Unidade 11 Geometria Plana I. Congruência e semelhança de figuras planas Relações métricas do triângulo retângulo Triângulo qualquer

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1 Unidade 11 Geometria Plana I Congruência e semelhança de figuras planas Relações métricas do triângulo retângulo Triângulo qualquer

2 Congruência e Semelhança de Figuras Planas

3 TRIÂNGULOS SEMELHANTES Dois polígonos são semelhantes quando satisfazem, simultaneamente, duas condições: os ângulos são respectivamente congruentes e os lados correspondentes são proporcionais. Os triângulos, no entanto, constituem um casos especial. Para que dois triângulos sejam semelhantes, basta que verifiquem uma das duas condições de semelhança; se essa condição for satisfeita, a outra será automaticamente válida. Portanto, dois triângulos são semelhantes quando têm os ângulos respectivamente congruentes ou lados homólogos correspondentes proporcionais.

4 TRIÂNGULOS SEMELHANTES

5 PROPRIEDADES

6 EXEMPLO 1

7 EXEMPLO 2

8 Para você fazer p. 33 Pela proporção, temos : 2 3 m = = 5 n ) = 2n= 5.3 2n= 15 n= n= 7,5 5 n 2 2 m 20 2) = 5m= m= 20 m= m= n = 7,5 em= 4

9 POLÍGONOS SEMELHANTES Para que duas figuras sejam semelhantes, é necessário que tenham ângulos correspondentes de mesma medida e as medidas dos segmentos correspondentes proporcionais. Consideremos os polígonos QRSTU e ABCDE seguintes: das figuras

10 POLÍGONOS SEMELHANTES

11 POLÍGONOS SEMELHANTES

12 POLÍGONOS SEMELHANTES Os valores ½ obtido chama-se razão de semelhança do pentágono QRSTU para o pentágono ABCDE. Dois polígonos com o mesmo número de lados são de semelhantes quando possuem ângulos respectivamente congruentes e lados correspondentes proporcionais. A razão entre qualquer lado de um pol[igono e o lado correspondente do outro chama-se razão de semelhança.

13 POLÍGONOS SEMELHANTES

14 PROPRIEDADES

15 PROPRIEDADES

16 EXEMPLO 1

17 CONTINUAÇÃO

18 Para você fazer p. 35 Pela proporção, temos : AC DF = DF = 3 2 3DF = 10 DF = 10 3 cm

19 Relação Métricas do Triângulo Retângulo c A β α h b Os triângulos HBA, HAC e ABC são semelhantes m c 2 = am. = c (1) c a B α m H n a = m + n β C n b c 2 =am = b a an. = 2 b (2) b 2 =an

20 Relação Métricas do Triângulo Retângulo A α c β h h b B α m H H n β C 2 2 a ( m+ n) = b + c Somando as equações (1) e (2) a = b + c

21 Relação Métricas do Triângulo Retângulo c A β α h b m = h h n B B c α m α m A β H h H n a = m + n α h H n b β β C h 2 = mn. A área do triângulo ABC pode ser calculada por: C a. h b. c = 2 2 a. h= bc.

22 Resolução de Atividades Página 37 e 38

23 Triângulo qualquer e suas propriedades O estudo de triângulos é um dos assuntos mais importantes na Geometria. Isso ocorre porque eles podem ser associados a figuras geométricas circulares, possibilitando relações importantes, além de serem elementos básicos constituintes de figuras poligonais com mais de três lados. A seguir, apresentaremos algumas propriedades geométricas e generalidades sobre triângulos.

24 Elementos principais de um triângulo Os principais elementos de um triângulo são os lados, os vértices, os ângulos internos e externos: Considerando o triângulo ABC ao lado, temos: Os lados são os segmentos AB, AC e BC, Os ângulos internos são formados Â,Bˆ e C; ˆ Os ângulos externos são os ângulos Aˆ e,bˆ e e Cˆ e

25 Soma dos ângulos internos de um triângulo Vamos relembrar agora uma propriedade que relaciona os ângulos internos de um triângulo. Observe: Portanto, em qualquer triângulo, a soma dos ângulos internos é sempre igual a 180º. Essa relação é conhecida como Teorema Angular de Tales. Se, pelo vértice C, traçarmos uma reta paralela ao lado AB, obteremos ângulos congruentes aos ângulos A e B. Os três ângulos destacados no vértice C, juntos, correspondem a um ângulo de 180º. Logo, podemos concluir que: Â + Bˆ + Cˆ = 180º

