Processamento de Malhas Poligonais
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- Luiz Fernando Barroso Regueira
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1 Processamento de Malhas Poligonais Tópicos Avançados em Computação Visual e Interfaces I Prof.: Marcos Lage [email protected] Conteúdo: Notas de Aula
2 Definições preliminares 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 2
3 Malha de polígonos Uma malha de polígonos é composta por informações geométricas e topológicas. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 3
4 Malha de polígonos Uma malha de polígonos é composta por informações geométricas e topológicas. A estrutura topológica de uma malha de polígonos é usualmente descrita através de complexos celulares. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 4
5 Malha de polígonos Uma malha de polígonos é composta por informações geométricas e topológicas. A estrutura topológica de uma malha de polígonos é usualmente descrita através de complexos celulares. Em particular, uma malha de triângulos tem sua estrutura topológica representada por complexos simpliciais. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 5
6 Definições Preliminares Definição de Simplexo Um simplexo de dimensão do é o fecho convexo dos pontos, em posição geral. Isto significa que os vetores: São Linearmente Independentes. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 6
7 Definições Preliminares Definição de Simplexo Um simplexo de dimensão do é o fecho convexo dos pontos, em posição geral. Isto significa que os vetores: São Linearmente Independentes. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 7
8 Definições Preliminares Definição de Simplexo Um simplexo de dimensão do é o fecho convexo dos pontos, em posição geral. Isto significa que os vetores: São Linearmente Independentes. Denotamos sua dimensão por: e o conjunto de vértices por: 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 8
9 Definições Preliminares Definição de Simplexo Um simplexo de dimensão do é o fecho convexo dos pontos, em posição geral. Isto significa que os vetores: São Linearmente Independentes. Simplexos de dimensão 0, 1, 2 e 3 respectivamente. Chamamos um simplexo de dimensão k de k-simplexo. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 9
10 Definições Preliminares Definição de Simplexo Um simplexo de dimensão do é o fecho convexo dos pontos, em posição geral. Isto significa que os vetores: São Linearmente Independentes. Simplexos de dimensão 0, 1, 2 e 3 são chamados, de vértice, aresta, triângulo e tetraedro. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 10
11 Definições Preliminares Definição de Face Um p-simplexo gerado a partir de um subconjunto dos vértices de um k-simplexo, com é denominado uma p-face de. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 11
12 Definições Preliminares Definição de Face Um p-simplexo gerado a partir de um subconjunto dos vértices de um k-simplexo, com é denominado uma p-face de. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 12
13 Definições Preliminares Definição de Face Um p-simplexo gerado a partir de um subconjunto dos vértices de um k-simplexo, com é denominado uma p-face de. Se é face de, dizemos também que é incidente a. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 13
14 Definições Preliminares Definição de Face Um p-simplexo gerado a partir de um subconjunto dos vértices de um k-simplexo, com é denominado uma p-face de. Um simplexo é uma face própria de,. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 14
15 Definições Preliminares Definição de Face Um p-simplexo gerado a partir de um subconjunto dos vértices de um k-simplexo, com é denominado uma p-face de. O simplexo gerado a partir do subconjunto vazio é, por convenção, uma (-1)-face de todo k-simplexo, com. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 15
16 Definições Preliminares Definição de Bordo O bordo de um p-simplexo, denotado por, é a coleção de todas as faces próprias de. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 16
17 Definições Preliminares Definição de Bordo O bordo de um p-simplexo, denotado por, é a coleção de todas as faces próprias de. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 17
18 Definições Preliminares Definição de Bordo O bordo de um p-simplexo, denotado por, é a coleção de todas as faces próprias de. O interior de um p-simplexo é definido por. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 18
19 Definições preliminares Complexos Simpliciais 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 19
20 Complexos Simpliciais Um complexo simplicial, é um conjunto finito de simplexos tais que: 1) Se, então todas as faces de pertencem a. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 20
