Geometria Espacial. Revisão geral

Transcrição

1 Geometria Espacial Revisão geral

2 Considere o poliedro cujos vértices são os pontos médios das arestas de um cubo. O número de faces triangulares e o número de faces quadradas desse poliedro são, respectivamente:

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4 Um poliedro convexo tem 25 arestas e todas as suas faces pentagonais. Então o número de faces e de vértices do poliedro são respectivamente:

5 Na figura abaixo tem-se o prisma reto ABCDEF, no qual DE = 6 cm, EF = 8 cm e DE é perpendicular EF(o ângulo em E 90 ). Se o volume desse prisma é 120 cm 3, a sua área total, em centímetros quadrados, é

6 A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as respectivas medidas de seus ângulos internos. Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos diferentes de ladrilhos entre os polígonos da tabela, sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter a forma de um

7 Uma editora pretende despachar um lote de livros, agrupados em 100 pacotes de 20cm x 20cm x 30cm. A transportadora acondicionará esses pacotes em caixas com formato de bloco retangular de 40cm x 40cm x 60cm. A quantidade mínima necessária de caixas para esse envio é:

8 Até 1985, as únicas formas conhecidas de organização de cadeias carbônicas puras e estáveis eram o diamante e o grafite. Nesse mesmo ano, três pesquisadores revelaram ao mundo a terceira forma estável de carbono além do diamante e do grafite. Os fulerenos, substância cuja molécula possui átomos de carbono nos vértices de um poliedro denominado de icosaedro truncado. Esse poliedro possui 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais. Pode-se afirmar que o número de vértices do icosaedro truncado é igual a?

9 Uma bola de futebol é feita com 32 peças de couro. 12 delas são pentágonos regulares e as outras 20 são hexágonos também regulares. Os lados dos pentágonos são iguais aos dos hexágonos de forma que podem ser costurados. Cada costura une dois lados de duas dessas peças. Quantas são as costuras feitas na fabricação da bola de futebol?

10 Estuda... Sólidos geométricos (Todo corpo que não podem estar contidos exclusivamente em um plano) Cálculos de seus volumes.

11 Poliedro (muitas faces) Faces planas

12 Regulares Todas as suas faces são de mesmo tamanho.

13 Elementos

14 Relação de Euler V + F = A + 2 V > Vértices F > Faces A > Arestas

15 Aplicações Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces.

16 Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com 3 lados e 4 faces com 5 lados. Qual é o número de vértices desse poliedro?

17 Num poliedro convexo, o número de faces é 8 e o número de arestas é 12. Qual é o número de vértices desse poliedro?

18 Quando João entrou na sala do professor, fez uma observação sobre a beleza do objeto de vidro que estava sobre os papéis do mestre. Este, não resistindo à tentação de propor um problema, característica do matemático, apresentou ao aluno a seguinte questão: Calcule o número de arestas e de vértices deste peso de papel, que é um poliedro convexo de 6 faces quadrangulares e 2 hexagonais.

19 Um poliedro convexo tem cinco faces triangulares e três pentagonais. O número de arestas e o número de vértices deste poliedro são:

20 Um icosaedro regular tem 20 faces e 12 vértices, a partir dos quais retiram-se 12 pirâmides congruentes. As medidas das arestas dessas pirâmides são iguais a 1/3 da aresta do icosaedro. O que resta é um tipo de poliedro usado na fabricação de bolas. Observe as figuras.

21 Para confeccionar uma bola de futebol, um artesão usa esse novo poliedro, no qual cada gomo é uma face. Ao costurar dois gomos para unir duas faces do poliedro, ele gasta 7 cm de linha. Depois de pronta a bola, o artesão gastou, no mínimo, um comprimento de linha igual a:

22 Um geólogo encontrou, numa de suas explorações, um cristal de rocha no formato de um poliedro, que satisfaz a relação de Euler, com 60 faces triangulares. Calcular o número de vértices desse cristal.

23 (UNIUBE-MG) Um poliedro convexo é formado por 6 faces quadrangulares e 8 triangulares. O número de vértices desse poliedro é:

24 (UEL-PR) Um poliedro convexo tem 16 arestas e nove vértices. Qual é o número de faces do poliedro? (PUC-PR) Num poliedro convexo, o número de faces é 6 e o número de vértices é 8. Qual o número de arestas dessa figura?

25 Um poliedro é constituído de 5 faces quadrangulares e 6 faces hexagonais. Determine seu número de arestas: (UFRS) Um poliedro convexo de onze faces tem seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares. Os números de arestas e vértices do poliedro são, respectivamente:

26 Esfera

27 A esfera é um sólido de revolução gerado pela rotação de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro. Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R.

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29 Elementos da esfera Polos: interseções da superfície com o eixo Equador: é a seção (circunferência) perpendicular ao eixo, pelo centro da superfície. Paralelo: é uma secção (circunferência) perpendicular ao eixo. É paralela ao equador. Meridiano: é uma secção passa pelo eixo. circunferência) cujo plano

30 Toda secção plana de uma esfera é um círculo. Se a secção passa pelo centro da esfera, temos como secção um círculo máximo da esfera.

31 Superfície Esférica Chama-se superfície da esfera de centro O e raio r ao conjunto dos pontos P do espaço, tais que a distância OP seja igual ao raio. A superfície de uma esfera é também a superfície de revolução gerada pela rotação de uma semicircunferência com extremidades no raio.

