Agrupamento de Escolas de Alcácer do Sal. Matemática 7.º Ano Semelhanças

Transcrição

1 grupamento de Escolas de lcácer do Sal Matemática 7.º no Semelhanças

2 Noção de Semelhança Do ponto de vista matemático, as palavras semelhante, parecido ou idêntico não são sinónimos. Em rigor, apenas se define o que se entende por figuras semelhantes e a ideia presente pode chocar com o significado normalmente atribuído.

3 Considerem-se as duas figuras abaixo Embora na linguagem do dia-a-dia se pudesse dizer que os automóveis representados são parecidos, do ponto de vista matemático nunca se poderia dizer que seriam semelhantes, pois apresentam formas diferentes. Matematicamente, duas figuras são semelhantes quando apresentam a mesma forma.

4 Um bom exemplo para entender a questão da forma e do que é matematicamente semelhante consiste nas bonecas russas matrioscas. Observando a imagem, consegue-se perceber que todas as matrioscas têm o mesmo formato, embora umas sejam mais pequenas, outras sejam maiores. No fundo, cada matriosca é uma ampliação, redução ou congruente a outra.

5 ssim sendo Duas figuras têm a mesma forma se forem congruentes, ou se umadelaséumaampliaçãooureduçãodaoutra. Duas figuras que tenham a mesma forma dizem-se semelhantes.

6 Considerem-se as figuras abaixo representadas: B C Observando as figuras, conclui-se queebnãosãosemelhantespor não terem a mesma forma. O mesmoacontececombec. oroutrolado,asfigurasecsãosemelhantes,poistêmamesmaforma. Repare-se que a figura C é uma redução, para metade, de. De igual modo, se podiadizerqueseriaumaampliação,paraodobro,dec.

7 Duas figuras são semelhantes se verificam as seguintes condições: os ângulos correspondentes são congruentes; os comprimentos de lados correspondentes são directamente proporcionais. Lados correspondentes Ângulos correspondentes

8 Exemplos Observem-se as duas figuras abaixo Constata-se que, apesar de ambas as figuras têm todos os lados congruentes, elas não são semelhantes, pois nenhum ângulo de [BCD] é congruente com qualquer ângulo de[efgh].

9 Observem-se as duas figuras seguintes Constata-se que, apesar de ambas as figuras têm todos os ângulos congruentes, elas não são semelhantes, pois nenhum os lados não são directamente proporcionais. De facto, 2 3 = 1 e = 1, 5 2 2

10 Razão de Semelhança Trata-se da razão entre os comprimentos de lados correspondentes de figuras semelhantes. Representa-se usualmente por r.

11 Exemplo Considerem-se os dois triângulos semelhantes abaixo representados. I II Se se pretender determinar a razão de semelhança de I para II, faz-se 2,5 5 = 0,5 2 = 4 0,5 razão de semelhança de I para IIé igual a 0,5 1,5 = 3 0,5

12 I II Se se pretender determinar a razão de semelhança de II para I, faz-se 5 = 2,5 2 4 = 2 0,5 razão de semelhança de II para Ié igual a 2 3 = 1,5 2

13 Se a razão de semelhança entre duas figuras, e B for, deparab: Superior a 1, r>1 Inferior a 1, r<1 Bé ampliação de Igual a 1, r=1 Bé redução de e Bsão congruentes.

14 Construção de mpliações e de Reduções de Figuras Dada uma figura qualquer existem vários métodos geometricamente rigorosos que permitem a construção de figuras semelhantes a uma figura dada. Esses métodos tanto permitem a construção de ampliações como de reduções. Os mais usados são o método da quadrícula e o método da homotetia.

15 Método da Quadrícula Consiste na utilização de uma grelha, normalmente quadriculada, para obter figuras semelhantes a uma figura dada. Considerando a figura ao lado, e pretendendo-se construir uma figura semelhante à mesma, haveria que considerar as medidas (em quadrículas) de cada lado e multiplicá-las por uma razão de semelhança. De modo a manter a forma desejada, com a garantia de existência de proporcionalidade entre as quadrículas da figura original e da sua transformada.

16 Novamente, considerando a figura da página anterior e pretendendo-se uma ampliação de razão 3. Multiplica-se, para cada lado, o número de quadrículas por 3, obtendo-se a figura ao lado.

17 or outro lado, caso se pretendesse uma redução de razão 0,5 Multiplicar-se-ia, para cada lado, o número de quadrículas por 0,5, obtendo-se a figura ao lado.

18 Outra forma de reduzir ou ampliar figuras com este método é utilizar quadrículas de tamanhos diferentes, como nas figuras abaixo. Repare-se que, neste caso, a figura da direita é uma ampliação da figura da esquerda. No entanto, foram as quadrículas a serem ampliadas para o dobro.

19 Método da Homotetia É um método de construção de figuras semelhantes, que usa um ponto auxiliar. rocedimento: Marcação de um ponto O, designado centro da homotetia; Traçado de rectas que passam por Oe por cada um dos vértices da figura que se pretende transformar; Medição das distâncias de Oa cada um dos vértices da figura; Multiplicação de cada uma das distâncias obtidas por uma razão de semelhança; Marcação dos vértices da nova figura, a partir dos valores obtidos no ponto anterior, medindo a partir de O; União dos pontos resultantes.

20 Exemplo Considere-se a figura ao lado, da qual se pretende construir uma ampliação de razão 1,5. Utilize-se, para tal, o método da homotetia. 1.º asso Marcação de um ponto O, designado centro da homotetia

21 2.º asso -Traçado de rectas que passam por Oe por cada um dos vértices da figura que se pretende transformar.

