Grafos em superfícies

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1 Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho Instituto de Geociências e Ciências Exatas Campus de Rio Claro Grafos em superfícies Mariana Thieme Moraes Takahama Dissertação apresentada ao Programa de Pós- Graduação Mestrado Profissional em Matemática Universitária como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre Orientadora Profa. Dra. Alice Kimie Miwa Libardi 2014

2 511.5 T136g Takahama, M. T. M. Grafos em superfícies/ Mariana Thieme Moraes Takahama- Rio Claro: [s.n.], f. Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, Instituto de Geociências e Ciências Exatas. Orientadora: Alice Kimie Miwa Libardi 1. Teoria dos Grafos. 2. superfícies fechadas. 3. Grupo de homologia. 4. Simplexos. 5. Complexo simplicial. I. Título Ficha Catalográfica elaborada pela STATI - Biblioteca da UNESP Campus de Rio Claro/SP

3 Agradecimentos Agradeço, primeiramente, a Deus por essa oportunidade e por ter colocado pessoas especiais em minha vida, que me ajudaram direta ou indiretamente a concluir esse trabalho! Agradeço aos meus pais, Seiti e Angela, pelo eterno apoio, carinho e empenho em sempre tornar os meus sonhos realidade! Por me apoiarem nos momentos bons e ruins e nunca me deixarem desistir de alcançar os meus objetivos! Isso sempre me fortaleceu! Obrigada pelo amor incondicional! Agradeço ao meu noivo, Thiago, pelo apoio, incentivo, compreensão e por sempre me colocar para cima, me escutar e me fazer sorrir! Agradeço a todos os professores do IBILCE, em especial à Professora Doutora Ermínia de Lourdes Campello Fanti que acreditou em meu potencial no momento mais difícil da minha graduação, me incentivou a seguir em frente e cursar o mestrado. Agradeço a todos os professores de Rio Claro, em especial à Professora Doutora Alice Kimie Miwa Libardi pela excelente orientação, por acreditar no meu potencial, pela disponibilidade em sempre me ajudar e me receber! Agradeço imensamente ao seu empenho para que esse trabalho ficasse cada vez melhor! Agradeço aos meus tios, Belardino e Ana, pela ajuda e acolhimento na mudança de cidade, por sempre me apoiarem nos trabalhos e estudos! Agradeço aos meus amigos e companheiros de viagem (Rio Preto à Rio Claro) Edilson, Débora, Aline, Thaisa, João, Edmar, Denis, Érica, Juliano, Renato, Williner e Felippe, sem vocês as viagens seriam muito mais difíceis! Agradeço as nossas conversas e desabafos, que somente nós que acordávamos tão cedo entendíamos! Aos auxílios com o winedit e em tudo mais! Agradeço aos meus companheiros de disciplinas, pelas trocas de informações e discussões sobre os conteúdos!!! Ninguém vence sozinho... Muito obrigada a todos que colaboraram para o meu desenvolvimento e o deste trabalho!

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5 Resumo O objetivo principal deste trabalho é obter um resultado sobre separação de superficies por grafos. A Homologia Relativa é a principal ferramenta usada, obtendo uma versão particular da Dualidade de Lefschetz. Para a elaboração desta dissertação foram estudados: grafos, homologia simplicial, homologia relativa e grafos em superficies. O estudo foi baseado em grande parte no livro Graphs, Surfaces and Homology de P. J. Giblin. Palavras-chave: Teoria dos Grafos, superfícies fechadas, Grupo de homologia, Simplexos, Complexo simplicial.

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7 Abstract The main goal of this work is to get a result on separation of surfaces by graphs. The Relative Homology is the principal tool used and we get a particular version of Lefschetz duality. For the preparation of this dissertation we studied: graphs, simplicial homology, relative homology and graphs on surfaces. The study was based on the book Graphs, Surfaces and Homology of P. J. Giblin. Keywords: Graphs theory, Closed surfaces, Homology groups, Simplexes, Simplicial complexes.

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9 Sumário 1 Introdução 9 2 Grafos 11 3 Superfícies fechadas Superfícies fechadas e orientáveis Representação poligonal de uma superfície fechada Complexos simpliciais Simplexos Simplexos Orientados Complexos simpliciais Estrelas e Links Grupos de homologia Grupos de cadeia e homomorfismo bordo GruposdeHomologia Zero-ésimo grupo de homologia Primeiro grupo de Homologia Grupos de homologia relativa Zero-ésimo grupo de homologia relativa Primeiro grupo de homologia relativa Três homomorfismos Grafos em Superfícies Aplicação: Separando superfícies com grafos Referências 63

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11 1 Introdução Nesta dissertação tenho por objetivo estudar grafos em superfícies. Para tanto, dividiremos este trabalho em 6 capítulos, discriminados a seguir. No capítulo 2, inicialmente, trabalharemos a ideia intuitiva de um grafo, e em seguida, a definição de tipos específicos de grafos. Introduziremos o conceito de árvore maximal entre outros conceitos importantes para o desenvolvimento deste trabalho. No capítulo 3, construiremos todas as superfícies fechadas e iremos exibi-las como uma representação poligonal. Para isso, assumiremos três superfícies básicas: esfera, toro e plano projetivo. Mostraremos como distinguir duas superfícies fechadas. No capítulo 4, definiremos de maneira mais formal um triângulo. A definição deixará claro que pontos serão chamados de 0-simplexos, segmentos de 1-simplexos, triângulos de 2-simplexos, tetraedros sólidos de 3-simplexos e assim por diante. O tetraedro sólido será o nosso bloco de contrução 3-dimensional. Tudo neste capítulo irá ocorrer em um espaço vetorial real R N, onde os elementos são chamados de pontos ou de vetores. A única restrição é que N seja grande o suficiente para a discussão fazer sentido, portanto, se falarmos de 4 pontos não coplanares então, obviamente, N deve ser pelo menos 3. No capítulo 5, formalizaremos a definição de grupos de homologia para um complexo simplicial K orientado e arbitrário. A partir de um grupo H p (K), em cada dimensão p com 0 p dim K mediremos, a grosso modo, o número de buracos p-dimensionais em K. Se K for um grafo orientado então H 1 (K) será isomorfo ao grupo Z 1 (K) de 1-ciclos em K. No capítulo 6, concluiremos o nosso trabalho com a aplicação que mede em quantas regiões uma superfície fechada M, que contém um polígono fechado, será dividida por um grafo K. 9