32 Área da superfície esférica A superfície esférica tem uma massa igual à massa de quatro círculos máximos. admitindo que a espessura da superfície esférica é a mesma dos círculos máximos. Desta forma, então: A se 4. r 2

33 Volume da esfera Vamos imaginar uma esfera como a reunião de infinitas pirâmides

34 A altura de cada uma das pirâmides é o raio r da esfera. Desta forma, teremos que o volume da esfera é igual ao volume destas n pirâmides. O que nos permite concluir que o volume da esfera pode ser obtido por: V 4 3..r 3

35 Volume da esfera Princípio de Cavalieri Sólidos de mesma altura, cuja área de secção são iguais, possuem volumes iguais: V esfera V V V 2V sólido amarelo esfera cilindro cone

36 Volume da esfera Princípio de Cavalieri Vesfera 4 R 3 3 H = 2R O sólido X é um cilindro equilátero (H = 2R) de onde foram retirados dois cones isósceles (altura = raio da base). O volume do sólido X é igual ao volume do cilindro menos os volumes dos dois cones: V X V cilindro Vcone R 2R 2 R R 2R R R 3 3

37 Exemplos: 1. Determinar a área total e o volume de uma esfera de raio 6cm. 2. É dada uma esfera de raio 10cm. Um plano secciona essa esfera a uma distância de 6 cm do centro da mesma. Calcule o raio da secção.

38 Secção da esfera Toda secção plana de uma esfera é um círculo. Qualquer secção da esfera é um círculo. O que não acontece com os demais sólidos (as secções variam de acordo com a posição dos planos de corte).

39 Secção da esfera R 2 d 2 r 2 OO é a distância do plano α ao centro da esfera. Qualquer plano α que seciona uma esfera de raio R determina como seção plana um círculo de raio R.

40 Secção da esfera Se o plano secante passa pelo centro da esfera temos como secção um círculo máximo da esfera.

41 Secção da esfera Quando o plano que secciona a esfera contiver um diâmetro, teremos d = 0. Nesse caso, o círculo determinado terá raio R e será denominado círculo máximo.

42 Exemplo (FUVEST/SP) Uma superfície esférica de raio 13 cm é cortada por um plano situado a uma distancia de 12 cm do centro da superfície esférica, determinando uma circunferência. O raio dessa circunferência em cm é de: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 12 plano r =13 Após devida interpretação, observase que o triângulo destacado é um triângulo retângulo com hipotenusa 13 e catetos 12 e r. Daí, utilizando o Teorema de Pitágoras: 13²= 12² + r² 169 = r² = r²= 25 r = 25 r = 5

43 Zona Esférica É a parte da esfera gerada do seguinte modo: Zona esférica é a superfície de revolução cuja geratriz é um arco de circunferência e cujo eixo é uma reta tal que: passa pelo centro da circunferência que contém o arco; não passa por nenhum extremo do arco, nem intercepta o arco em outro ponto; é coplanar com o arco

44 Calota Esférica É a parte da esfera gerada do seguinte modo: É a superfície de revolução cuja geratriz é um arco de circunferência e cujo eixo é uma reta tal que: passa pelo centro da circunferência que contém o arco; passa por um extremo do arco e não o intercepta em outro ponto; é coplanar com o arco

45 Área da Calota Esférica e da Zona Esférica A 2.. R. calota h calota A 2.. R. zona h zona

46 Fuso Esférico O fuso esférico é uma parte da superfície esférica que se obtém ao girar uma semi-circunferência máxima de ângulo em torno de seu eixo. 0 << 2 (em rad) É a interseção da superfície de uma esfera com um diedro (ou setor diedral), cuja aresta contém um diâmetro dessa superfície esférica. O que caracteriza o fuso é o ângulo medido na secção equatorial.

47 A área do fuso esférico pode ser obtida por uma regra de três simples: em graus Ângulo Área 4..r A 2 fuso em radianos 2 4..r A 2 fuso Área do fuso esférico 2 rad 2.R. graus 90 2.R. 0

48 Cunha Esférica A cunha esférica é uma parte da esfera que se obtém ao girar uma semi-circunferência máxima de ângulo em torno de seu eixo. 0 << 2 (em rad) É a interseção da superfície de uma esfera com um diedro (ou setor diedral), cuja aresta contém um diâmetro dessa superfície esférica. O que caracteriza a cunha é o raio da esfera e a medida do diedro

49 O volume da cunha esférica também pode ser obtida por uma regra de três simples: Ângulo Volume V cunha r graus em R 3 2 rad R 270 graus V 3 3 V cunha r em radianos

50 Exemplos: 1. Determinar a área de um fuso esférico de 30 0, contido numa superfície esférica de raio 4cm. 2. Determinar o volume da cunha esférica obtida a partir da situação anterior.

51 Exemplo: Calcular a área total e o volume de uma cunha esférica contida numa esfera de raio igual a 4 cm, sabendo que o ângulo central da cunha mede 60º. 60º

52 Resolução: Volume: Vol cunha R º Vol cunha Vol cunha cm 9

53 Resolução: 60º Área Total A l A fuso Área da semi - circunferência A total A 2 A fuso A l l 2 2 R A fuso A total 32 3 A l A total 80 3

54 Inscrição e Circunscrição do Cubo na Esfera 2r a r a 2 2R a 3 R a 3 2

55 Inscrição da Esfera no Cilindro 2r h r h 2 R r