Construção dos Poliedros: Cubo e Tetraedro e suas Aplicações

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Raphael Castanho Coimbra
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1 Construção dos Poliedros: Cubo e Tetraedro e suas Aplicações Rita de Cássia Pavani Lamas, Departamento de Matemática, IBILCE-UNESP rita@ibilce.unesp.br Uma aplicação da congruência de triângulos e polígonos congruentes está dentro da própria geometria, por exemplo, na construção de poliedros regulares. Vamos construir de três formas diferentes, o tetraedro e o cubo, utilizando materiais de baixo custo como canudo, linha de pipa e papel. Essas construções serão utilizadas para visualizar a resolução de determinados problemas da Geometria Espacial. Atividade 1- Construção do tetraedro Objetivo: Construir o esqueleto do tetraedro utilizando canudinhos. Durante a construção será observada a rigidez no triângulo. Conceitos utilizados: Congruência de segmentos e triângulos. Passos: 1 o Corte seis pedaços de canudo de mesmo comprimento (~8 cm) e um metro de linha aproximadamente. 2 o Passe a linha através de 3 pedaços de canudos, construindo um triângulo, e, sem cortar a linha feche-o por meio de um nó. 3 o Observe a rigidez do triângulo. Você é capaz de explicar por que o triângulo é rígido? Registre. Você conhece aplicação na vida cotidiana que utiliza a rigidez do triângulo? Registre. 4 o Utilize a figura a seguir para concluir a construção do tetraedro. Na figura está indicado com o sentido em que a linha deve ser inserida num canudo vazio e com o sentido em que ela deve ser inserida num canudo já ocupado por algum pedaço de linha. 5 o Registre o número de vértices, arestas e faces no tetraedro. Atividade 2 - Construção do Cubo Objetivo: Construir o esqueleto do cubo (figura poliédrica) utilizando canudinhos. Durante a construção será observado que o quadrado não é rígido. Conceitos utilizados: Congruência de segmentos. Passos: 1

2 1 o Corte doze pedaços de canudo congruentes de mesma cor. 2 o Passar a linha através de 4 canudos. Verificar que o quadrado não é rígido como o triângulo. 3 o Para completar a construção do cubo, siga a figura a seguir, adotando os mesmos símbolos da atividade 1. 4 o Observe que esta estrutura assim construída não tem rigidez própria. Torne-a rígida. 5 o Registre o número de arestas, vértices e faces do cubo. Atividade 3- Utilizando o cubo que você construiu, encontre a distância do ponto médio da diagonal da base superior ao vértice mais distante do cubo, como indicado na figura. Sugestão: construa com canudinhos as diagonais de 3 faces obtendo um triângulo eqüilátero. Atividade 4- Utilize canudinho para unir os pontos médios das arestas laterais do seu tetraedro. Que figura você obteve? Qual a relação entre essa figura e a base do tetraedro? Justifique a sua resposta. Podemos estar utilizando dobradura de papel para a construção de poliedros regulares. Na construção do tetraedro regular, octaedro regular e icosaedro regular são utilizadas dobraduras feitas de papel no formato de triângulo eqüilátero e peças de conexão, também feitas de dobradura de papel. Faremos, em particular, o tetraedro. Atividade 5- Construção do tetraedro Objetivo: Construir o tetraedro utilizando dobradura de papel. Conceitos utilizados: Congruência de triângulos. 2

3 Passos: 1 o Tome um papel quadrado. A face triangular é elaborada a partir deste papel seguindo as figuras de 1 a 9. Você deve construir o número de triângulos congruentes igual ao número de faces que você observou na atividade 1. 2 o Tome um outro papel quadrado tal que a área deste quadrado corresponda a ¼ da área do papel utilizado para construir as faces triangulares. Siga as figuras a seguir para fazer as peças de conexão (arestas do tetraedro). 3

Observamos que para a construção do octaedro regular e icosaedro regular

8 12 Icosaedro regular 20 30 Atividade 6- Construção do cubo Objetivo:

Conceitos utilizados: Definição de cubo e quadrado.

4 Observamos que para a construção do octaedro regular e icosaedro regular a atividade 5 deve ser repetida, sendo adaptado o número de faces e peças de conexão, como mostra a tabela. Sólido Nº de faces triangulares Nº de peças de conexão Octaedro regular 8 12 Icosaedro regular Atividade 6- Construção do cubo Objetivo: Construir o cubo utilizando dobradura de papel. Conceitos utilizados: Definição de cubo e quadrado. Passos: 1 o Faça seis quadrados com os encaixes das faces do cubo, como mostrado a seguir. 2 o Prenda essas peças umas às outras para a construção do cubo. 4

Atividade 7 OBJETIVO: Construção de pirâmides com os materiais: papel cartão, massa de modelar e canudo, utilizando os postulados da geometria euclidiana a seguir.

