Poliedros. MA13 - Unidade 22. Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto: A. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMAT

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1 Poliedros MA13 - Unidade 22 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto: A. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMAT

2 Poliedros Poliedro é um objeto da Matemática que pode ser definido com diversos níveis de generalidade. Adotaremos a seguinte: Poliedro é uma reunião de um número finito de poĺıgonos planos chamados faces onde: i) Cada lado de um desses poĺıgonos é também lado de um, e apenas um, outro poĺıgono. Cada lado de um poĺıgono, comum a exatamente duas faces, é chamado uma aresta do poliedro e, cada vértice de uma face é um vértice do poliedro. ii) A interseção de suas faces quaisquer ou é um lado comum, ou é um vértice ou é vazia. iii) É sempre possível, caminhando sobre as faces, ir de um ponto de uma a um ponto qualquer de outra sem passar por nenhum vértice (ou seja, cruzando apenas arestas). Poliedros slide 2/11

3 Um poliedro A = número de arestas A = 12 F = número de faces F = 6 V = número de vértices V = 8 Poliedros slide 3/11

4 Descrevendo as faces F n representa o número de faces de gênero n. O poliedro da figura ao lado é formado por dois triângulos, três quadriláteros e dois pentágonos. F 3 = 2, F 4 = 3, F 5 = 2. Poliedros slide 4/11

5 Descrevendo os vértices Gênero de um vértice é o número de arestas que incidem nele. V n representa o número de vértices de gênero n. Na figura ao lado, H A, B e C têm gênero 3, D, E, F e G têm gênero 4, H tem gênero 5. V 3 = 3, V 4 = 4, V 5 = 1. A F C G E Como exercício, descreva suas faces. D B Poliedros slide 5/11

6 Contando as faces e os vértices O número total de faces é a soma dos números de faces de cada gênero. F = F 3 + F 4 + F 5 + O número total de vértices é a soma dos números de vértices de cada gênero. V = V 3 + V 4 + V 5 + Poliedros slide 6/11

7 Contando as arestas Como cada aresta é lado de exatamente duas faces temos: 2A = 3F 3 + 4F 4 + 5F 5 + Como cada aresta é comum a extatamente dois vértces temos: 2A = 3V 3 + 4V 4 + 5V 5 + Poliedros slide 7/11

8 Visualizando as relações Veja novamente o poliedro anterior. A descrição pelas faces é F 3 = 6, F 4 = 3. Então, 2A = 3F 3 + 4F 4 = = 30 Logo, A = 15. A descrição pelos vértices é V 3 = 3, V 4 = 4, V 5 = 1. Então, 2A = 3V 3 +4V 4 +5V 5 = = 30 Logo, A = 15. Poliedros slide 8/11

9 Poliedro convexo Todo poliedro limita uma região do espaço chamada de interior do poliedro. Dado um poliedro, um ponto do espaço ou é exterior ao poliedro, ou pertence ao poliedro, ou é interior ao poliedro. Uma reta é secante a um poliedro quando possui pontos interiores ao poliedro. Um poliedro é convexo quando qualquer reta secante possui exatamente dois pontos em comum com o poliedro. Poliedros slide 9/11

10 Duas desigualdades Em todo poliedro valem as desigualdades: Demonstração de i) i) 2A 3F ii) 2A 3V 2A = 3F 3 + 4F 4 + 5F 5 + 2A = 3(F 3 + F 4 + F 5 + ) + F 4 + 2F 5 + 2A = 3F + F 4 + 2F 5 + 2A 3F A igualdade vale somente se F 4 = F 5 = = 0, ou seja, se o poliedro tiver apenas faces triangulares. A demonstração de ii) é análoga e fica para o leitor. Poliedros slide 10/11

11 Um exemplo Colando pela base duas pirâmides regulares iguais cuja base é um poĺıgono de n lados, obtemos um poliedro formado apenas por faces triangulares. Temos F = 2n, V = n + 2 e A = 3n. Como se vê, 2A = 3F. Poliedros slide 11/11

12 Poliedros regulares MA13 - Unidade 22 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto: A. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMAT

13 Definição Um poliedro convexo é regular se suas faces são poĺıgonos regulares iguais e se todos os seus vértices possuem mesmo gênero. Desde a antiguidade são conhecidos os 5 poliedros regulares. Poliedros regulares slide 2/12