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13 2 Grafos Um grafo é intuitivamente um subconjunto do espaço constituído por um número finito de pontos tais que pares de pontos podem ser ligados por arcos. Chamaremos os pontos de vértices e os arcos de arestas do grafo. O encontro de duas arestas deve ser em um vértice portanto, nenhuma aresta liga um vértice a si mesmo e dois vértices nunca são ligados por mais de uma aresta. Vejamos alguns exemplos de figuras que não constituem um grafo: Formalmente, definimos um grafo da seguinte maneira: Definição 2.1. Um grafo é um par (V,E) onde V é um conjunto finito de vértices e E é um conjunto de pares não-ordenados de elementos distintos de V, as arestas. Assim um elemento de E é da forma {v, w} onde v e w pertencem a V e v w, dizemos também que {v, w} é a aresta que liga os vértices v e w (ou w e v). Em várias circunstâncias é conveniente falar em grafo orientado, no qual cada aresta possui uma orientação fixada. Vejamos na definição a seguir com mais detalhes o que é um grafo orientado. Definição 2.2. Um grafo orientado é um par (V,E) onde V é um conjunto finito de pontos e E é um conjunto de pares ordenados de elementos distintos de E com a seguinte propriedade, se o par ordenado (v, w) E então (w, v) / E. Os elementos de V são chamados vértices e os elementos (v, w) de E são chamados de arestas de v para w. Associado a todo grafo orientado existe um grafo abstrato, que é obtido pela mudança das arestas ordenadas pelas não-ordenadas. Obviamente os dois grafos devem ter o mesmo número de vértices e arestas, sendo que (v, w) e (w, v) não podem pertencer ao mesmo tempo a E. Existem alguns tipos especiais de grafos que definiremos a seguir: 11

14 12 Grafos Definição 2.3. Um grafo completo é definido como um grafo onde todo par de vértices é ligado por uma aresta. Um grafo completo com n vértices é denotado por K n. Por exemplo, o grafo K 4 Definição 2.4. Um grafo G nulo ou vazio é um par (V,E) em que o conjunto V é vazio. Definição 2.5. Um grafo é regular (de grau k, ou ainda k-regular) quando todos os seus vértices possuem o mesmo grau k, ou seja, cada vértice tem k-arestas com origem neste vértice. Por exemplo, a figura abaixo mostra um grafo 3-regular, isto é, todos os vértices com grau 3. Definição 2.6. Seja (V,E) um grafo. A realização de um grafo (V,E), que continuaremos chamando de grafo, é um conjunto de pontos em um espaço vetorial real R n, sendo os vértices representados por pontos e as arestas por segmentos de retas, ligando estes pontos. Na realidade, para que um grafo se realize precisamos de duas condições: (i) se duas arestas interceptam-se, então interceptam-se em um ponto final comum; (ii) cada vértice é um dos pontos extremos de uma aresta. A realização de um grafo orientado é sua realização de um grafo (v, w) com a ordenação em cada uma das arestas. Iremos indicar a orientação por uma flecha, como no diagrama abaixo, onde a aresta é de v para w, já denotada acima por (v, w). Vejamos agora a realização dos grafos completos com até 3 vértices no R 2 :

15 13 Um grafo completo com 4 ou mais vértices não pode ser realizado no R 2, mas sim no R 3. Na realidade, todo grafo pode ser realizado no R 3. Por exemplo, Mesmo que os grafos estejam no R 3, vamos desenhá-los sempre no plano. Convencionamos desenhar pontos bem escuros para vértices e segmentos de retas para arestas. Neste caso, dizemos que o grafo está projetado no plano. Por exemplo, o grafo completo com 5 vértices pode ser desenhado como na figura a seguir: %captiongrafo completo com 5 vértices Considere o grafo no R 3 formado por vértices e arestas de um cubo. O grafo realizado no R 2 abaixo, representa a realização do "cubo" no R 2. Definição 2.7. Dois grafos (V,E) e (V,E ) são isomorfos se existe uma aplicação bijetora f : V V de tal modo que: {v, w} E {f(v),f(w)} E.

16 14 Grafos A aplicação f é chamada um isomorfismo entre os grafos, ou seja, f é uma aplicação bijetora do conjunto de vértices de (V,E) sobre o conjunto de vértices de (V,E ), preservando as arestas. Para provar que dois grafos não são isomorfos vamos olhar propriedades dos grafos que são invariantes por isomorfismos, e tentar encontrar uma propriedade que um grafo possui eooutronão.apropriedade mais simples é a ordem dos vértices. A ordem de um vértice é o número de arestas que tem aquele vértice como um ponto final. Exemplo 2.1. Os dois grafos abaixo são isomorfos No exemplo anterior podemos observar que ambos os grafos possuem 2 vértices de ordem 3 e 4 vértices de ordem 4. Abaixo está a aplicação bijetora do conjunto de vértices dos dois grafos. Grafo 1 Grafo 2 Ordem v 1 v 7 3 v 0 v 6 3 v 5 v 11 4 v 4 v 9 4 v 3 v 10 4 v 2 v 8 4 Os dois grafos abaixo não são isomorfos. Observe que embora os dois grafos possuam 2 vértices de ordem 3 e 4 vértices de ordem 4 eles não são isomorfos pois, no Grafo 1 os 2 vértices de ordem 3 não são pontos