PASSOS: 1 - Construir um polígono (região poligonal) com papel cartão. Sugestão: construir um quadrado de lado até 15cm e marcar o seu centro O.

3 - Utilize canudo de tamanhos diferentes para unir cada vértice do polígono com o ponto V. Quais polígonos você obteve com a construção?

5 Atividade 7 OBJETIVO: Construção de pirâmides com os materiais: papel cartão, massa de modelar e canudo, utilizando os postulados da geometria euclidiana a seguir. Postulado 1: Dado um plano do espaço, existem pontos que pertencem ao plano e pontos que não pertencem ao plano. Postulado 2: Por dois pontos do espaço passa uma e somente uma reta. PASSOS: 1 - Construir um polígono (região poligonal) com papel cartão. Sugestão: construir um quadrado de lado até 15cm e marcar o seu centro O. 2º - Utilize massa de modelar para representar os pontos dados por cada vértice do polígono e um ponto V, o qual não pertence ao plano do polígono. 3 - Utilize canudo de tamanhos diferentes para unir cada vértice do polígono com o ponto V. Quais polígonos você obteve com a construção? O poliedro dado pela união desses polígonos é chamado de pirâmide de vértice V. O canudo representa a aresta lateral da pirâmide. As regiões triangulares são as faces da pirâmide e o polígono, a base da pirâmide.os lados do polígono da base são chamados de arestas da base. As pirâmides recebem nomes particulares, pirâmide quadrangular, pentagonal, hexagonal, etc, dependendo do polígono escolhido como base. 5

6 Atividade 8 Repita a atividade 7 considerando todas as faces da pirâmide congruentes. Sabendo que: - Uma reta é perpendicular a um plano se é ortogonal a toda reta contida no plano. - Uma reta é perpendicular a um plano se é ortogonal a duas retas concorrentes do plano. - Por um ponto dado, se pode traçar uma única reta perpendicular a um plano dado. Qual é a reta perpendicular ao plano do quadrado passando por V? Utilize a folha sulfite para ajudá-lo a responder. A reta por V e O na pirâmide da atividade 7 é perpendicular ao plano da base? Justifique. Atividade 9 a) Sabendo que uma reta perpendicular ao plano é perpendicular a toda reta do plano que passa pelo ponto de interseção da reta com o plano, determine o comprimento do segmento VO, chamado de altura da pirâmide, obtida na atividade 8. Atividade 10 b) Determine a área total da pirâmide 2. OBJETIVO: Construir um paralelepípedo retângulo a partir de três segmentos de retas não coplanares, com os materiais: papel cartão, massa de modelar e canudo, utilizando os teoremas: Teorema 1: Se uma reta tem dois de seus pontos em um plano, então ela está contida neste plano. Teorema 2: Por duas retas concorrentes passa um único plano. Teorema 3: Por um ponto fora de uma reta se pode traçar uma única reta paralela a ela. PASSOS: 1 - Tome papel cartão para representar o seu plano. 2 o - Represente dois segmentos de retas concorrentes (AB e AD) por dois canudos de tamanhos diferentes unindoos com massa de modelar, considerando o ângulo reto entre eles. 3 - Represente com canudo um terceiro segmento (AE) não contido no plano de AB e AD e perpendicular ao plano em 2 por A. 4 - Por B, represente com um canudo a paralela a AD, BC, e por D, a paralela a AB. Utilize retângulos ideais para obter as paralelas. 5 - Utilizando 3 canudos congruentes a AE, represente as paralelas a AE pelos vértices B, C e D. 6 - Una os pontos E e F, F e G, G e H, H e E, fixando os canudos com massa de modelar. 6

7 Quais polígonos você obteve com a construção? O poliedro dado pela união desses polígonos é chamado paralelepípedo retângulo de bases ABCD e EFGH. Caso a base não seja um retângulo, mas um paralelogramo qualquer, o poliedro é chamado apenas de paralelepípedo de bases ABCD e EFGH. Atividade 11 Conclua sobre as bases e faces de paralelepípedo. O segmento unindo dois vértices não pertencentes à mesma face do paralelepípedo chama-se diagonal do paralelepípedo. Determine a diagonal do seu paralelepípedo. Atividade 12 Obtenha a fórmula para a diagonal de um paralelepípedo retângulo qualquer como na figura. c b a d Se tomarmos a = b = c na figura o que teremos? Conclua como fica a fórmula da diagonal para a = b = c. Referências Bibliográficas [1] BARBOSA, J. L. M.. Geometria Euclidiana Plana. Coleção do Professor de Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática, [2] Carvalho, P.C.P. Introdução à Geometria Espacial. Coleção do Professor de Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática, [3] LINDQUIST, M.M. Aprendendo e ensinando Geometria, Atual, [4] Revista do Professor de Matemática 28,

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