1 - POLÍGONOS REGULARES E CIRCUNFERÊNCIAS

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1 Matemática 2 Pedro Paulo GEOMETRIA PLANA X 1 - POLÍGONOS REGULARES E CIRCUNFERÊNCIAS 1.2 Triângulo equilátero circunscrito A seguir, nós vamos analisar a relação entre alguns polígonos regulares e as circunferências. Uma propriedade interessante de qualquer polígono pode ser inscrito em ou circunscrito a uma circunferência (ou a um círculo). Os polígonos mais importantes e que serão estudados agora são o triângulo equilátero, o quadrado e o hexágono regular. 1.1 Triângulo equilátero inscrito Figura 2: triângulo equilátero circunscrito Como o triângulo é equilátero, o centro da circunferência inscrita no triângulo (que é o incentro) coincide com o baricentro e o ortocentro. Assim, a medida do segmento vale da altura do triângulo equilátero, pois é baricentro! Sejam o raio da circunferência inscrita e o lado do triângulo equilátero. Então, tem-se: Figura 1: triângulo equilátero inscrito Como o triângulo é equilátero, o centro da circunferência circunscrita ao triângulo (que é o circuncentro) coincide com o baricentro e o ortocentro. Assim, a medida do segmento vale da altura do triângulo equilátero, pois é baricentro! Sejam o raio da circunferência circunscrita e o lado do triângulo equilátero. Então, tem-se: Além disso, nota-se que o ângulo na figura é inscrito na circunferência e enxerga o arco. Logo,. Da mesma forma, pode-se deduzir que. Isso significa que o triângulo divide a circunferência circunscita em três arcos iguais a. Portanto, em uma circunferência qualquer, se uma corda é o lado do triângulo equilátero inscrito, ela vai determinar um arco de. Comparando o raio da cincunferência circunscrita com o raio da cincunferência inscrita, tem-se que. De fato: Observação: o raio da circunferência inscrita no triângulo equilátero também é denominado apótema do triângulo equilátero. Observação: quando se fala em um triângulo inscrito em uma circunferência (como na figura 1), diz-se que a circunferência é circunscrita ao triângulo. Quando se fala em um triângulo circunscrito a uma circunferência (como na figura 2), diz-se que a circunferência é inscrita ao triângulo. Então: A figura INscrita está dentro da outra; A figura CIRCUNscrita está fora da outra; Observação: o lado do triângulo equilátero inscrito determina um arco de CASD Vestibulares Geometria 1

2 1.3 Quadrado inscrito Seja o lado do quadrado, onde e são pontos médios de e, respectivamente. Então. No entanto, passa pelo centro da circunferência inscrita, portanto é um diâmetro. Seja o raio da circunferência inscrita. Então, tem-se que. Logo: Comparando o raio da cincunferência circunscrita com o raio da cincunferência inscrita, tem-se que. Figura 3: quadrado inscrito Seja o lado do quadrado. Então a diagonal vale. No entanto, passa pelo centro da circunferência circunscrita, portanto é um diâmetro. Seja o raio da circunferência circunscrita. Então, tem-se que. Logo: Observação: o raio da circunferência inscrita no quadrado também é denominado apótema do quadrado. 1.5 Hexágono regular inscrito Além disso, nota-se que o ângulo na figura é inscrito na circunferência e enxerga o arco. Logo,. Da mesma forma, pode-se deduzir que. Isso significa que o quadrado divide a circunferência circunscita em quatro arcos iguais a. Portanto, em uma circunferência qualquer, se uma corda é o lado do quadrado inscrito, ela vai determinar um arco de. Observação: o lado do quadrado inscrito determina um arco de 1.4 Quadrado circunscrito Figura 5: hexágono regular inscrito Seja o lado do hexágono regular. No triângulo, tem-se que. Logo, o triângulo é isósceles, portanto. O ângulo no triângulo é um ângulo interno ao hexágono, logo, com. Logo,. Além disso, a soma dos ângulos internos do triângulo é. Então: Além disso, nota-se que o ângulo na figura 13 é inscrito na circunferência e enxerga o arco. Logo,. Da mesma forma, pode-se deduzir que Figura 4: quadrado circunscrito. 2 Geometria CASD Vestibulares

