Teste de Avaliação Escrita

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1 Teste de Avaliação Escrita Duração: 90 minutos 19 de fevereiro de 014 Escola E.B.,3 Eng. Nuno Mergulhão Portimão Ano Letivo 013/014 Matemática 9.º B Nome: N.º Classificação: Fraco (0% 19%) Insuficiente (0% 49%) Suficiente (50% 69%) Bom (70% 89%) Muito Bom (90% 100%) O Professor (Nuno Marreiros): O Encarregado de Educação: Atenção: Lê atentamente o enunciado e responde apenas ao que te é pedido; Apresenta todos os cálculos que efetuares; Utiliza apenas caneta ou esferográfica de tinta indelével, azul ou preta. Não é permitido o uso de corretor, não sendo corrigido nenhum item onde este tenha sido usado. 1. No ponto D existe um radar que deteta qualquer barco num raio de 0 Km e no ponto C existe outro radar que deteta barcos num raio de 5 Km. Indica qual a afirmação verdadeira: O barco 1 não é detetado por nenhum dos radares. O barco é apenas detetado por um dos radares. O barco 3 é detetado pelos dois radares. O barco 4 não é detetado por nenhum dos radares.. Na figura está representada uma circunferência de centro O em que: A, B, C e D são pontos da circunferência; DA B = 50 DO C = 60 Qual é, em graus, a amplitude do arco CB? Mostra como chegaste à tua resposta. 3. Na figura ao lado, está representada uma circunferência de centro no ponto O e diâmetro AB. O ponto C pertence à circunferência. Determina, em graus, a amplitude do ângulo α. Apresenta os cálculos que efetuares. 1

2 4. Na figura estão representados um retângulo ABCD e uma circunferência de centro no ponto O e raio r. Sabe-se que: o ponto E pertence à circunferência e é exterior ao retângulo ABCD AD e EF são diâmetros da circunferência o lado BC do retângulo é tangente à circunferência DE F = 5 a) Admite que o perímetro do retângulo ABCD é igual a 36 cm. Determina o comprimento da circunferência. Apresenta o resultado em centímetros, arredondado às décimas. Mostra como chegaste à tua resposta. Nota: Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. b) Determina a amplitude de uma rotação de centro em O que transforme o ponto D no ponto E. Mostra como chegaste à tua resposta. c) Qual das afirmações seguintes é verdadeira? O ponto B pertence à mediatriz do segmento de reta ED O ponto B pertence à mediatriz do segmento de reta CD O ponto O pertence à mediatriz do segmento de reta ED O ponto O pertence à mediatriz do segmento de reta CD 5. Na figura apresenta-se parte de um polígono regular com n lados, podendo verificar-se que a amplitude do seu ângulo interno é (x 380) e a amplitude do seu ângulo externo é (x + 10). Determina n. Mostra como chegaste à tua resposta.

3 6. Três troncos cilíndricos, todos com 1 metro de diâmetro, estão empilhados como mostra a figura: Uma mosca pousou sobre o tronco superior. A que altura se encontram as patas da mosca? Apresenta o resultado arredondado às centésimas. 7. Observa a figura ao lado. Sabe-se que: A circunferência tem centro no ponto A; E e D são pontos da circunferência; As retas r e s são tangentes à circunferência em E e em D; E e G são pontos da reta s; D e F são pontos da reta r. a) Calcula a soma das amplitudes dos ângulos internos do pentágono [AEGFD]. b) Determina a amplitude, em graus, do arco menor ED. Justifica a resposta. 8. Na figura está representada uma circunferência. A figura não está desenhada à escala. Sabe-se que: os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência o ponto P é o ponto de interseção das cordas AC e BD a amplitude do arco BC é 80º a amplitude do ângulo DPC é 85º a) Determina a amplitude, em graus, do ângulo DBA. Apresenta os cálculos que efetuares. 3

4 b) Os triângulos ABP e DCP são semelhantes. Admite que: DP = AP a área do triângulo DCP é 4 cm Qual é a área, em cm, do triângulo ABP? Observa a figura onde está representada uma circunferência de centro G, na qual está inscrito o hexágono regular ABCDEF. Sabendo que AG = 6 cm, determina: a) A amplitude, em graus, do ângulo ACE. b) O comprimento, em cm, do arco AE. c) GM, sabendo que M é o ponto médio do segmento de reta AF. d) A área do paralelogramo AFEG. e) A área interior à circunferência e exterior ao hexágono, arredondando o resultado à unidade. f) O triângulo AGB é: isósceles equilátero retângulo escaleno Agora que terminaste o teste, faz a tua avaliação sobre como te correu, assinalando as opções que melhor se identificam contigo: Nível esperado O teste correu-me Para o teste estudei Mal Razoável Bem Nada Pouco O suficiente Muito 4