14 Tetraedro Formado por 4 faces triangulares F 3 = 4. F = 4 V = 4 A = 6 Poliedros regulares slide 3/12

15 Cubo Formado por 6 faces quadradas F 4 = 6. F = 6 V = 8 A = 12 Poliedros regulares slide 4/12

16 Octaedro Formado por 8 faces triangulares F 3 = 8. F = 8 V = 6 A = 12 Poliedros regulares slide 5/12

17 Dodecaedro Formado por 12 faces triangulares F 5 = 12. F = 12 V = 20 A = 30 Poliedros regulares slide 6/12

18 Icosaedro Formado por 20 faces triangulares F 3 = 20. F = 20 V = 12 A = 30 Poliedros regulares slide 7/12

19 Por que existem apenas 5 poliedros regulares? a) Poliedros com faces triangulares Se cada vértice é comum a 3 faces temos o tetraedro. Se cada vértice é comum a 4 faces temos o octaedro. Se cada vértice é comum a 5 faces temos o icosaedro. Retorne e veja as figuras desses poliedros. Reunindo 6 triângulos equiláteros com um vértice comum, a figura fica plana. Poliedros regulares slide 8/12

20 b) Poliedros com faces quadradas Se cada vértice é comum a 3 faces temos o cubo. Reunindo 4 quadrados com um vértice comum a figura fica plana. Poliedros regulares slide 9/12

21 c) Poliedros com faces pentagonais Se cada vértice é comum a 3 faces temos o dodecaedro. Não é possível reunir 4 pentágonos regulares com um vértice comum. Poliedros regulares slide 10/12

22 d) Não há poliedros com todas as faces regulares de nenhum outro tipo. Reunindo 3 hexágonos regularescom um vértice comum a figura fica plana. Não é possível reunir 3 heptágonos com um vértice comum. Poliedros regulares slide 11/12

23 Poliedros duais Dois poliedros são duais quando o número de vértices de um é igual ao número de faces do outro. Cubo e octaedro são duais. F V A Cubo Octaedro Obs: dodecaedro e icosaedro são também duais. Poliedros regulares slide 12/12

24 Teorema de Euler para poliedros MA13 - Unidade 22 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto: A. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMAT

25 Teorema de Euler Em todo poliedro convexo com F faces, V vértices e A arestas tem-se A + 2 = F + V. Observe o poliedro da figura abaixo. A = 11 F = 6 V = 7 A + 2 = = 13 F + V = = 13 Teorema de Euler para poliedros slide 2/10

26 Preparando a demonstração do teorema Seja P um poliedro convexo com F faces, V vértices e A arestas. As faces são numeradas de 1 até F. O gênero da k-ésima face é n k. Lema A soma dos ângulos internos de todas das faces é S = 360 (A F ). Demonstração S = 180 (n 1 2) (n 2 2) (n F 2) S = 180 [(n 1 + n n F ) + ( )] S = 180 (2A 2F ) = 360 (A F ) Teorema de Euler para poliedros slide 3/10

27 Demonstração do teorema Sejam: r = reta não paralela a nenhuma face de P. H = plano perpendicular a r que não intersecta P (será chamado de plano horizontal). r A projeção de P sobre H possui como contorno um poĺıgono K. Cada ponto de K é projeção de um único ponto de P. O conjunto desses pontos de P é a poligonal K (vermelha no desenho) chamada de contorno aparente de P. H K K Teorema de Euler para poliedros slide 4/10

28 Continuando Se uma reta paralela a r intersecta P em dois pontos então o mais afastado de H será chamado de ponto superior e o outro de ponto inferior. r Os pontos de P ficam separados em 3 conjuntos: Os pontos superiores (verdes). K Os pontos do contorno aparente (vermelhos). Os pontos inferiores (azuis). H K Teorema de Euler para poliedros slide 5/10

29 Continuando Sejam: V 0 = número de vértices do contorno aparente K = número de vértices de K. V 1 = número de vértices superiores. V 2 = número de vértices inferiores. A projeção dos pontos superiores de P é formada por um poĺıgono K com V 0 vértices tendo em seu interior V 1 pontos que são as projeções dos vértices superiores. K Teorema de Euler para poliedros slide 6/10

30 Continuando Atenção: a soma dos ângulos internos de um poĺıgono não se altera com sua projeção. A soma dos ângulos internos das faces superiores é K S 1 = 360 V (V 0 2) Teorema de Euler para poliedros slide 7/10