3 Isso significa que o hexágono regular divide a circunferência circunscita em seis arcos iguais a. Portanto, em uma circunferência qualquer, se uma corda é o lado do hexágono regular inscrito, ela vai determinar um arco de. Observação: o lado do hexágono regular inscrito determina um arco de 1.7 Área do hexágono regular Vimos que o triângulo da figura 5 é equilátero de lado. Da mesma forma, os triângulos,,, e são todos equiláteros de lado. Assim, o hexágono regular pode ser dividido em 6 triãngulos equiláteros de lado, como na figura 7 abaixo. Então: Em particular, o arco vale. E no triângulo, o ângulo é um ângulo central que enxerga o arco, portanto. Seja o raio da circunferência circunscrita. No triângulo, tem-se que. Logo, o triângulo é isósceles, portanto. Além disso, a soma dos ângulos internos do triângulo é. Então: Como o triângulo possui todos os ângulos iguais a, ele é equilátero! Portanto,. Mas é o lado do hexágono regular, o que leva a: Figura 7: hexágono regular dividido em triângulos equiláteros Logo, a área de um hexágono regular de lado é Conclusão: em um hexágono regular, o lado é igual ao raio da circunferência circunscrita 1.6 Hexágono regular circunscrito 1.8 Polígono regular de lados A seguir, são listadas algumas propriedades que valem para qualquer polígono regular, inscrito ou circunscito: Em qualquer polígono regular, o centro da circunferência circunscrita e o centro da circunferência inscrita são pontos coincidentes. Esse ponto é o centro do polígono regular; Figura 6: hexágono regular circunscrito No hexágono regular, o centro da circunferência circunscrita coincide com o centro da circunferência inscrita. Sejam o raio da circunferência circunscrita e o raio da circunferência inscrita. Logo, no triângulo, e. O ângulo vale. Assim, como o triângulo é retângulo, pode-se utilizar as relações trigonométricas: Em qualquer polígono regular, o apótema é o segmento com uma extremidade no centro do polígono e outra no ponto médio de um lado do polígono; Em qualquer polígono regular, o apótema é o raio da circunferência inscrita; Em qualquer polígono regular de lados, os lados dividem a circunferência em arcos iguais a ; Em qualquer polígono regular de lados, o ângulo cêntrico (cujo vértice está no centro do polígono e cujos lados passam por vértices consecutivos do polígono) vale ; Observação: o raio da circunferência inscrita no hexágono regular também é denominado apótema do hexágono regular. Para calcular a área de um polígono regular de lados, divida-o em triângulos isósceles cujo lado é o raio da circunferência circunscrita e cuja base é o lado do polígono; CASD Vestibulares Geometria 3

4 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Nível I 1. (UNIFESP - 08) Tem-se um triângulo equilátero em que cada lado mede cm. O raio do círculo circunscrito a esse triângulo, em centímetros, mede Nível II 9. (FUVEST - 00) Na figura abaixo, é um pentágono regular. A medida, em graus, do ângulo é: a) b) c) d) e) 2. Um triângulo equilátero está inscrito em um círculo de raio. Calcule a área deste triângulo. 3. (PUC-RJ - 01) Qual a razão entre os raios dos círculos circunscrito e inscrito de um triângulo equilátero de lado? a) b) c) d) e) 4. (ENEM - 12) Em exposições de artes plásticas, é usual que estátuas sejam expostas sobre plataformas giratórias. Uma medida de segurança é que a base da escultura esteja integralmente apoiada sobre a plataforma. Para que se providencie o equipamento adequado, no caso de uma base quadrada que será fixada sobre uma plataforma circular, o auxiliar técnico do evento deve estimar a medida do raio adequado para a plataforma em termos da medida do lado da base da estatua. Qual relação entre e o auxiliar técnico deverá apresentar de modo que a exigência de segurança seja cumprida? a) b) c) d) e) 5. (UEL - 99) Se um círculo de de raio está inscrito em um hexágono regular, o perímetro do hexágono, em centímetros, é igual a a) b) c) d) e) 10. Na figura, é um diâmetro, a corda é o lado do triângulo equilátero inscrito e, o lado do quadrado inscrito. Calcule o ângulo, formado pelas tangentes e. 11. Atividade Proposta nº 8, Geometria Plana IV 12. (MACKENZIE - 03) Na figura,, é o centro da circunferência e é o lado do polígono regular inscrito na circunferência. Se o comprimento da circunferência é, a área desse polígono é: a) b) c) d) e) 6. (UFU - 01) Sabendo-se que um polígono regular de lados está inscrito num círculo de raio e que o polígono possui diagonais, encontre a medida do comprimento de seu lado. 7. Atividade Proposta nº 6, Geometria Plana V 8. Atividade Proposta nº 10, Geometria Plana V Correção da apostila do SAS: Na atividade Proposta nº 10, Geometria Plana V, na alternativa d), troque por a) b) c) d) e) 13. (UNICAMP - 04) Um triângulo equilátero tem o mesmo perímetro que um hexágono regular cujo lado mede. Calcule: a) O comprimento de cada lado do triângulo. b) A razão entre as áreas do hexágono e do triângulo. 14. Atividade para Sala nº 3, Geometria Plana IV 4 Geometria CASD Vestibulares