5 Teste de Avaliação Escrita Duração: 90 minutos 19 de fevereiro de 014 PROPOSTA DE RESOLUÇÃO 1. Afirmação verdadeira O barco 4 não é detetado por nenhum dos radares. Escola E.B.,3 Eng. Nuno Mergulhão Portimão Ano Letivo 013/014 Matemática 9.º B. A amplitude de um ângulo inscrito é metade da amplitude do arco compreendido entre os seus lados, logo DB BAD 100º. A amplitude de um ângulo ao centro é igual à amplitude do arco compreendido entre os seus lados, logo DC COD 60º. Assim, CB DB DC 100º 60º 40º. 3. Os ângulos AOC e β são suplementares, logo: AO C = AO C = 10. O triângulo AOC é isósceles pois os lados AO e OC correspondem a raios da circunferência. Como a lados de igual comprimento se opõem ângulos de igual amplitude e como a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º, então: α = α = a) Seja r, em centímetros, o comprimento do raio da circunferência. De acordo com os dados, AD = BC = r e AB = CD = r. Logo, P [ABCD] = r + r + r + r = 6r. Como o perímetro do retângulo é 36 cm, temos: P [ABCD] = 6r 36 = 6r r = 36 r = 6 cm. 6 Logo, o comprimento da circunferência é P = π 6 = 1π 37,7 centímetros. b) Como a amplitude de um ângulo inscrito numa circunferência é metade da amplitude do arco compreendido entre os seus lados, temos DF DEF 5º 50º. Como os ângulos DOF e AOE são verticalmente opostos os arcos correspondentes são iguais, isto é, DF AE 50º. Assim, DE DA AE 180º 50º 30º. Logo a rotação de centro em O que transforma o ponto F no ponto A tem 30º (ou 130 ) de amplitude. c) A alternativa correta é: O ponto O pertence à mediatriz do segmento de reta ED, pois o ponto O é equidistante dos extremos do segmento, visto que OE = OD, já que [OE] e [OD] são raios da mesma circunferência. 5. Vamos começar por determinar x para sabermos a amplitude do ângulo interno e do ângulo externo deste polígono. Sabendo que em qualquer polígono convexo a soma da amplitude de um ângulo interno com o seu ângulo externo adjacente é 180º tem-se: x x + 10 = 180 x + x 550 = 0 x = 1 ± ( 550) 1 1 ± x = x = x = x = 50 x = 51 O ângulo interno deste polígono regular tem , ou seja, 10º e o ângulo externo deste polígono regular tem 50º + 10º, ou seja, 60º. Usando a relação existente entre a amplitude de um ângulo externo de um polígono regular com os seus n lados tem-se: = 60, ou seja, n = n = 6. n 60 Conclui-se assim que este polígono regular tem 6 lados. 5

6 6. Como os três troncos têm o mesmo diâmetro podemos definir um triângulo equilátero onde os seus vértices são os centros dos círculos da base dos troncos. O nosso objetivo é determinar a altura desse triângulo (x): Utilizando o Teorema de Pitágoras vem x = 3 Sendo assim, as patas da mosca encontram-se a uma altura de = 3 metros, ou seja, aproximadamente 1,86 metros. 7. a) A soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono pode ser calculada usando a fórmula (n ) 180. Neste caso, n = 5, pois trata-se de um pentágono. (5 ) 180 = = 540, logo a soma das amplitudes dos ângulos internos deste pentágono é 540º. b) Vamos começar por calcular a amplitude do ângulo EAD sabendo que os ângulos ADF e GEA são retos (a reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência). Assim EA D = EA D = 18. A amplitude de um ângulo ao centro é igual à amplitude do arco compreendido entre os seus lados, logo o arco menor ED tem 18º de amplitude. 8. a) O ângulo BDC tem de amplitude 40º, visto que é um ângulo inscrito no arco BC. O ângulo DCA tem de amplitude 55º (considerando o triângulo DCP, = 55). Os ângulos DCA e DBA são ambos ângulos inscritos no arco DA, pelo que têm a mesma amplitude. O ângulo DBA tem 55º de amplitude. b) Pelo enunciado, sabemos que o triângulo ABP é uma ampliação do triângulo DCP (cuja área é 4) de razão de semelhança 1, portanto a razão entre as áreas será (1 ), ou seja, 1 4. Então a sua área é 6 (4 1 4 ). 9. a) Os ângulos ao centro de um polígono regular inscrito numa circunferência são todos congruentes. Neste caso, cada um tem 60º de amplitude, pois 360 = Assim, AG E = 10 e, portanto AE 10º (a amplitude de um ângulo ao centro é igual à amplitude do arco compreendido entre os seus lados). Então, AC E = 60 (a amplitude de um ângulo inscrito é metade da amplitude do arco compreendido entre os seus lados). b) O arco AE tem 10º de amplitude (podemos deduzir da alínea anterior) e a circunferência tem 6 cm de raio. Então o Comprimento do arco = 10 π 6 = 4π. 360 c) Um hexágono regular pode ser decomposto em 6 triângulos congruentes equiláteros. Neste caso, consideremos o triângulo equilátero AGF. Sabemos que AG = 6 cm (raio da circunferência) e que AM = 3 cm. Calculemos GM, usando o Teorema de Pitágoras: GM + 3 = 6 GM + 9 = 36 GM = 36 9 GM = 7 GM = 7 cm. d) O paralelogramo AFEG pode ser decomposto em dois triângulos equiláteros dos quais conhecemos a base (6 cm) e a altura ( 7 cm). Assim a Área = 6 7 = 6 7 cm. e) Vamos calcular a área do hexágono, seguindo o mesmo raciocínio das alíneas anteriores: A Hexágono = 6 A triângulo = = 18 7 cm. Agora, calculemos a área do círculo com 6 cm de raio: A círculo = π 6 = 36π cm. Área solicitada = A círculo A Hexágono = 36π cm. f) O triângulo AGB é equilátero pois a base (um dos lados do hexágono) tem 6 cm e os outros dois lados são raios da circunferência, também com 6 cm. 6