Geometria Euclidiana II

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Manuel Barateiro Quintão
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1 Geometria Euclidiana II Professor Fabrício Oliveira Universidade Federal Rural do Semiárido 17 de outubro de 2010

2 O nosso curso Tópicos abordados Poliedros Convexos

3 O nosso curso Tópicos abordados Poliedros Convexos Prisma

4 O nosso curso Tópicos abordados Poliedros Convexos Prisma Pirâmide

5 O nosso curso Tópicos abordados Poliedros Convexos Prisma Pirâmide Cilindro

6 O nosso curso Tópicos abordados Poliedros Convexos Prisma Pirâmide Cilindro Cone

7 O nosso curso Tópicos abordados Poliedros Convexos Prisma Pirâmide Cilindro Cone Esfera

8 O nosso curso Tópicos abordados Poliedros Convexos Prisma Pirâmide Cilindro Cone Esfera Inscrição e circunscrição de sólidos

9 O nosso curso Tópicos abordados Poliedros Convexos Prisma Pirâmide Cilindro Cone Esfera Inscrição e circunscrição de sólidos Superfícies e sólidos de revolução.

10 Poliedros Convexos Seja n 4 um número finito de poĺıgonos convexos, tais que:

11 Poliedros Convexos Seja n 4 um número finito de poĺıgonos convexos, tais que: Dois poĺıgonos não estão no mesmo plano

12 Poliedros Convexos Seja n 4 um número finito de poĺıgonos convexos, tais que: Dois poĺıgonos não estão no mesmo plano Cada lado de um poĺıgono é comum a dois e somente dois poĺıgonos

13 Poliedros Convexos Seja n 4 um número finito de poĺıgonos convexos, tais que: Dois poĺıgonos não estão no mesmo plano Cada lado de um poĺıgono é comum a dois e somente dois poĺıgonos O plano de cada poĺıgono deixa os demais poĺıgonos num mesmo semiespaço.

14 Poliedros Convexos Seja n 4 um número finito de poĺıgonos convexos, tais que: Dois poĺıgonos não estão no mesmo plano Cada lado de um poĺıgono é comum a dois e somente dois poĺıgonos O plano de cada poĺıgono deixa os demais poĺıgonos num mesmo semiespaço.

15 Poliedros Convexos Seja n 4 um número finito de poĺıgonos convexos, tais que: Dois poĺıgonos não estão no mesmo plano Cada lado de um poĺıgono é comum a dois e somente dois poĺıgonos O plano de cada poĺıgono deixa os demais poĺıgonos num mesmo semiespaço. Definição de poliedro convexo Um poliedro convexo é a interseção dos semiespaços que contém os poĺıgonos acima.

16 Um pouco de história A vida de Euler Leonard Euler era Suiço e nasceu na cidade de Basiléia em 1707, viveu até 1783.

17 Um pouco de história A vida de Euler Leonard Euler era Suiço e nasceu na cidade de Basiléia em 1707, viveu até Ele desenvolveu tanta matemática que sua obra abrange mais de 75 volmes.

18 Um pouco de história A vida de Euler Leonard Euler era Suiço e nasceu na cidade de Basiléia em 1707, viveu até Ele desenvolveu tanta matemática que sua obra abrange mais de 75 volmes. Ele desenvolveu várias áreas da matemática como a Teoria dos Números, a Probabilidade, Equações Diferenciais e a Geometria.

19 Um pouco de história A vida de Euler Leonard Euler era Suiço e nasceu na cidade de Basiléia em 1707, viveu até Ele desenvolveu tanta matemática que sua obra abrange mais de 75 volmes. Ele desenvolveu várias áreas da matemática como a Teoria dos Números, a Probabilidade, Equações Diferenciais e a Geometria. Ficou cego em 1766 e nos últimos 17 anos de sua vida, mesmo cego, não diminuiu seu ritmo de publicações, alguns dizem que até aumentou a quantidade de artigos publicados.

20 Software Poly Veja alguns exemplos de poliedros convexos

21 Poliedros Convexos Conceitos Um poliedro convexo é composto dos seguintes elementos:

22 Poliedros Convexos Conceitos Um poliedro convexo é composto dos seguintes elementos: Faces(F ) que são os poĺıgonos do poliedro

23 Poliedros Convexos Conceitos Um poliedro convexo é composto dos seguintes elementos: Faces(F ) que são os poĺıgonos do poliedro Arestas(A) que são os lados dos poĺıgonos

24 Poliedros Convexos Conceitos Um poliedro convexo é composto dos seguintes elementos: Faces(F ) que são os poĺıgonos do poliedro Arestas(A) que são os lados dos poĺıgonos Vértices(V ) que são vértices das faces

25 Poliedros Convexos Conceitos Um poliedro convexo é composto dos seguintes elementos: Faces(F ) que são os poĺıgonos do poliedro Arestas(A) que são os lados dos poĺıgonos Vértices(V ) que são vértices das faces Ângulos que são os ângulos dos poĺıgonos das faces

26 Poliedros Convexos Relação de Euler Os elementos de um poliedro convexo se relacionam segundo uma famosa relação matemática. Esta relação foi encontrada por Euler em 1758, então com 51 anos.