31 Continuando Analogamente, a soma dos ângulos internos das faces inferiores é Somando os dois temos S 2 = 360 V (V 0 2) S = 360 V V (V 0 2) = 360 (V 1 + V 2 + V 0 2) = 360 (V 2) Entretanto, pelo Lema temos S = 360 (A F ). Logo, A F = V 2, ou seja, A + 2 = F + V Teorema de Euler para poliedros slide 8/10

32 Observação A relação de Euler foi demonstrada para poliedros convexos. Entretanto é fácil verificar que existem poliedros não convexos que também satisfazem a relação de Euler. F = 8 V = 12 A = 18 Que poliedros não satisfazem a relação de Euler? Teorema de Euler para poliedros slide 9/10

33 Um poliedro não-euleriano Identifique os números F, V e A nesse poliedro. A relação de Euler não vale. Teorema de Euler para poliedros slide 10/10

34 Volumes e Princípio de Cavalieri MA13 - Unidade 23 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto: A. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMAT

35 Volumes Noção intuitiva O volume de um sólido é a quantidade de espaço por ele ocupada. Unidade de volume A unidade de volume é o cubo de aresta 1. Seu volume, por definição, será igual a 1. 1 Volumes e Princípio de Cavalieri slide 2/12

36 Volume do paralelepípedo retângulo Teorema Se dois paralelepípedos retângulos possuem bases iguais, então a razão entre seus volumes é igual à razão entre suas alturas. Demonstração Sejam V e V os volumes de dois paralelepípedos retângulos com mesma base B e alturas h e h, respectivamente. a) Suponha que h e h são comensuráveis. Seja x um segmento que cabe m vezes em h e n vezes em h. Daí, h = mx, h h = nx e h = m n. Volumes e Princípio de Cavalieri slide 3/12

37 Continuação da demonstração Pelos pontos de divisão traçamos planos paralelos a B que dividem os dois paralelepípedos retângulos em outros menores todos congruentes. h h Se v é o volume de cada um dos pequenos paralelepípedos então V = mv e V V = nv. Assim, V = m n e consequentemente, V V = h h, c.q.d. b) Se h e h não forem comensuráveis a demonstração está no Apêndice desta aula. Volumes e Princípio de Cavalieri slide 4/12

38 Teorema O volume de um paralelepípedo retângulo é o produto de suas dimensões. Demonstração Seja V o volume do paralelepípedo cujas dimensões são a, b e c. Considere três outros paralelepípedos retângulos com as dimensões que aparecem na tabela a seguir. Dimensões Volume a b c V a b 1 V 1 a 1 1 V v V Aplicando o Teorema 1 temos: = c V 1 1, V 1 = b V 2 1, V 2 v = a 1 Multiplicando membro a membro temos: V v = a b c Mas, por definição, V = 1 (unidade de área). Logo, V = abc. Volumes e Princípio de Cavalieri slide 5/12

39 O Princípio de Cavalieri São dados dois sólidos A e B e um plano H. Se todo plano paralelo a H secciona A e B segundo figuras de mesma área então esses sólidos têm mesmo volume. Na figura um plano paralelo a H, distando d de H seccionou os sólidos A e B segundo figuras de áreas A 1 e A 2. Se, para todo d, tem-se A 1 = A 2 então A e B têm mesmo volume. Volumes e Princípio de Cavalieri slide 6/12

40 O volume do prisma Dado um prisma de altura h cuja base é um poĺıgono de área A, considere um paralelepípedo retângulo tal que o produto de duas das dimensões seja A e que a terceira dimensão seja h. Ponha os dois sólidos com a face de área A sobre um plano H. O prisma e o paralelepípedo retângulo possuem mesma altura h. Para qualquer plano H paralelo a H a seção produzida no prisma é congruente com a base e a seção produzida no paralelepípedo retângulo também é congruente com a base. Assim, se A 1 e A 2 são as áreas das duas seções, temos A 1 = A = A 2. Pelo princípio de Cavalieri, os dois sólidos têm mesmo volume. Então, o volume do prisma é V = Ah. Volumes e Princípio de Cavalieri slide 7/12

41 Definição geral de volume Um poliedro retangular é todo sólido formado pela reunião de um número finito de paralelepípedos retângulos justapostos. Volumes e Princípio de Cavalieri slide 8/12

42 Definição Dado um sólido S, o volume de S é o número real cujas aproximações por falta são os volumes dos poliedros retangulares contidos em S. Seja P um poliedro retangular contido em S. A definição dada significa que não apenas se tem V (S) V (P) para todo poliedro retangular P contido em S como também, dado qualquer número real r tal que r < V (S) é possível encontrar um poliedro retangular P 1 tal que r < V (P 1 ) V (S). Volumes e Princípio de Cavalieri slide 9/12

