20 TANGÊNCIA E CONCORDÂNCIA 20.1 PROPRIEDADES DE TANGÊNCIA

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1 TNGÊNI E ONORDÂNI 20.1 PROPRIEDDES DE TNGÊNI Definições: 1) tangente a uma curva é uma reta que tem um só ponto em comum com esta curva. 2) Duas curvas são tangentes num ponto dado T, quando as tangentes a essas curvas nesse ponto são coincidentes. Propriedades: 1) Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência. 2) Se duas circunferências são tangentes então o ponto de tangência e os centros estão alinhados PROPRIEDDES DE ONORDÂNI Definição: oncordar duas linhas é reuni-las de forma tal que nos pontos de contato se possa passar de uma para a outra sem reversão ou ângulo. Ponto de concordância é o ponto de contato das linhas concordantes (o ponto de concordância entre duas linhas concordantes corresponde ao ponto de tangência entre duas linhas tangentes). entro de concordância é cada um dos centros das curvas concordantes. Propriedades de concordância: 1) Um arco e uma reta estão em concordância num ponto quando a reta é tangente ao arco nesse ponto. 2) Na concordância de reta com arco de circunferência, o ponto de concordância e o centro de concordância estão sobre uma mesma perpendicular. 3) Dois arcos de circunferência estão em concordância num ponto quando admitem nesse ponto uma tangente comum.

2 145 Exercícios: 1. Traçar reta tangente a uma circunferência 2. Traçar retas tangentes a uma (, m) dada, por um ponto da mesma. circunferência (, m) paralelas a uma reta s dada. T 3. Traçar tangentes a uma circunferência (,m) dada pelo ponto P utilizando o centro da mesma P 3.2. sem utilizar o centro da mesma P

3 Traçar retas tangentes comuns a duas circunferências (, m) e (B, n) dadas Tangentes exteriores - Método da contração B 4.2. Tangentes interiores Método da dilatação B

4 Traçar circunferência de centro O dado, tangentes a reta t dada. O t 6. Traçar circunferências de centro O dado, tangentes a circunferência (, m). O 7. onstruir as circunferências de raio r, tangentes à circunferência (, m) num ponto T da mesma. r T

5 Traçar circunferência que passa por um ponto P e é tangente a circunferência (, m) em T. P T 9. Traçar circunferências que passam pelo ponto P e são tangentes a reta r em T. P T t 10. Traçar circunferências de raio r, que passam pelo ponto P e que sejam tangentes à circunferência (, m). r P

6 Traçar circunferências de raio r, que passem pelo ponto P e que sejam tangentes à reta s. r P s 12. Traçar circunferências de raio r, tangentes a reta t e a circunferência (,m). r 13. Traçar circunferências de raio r, tangentes às circunferências (,m) e (D,n). t r D

7 Traçar circunferências tangentes à reta t em T e à circunferência (,m). T t 15. onstruir circunferências que passam pelos pontos e B e são tangentes à reta t. B t

8 Inscrever num setor circular dado, uma circunferência. 17. Traçar três circunferências de raios iguais, tangentes entre si e tangentes interiores a uma circunferência dada.

9 Traçar circunferências tangentes entre si de centros, B e. B 19. Dadas três circunferências de mesmo raio, traçar circunferências que sejam tangentes às circunferências dadas. B

10 oncordar duas circunferências dadas de centro e raio a e de centro B e raio b por meio de um arco de circunferência de raio dado r. Dados: B=8cm, a=4cm, b=3cm e r=2cm EIXO RDIL, ENTRO RDIL E FEIXE DE IRUNFERÊNIS Eixo radical onsidere duas circunferências λ1 e λ2 secantes nos pontos e B, de centros O1 e O2. Seja e a reta B e P um ponto de e. e P λ1 Α λ2 O1 O2 Β