17 15 finais de uma mesma aresta como acontece no Grafo 2, logo não é possível construir aplicação bijetora preservando as arestas. Definição 2.8. Um caminho sobre um grafo G de v 1 para v n+1 é uma sequência de vértices e arestas v 1 e 1 v 2 e 2...v n e n v n+1 onde e 1 =(v 1 v 2 ),e 2 =(v 2 v 3 ),...,e n =(v n v n+1 ),n 0. Perceba que se n =0teremos somente v 1 e nenhuma aresta. Se G for orientado, exigimos que e i =(v i v i+1 ) sempre nesta ordem ou (v i+1 v i ) sempre nesta ordem, para i =1,...,n. Chamaremos o caminho de simples se as arestas e 1,...,e n são todas distintas, e os vértices v 1,...,v n+1 são todos distintos exceto possivelmente v 1 = v n+1. Se o caminho simples tem v 1 = v n+1 e n>0este caminho recebe o nome de laço. Observe que para termos um laço, n deve ser maior ou igual a 3. Definição 2.9. Um grafo G é chamado conexo se, dados quaisquer dois vértices v e w de G existe um caminho em G de v para w. Para qualquer grafo não vazio G, uma componente de G consiste de todas as arestas e vértices que ocorrem em um caminho, começando em um vértice particular de G. Assim um grafo não vazio conexo tem exatamente uma componente. Definição Chamamos de árvore um grafo G que é conexo e que não possui laços. Uma aresta e de um grafo é parte de um laço no grafo se, e somente se, a remoção de e não aumentar o número de componentes do grafo. Exemplo 2.2. Segue da definição acima que o grafo da esquerda é uma árvore e o grafo da direita não. Definição Um grafo H é chamado um subgrafo de um grafo G se os vértices de H são vértices de G e se as arestas de H são arestas de G. H é chamado um subgrafo próprio de G se além disso H G.

18 16 Grafos O grafo G pode ter uma árvore como subgrafo (o grafo vazio é uma árvore). Um conjunto Γ dos subgrafos de G que são árvores tem elementos maximais, isto é, teremos pelo menos um T Γ tal que T não é subgrafo próprio de qualquer T Γ. T é chamado de árvore maximal de G. Proposição 2.1. Seja G um grafo conexo. Um subgrafo T de G é uma árvore maximal para G se, e somente se, T é uma árvore e contém todos os vértices de G. Demonstração. Vamos supor G não-vazio. Suponha que T é uma árvore maximal de G, portanto uma árvore não-vazia. Suponha que um vértice v de G não pertença a T. Escolha um vértice w de T e um caminho de v para w em G. Seja v i o primeiro vértice desse caminho em T, o próximo vértice v i+1 e a aresta e i =(v i v i+1 ) não pertencerão a T. Adicionando v i+1 e e i a T obtemos T, um subgrafo de G maior que T. Além disso, e i não pode ser parte de qualquer laço de T, porque um de seus pontos finais, v i não pertence a nenhuma aresta de T exceto e i. Assim T é uma árvore e T não é maximal. Reciprocamente, suponha que T é um subgrafo de G que é uma árvore e contém todos os vértices de G. Suponha que H é um subgrafo de G com T um subgrafo próprio de H. Desde que T já tenha todos os vértices de G deve haver uma aresta, e =(vw) (por exemplo) em H mas não em T. Desde que T é conexo existe um caminho simples em T de v para w, acrescentando e ao final do caminho obtemos um laço em H. Por isso H não é uma árvore e T é maximal. Sejam G um grafo conexo e um subgrafo T que é uma árvore. Então T éum subgrafo de uma árvore maximal de G. De fato, se H é um subgrafo de G que não contém um laço (não necessariamente conexo), então H é um subgrafo de uma árvore maximal de G. Um vértice v de uma aresta (vw) em um grafo G é chamado livre se v não é um vértice de qualquer aresta de G exceto e, ou seja, v é um vértice de grau 1. Uma aresta interior de um grafo é uma aresta que não possui um ponto final como vértice livre. No diagrama abaixo e 1 e e 2 são arestas interiores, e 3 não. v é um vértice livre de e 3. Um grafo em que todas as arestas são interiores é obrigado a ter um laço (desde que o número de arestas seja finito), daí segue que uma árvore com pelo menos uma aresta sempre possui uma aresta e que não está no interior. Removendo esta aresta do grafo junto com o vértice livre de e, teremos o que é chamado de colapso. Assim o colapso transforma uma árvore em uma árvore menor, o que mostra que qualquer árvore se

19 17 colapsa a um único vértice livre e se um grafo colapsa a um único vértice livre, então é uma árvore. Falaremos agora um pouco sobre a Lei de Kirchhoff e sobre o número ciclomático, uma propriedade fundamental dos grafos que surgiu através do estudo de correntes contínuas. Podemos associar um grafo a um circuito de correntes contínuas, substituindo os terminais por vértices e os fios por arestas. As Leis de Kirchhoff estabelecem equações lineares para as correntes. Suponhamos que existam α 0 vértices e α 1 arestas, então quaisquer α 0 1 das α 0 equações são independentes. A fim de determinar as correntes, são necessárias α 1 α 0 +1 equações independentes, que correspondem a α 1 α 0 +1 laços independentes. O número de laços independentes α 1 α 0 +1decorrentes da análise de circuitos elétricos de Kirchhoff foi chamado de número ciclomático do circuito por James Clerk Maxwell. Um simples exemplo é o grafo abaixo que possui número ciclomático 3 já que todos os laços são uma combinação de 3 laços que ligam as regiões dentro do triângulo grande. A seguir a definição e o teorema que conectam a ideia de árvore maximal com o número ciclomático. Definição Seja G um grafo conexo com α 0 = α 0 (G) vértices e α 1 = α 1 (G) arestas. O número ciclomático de G é o número inteiro: μ = μ(g) =α 1 α Teorema 2.1. Seja G um grafo com o número ciclomático μ. Então: 1. μ μ =0se, e somente se, G é uma árvore. 3. Toda árvore maximal de G tem α 1 μ arestas. Assim toda árvore maximal de G pode ser obtida de G pela remoção de μ arestas