26 Soma dos ângulos externos de um triângulo Observe, no triângulo ABC abaixo, que a soma de qualquer ângulo interno de um triângulo com correspondente ângulo externo é sempre igual a 180º. Assim,podemos escrever seguintes relações. Aˆ + Bˆ + Cˆ + Aˆ Bˆ e Cˆ e e = 180º = 180º = 180º as

27 Soma dos ângulos externos de um triângulo Somando, e membro e a membro, e essas três íltimas equações, temos : A ˆ + Aˆ + Bˆ + Bˆ + Cˆ + Cˆ = 180º + 180º + 180º ( ˆ ˆ ˆ) A+ B+ C 180º + Aˆ Aˆ e Bˆ e + Aˆ + Bˆ + Cˆ e + e e e + Bˆ + Cˆ e e = + Cˆ e 540º = = 540º 180º 540º Aˆ Bˆ + Cˆ = e + e e 360º

28 Resolução de Atividades Página 39

29 Classificação dos triângulos Os triângulos podem ser classificados de acordo com dois critérios principais: quanto aos lados e quanto aos ângulos. Quanto aos lados: Triângulo Equilátero: apresenta os lados e os ângulos com a mesma medida. Triângulo Isósceles: apresenta dois lados e dois ângulos com a mesma medida. Triângulo escaleno: apresenta os três lados e os ângulos com medidas diferentes.

30 Classificação dos triângulos Quanto aos ângulos: Triângulo acutângulo: apresenta os ângulos internos agudos, ou seja, de medidas menores que 90º; Triângulo retângulo: apresenta um ângulo reto, ou seja, com medida igual a 90º; Triângulo obtusângulo: apresenta um ângulo interno obtuso, ou seja, de medida maior que 90º.

31 Condição de existência de um triângulo Para a existência de um triângulo cujos lados tenham medidas a, b, e c devem ser verificadas as seguintes condições: A medida de cada lado deve ser menor que a soma das medidas dos outros dois lados: a > b + c b > a + c c > a + b

32 Condição de existência de um triângulo A medida de cada lado deve ser maior que o módulo da diferença das medidas dos outros dois lados: a > b c b > a c c > a b Para qualquer lado de medida a de um triângulo, necessariamente, devemos ter: b c < a < b + c Essa última expressão é denominada desigualdade triangular.

33 Outros elementos de um triângulo Além dos chamados elementos principais de um triângulo, que são os lados, os vértices, os ângulos internos e externos, existem outros elementos cujo conhecimento será importante no desenvolvimento da Geometria. Estudaremos, agora, no contexto de triângulos, as alturas, as medidas, as mediatrizes e as bissetrizes. Cada um desses elementos determinará um ponto notável distinto de um triângulo:

34 Outros elementos de um triângulo

35 Altura Uma altura de um triângulo é um segmento de reta que tem extremidades em u vértice e no lado oposto a esse vértice, sendo perpendicular a esse lado. A H é o ortocentro do triângulo ABC h b h a h c B C

36 Altura A Triângulo Obtuso h a C h c B h b H é o ortocentro do triângulo ABC

37 Mediana Mediana em um triângulo é um segmento de reta que tem extremidades no ponto médio de um lado e no vértice oposto a esse lado. A G é o baricentro do triângulo ABC M 2 M 3 G B M 1 C

38 VOCÊ LEMBRA? Mediatriz de um segmento é a reta que passa pelo ponto médio desse segmento sendo perpendicular a ele. A mediatriz de um segmento traduz o lugar geométrico dos pontos equidistantes dos vértices do segmento: Bissetriz de um ângulo é a reta que divide esse ângulo em duas partes iguais. A bissetriz é o lugar geométrico dos pontos equidistantes dos lados de um ângulo.

39 Mediatriz Todo triângulo admite um circunferência circunscrita a ele que passa pelos vértices desse triângulo. A O centro dessa circunferência, chamado circuncentro, é obtido pela intersecção das mediatrizes dos lados do triângulo. B O C

40 Bissetriz Todo triângulo admite uma circunferência inscrita que tangencia internamente os três lados. O centro dessa circunferência, chamada de incentro, é obtido pela intersecção das bissetrizes dos ângulos internos do triângulo.