5 15. (UFSCAR - 05) A figura 1 representa um determinado encaixe no plano de ladrilhos poligonais regulares ( hexágono, triângulos, quadrados), sem sobreposições e cortes. 18. (UFSCAR - 03) Uma placa de aço quadrada vai ser transformada em um octógono regular, recortandose os quatro cantos do quadrado de forma a obter o maior polígono possível, como mostra a figura. Em relação aos ladrilhos triangulares colocados perfeitamente nos espaços da figura 1, como indicado na figura 2, é correto dizer que a) são triângulos equiláteros e são triângulos isósceles de ângulo da base medindo. b) são triângulos equiláteros e são triângulos isósceles de ângulo da base medindo. c) são triângulos isósceles de ângulo da base medindo e são triângulos isósceles de ângulo da base medindo. Sendo a medida do lado do quadrado igual a, calcule, em função de, a) a medida de. b) o perímetro do octógono obtido. 19. (PUC PR - 04) Quatro triângulos congruentes são recortados de um retângulo de. O octógono resultante tem oito lados iguais. d) são triângulos equiláteros e são triângulos retângulos isósceles. e) são triângulos equiláteros e são triângulos escalenos. 16. (ESPM - 11) Os pontos,, e são vértices consecutivos de um polígono regular com diagonais, cujo lado mede. O comprimento do segmento é igual a: a) b) c) d) e) 17. (FATEC - 07) O lado de um octógono regular mede. A área superfície desse octógono, em cetímetros quadrados, é igual a: O comprimento do lado deste octógono é: a) b) c) d) e) 20. A figura representa sete hexágonos regulares de lado e um hexágono maior, cujos vértices coincidem com os centros de seis dos hexágonos menores. Então, a área do pentágono hachurado é igual a a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) CASD Vestibulares Geometria 5

6 DICAS E FATOS QUE AJUDAM 1. O lado do triângulo equilátero é. Então: 8. Como é o lado de um octógono regular (com lados),. Além disso, seja o suplemento de. Como é tangente, é um ângulo d segmento que enxerga o arco. Assim, tem-se: 2. Como o triângulo equilátero está inscrito no círculo, o círculo está circunscrito ao triângulo. Assim, Como é o suplemento de, tem-se: Lembre que a área do triângulo equilátero é 3. Veja o final da seção Como a base (quadrada) da escultura está integralmente apoiada sobre a plataforma (circular), o quadrado está dentro do círculo, isto é, o quadrado está inscrito. 5. Como o círculo está inscrito no hexágono, o hexágono está circunscrito ao círculo. Então Note que o perímetro do hexágono é 6. Seja o número de lados do polígono. Como ele tem diagonais, tem-se: 9. Trace a circunferência que passa pelos pontos,,,,. Como é um pentágono regular (com lados), os seus lados dividem a circunferência em arcos iguais a. Assim, Como é um ângulo inscrito que enxerga o arcos : 10. Como é um diâmetro,. Como é o lado do triângulo equilátero inscrito,. Como é o lado do quadrado inscrito,. Como,, logo o polígono é um hexágono. Como o hexágono está inscrito no círculo, 7. Como é um octógono regular (com lados), os seus lados dividem a circunferência em arcos iguais a. Assim, temos: Como é um ângulo de vértice exterior que enxerga os arcos e, tem-se: Como é um ângulo de vértice exterior que enxerga os arcos e, tem-se: 11. Note que os hexágonos regulares possuem o mesmo lado que o quadrado, que por sua vez possui o mesmo lado que o triângulo. Como o hexágono regular e o triângulo possuem o mesmo lado, a área de cada hexágono é seis vezes a área do triângulo equilátero (veja a figura 7), ou seja, a área de cada hexágono é. Logo a ára total dos hexágonos é Note que cada um dos outros triângulos é retângulo (pois a soma dos ângulos ao redor de cada vértice do quadrado é ), com os dois catetos iguais ao lado do quadrado. Assim, a área de cada um dos triângulos é a área de metade do quadrado. Logo a área total dos triângulos é. Assim, a área do decágono é 6 Geometria CASD Vestibulares