43 Sólidos semelhantes Vamos recordar a definição de figuras semelhantes dada na Unidade Duas figuras F e F são semelhantes, com razão de semelhança k, quando existe uma bijeção s : F F entre os pontos de F e os pontos de F tais que: Se X e Y são pontos quaisquer de F e se X = s(x ) e Y = s(y ) são seus correspondentes em F então XY X Y = k. F F c c a b b a F e F são dois paralelepípedos retângulos semelhantes. Volumes e Princípio de Cavalieri slide 10/12

44 F c F c a b a b Se F e F são semelhantes na razão k então a a = b b = c c = k. A razão entre os volumes dos dois paralelepípedos é: V (F ) V (F ) = abc a b c = a a b b c c = k k k = k 3. Teorema A razão entre os volumes de dois sólidos semelhantes é igual ao cubo da razão de semelhança. Este fato geral decorre da definição geral de volume e do resultado anterior. Volumes e Princípio de Cavalieri slide 11/12

45 Apêndice Teorema Se dois paralelepípedos retângulos possuem bases iguais, então a razão entre seus volumes é igual à razão entre suas alturas. b) Suponha que as alturas h e h não são comensuráveis. Seja x um segmento que cabe n vezes em h. Temos h = nx. Suponha agora que x esteja contido em h entre m vezes e m + 1 vezes. Temos então mx < h < (m + 1)x. Assim, a razão h/h entre as alturas é tal que m n < h h < m+1 n. Traçando planos paralelos à base por cada extremidade dos segmentos x assinalados sucessivamente sobre h e h temos que a razão entre os volumes V e V dos dois paralelepípedos é tal que m n < V V < m+1 n. A razão entre os volumes e a razão entre as alturas estão entre m n e m+1 n. Entretanto, essas razões diferem de 1 n que pode ser tão pequeno quanto quisermos desde que n seja suficientemente grande. Portanto, a razão entre os volumes dos dois paralelepípedos é igual à razão entre suas V alturas: V = h h. Volumes e Princípio de Cavalieri slide 12/12

46 Prisma e pirâmide MA13 - Unidade 23 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto: A. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMAT

47 Prisma regular Um prisma é reto quando suas arestas laterais forem perpendiculares ao plano da base. Prisma regular é um prisma reto cuja base é um poĺıgono regular. Prisma e pirâmide slide 2/7

48 Pirâmide (seções paralelas à base) A figura abaixo mostra uma pirâmide de vértice V, altura H e base de área A. Uma seção paralela à base dista h do vértice V e tem área A. V X A Y h H X Na figura acima, a razão de semelhança entre a seção e a base é A X Y XY = VX VX = h H. A razão entre as áreas de figuras semelhantes é o quadrado da razão de semelhança. Então, A ( ) 2 h A = H Y Prisma e pirâmide slide 3/7

49 Teorema Duas pirâmides de mesma base e mesma altura têm mesmo volume. V 1 V 2 A 1 A 2 h H A A figura acima mostra duas pirâmides com mesma base de área A e com altura H. Um plano paralelo à base distando h dos vértices V 1 e V 2 produziu seções de áreas A 1 e A 2. Temos A 1 A = ( h H ) 2 = A 2 A Logo, A 1 = A 2 e, pelo princípio de Cavalieri, as duas pirâmides têm mesmo volume. Prisma e pirâmide slide 4/7

50 Volume da pirâmide triangular Um prisma triangular pode ser decomposto em três tetraedros de mesmo volume. Observe a figura abaixo. Os tetraedros T 1, T 2 e T 3, juntos, formam o prisma triangular. Procure justificar por que os três tetraedros possuem mesmo volume. Se o prisma triangular tem altura h e base de área A então seu volume é Ah. Logo, o volume de T 3 é V = 1 3 Ah. O volume da pirâmide triangular é a terça parte do produto da área da base pela altura. Prisma e pirâmide slide 5/7

51 Volume da pirâmide qualquer O volume de qualquer pirâmide é a terça parte do produto da área da base pela altura. h A 3 A 1 A 2 O poĺıgono da base pode ser dividido em triângulos. A pirâmide fica dividida em pirâmides triangulares cujas bases têm áreas A 1, A 2,..., A n. O volume V da pirâmide é V = 1 3 A 1h A 2h A nh = 1 3 (A 1 + A 2 + A n )h = 1 3 Ah Prisma e pirâmide slide 6/7