20 18 Grafos adequadas (e não de vértices). Estas arestas devem ser interiores desde que T seja conexo. 4. Removendo menos que μ arestas de G não conseguiremos ter uma árvore, removendo mais que μ arestas sempre teremos G desconexo. Demonstração. A demonstração de (1) e (2) é por indução sobre α 1. Claramente (1) e (2) são verdadeiras se α 1 =0. Vamos supor que sejam verdadeiros para α 1 <k, onde k 1, e seja G com k arestas. (i) Suponha que G é uma árvore. Então G tem uma aresta que não é interior, por exemplo e. Removendo a aresta e e um vértice livre desta mesma aresta de G deixamos a árvore G com k 1 arestas. Pela hipótese de indução, μ(g )=0, e por construção μ(g )=μ(g). Por isso μ(g) =0. (ii) Suponha que G não seja uma árvore, então G tem arestas interiores, por exemplo alguma aresta de um laço de G. Seja G obtido pela remoção desta aresta (e de nenhum vértice). A remoção de uma aresta do laço não pode desconectar G, assim G não é desconexo e pela hipótese de indução μ(g ) 0. Por construção μ(g )=μ(g) 1. Logo μ(g) 1. Isto completa a demonstração por indução de (1) e (2). Para demonstrar (3), seja T uma árvore maximal de G, assim α 0 (G) = α 0 (T ). Como μ(t ) = 0, segue que α 1 (T )=α 1 (G) μ(g). Para demonstrar (4), note que removendo p arestas (e nenhum vértice) de G ou deixamos um grafo desconexo ou um grafo conexo com um único número ciclomático μ(g) p. Disto e de (1) e (2) podemos deduzir (4). Observação Removendo μ arestas ao acaso podemos não deixar um grafo conexo. Entretanto se removendo μ arestas, o grafo torna-se conexo então esta deve ser uma árvore maximal, ou seja, irá conter todos os vértices e o número ciclomático é zero. 2. Seja G um grafo conexo com μ(g) =1. Então G tem exatamente um laço. Desde que μ(g) > 0, G tem pelo menos um laço. Se tiver dois laços, seja e uma aresta de um laço mas não de outro. Removendo e de G deixaremos G conexo, e continuará contendo um laço, mas também diminui μ isto é, μ =0, o que é uma contradição, logo G possui um único laço. Definição Seja G um grafo orientado com arestas e 1,,e r. Uma 1-cadeia z em G é dado por r z = λ i e i, i=1 λ i inteiros. Para cada aresta e i =(v, w), seja o bordo de e i, denotado por (e i )=w v.

21 19 A 1-cadeia z dada acima é um 1-ciclo se (z) = r λ i e i =0 i=1 Teorema 2.2. Seja G um grafo conexo orientado com número ciclomático μ. Sejam z um 1-ciclo em G e l 1,l 2,,l μ laços básicos. Denotando-se por z i o 1-ciclo associado a l i, a direção do laço l i escolhida de modo que e i ocorre em z i com coeficiente +1, então existem inteiros λ 1,λ 2,...,λ μ únicos, tais que: z = λ i é o coeficiente da aresta e i em z. μ λ i z i, i=1 Demonstração. Vamos supor que G é uma árvore, isto é, que μ =0e seja z um 1-ciclo em G. Vamos provar que z =0, ou seja, que não temos 1-ciclos não triviais na árvore. (Isto generaliza o fato de que não existem laços em uma árvore). O resultado é claro se G não tem arestas, então supomos verdadeiro para árvores com número de arestas k (k 1) eg com k arestas. Seja e uma aresta não-interna de G, ev um vértice livre de e. O coeficiente de e em z deve ser zero, caso contrário o coeficiente de v em z não seria zero. Por isso z é um 1-ciclo no grafo obtido pela remoção de e e v de G. Este grafo é uma árvore com k 1 arestas. Por indução z =0. Agora suponha μ>0, e seja z um 1-ciclo de G. Seja λ i o coeficiente de e i em z, e consideremos z = z (λ 1 z λ μ z μ ) Certamente z é um 1-ciclo, desde que z eoz i sejam 1-ciclos. Também, o coeficiente de cada e i em z é 0, pela escolha de λ i e desde que o coeficiente de e i em z i seja +1 enquanto e i não ocorra em z i para j i. Então z é um 1-ciclo no grafo obtido pela remoção das arestas e 1,...,e μ de G. Este grafo é uma árvore (maximal de G) e pela primeira parte da demonstração z =0. Falta verificar que a expressão de z ser única. Para ver isso, suponha que z = μ λ i z i = i=1 μ λ iz i i=1 Comparando coeficientes de e i com os dois lados temos que λ i = λ i Observe que uma base para 1-ciclo em um grafo conexo G é uma coleção de 1- ciclos de G dos quais cada 1-ciclo de G pode ser expressado unicamente como uma combinação linear com coeficientes inteiros. Assim z 1,...,z μ é uma base. Mas nem toda base surge desta maneira, de uma árvore maximal. Por exemplo, é impossível

22 20 Grafos achar arestas e 1,e 2,e 3,e 4 do grafo abaixo, tal que, os representantes cíclicos z 1,z 2,z 3,z 4 formam a base dada pelos bordos dos quatro triângulos equiláteros pequenos.