7 12. Como é o ângulo inscrito que enxerga : Seja o número d lados do polígono. Como o polígono é regular, os seus lados dividem a circunferência em arcos iguais a. Assim, temos: Logo, o polígono é um hexágono inscrito! Como o comprimento da circunferência é, tem-se: Como o hexágono é inscrito: 15. Primeiro note que todos os triângulos hachurados são isósceles, pois todas os polígonos da figura 1 possuem o mesmo lado. Além disso, nos dois triângulos hachurados do meio, o ângulo oposto à base é (hexágono regular) (quadrado), logo o ângulo oposto à base é. Como os dois outros ângulos da base são iguais entre si, os outros ângulos também são iguais a. Já nos outros quatro triângulos, o ângulo oposto à base é (hexágono regular) (quadrado) (triângulo equilátero), logo o ângulo oposto à base é. Como os dois outros ângulos da base são iguais entre si, os outros ângulos são iguais a 16. Seja o número de lados do polígono. Como ele tem diagonais, tem-se: A área do hexágono é: 13. a) O perímetro do hexágono é. Então o perímetro do triângulo também é. Além disso, como o triângulo é equilátero, o perímetro é. Logo b) Como o triângulo é equilátero, a sua área é: Como,, logo o polígono é um octógono. O ângulo externo do polígono é Prolongue os segmentos e. Seja o ponto em que as retas e se cortam. Note que e são ângulos externos, logo Como o hexágono é regular, a sua área é: 14. Como o hexágono tem lado, a sua área é: Logo, o triângulo e é retângulo isósceles, com. Então: Como o triângulo tem lado, a sua área é: ( ) Note que e. Então o triângulo é retângulo isósceles Como o quadrado tem lado, a sua área é: ( ) CASD Vestibulares Geometria 7

8 17. Seja um lado do octógono, o ponto médio de e o centro do octógono. Logo. Como, o triângulo é isósceles. Assim, a mediana também é bissetriz. Logo. Além disso, a mediana também é altura, logo. Finalmente,. Usando arco metade em trigonometria, note que. Usando trigonometria no triângulo retângulo : ( ) 20. O apótema de cada um dos hexágonos de lado é O lado do hexágono maior é o dobro desse apótema: A área do hexágono maior é e a área de cada hexágono menor é. Além disso, note que a diferença entre a área do hexágono maior e a área do hexágono menor central é vezes a área do pentágono hachurado. Então: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1. B GABARITO O triângulo tem base e altura, logo: ( ) ( ) Note que a área do octónogo é oito vezes a área do triângulo 18. Note que o lado do octógono é. Como o octógono é regular, é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos e. Usando Pitágoras: 2. A área do triângulo é 3. A 4. A 5. A 6. A medida do comprimento do seu lado é 7. C 8. D 9. C 10. O ângulo vale Note que 19. Sejam o cateto horizontal e o cateto vertical dos triângulos. Então o lado do octógono regular é, logo. Além disso, a hipotenusa do triângulo é o lado do octógono, que vale. Usando o Teorema de Pitágoras: 11. A 12. B 13. a) Cada lado do triângulo mede b) A razão entre as áreas é 14. C 15. D 16. B 17. A 18. a) A medida de é b) O perímetro do octógono obtido é ( ) O lado do octógono é ou. Como, 19. C 20. E 8 Geometria CASD Vestibulares