Polígonos semelhantes

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1 Escola Secundária de Lousada Matemática do 8º ano FT nº8 Data: / / 011 Assunto: Semelhança de figuras Lição nº e Figuras semelhantes têm a mesma forma. Duas figuras são semelhantes se são geometricamente iguais ou uma delas é uma ampliação da outra. Exemplo: As figuras 1, 3, 4 e 6 são semelhantes entre si: - a figura 1 é à figura 3 (mesma forma e tamanho); - a figura 4 é da figura 1 (mesma forma mas tamanho maior); - a figura 6 é da figura 1 (mesma forma mas tamanho menor). As figuras e 5 não são semelhantes a qualquer outra, pois não têm a mesma forma. Razão de semelhança (r) ou escala é o quociente de dois comprimentos correspondentes. Em figuras semelhantes: se - as figuras são geometricamente iguais; se se r =1 r >1 r <1 Polígonos semelhantes - a semelhança é uma ampliação; - a semelhança é uma redução. Dois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são geometricamente iguais e os lados correspondentes directamente proporcionais. 1. Dos seguintes pares de polígonos diz, justificando, se são polígonos semelhantes. a) b) c) 1

2 . Determina as dimensões dos polígonos semelhantes aos dados de acordo com a razão de proporcionalidade. a) r = b) r = 3 5 c c) r = 1,5 3. Proporcionalidade entre lados correspondentes a) Os rectângulos A e B são semelhantes. Calcula x. b) Os trapézios A e B são semelhantes. Calcula x e y. Construção de polígonos semelhantes Podes construir polígonos semelhantes usando o método das quadrículas ou o método da homotetia. 4. Constrói no teu caderno uma figura semelhante à figura dada considerando a razão de semelhança: a) r = b) 3 r = c) 1 r =

3 5. Copia o quadrilátero [ABCD] e o ponto O para o teu caderno e constrói a sua imagem [A B C D ] usando o método da homotetia, de centro em O, e razão de semelhança: a) r = 3 b) 1 r = Triângulos semelhantes Critérios de semelhança de triângulos Dois triângulos são semelhantes se tiverem de um para o outro, - dois ângulos iguais (Critério AA); - os três lados de um proporcionais aos três lados do outro (Critério LLL); - dois lados proporcionais e o ângulo por eles formado igual (Critério LAL). 6. Os triângulos A e B são semelhantes. 1 cm a) Qual é a razão de semelhança que transforma o triângulo A no triângulo B. A b) Determina y. B y cm 7. Verifica se os triângulos [ABC] e [MNP] são semelhantes. 8 cm 6 cm 8. Averigua se os triângulos [LUZ] e [DIA] são semelhantes. 9. Verifica se os triângulos são semelhantes e calcula RS. 3

4 10. Os dois triângulos seguintes são semelhantes. Calcula x e y. 11. Observa a figura: Mostra que [ ABC ] [ CDE ] ~ 11.. Calcula a altura de cada uma das árvores. 1. Observa a figura e determina, a altura da árvore sabendo que o António mede 1,5 m. 13. Observa a figura: Mostra, justificando convenientemente, que os triângulos [ABC] e [CDE] são semelhantes Sabendo que AB =18 cm, DE =4 cm e CE =3 cm, determina BC. 14. A figura ao lado representa um esquema das torres de vigilância para a detecção de incêndios florestais Qual é o comprimento de [ CB ]? 4

5 Relação entre perímetros e áreas de polígonos semelhantes 15. Observa a figura. a) Qual é a razão de semelhança que transforma o triângulo A no triângulo B? b) Qual é a razão entre o perímetro do triangulo B e o perímetro do triângulo A? c) Qual é a razão entre a área do triângulo B e a área do triângulo A? d) Compara cada uma das razões obtidas nas alíneas b) e c) com a razão de semelhança determinada em a). O que podes concluir? Propriedades: Dados dois polígonos X e Y semelhantes e com razão de semelhança de X para Y igual a r, tem-se: A razão entre o perímetro do polígono Y (P Y ) e o perímetro do polígono X (P X ) é igual à razão de semelhança, ou seja, P Y P = X r A razão entre a área do polígono Y (A Y ) e a área do polígono X (A X ) é igual ao quadrado da razão de semelhança, ou seja, A Y A = X r 16. Os perímetros de dois triângulos semelhantes são 1,4cm e 37,cm. Calcula a área do segundo triângulo, sabendo que a área do primeiro é 7,cm. 17. Da figura sabe-se que: - a área do triângulo [ ] APQ é - BC//PQ ; - PQ = 1 cm Calcula BC, explicando o teu raciocínio. 99 cm e a área do triângulo [ ABC ] é 11cm ; 18. A área de um quadrado é semelhança 6 1? 144 m. Quanto mede o lado de um quadrado semelhante a este, de razão de 19. Dois quadrados têm de áreas ampliação? 9 cm e 144 cm. Qual é a razão de semelhança, considerando-a como uma 5

6 0. Num triângulo, os lados são 10,4 cm, 1 cm e 9,6 cm. Determina o comprimento dos lados de um triângulo semelhante com 80 cm de perímetro. 1. Sabe-se que as áreas de dois triângulos semelhantes são 5 cm e 9 cm. Qual é a razão de semelhança dos perímetros?. Os perímetros de dois triângulos semelhantes são 36 cm e 4 cm. Determina a área do triângulo maior, sabendo que a área do outro é 4 cm. 3. A D. Maria tem um terreno de forma triangular. No seu interior, existe um canteiro semelhante ao terreno. Sabe-se que a razão entre os comprimentos dos respectivos lados é Sabendo que a D. Maria gastou 714 m de rede para vedar o terreno, que quantidade de rede necessita para vedar o canteiro? 3.. Sabendo que o canteiro tem de área 1 m, qual a área do terreno? E a área compreendida entre o terreno e o canteiro? 4. Na figura, estão representados dois hexágonos regulares. Sabe-se que: O comprimento do lado do hexágono exterior é cinco vezes maior que o lado do hexágono interior; A área do hexágono interior é 3 cm Determina a área do da parte sombreada a cinzento, mostrando como chegaste à resposta. 5. Considera um triângulo equilátero que tem 6 cm de lado. Recorrendo a material de desenho e de medição, constrói a ampliação, de razão 1,5, deste triângulo. Efectua a construção a lápis. Não apagues as linhas auxiliares que traçares para construíres o triângulo. 6. Dois triângulos equiláteros são semelhantes? Justifica. 7. Dois triângulos isósceles quaisquer são semelhantes? Justifica. 6