23 3 Superfícies fechadas A fim de estudar as superfícies vamos assumir que elas podem ser divididas em triângulos. Portanto, é necessário, de início, identificar as propriedades que cada objeto deve possuir para ser chamado de superfície, e em seguida ver que propriedades nos garantem uma triangulação. A propriedade fundamental é a seguinte: Seja um ponto P na superfície. Os pontos próximos a P constroem um pequeno caminho na superfície, a região compreendida por este caminho é homeomorfa a um disco 2-dimensional. O disco pode ser dobrado ou esticado, mas não pode ser rasgado, até obtermos um polígono. Ligando P aos vértices deste polígono obtemos triângulos que constituem uma triangulação do disco que contém P na superfície. No nosso trabalho vamos considerar superfícies fechadas, isto é, compactas e sem bordo. Posteriormente, apresentaremos a definição de superfícies fechadas, formalmente. 3.1 Superfícies fechadas e orientáveis Recordemos que em um grafo, as arestas se interceptam apenas nos vértices. Vamos agora construir objetos 2-dimensionais, impondo uma condição de interseção. No caso, os objetos são triângulos, que podem ser de todo tipo e tamanho. Note que todo triângulo possui 3 vértices, 3 arestas e uma face. Considerando apenas os vértices e as arestas, a condição de interseção é a seguinte: Dois triângulos quaisquer: (i) são disjuntos ou (ii) possuem um vértice em comum ou 21

24 22 Superfícies fechadas (iii) possuem dois vértices em comum, e consequentemente, uma aresta em comum. Uma coleção M de triângulos, satisfazendo a condição de interseção é conexa se dados dois vértices quaisquer existe um caminho ao longo das arestas ligando esses dois vértices. Observe que o conjunto de arestas e vértices dos triângulos de M formam um grafo. Um outro conceito importante para definir superfícies fechadas é o link. Considere um vértice v de algum triângulo da coleção que satisfaz as condições de interseção. Os lados opostos a v nos triângulos de M que possuem v como um vértice irão formar um grafo, chamado de link de v. Definição 3.1. Uma superfície fechada é uma coleção M de triângulos (em um espaço euclidiano) de tal modo que: (i) M satisfaz as condições de interseção; (ii) M é conexo; (iii) para qualquer vértice v de um triângulo de M, olink de v é um polígono fechado simples. Qualquer aresta de uma superfície fechada M está em exatamente dois triângulos de M. Mas, note que 2 tetraedros com um vértice em comum possuem esta propriedade, embora não sejam uma superfície fechada. Dois tetraedros com uma aresta em comum não satisfazem a condição que toda aresta está em exatamente dois triângulos. A definição de superfícies fechadas não permite a coleção de triângulos abaixo já que o link do vértice v não forma um polígono fechado simples (é um arco poligonal). O diagrama mostra a triangulação da faixa de Möebius, que é obtida juntando as pontas do retângulo após um giro de 180 o. Revertendo uma das setas do diagrama obtemos um cilindro, no qual as extremidades do retângulo são identificadas sem a torção. Exemplo 3.1. Um tetraedro oco é uma superfície fechada, o link de qualquer vértice é dado pelas 3 arestas de uma face oposta. Entretanto 2 tetraedros com um vértice em comum não formam uma superfície fechada desde que o link de um vértice comum seja dado por 2 polígonos fechados e não por um polígono fechado, o que não satisfaz a terceira condição da definição de superfícies fechadas.

25 Superfícies fechadas e orientáveis 23 O diagrama abaixo mostra uma representação de uma superfície fechada que contém 18 triângulos. Os pares com mesma letra coincidem, por exemplo, os dois triângulos sombreados possuem a aresta c em comum. O link de v é desenhado pela linha mais grossa no diagrama, as duas linhas grossas juntas formam um hexágono fechado. A superfície fechada descrita é uma triangulação de um toro. Abaixo temos as representações das triângulações de uma garrafa de Klein e de um plano projetivo. Figura 3.1: Garrafa de Klein Plano projetivo As duas superfícies podem ser construídas em um espaço tridimensional. O desenho da garrafa de Klein, no qual existe uma auto interseção ao longo do círculo, está abaixo:

26 24 Superfícies fechadas A maior divisão entre superfícies fechadas é entre orientáveis e não-orientáveis. Vamos conhecer de uma forma um pouco informal este conceito, iremos defini-lo formalmente no próximo capítulo. Cada triângulo de uma superfície fechada M terá uma seta desenhada internamente, mostrando a orientação, como no diagrama No diagrama da esquerda, os dois triângulos com a aresta comum estão coerentemente orientados, enquanto os triângulos do diagrama da direita não estão coerentemente orientados. Definição 3.2. Uma superfície fechada M é chamada (coerentemente) orientada se todos os triângulos de M possuem a mesma orientação e tal que a aresta em comum dos dois triângulos introduzem orientações opostas na aresta em comum. Caso contrário M é chamado não-orientável. Exemplo 3.2. No exemplo anterior vimos algumas triângulações e podemos notar que o toro é orientável, mas a garrafa de Klein e o plano projetivo não. Note que as duas últimas superfícies contém uma faixa de Möebius. De fato será mais claro ver se uma superfície fechada é não-orientável se ela contém uma faixa de Möebius. No caso da garrafa de Klein, por exemplo, removendo a parte sombreada de triângulos do exemplo anterior teremos outra faixa de Möebius, que pode ser identificada pelos dois a s, b s e c s. 3.2 Representação poligonal de uma superfície fechada Vamos começar com uma superfície fechada M, orientando arbitrariamente as arestas e rotulando os triângulos t 1,...,t n e as arestas e 1,...,e m. A informação necessária

27 Representação poligonal de uma superfície fechada 25 para construir M baseia-se nos n triângulos e, para cada triângulo, as três arestas orientadas que lhe pertencem. Por exemplo na figura abaixo, o tetraedro da esquerda pode ser construído pelos quatro triângulos da direita Vamos tentar construir um plano de representação de M mais conveniente do que a coleção de n triângulos disjuntos com arestas rotuladas. No caso de um tetraedro, conseguimos construir o plano de representação, pela montagem de M no plano: podemos juntar t 2 a t 1 por e 2,et 3 a t 1 por e 1,et 4 a t 1 por e 3. O resultado éodiagrama abaixo que descreve completamente o modo de como cada triângulo de M intersecta outro. O mesmo procedimento pode ser feito para qualquer superfície M. Começando com n triângulos disjuntos com arestas rotuladas e montando-os um por vez. Triângulos que tenham sido montados em determinado estágio serão chamados de usados e os restantes de não usados. Isto é essencial para identificar em qual estágio a aresta de um triângulo não usado passa a ser a de um usado. O bordo de uma região planar coberta por triângulos usados sempre será um polígono fechado. O único problema desse procedimento é acabar em alguma sobreposição, como no diagrama abaixo em que o triângulo sombreado é o último a ser adicionado.