52 Pirâmide regular Uma pirâmide é regular quando a base é regular e a projeção do vértice sobre o plano da base é o centro da base. V D C A A figura acima mostra uma pirâmide quadrangular regular. O ponto O é o centro da base. OV é a altura da pirâmide. As arestas laterais são iguais. Se M é o ponto médio de uma das arestas da base, VM é o apótema da pirâmide. O B M Prisma e pirâmide slide 7/7

53 Esfera inscrita e circunscrita. Tronco de prisma MA13 - Unidade 23 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto: A. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMAT

54 Prisma regular e sua esfera circunscrita Todo prisma regular admite uma esfera circunscrita. O K O Se O e O são os centros das duas bases, o ponto K, médio de OO é equidistante de todos os vértices. O ponto K é o centro da esfera circunscrita ao prisma. Esfera inscrita e circunscrita. Tronco de prisma slide 2/8

55 Pirâmide regular e sua esfera circunscrita Toda pirâmide regular admite uma esfera circunscrita. V D O C A H B Todo ponto da altura da pirâmide regular equidista dos vértices da base. Na figura acima o ponto O é tal que OV = OA = OB = OC = OD. O ponto O é o centro da esfera circunscrita à pirâmide. Para calcular o raio da esfera use o triângulo OHA. Esfera inscrita e circunscrita. Tronco de prisma slide 3/8

56 Pirâmide regular e sua esfera inscrita Toda pirâmide regular admite uma esfera inscrita. V K E D C A H B M Todo ponto da altura da pirâmide regular equidista das faces laterais. Na figura acima o ponto K tem mesma distância da base e de uma face lateral (KH = KE). O ponto K é o centro da esfera inscrita na pirâmide. Para calcular o raio da esfera observe que os triângulos VEK e VHM são semelhantes. Esfera inscrita e circunscrita. Tronco de prisma slide 4/8

57 Seções paralelas à base de uma pirâmide Toda seção paralela à base de uma pirâmide forma outra uma outra menor, semelhante à primeira. O desenho mostra uma pirâmide triangular, mas o leitor deve imaginar uma pirâmide de gênero n. As pirâmides V A B C e V ABC de alturas h e h são semelhantes na razão k = A B AB = B C BC = = VA VA = VB VB = = h h V V A A V S S C B B C h h Se S e S são as áreas das bases e V e V os volumes, temos ainda S S = k2 e V V = k3 Obs: O poliedro ABC... A B C... é um tronco de pirâmide e seu volume é, naturalmente, a diferença entre os volumes das duas pirâmides. Esfera inscrita e circunscrita. Tronco de prisma slide 5/8

58 Tronco de prisma triangular O poliedro ABC A B C representado na figura a seguir é tal que AA, BB e CC são paralelos. Esse poliedro é um tronco de prisma triangular. C A h 3 h 1 B A B h 2 C Seja S a área do triângulo ABC e sejam h 1, h 2 e h 3 as distâncias dos vértices A, B e C ao plano (ABC), respectivamente. O volume do tronco de prisma triangular é V = S h1 + h 2 + h 3 3 Obs: A demonstração deste resultado está no Apêndice desta aula. Esfera inscrita e circunscrita. Tronco de prisma slide 6/8

59 Apêndice Notação Em uma pirâmide triangular qualquer face pode ser considerada como base e, escolhida a base, o quarto vértice é chamado de vértice da pirâmide. Na pirâmide triangular ABCD a notação D ABC significa que ABC é a base e D é o vértice da pirâmide. Esfera inscrita e circunscrita. Tronco de prisma slide 7/8

60 Roteiro da demonstração Faça a divisão do tronco de prisma nas mesmas três partes que foram realizadas na demonstração do volume da pirâmide triangular (unidade 22.1, figura 4). Sejam V 1, V 2 e V 3 os volumes das três partes. Lembre: Duas pirâmides de mesma base e mesma altura têm mesmo volume. V 1 = V (A A B C ) = V (A A BC ) = V (A A BC) = V (A ABC) V 2 = V (B ACC ) = V (B ACC ) = V (C ABC) V 3 = V (B ABC) O volume V do tronco de prisma é, então, V = V 1 + V 2 + V 3 = V (A ABC)+V (C ABC)+V (B ABC) Se S é a área do triângulo ABC temos então V = Sh Sh Sh 2 3 = S h1 + h 2 + h 3 3 Esfera inscrita e circunscrita. Tronco de prisma slide 8/8