duas faces incidentes a e. A face fccw(e) é a esquerda de e = v 1 (e)v 2 (e) e a face fcw(e) é a direita. Quatro apontadores para as asas (wings) de e: arestas que precedem e sucedem e em fccw(e) e fcw(e). Especificamente, pccw(e) e nccw(e) representam as arestas que precedem e sucedem e na face fccw(e) (sentido anti-horário). Analogamente, pcw(e) e ncw(e) representam as arestas que precedem e sucedem e na face fcw(e).
62 GeoComp 2014 p. 25/29 Arestas aladas nccw(e) v 2 (e) pcw(e) f 0 fccw(e) e fcw(e) f 1 pccw(e) v 1 (e) ncw(e)
63 GeoComp 2014 p. 25/29 Arestas aladas nccw(e) v 2 (e) pcw(e) f 0 fccw(e) e fcw(e) f 1 pccw(e) v 1 (e) ncw(e) Note que cada registro dessa ED ocupa espaço constante.
64 GeoComp 2014 p. 25/29 Arestas aladas nccw(e) v 2 (e) pcw(e) f 0 fccw(e) e fcw(e) f 1 pccw(e) v 1 (e) ncw(e) Note que cada registro dessa ED ocupa espaço constante. Vejamos um exemplo completo... o cubo!
65 GeoComp 2014 p. 26/29 O cubo p 8 e8 e 11 f6 e 7 p 7 p p 4 e 3 3 e 12 f4 f1 e 4 e 2 f2 e 10 f3 p 5 e 5 p 1 e 1 f5 e 9 p 2 e 6 p 6 Um cubo e seu 1-esqueleto (grafo planar).
66 GeoComp 2014 p. 27/29 Arestas aladas para o cubo Lista de vértices: vértice (x, y, z) av p 1 (1,0,0) e 1 p 2 (1,1,0) e 2 p 3 (1,1,1) e 3 p 4 (1,0,1) e 4 p 5 (0,0,0) e 9 p 6 (0,1,0) e 10 p 7 (0,1,1) e 11 p 8 (0,0,1) e 12
67 GeoComp 2014 p. 28/29 Arestas aladas para o cubo Lista de faces: face af f 1 e 1 f 2 e 2 f 3 e 10 f 4 e 12 f 5 e 1 f 6 e 8
68 GeoComp 2014 p. 29/29 Arestas aladas para o cubo aresta v 1 v 2 fccw fcw pccw nccw pcw ncw e 1 p 1 p 2 f 1 f 5 e 4 e 2 e 6 e 5 e 2 p 2 p 3 f 1 f 2 e 1 e 3 e 7 e 6 e 3 p 3 p 4 f 1 f 6 e 2 e 4 e 8 e 7 e 4 p 4 p 1 f 1 f 4 e 3 e 1 e 5 e 8 e 5 p 1 p 5 f 5 f 4 e 1 e 9 e 12 e 4 e 6 p 2 p 6 f 2 f 5 e 2 e 10 e 9 e 1 e 7 p 3 p 7 f 6 f 2 e 3 e 11 e 10 e 2 e 8 p 4 p 8 f 4 f 6 e 4 e 12 e 11 e 3 e 9 p 5 p 6 f 5 f 3 e 5 e 6 e 10 e 12 e 10 p 6 p 7 f 2 f 3 e 6 e 7 e 11 e 9 e 11 p 7 p 8 f 6 f 3 e 7 e 8 e 12 e 10 e 12 p 8 p 5 f 4 f 3 e 8 e 5 e 9 e 11
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