28 26 Superfícies fechadas Para que nenhum triângulo sobreponha o outro, devemos distorcer os triângulos, mantendo as arestas retas, por exemplo, fazendo com que a fronteira dos triângulos usados seja sempre convexa. A representação final de M será uma representação fiel de todas as interseções dos triângulos de M. Isto nos leva a prova que, até que todos os triângulos tenham sido usados, sempre teremos um triângulo não usado com uma aresta em comum com o bordo do polígono dado pelos triângulos usados. Certamente há um triângulo não usado com um vértice v em comum com algum triângulo usado, e a construção garante que todos os vértices estão no bordo do polígono. Agora fica fácil de verificar, usando o fato de que o link de v em M é um polígono fechado simples, e que existe um triângulo não usado com vértice v e outro vértice (por isso uma aresta) em comum com um triângulo usado (note que a construção pode não dar certo se começarmos algum estágio com dois tetraedros com um vértice em comum). Continuando antes de todos os triângulos de M serem usados, obtemos a representação poligonal de M como uma região delimitada por um polígono fechado simples. Esta região é dividida em n triângulos que correspondem aos triângulos de M, ea fronteira do polígono tem n +2 arestas que ocorrem em pares igualmente marcados. A identificação necessária para recuperar M pode ser descrita por um símbolo: comece com um vértice qualquer e leia em volta do bordo do polígono, escreva as arestas ou inverta-as de acordo com a orientação a favor ou contra a direção da viagem. Por exemplo, para o tetraedro abaixo o símbolo será: (e 5 ) 1 e 4 (e 4 ) 1 (e 6 ) 1 e 6 e 5

29 Representação poligonal de uma superfície fechada 27 Note que o símbolo é sempre cíclico, podemos começar de um vértice diferente e também com uma orientação contrária. Os triângulos de uma representação poligonal de uma superfície fechada M podem ter orientação coerente, se estes recebem uma orientação coerente de M eles mesmos dependem da disposição da orientação da fronteira do polígono. Se o símbolo contém...a...a 1... então a orientação será coerente através das arestas acima de a, seeste contém...b...b... então a orientação não será coerente através da aresta b. De fato, temos os seguintes resultados: Proposição 3.1. Suponha que a superfície M é representada por um símbolo, como anteriormente. Então M é orientável se, e somente se, para cada letra que ocorrer no símbolo, o inverso sempre ocorre. Suponha que temos um polígono simples fechado com um número par de lados, a região plana é limitada por um polígono que a divide em triângulos, de tal maneira que os lados do polígono são arestas dos triângulos e dois triângulos se interceptam sempre, em um vértice ou em uma aresta. Agora nomeando os lados do polígono com letras ou setas, cada letra será usada exatamente duas vezes. O digrama pode ser esquematizado para colocar os triângulos juntos, uma maneira similar nas arestas pode ser identificada com setas correspondentes. A identificação das arestas implica na identificação de certos vértices da fronteira poligonal, e com isto acabamos rotulando os vértices do diagrama, aqueles a serem identificados recebem o mesmo nome. Proposição 3.2. Um esquema do tipo descrito anteriormente é realizável em superfícies fechadas se, e somente se: (i) os pontos finais de qualquer aresta são nomeados diferentemente, e (ii) não há duas arestas (a menos que sejam identificadas) que tenham a mesma nomeação no ponto final, e (iii) não há dois triângulos que tenham os vértices com mesma nomeação. O diagrama então é chamado representação poligonal de superfícies fechadas.

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31 4 Complexos simpliciais Um triângulo é um bom modo de continuar a sequência ponto, segmento,... ( que se tornam 0-simplexo, 1-simplexo,...) e sugere que o quarto termo seja o tetraedro sólido. Tudo neste capítulo irá ocorrer em um espaço vetorial real R N e a menos que indicado de outra forma, a única restrição é que N seja grande o suficiente para a discussão fazer sentido, portanto, se falarmos de 4 pontos não coplanares então, obviamente, N deve ser pelo menos Simplexos Definição 4.1. Sejam v 0,...,v n, n +1 vetores em R N com n 1. Esses vetores são geometricamente independentes, se v 1 v 0,...,v n v 0 são linearmente independentes. Por convenção se n = 0 então o vetor v 0 é sempre geometricamente independente (mesmo se for nulo). Segue da definição, que v 0 e v 1 são geometricamente independentes se, e só se, v 0 v 1 e v 0,v 1,v 2 são geometricamente independentes se, e só se, não são colineares. Se v 0,...,v n forem geometricamente independentes então os vetores l.i. v 1 v 0,...,v n v 0 constituem uma base de um subespaço U de R N de dimensão n que contém todos os v 1 v 0,...,v n v 0. Definição 4.2. Sejam v 0,...,v n vetores em R N. Um vetor v é dito geometricamente dependente de v 0,...,v n se existem números reais não negativos λ 0,...,λ n de tal modo que: λ λ n =1 e v = λ 0 v λ n v n Proposição 4.1. Sejam v 0,...,v n geometricamente independentes e seja v um vetor geometricamente dependente deles. Então existem únicos números reais λ 0,...,λ n tal que λ i =1e v = λ i v i.osλ s são chamados de coordenadas baricêntricas de v em relação a v 0,...,v n. Demonstração. Os λ s existem, e isso é assegurado pela definição de dependência n n geométrica. Para provar a unicidade suponha que v = λ i v i = μ i v i onde 29 i=0 i=0