21 Complexos Simpliciais Um complexo simplicial, é um conjunto finito de simplexos tais que: 1) Se, então todas as faces de pertencem a. 2) Se, então é uma face própria de e. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 21
22 Complexos Simpliciais Um complexo simplicial, é um conjunto finito de simplexos tais que: 1) Se, então todas as faces de pertencem a. 2) Se, então é uma face própria de e. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 22
23 Complexos Simpliciais Definimos a dimensão de um complexo simplicial como: 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 23
24 Complexos Simpliciais Definimos a dimensão de um complexo simplicial como: e dizemos que o complexo simplicial é um d-complexo simplicial. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 24
25 Complexos Simpliciais Definimos a dimensão de um complexo simplicial como: 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 25
26 Complexos Simpliciais Definição de Subcomplexo Um subcomplexo de um complexo simplicial, é qualquer subconjunto de simplexos de. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 26
27 Complexos Simpliciais Definição de Subcomplexo Um subcomplexo de um complexo simplicial, é qualquer subconjunto de simplexos de. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 27
28 Complexos Celulares Observação Importante Uma célula afim do é o fecho convexo de um conjunto finito de pontos. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 28
29 Complexos Celulares Observação Importante Uma célula afim do é o fecho convexo de um conjunto finito de pontos. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 29
30 Complexos Celulares Observação Importante Uma célula afim do é o fecho convexo de um conjunto finito de pontos. Material complementar: A stratification approach for modeling two-dimensional cell complexes S. Pesco H. Lopes e G. Tavares. Computer and Graphics /09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 30
31 Definições preliminares Complexos Simpliciais Relação entre Simplexos 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 31
32 Relação entre simplexos Definição de Junção O junção de dois simplexos e independentes, é o simplexo cujos vértices são os vértices de e. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 32
33 Relação entre simplexos Definição de Junção O junção de dois simplexos e independentes, é o simplexo cujos vértices são os vértices de e. Denotamos a junção de e por. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 33
34 Relação entre simplexos Definição de Junção O junção de dois simplexos e independentes, é o simplexo cujos vértices são os vértices de e. Denotamos a junção de e por. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 34
35 Relação entre simplexos Definição de Junção O junção de dois simplexos e independentes, é o simplexo cujos vértices são os vértices de e. Se e são simplexos do então,. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 35
36 Relação entre simplexos Definição de Estrela e Elo A estrela de um simplexo, denotada por, é a união de todos os simplexos que tem como face. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 36
37 Relação entre simplexos Definição de Estrela e Elo A estrela de um simplexo, denotada por, é a união de todos os simplexos que tem como face. O Elo de um simplexo, denotada por, é o conjunto de simplexos tais que: 1) é face de algum simplexo. 2) 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 37
38 Relação entre simplexos Definição de Estrela e Elo A estrela de um simplexo, denotada por, é a união de todos os simplexos que tem como face. O Elo de um simplexo, denotada por, é o conjunto de simplexos tais que: 1) é face de algum simplexo. 2) 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 38
39 Relação entre simplexos Simplexos de Topo Um simplexo é chamado simplexo de topo se. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 39
40 Relação entre simplexos Simplexos de Topo Um simplexo é chamado simplexo de topo se. Se um d-complexo simplicial d-simplexos, então é tal que todos seus simplexos de topo são é dito um complexo regular. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 40
41 Relação entre simplexos Simplexos de Topo Um simplexo é chamado simplexo de topo se. Se um d-complexo simplicial d-simplexos, então é tal que todos seus simplexos de topo são é dito um complexo regular. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 41
42 Relação entre simplexos Simplexos p-adjacentes Dois simplexos e são p-adjacentes quando existe uma p-face comum a eles. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 42