22 3.º asso -Medição das distâncias de Oa cada um dos vértices da figura. O = 3, 16cm OB = 3, 16cm OC = 4, 12cm OD = 4cm OE = 5cm OF = 5, 1cm

23 4.º asso -Multiplicação de cada uma das distâncias obtidas por uma razão de semelhança. Como, neste caso, a razão de semelhança é igual a 1,5. O' = O r O' = 3,16 1,5 O' = 4, 74cm OB' = OB r OB' = 3,16 1,5 OB' = 4, 74cm OC' = OC r OC' = 4,12 1,5 OC' = 6, 18cm OD' = OD r OD' = 4 1,5 OD' = 6cm OE' = OE r OE' = 5 1,5 OE' = 7, 5cm OF' = OF r OF' = 5,1 1,5 OF' = 7, 65cm

24 5.º asso -Marcação dos vértices da nova figura, a partir dos valores obtidos no ponto anterior, medindo a partir de O;

25 6.º asso - União dos pontos resultantes.

26 homotetia é independente do ponto que consideramos para seu centro. s figuras resultantes continuam a ser geometricamente iguais, mudando apenas a sua posição em relação à figura original. Neste caso, a figura original foi reduzida para um quarto do seu tamanho por duas homotetias de centros diferentes. Constata-se que as duas figuras resultantes são congruentes.

27 olígonos Semelhantes Tal como acontece com as figuras Dois polígonos dizem-se semelhantes se verificam as seguintes condições: os ângulos correspondentes são congruentes; os comprimentos dos lados correspondentes são directamente proporcionais.

28 Se dois polígonos são semelhantes então, para determinar a razão de semelhança, basta determinar o quociente entre os comprimentos de dois lados correspondentes. Considerando, como exemplo, os dois rectângulos abaixo representados tem-se: B Razão de semelhança deparab. r = 6 = 3 2 Razão de semelhança debpara. r 3 ' = = 6 1 2

29 Dados dois polígonos semelhantes e B, tais que, de para B, a razãosemelhançaér,entãoarazãodesemelhançadebparaé r 1 Considerando o exemplo anterior Razão de semelhança deparab. r = 2 Razão de semelhança debpara. r'= r' = = 2 1 r

30 Relação entre erímetros e Áreas de olígonos Semelhantes Na figura seguinte encontram-se representados três rectângulos semelhantes. B C Tomando cada quadrícula como unidade, analise-se a relação que existe entre as várias medidas das áreas e dos perímetros: mpliação De para B De para C De Bpara C Razão de Semelhança Razão entre as Medidas dos erímetros Razão entre as Medidas das Áreas 2 = = = 4 = = = 4 6 = 16 = = = = 4 = 8 2 2

31 Observando a linha da tabela correspondente à razão entre a medida dos perímetros conclui-se que é igual à razão da semelhança correspondente. Jáarazãoentreamedidadasáreaséoquadrado da razão de semelhança correspondente. Estas conclusões são válidas para todos os polígonos semelhantes.

32 SeeBsãodoispolígonossemelhantestaisque,deparaB, arazãodesemelhançaérentão: arazãoentreamedidadosperímetrosdosdoispolígonosé r,ouseja, = B r r = arazãoentreamedidadasáreasér 2,ouseja, B = r 2 r = B B

33 Exemplo 1 Considerem-se e Q polígonos semelhantes abaixo representados: Q Sabendo que o perímetro de é igual a 10,48cm e que o perímetro de Q é iguala20,96cm,qualéarazãodesemelhançadeparaq? Tem-se que Q 20,96 r = r = r 10,48 = 2 Logo,arazãodesemelhançadeparaQéiguala2.

34 Exemplo 2 Considerem-se e Q polígonos semelhantes abaixo representados: Q Sabendo que a área de é igual a 3cm 2 e que a área de Q é igual a 13,23cm 2, qual é a razão desemelhançadeparaq? Tem-se que r Q 13,23 = r = r = 4,41 r 3 = 2,1 Logo,arazãodesemelhançadeparaQéiguala2,1.

35 Exemplo 3 Considerem-se e Q polígonos semelhantes abaixo representados: Q Sabendo que a área de é igual a 1,5cm 2, que a área de Q é igual a 9,375cm 2 e que o perímetro de é igual a5,4cm,qualéoperímetrodeq? Umavezque: = Q Há que descobrir qual a razão de semelhança em causa, pois só se conhece o valordoperímetrode.como Tem-se, pelos dados do enunciado r = 9,375 r = r = 6,25 r = 1,5 2,5 Q r Logo,arazãodesemelhançaéiguala2,5

36 Q gora que é conhecido o valor da razão de semelhança, é possível determinar o valor do perímetro de Q. Tem-se = r = 5,4 2,5 = 13, 5cm Q Q Q Logo,operímetrodeQéiguala13,5cm

37 Exemplo 4 Considerem-se e Q polígonos semelhantes abaixo representados: Q Sabendo que o perímetro de é igual a 8,8cm, que o perímetro de Q é igual a 20,24equeaáreadeéiguala3cm 2,qualéaáreadeQ? Umavezque: B = r 2 Há que descobrir qual a razão de semelhança em causa, pois só se conhece o valordaáreade.como r = B

38 Tem-se, pelos dados do enunciado 20,24 r = r 8,8 = 2,3 gora que é conhecido o valor da razão de semelhança, é possível determinar o valordaáreadeq.tem-se r = = 3 2,3 = 3 5,29 = 15,87cm B B B B Logo,aáreadeQéiguala15,87cm 2