32 i=0 i=0 i=0 30 Complexos simpliciais n n n n λ i = μ i =1. Então ν i v i =0, onde ν i = λ i μ i,e ν i =0. Consequentemente temos ν 0 =...= ν n =0, ou seja, λ i = μ i para i =0,...,n. Definição 4.3. Sejam v 0,...,v n geometricamente independentes. O simplexo com vértices v 0,...,v n é o conjunto de pontos geometricamente dependentes de v 0,...,v n e com todas as coordenadas baricêntricas positivas. Dizemos que o simplexo é gerado por v 0,...,v n. Os pontos com todas as coordenadas baricêntricas estritamente positivas são chamados de pontos interiores do simplexo e que algumas vezes é chamado de simplexo aberto com vértices v 0,...,v n. O bordo do simplexo consiste do conjunto de pontos que não são interiores, isto é, que possuem, pelo menos uma coordenada baricêntrica igual a zero. Exemplo Para cada vetor v 0 o 0-simplexo (v 0 ) é o conjunto {v 0 }. Vamos denotar (v 0 ) simplesmente por v 0. i=0 Para cada dois vetores v 0,v 1 o 1-simplexo (v 0 v 1 ) é o segmento com os pontos finais v 0,v 1. O bordo de (v 0,v 1 ) é {v 0,v 1 }, e o interior é o segmento aberto com pontos finais v 0,v 1. Para cada três vetores não colineares v 0,v 1,v 2 o 2-simplexo (v 0 v 1 v 2 ) é o triângulo com vértices v 0,v 1,v 2. O bordo de (v 0 v 1 v 2 ) é dado por (v 0 v 1 ) (v 1 v 2 ) (v 2 v 0 ), e o interior é o complementar. Para cada 4 vetores não coplanares v 0,v 1,v 2,v 3 o 3-simplexo (v 0 v 1 v 2 v 3 ) échamado de tetraedro com vértices v 0,v 1,v 2,v 3, cujo bordo consiste dos 4 triângulos.

33 Simplexos Orientados 31 Um simplexo é convexo se dados dois pontos v e w do simplexo, todos os pontos do segmento que ligam v à w pertencem ao simplexo. De fato, o simplexo é o menor conjunto convexo contendo seus vértices, que é chamado a envoltória convexa de seus vértices. Definição 4.4. Seja s n =(v 0...v n ) um simplexo. Uma face de s n é um simplexo cujos vértices formam um subconjunto de {v 0,..., v n }. Se o subconjunto é próprio (ou seja, não é todo o conjunto {v 0,..., v n }) dizemos que a face é uma face própria. Se s p é uma face de s n denotamos por s p <s n ou s n >s p ; note que s n <s n para qualquer simplexo s n. Observe que o bordo de s n é a união das faces próprias de s n e que as faces 0- dimensionais e 1-dimensionais de um n-simplexo formam um grafo completo com n +1 vértices. 4.2 Simplexos Orientados De acordo com as definições anteriores deste capítulo, permutar vértices de um simplexo não causa nenhuma alteração. Se definirmos a ordenação de vértices, o resultado é chamado de simplexo ordenado. Portanto, associado com qualquer n-simplexo existem (n +1)!simplexos ordenados distintos. Na prática, não iremos fazer distinção entre eles. Considere por exemplo um 2-simplexo (v 0 v 1 v 2 ). Os seis simplexos ordenados associados a ele são aqueles cujas ordenações estão abaixo:

34 32 Complexos simpliciais Os três pares de permutações de v 0,v 1,v 2 da figura da esquerda possuem ordenação dos vértices no sentido anti-horário, enquanto que os três outros pares de permutações da figura da direita possuem ordenação dos vértices no sentido horário. O que nos sugere a definição abaixo. Definição 4.5. Seja s n =(v 0...v n ) um n-simplexo. Uma orientação para s n éum conjunto de ordenações para os vértices constituídos por uma ordem particular, e de todas as permutações pares deles. Um n-simplexo orientado σ n é um n-simplexo s n juntamente com uma orientação para s n. Para uma permutação π de {0,..., n} os simplexos orientados σ n =(v 0...v n ) e τ n =(v π(0)...v π(n) ) satisfazem σ n = τ n se π é par, e σ n = τ n se π for ímpar. Escrevemos σ n =(v 0...v n ) para dizer que σ n éon-simplexo orientado com vértices v 0...v n, e a orientação é dada pela ordem apresentada e de todas as permutações pares dele. Quando n>0 escrevemos σ n para o simplexo orientado que consiste do mesmo n-simplexo e a coleção de outras ordenações dos vértices. Pela definição ( σ n )=σ n. 4.3 Complexos simpliciais Definição 4.6. Um complexo simplicial é um conjunto finito K de simplexos em R N com as seguintes propriedades: 1. Se s K e t<sentão t K. 2. Condição de interseção: se s K e t K então s t ou é vazia ou é uma face de s edet. A dimensão de K é a dimensão do simplexo de K de maior dimensão. O espaço subjacente de K, denotado por K, é o conjunto de pontos em R N que pertencem a pelo menos um simplexo de K. Isto é, K é a união de simplexos de K. Quando desenhamos complexos simpliciais, às vezes, é útil indicar vértices por um ponto cheio em 2-simplexos que fazem parte do complexo. Um complexo simplicial K de dimensão n é puro se todo simplexo de K é uma face de algum n-simplexo de K. Uma superfície fechada é um complexo simplicial puro. Um complexo simplicial não-puro é dado por exemplo, por K = {(v 0 v 1 ), (v 0 ), (v 1 ), (v 2 )} onde v 0,v 1,v 2 são distintos. Aqui dim K =1mas (v 2 ) não é uma face de qualquer 1-simplexo de K. Os três diagramas abaixo não representam complexos simpliciais pois, não respeitam as condições de interseção.