43 Relação entre simplexos Simplexos p-adjacentes Dois simplexos e são p-adjacentes quando existe uma p-face comum a eles. Obs: Quando a dois k-simplexos são (k-1)-adjacentes, dizemos que eles são adjacentes. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 43
44 Relação entre simplexos Simplexos p-adjacentes Dois simplexos e são p-adjacentes quando existe uma p-face comum a eles. Obs: Quando a dois k-simplexos são (k-1)-adjacentes, dizemos que eles são adjacentes. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 44
45 Relação entre simplexos Simplexos h-conectados Dois simplexos e são h-conectados se existe uma sequencia de simplexos, tal que: 1) Dois simplexos consecutivos e são h-adjacentes. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 45
46 Relação entre simplexos Simplexos h-conectados Dois simplexos e são h-conectados se existe uma sequencia de simplexos, tal que: 1) Dois simplexos consecutivos e são h-adjacentes. 2) e são faces de e respectivamente. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 46
47 Relação entre simplexos Simplexos h-conectados Dois simplexos e são h-conectados se existe uma sequencia de simplexos, tal que: 1) Dois simplexos consecutivos e são h-adjacentes. 2) e são faces de e respectivamente. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 47
48 Componentes Conexas Definição de h- componentes Dizemos que um subcomplexo é uma h-componente conexa de quando todos seus simplexos são h-conectados. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 48
49 Componentes Conexas Definição de h- componentes Dizemos que um subcomplexo é uma h-componente conexa de quando todos seus simplexos são h-conectados. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 49
50 Definições preliminares Complexos Simpliciais Relação entre Simplexos Variedades Combinatórias 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 50
51 Variedades Simplexo Variedade um (d-1)-simplexo de um d-complexo simplicial é um simplexo variedade se existem no máximo 2 d-simplexos em que tem como face. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 51
52 Variedades Simplexo Variedade um (d-1)-simplexo de um d-complexo simplicial é um simplexo variedade se existem no máximo 2 d-simplexos em que tem como face. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 52
53 Variedades Pseudo- Variedades Um d-complexo, é uma pseudo-variedade combinatória de dimensão d se, e somente se: 1) é um complexo regular (d-1)-conectado. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 53
54 Variedades Pseudo- Variedades Um d-complexo, é uma pseudo-variedade combinatória de dimensão d se, e somente se: 1) é um complexo regular (d-1)-conectado. 2) Todo (d-1)-simplexo é um (d-1)-simplexo variedade. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 54
55 Variedades Pseudo- Variedades Um d-complexo, é uma pseudo-variedade combinatória de dimensão d se, e somente se: 1) é um complexo regular (d-1)-conectado. 2) Todo (d-1)-simplexo é um (d-1)-simplexo variedade. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 55
56 Variedades Variedades Combinatórias Uma pseudo-variedade combinatória de dimensão d, tal que para todo vértice a estrela, é homeomorfa a ou é chamada de: Variedade Combinatória. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 56
57 Variedades Variedades Combinatórias Uma pseudo-variedade combinatória de dimensão d, tal que para todo vértice a estrela, é homeomorfa a ou é chamada de: Variedade Combinatória. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 57
58 Variedades Definição de Orientabilidade Seja e uma k-variedade combinatória. A orientação de dois k-simplexos adjacentes é coerente se o (k-1) simplexo que compartilham tem orientação oposta em e. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 58
59 Variedades Definição de Orientabilidade Seja e uma k-variedade combinatória. A orientação de dois k-simplexos adjacentes é coerente se o (k-1) simplexo que compartilham tem orientação oposta em e. Uma variedade combinatória é orientável se podemos escolher uma orientação coerente para todos os seus simplexos. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 59
60 Variedades Definição de Orientabilidade Seja e uma k-variedade combinatória. A orientação de dois k-simplexos adjacentes é coerente se o (k-1) simplexo que compartilham tem orientação oposta em e. Uma variedade combinatória é orientável se podemos escolher uma orientação coerente para todos os seus simplexos. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 60
61 Definições preliminares Complexos Simpliciais Relação entre Simplexos Variedades Combinatórias Operações e Propriedades 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 61