11 154 Tem-se que a potência do ponto P em relação a circunferência λ1 é a mesma potência do ponto P em relação a circunferência λ2. ssim, diz-se que o ponto P é equipotente em relação a essas circunferências. Se de P forem traçadas tangentes t1 e t2, respectivamente a λ1 e a λ2, tem-se que PT1=PT2. Essa reta e é denominada de eixo radical das circunferências λ1 e λ2. e P λ1 T1 1 2 T3 O1 T2 T4 O2 l 2 B1 B B2 Definição: O lugar geométrico dos pontos equipotentes em relação a duas circunferências não concêntricas de centros O1 e O2 é denominado eixo radical das mesmas. Onde e O1O2. Exercícios 1. onstruir o eixo radical de duas circunferências dadas. a) s circunferências são secantes O1 O2

12 155 b) s circunferências são tangentes O1 O2 O1 O2 c) as circunferências são concêntricas λ1 λ2 O1=O2 d) s circunferências são exteriores O1 O2

13 156 e) s circunferências são interiores O1 O entro radical Propriedade: Os eixos radicais de três circunferências λ1, λ2 e λ3, com centros não alinhados, tomadas duas a duas, interceptam-se num mesmo ponto. Definição: O ponto, equipotente em relação a três circunferências cujos centros não estão alinhados, é denominado centro radical dessas circunferências Feixe de circunferências Definição: hama-se feixe de circunferências toda família de circunferências que admitem o mesmo eixo radical. Propriedade Fundamental do Feixe de ircunferências: Os eixos radicais de uma circunferência ϕ qualquer com todas as circunferências de um feixe concorrem num mesmo ponto situado no eixo radical e desse feixe. O ponto é o centro radical da circunferência ϕ com o feixe de circunferências.

14 157 Exercícios: 1. onstruir um feixe de circunferências secantes. 2. onstruir um feixe de circunferências tangentes. 3. Seja a circunferência dada ϕ e um feixe de circunferências determinado por dois pontos dados e B. Determinar o centro radical de ϕ com o feixe. O B

15 São dadas duas circunferências, de centros O1 e O2, e uma reta r. Determinar um ponto X de r, tal que os segmentos das tangentes traçadas de X às circunferências sejam congruentes. Traçar essas tangentes a partir do ponto X obtido. O1 O2 r 5. De um feixe de circunferências tangentes é dado o eixo radical e e o ponto T de tangência. onstruir a reta que contém os centros de todas as circunferências desse feixe. Desse feixe, obter a circunferência que passa pelo ponto P dado. P e T

16 São dados os pontos e B e uma circunferência ϕ. Determinar o centro radical de ϕ com o feixe de circunferências secantes que têm em e B os seus pontos de base. O B 7.. De um feixe de circunferências tangentes são dados o eixo radical e e o ponto T de tangência. É dada também uma circunferência ϕ. Determinar o centro radical de ϕ com o feixe. O T t

17 Dados um ponto, uma reta s e uma reta t, construir uma circunferência que tenha centro em s, passe por e seja tangente a t. s t 10. São dados dois pontos e B e uma circunferência ϕ. onstruir uma circunferência que passe pelos pontos e B e seja tangente a circunferência ϕ. ϕ B

18 Sejam dados um ponto, uma reta s e uma circunferência ϕ. onstruir uma circunferência que tenha centro em s, passe por e seja tangente a circunferência ϕ. j s 12. São dados uma reta s, uma circunferência ϕ e um ponto interno a φ. onstruir uma circunferência que tenha centro em s, passe por e tangencie ϕ. j s

19 São dadas duas circunferências λ e ϕ, e um ponto T sobre λ. onstruir uma circunferência tangente às duas circunferências dadas, sendo T o ponto em que ela tangencia λ. j T l 14. São dadas duas retas a e b e uma circunferência ϕ. onstruir uma circunferência que tangencie a, b e ϕ. a b

20 PLIÇÕES DE ONORDÂNI: ROS, OVIS E ESPIRIS 21.1 ROS Definição: Denomina-se arco a uma curva constituída de linhas concordantes apoiadas em duas semi-retas, r e s, paralelas, nos pontos de origem e B, respectivamente. Todo arco é formado pelos seguintes elementos: a) Pontos de nascença ou de origem: são pontos que determinam as extremidades do arco. b) Vão, base do arco ou abertura: é a distância entre os pontos de origem. c) Flecha: é a distância entre o ponto mais alto do arco e a reta base do arco. d) Suportes: são as semi-retas paralelas que sustentam o arco. Os arcos podem ser classificados em: a) plenos, romanos ou de meia volta a flecha é igual à metade do vão; b) abatidos, asa de cesto ou sarapanel são obtidos pela concordância de um número ímpar de arcos de circunferência. flecha é menor que a metade do vão; c) ogivais ou superelevados têm como principal característica a flecha maior que a metade do vão. rco gótico é um tipo de arco ogival; d) esconsos, botantes ou aviajados são formados por arcos de raios diferentes e seus pontos de nascença não estão numa mesma horizontal, isto é, têm alturas diferentes.