27 Poliedros Convexos Relação de Euler Os elementos de um poliedro convexo se relacionam segundo uma famosa relação matemática. Esta relação foi encontrada por Euler em 1758, então com 51 anos. A relação diz o seguinte:

28 Poliedros Convexos Relação de Euler Os elementos de um poliedro convexo se relacionam segundo uma famosa relação matemática. Esta relação foi encontrada por Euler em 1758, então com 51 anos. A relação diz o seguinte:

29 Poliedros Convexos Relação de Euler Os elementos de um poliedro convexo se relacionam segundo uma famosa relação matemática. Esta relação foi encontrada por Euler em 1758, então com 51 anos. A relação diz o seguinte: Relação de Euler Em um poliedro convexo com V vértices, A arestas e F faces, temos a relação V A + F = 2

30 Poliedros Convexos Exemplificando relação Euler Vamos verificar a relação de Euler nos sólidos seguintes.

31 Poliedros Convexos Exemplo e exercício Exemplo Um poliedro convexo de onze faces tem seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares. Calcule o número de arestas e de vértices do poliedro.

32 Poliedros Convexos Exemplo e exercício Exemplo Um poliedro convexo de onze faces tem seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares. Calcule o número de arestas e de vértices do poliedro. Exercício Num poliedro convexo de 10 arestas, o número de faces é igual ao número de vértices. Quantas faces tem esse poliedro?

33 Poliedros Convexos Exemplo e exercício Exemplo Um poliedro convexo de onze faces tem seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares. Calcule o número de arestas e de vértices do poliedro. Exercício Num poliedro convexo de 10 arestas, o número de faces é igual ao número de vértices. Quantas faces tem esse poliedro? Exercício Um poliedro convexo apresenta faces quadrangulares e triangulares. Calcule o número de faces, vértices e arestas desse poliedro, sabendo que o número de arestas é o quadrúplo do número de faces triangulares e o número de faces quadrangulares é igual a 5.

34 Poliedros Convexos Soma ângulos internos das faces Em um poliedro convexo temos a seguinte propriedade

35 Poliedros Convexos Soma ângulos internos das faces Em um poliedro convexo temos a seguinte propriedade

36 Poliedros Convexos Soma ângulos internos das faces Em um poliedro convexo temos a seguinte propriedade Propriedade A soma(em graus) dos ângulos internos de todas as faces de um poliedro convexo é S = (V 2)360 o em que V é o número de vértices do poliedro.

37 Poliedros de Platão Conceito Definindo poliedro de platão Um poliedro é chamado poliedro de platão se

38 Poliedros de Platão Conceito Definindo poliedro de platão Um poliedro é chamado poliedro de platão se Todas as faces tem o mesmo número (n) de arestas

39 Poliedros de Platão Conceito Definindo poliedro de platão Um poliedro é chamado poliedro de platão se Todas as faces tem o mesmo número (n) de arestas Todas os ângulos poliedricos têm o mesmo número (m) de arestas

40 Poliedros de Platão Conceito Definindo poliedro de platão Um poliedro é chamado poliedro de platão se Todas as faces tem o mesmo número (n) de arestas Todas os ângulos poliedricos têm o mesmo número (m) de arestas Vale a relação de Euler V A + F = 2

41 Poliedros de Platão Tabela Podemos, então construir a tabela seguinte com os Poliedros de Platão existentes.

42 Poliedros de Platão Tabela m n A V F Nome Tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro

43 Poliedros Regulares Conceito Um poliedro é regular quando

44 Poliedros Regulares Conceito Um poliedro é regular quando Suas faces são poĺıgonos regulares

45 Poliedros Regulares Conceito Um poliedro é regular quando Suas faces são poĺıgonos regulares Seus ângulos poliédricos são congruentes

46 Poliedros Regulres Tipos São cinco os poliedros regulares

47 Poliedros Regulres Tipos São cinco os poliedros regulares Tetraedro Regular

48 Poliedros Regulres Tipos São cinco os poliedros regulares Tetraedro Regular Hexaedro Regular

49 Poliedros Regulres Tipos São cinco os poliedros regulares Tetraedro Regular Hexaedro Regular Octaedro Regular

50 Poliedros Regulres Tipos São cinco os poliedros regulares Tetraedro Regular Hexaedro Regular Octaedro Regular Dodecaedro Regular

51 Poliedros Regulres Tipos São cinco os poliedros regulares Tetraedro Regular Hexaedro Regular Octaedro Regular Dodecaedro Regular Icosaedro Regular.

52 Poliedros Exemplo e exercício Exemplo Um poliedro convexo de 15 arestas tem somente faces quadrangulares e pentagonais. Quantas faces tem de cada tipo se a soma dos ângulos das faces é 32 ângulos retos.

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POLIEDROS: POLI = Muitos E EDROS = Lados Muitos lados.

POLIEDROS: POLI = Muitos E EDROS = Lados Muitos lados. Toda figura geométrica espacial de três dimensões (comprimento, largura e altura), formada por POLÍGONOS (figura plana composta de n lados) é chamada