62 Operadores Estelares Seja um complexo simplicial de dimensão n. Sejam e dois simplexos de com dimensão r e (n-r) respectivamente tais que. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 62
63 Operadores Estelares Seja um complexo simplicial de dimensão n. Sejam e dois simplexos de com dimensão r e (n-r) respectivamente tais que. A operação chamada movimento biestelar consiste em alterar removendo e adicionando. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 63
64 Operadores Estelares Seja um complexo simplicial de dimensão n. Sejam e dois simplexos de com dimensão r e (n-r) respectivamente tais que. A operação chamada movimento biestelar consiste em alterar removendo e adicionando. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 64
65 Operadores Estelares Seja um complexo simplicial de dimensão n. Sejam e dois simplexos de com dimensão r e (n-r) respectivamente tais que. A operação chamada movimento biestelar consiste em alterar removendo e adicionando. Notação:. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 65
66 Operadores Estelares Seja um complexo simplicial de dimensão n. Seja um simplexo de com dimensão r e um vértice no interior de. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 66
67 Operadores Estelares Seja um complexo simplicial de dimensão n. Seja um simplexo de com dimensão r e um vértice no interior de. A operação chamada subdivisão estelar consiste em alterar removendo e adicionando. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 67
68 Operadores Estelares Seja um complexo simplicial de dimensão n. Seja um simplexo de com dimensão r e um vértice no interior de. A operação chamada subdivisão estelar consiste em alterar removendo e adicionando. Notação 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 68
69 Operadores Estelares Seja um complexo simplicial de dimensão n. Seja um simplexo de com dimensão r e um vértice no interior de. A operação chamada subdivisão estelar consiste em alterar removendo e adicionando. Fusão estelar 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 69
70 Operadores Estelares Dois super teoremas Duas superfícies combinatórias são homeomorfas, se e somente se elas são biestelar equivalentes. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 70
71 Operadores Estelares Dois super teoremas Duas superfícies combinatórias são homeomorfas, se e somente se elas são biestelar equivalentes. 02 Qualquer movimento estelar, pode ser decomposto em um conjunto finito de operações estelares, a saber:. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 71
72 Operadores Estelares Dois super teoremas Duas superfícies combinatórias são homeomorfas, se e somente se elas são biestelar equivalentes. 02 Qualquer movimento estelar, pode ser decomposto em um conjunto finito de operações estelares, a saber:. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 72
73 Operadores Estelares Os operadores estelares podem ser usados como primitivas para a definição de operações de multiresolução. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 73
74 Operadores Estelares Os operadores estelares podem ser usados como primitivas para a definição de operações de multiresolução. Ex: O colapso de arestas e a subdivisão de um vértice podem ser definidos como composições de operações estelares. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 74
75 Fórmula de Euler-Poincaré Uma superfície orientável, conexa e sem bordo é unicamente identificada pela fórmula de Euler-Poincaré: onde e representam o número de vértices, arestas e faces de. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 75
76 Característica de Euler Dada uma superfície orientável, conexa e sem bordo podemos mostrar que a fórmula de Euler-Poincaré pode ser escrita como: onde representa o número de genus de. 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 76
77 Característica de Euler Usando as fórmulas anteriores, podemos relacionar a topologia da superfície e a sua estrutura combinatória: 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 77
78 Característica de Euler Usando as fórmulas anteriores, podemos relacionar a topologia da superfície e a sua estrutura combinatória: Ainda, observando que cada aresta é compartilhada por duas faces, e que cada triângulo é composto por três arestas, podemos chegar a estatísticas interessantes: 06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 78
2 Conceitos básicos de topologia
2 Conceitos básicos de topologia Neste Capítulo são introduzidos alguns conceitos básicos de topologia combinatória e da Teoria das Alças que formam a base teórica do presente trabalho. 2.1 Topologia combinatória
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