21 164 Exercícios: 1. onstruir um arco pleno, sabendo-se que o vão B mede 3cm. 2. onstruir um arco abatido de 3 centros, sabendo que o vão B mede 10cm e a flecha D mede 3cm. 3. onstruir um arco ogival que tem 4cm de vão. 4. onstruir um arco ogival, conhecendo o vão B e a flecha D. B=4cm e D=5cm. 5. onstruir um arco gótico conhecendo-se o vão B=5cm. 6. onstruir um arco ogival de ferradura, sabendo que a medida do vão é de 53mm. 7. onstruir um arco esconso conhecendo-se os pontos de origem e B e os seus suportes r e Bs OVIS Definição: s ovais são curvas fechadas, constituídas por arcos de circunferências concordantes entre si, possuindo dois eixos maior e menor. s ovais podem ser classificadas em: a) regulares ou falsas elipses são formadas por arcos concordantes e simétricos dois a dois, possuem dois eixos de simetria de tamanhos diferentes; b) irregulares são formadas por arcos concordantes, possuem apenas um eixo de simetria. Exercícios: 1. onstruir uma oval irregular conhecendo-se o eixo menor. 2. onstruir uma oval irregular alongada conhecendo-se o eixo menor de 5cm, e sabendo-se que o centro do arco menor esta a 3cm do centro O do eixo menor. 3. onstruir uma oval regular conhecendo-se o eixo menor. 4. onstruir uma oval regular de 4 centros conhecendo-se o eixo maior.

22 ESPIRIS Definição: hama-se espiral a curva descrita por um ponto que se desloca com um movimento retilíneo uniforme (ou não), sobre uma reta, ao mesmo tempo em que este ponto gira em movimento circular também uniforme. Existem dois tipos de espirais: a) s verdadeiras: que são traçadas por pontos auxiliares à mão livre (por exemplo, espiral de rquimedes e espiral logarítmica). b) s falsas: que é o nome dado às curvas formadas por arcos concordantes que lembram o formato de uma espiral. Elementos de uma espiral: a) núcleo é um polígono regular ou irregular, que contém os vários centros dos arcos que formam a espiral. Na espiral verdadeira, o núcleo é substituído por um ponto de centro, chamado pólo; b) centros são os centros dos arcos que formam a espiral; c) raios vetores prolongamentos dos lados do núcleo. Na espiral verdadeira são linhas que saem do pólo a um ponto qualquer da curva; d) espira cada evolução completa da espiral; e) passo distância entre duas espiras; O desenvolvimento de uma espiral pode ser no sentido horário ou anti-horário. Exercícios: 1. onstruir uma falsa espiral de 2 centros (bicêntrica), no sentido horário, sabendo que seus centros distam 1cm.

23 onstruir uma falsa espiral de 3 centros regular (tricêntrica), no sentido horário, sabendo que seu núcleo é formado pelos pontos, B e, dados. Dados: B=B==1cm 3. onstruir uma falsa espiral de 3 centros irregular (tricêntrica), no sentido horário, sabendo que seu núcleo é formado pelos pontos, B e, dados. Dados: B=1,5cm, B=2cm e =1,3cm 4. onstruir uma falsa espiral de 4 centros (quadricêntrica), no sentido anti-horário, sabendo que seu núcleo é formado pelos pontos, B, e D, dados. Dados: BD é um quadrado de lado 1cm 5. onstruir um retângulo áureo de lado maior 15cm e a espiral de Fibonacci ou de ouro (esta espiral aproxima-se muito de uma espiral logarítmica). 6. onstruir um triângulo áureo de lado maior 15cm e a espiral de ouro (esta espiral aproxima-se muito de uma espiral logarítmica).