35 Complexos simpliciais 33 Mas, os diagramas abaixo são verdadeiros complexos simpliciais com, em cada caso, o mesmo espaço subjacente. As triplas em parênteses são respectivamente a quantidade de 0-simplexos, 1-simplexos e 2-simplexos. O conjunto de todas as faces de um n-simplexo s n é um complexo simplicial de dimensão n, que é denotado por s n. O conjunto de todas as faces próprias de s n éum complexo simplicial de dimensão n 1, que é denotado por ṡ n e é chamado de bordo de s n. Assim, o bordo de s n é a união de faces próprias de s n. Definição 4.7. Seja K um complexo simplicial. Um subcomplexo de K é um subconjunto L de K que possui a seguinte propriedade: (s L, t < s t L) O subconjunto L é chamado próprio se L K. Se todo simplexo do complexo simplicial possui uma orientação dizemos que o complexo simplicial é orientado. Definição 4.8. Seja r um número inteiro e positivo. O r-esqueleto de um complexo simplicial K é o conjunto de simplexos de K com dimensão r, denotado por K r. Claramente K r é um subcomplexo de K. O 1-esqueleto K 1 de qualquer complexo simplicial K é um grafo. Um complexo simplicial K é chamado conexo se K 1 é um grafo conexo, ou seja, se e somente se, existe um caminho ao longo das arestas de K 1 conectando quaisquer dois vértices. Para qualquer K, uma componente de K é um subcomplexo conexo maximal. Assim K é a união (disjunta) de suas componentes, e K é conexo se, e somente se, possui exatamente uma componente.

36 34 Complexos simpliciais Definição 4.9. Um conjunto U de R N que é o espaço subjacente de algum complexo simplicial é chamado de poliedro. É claro que existem muitos complexos simpliciais cujos espaços subjacentes sejam um dado poliedro U (a única exceção é quando U éum conjunto finito) e quaisquer desses complexos simpliciais são chamados de triangulações de U. 4.4 Estrelas e Links Definição Seja Σ um conjunto de simplexos de K. O fecho de Σ (em K) éo menor subcomplexo de K que contém Σ, ou seja, é definido por: Σ={s K : s < t para algum t Σ} Se s K e Σ={s}, então vamos escrever s em vez de {s} para o fecho de Σ; note que s = s, Σ = Σ para qualquer Σ. Definição Seja Σ um conjunto de simplexos de K. A estrela de Σ (em K) é definida por: St(Σ) = St(Σ,K)={s K; s > t para algum t Σ} A estrela fechada de Σ (em K) é o fecho de Σ, e é denotada por St(Σ) ou St(Σ,K). Portanto, St(Σ) = {u K : t Σ es Kcoms>ues>t} e St(Σ) é um subcomplexo de K. O exemplo mais importante é Σ={s}: escrevemos St(s) e St(s) em vez de St({s}) e St({s}). Sejam s p =(v 0...v p ) e s q =(w 0...w q ) simplexos em R N. Dizemos que s p e s q são ligados se os p+q+2 vetores v 0,...,v p,w 0,...,w q são geometricamente independentes, e neste caso a ligação s p s q éump+q+1-simplexo (v 0...v p w 0...w q ). Assim s p s q = s q s p. Definição Seja s K. Olink de s em K é definido por: Lk(s) =Lk(s, K) ={t K : st K} Lembremos que st K significa que (i) s e t são ligados, e (ii) a ligação st pertence a K. Lk(s) é um subcomplexo de K. Exemplo 4.2. Seja K um complexo simplicial de dimensão 2. Então o link de um 0-simplexo v 0 consiste de todos os 0-simplexos v 1 para os quais (v 0 v 1 ) K etodos os 1-simplexos (v 1 v 2 ) para os quais (v 0 v 1 v 2 ) K. O link de um 1-simplexo (v 0 v 1 ) consiste de todos os 0-simplexos v 2 para cada (v 0 v 1 v 2 ) K. Se supomos que o link de todo 0-simplexo é um polígono fechado simples, então temos que o link de todo 1-simplexo é formado por dois 0-simplexos e que K é puro

37 Estrelas e Links 35 (todo simplexo é uma face de um 2-simplexo). Assim K consiste precisamente de triângulos de K junto com suas arestas e vértices. Por isso a definição de superfície fechada pode ser reescrita como: Uma superfície fechada é um complexo simplicial 2-dimensional no qual o link de todo 0-simplexo é um polígono fechado simples. A técnica do colapso é uma ideia geométrica simples, já utilizada no caso dos grafos: um grafo colapsa a um ponto se, e somente se, ele é uma árvore. Definição Seja K um complexo simplicial. Um simplexo principal de K éum simplexo de K que não é uma face própria de qualquer simplexo de K. Para qualquer s K, uma face livre de s é uma face própria t de s de tal modo que t não é face própria de qualquer simplexo de K além de s. (Assim uma face livre de s tem dimensão s 1 esestem uma face livre então s deve ser principal). Vejamos os seguintes diagramas: No diagrama da esquerda, os simplexos principais são: v 7 ; e 1,e 2,e 7 ; t 1,t 2 Destas, somente e 7 ; t 1,t 2 são faces livres, isto é v 6 para e 7, e 3 e e 4 para t 1,ee 5 e e 6 para t 2. Suponha que K tenha um simplexo principal s que possua a face livre t. Então o subconjunto K 1 de K obtido pela remoção de s e t é um subcomplexo de K, obtidoa partir de K por um colapso elementar (que é descrito como sendo um colapso de s por t). A notação é K e K 1. O diagrama da direita mostra o resultado de três colapsos elementares, de t 1 através de e 4, t 2 através de e 6 e e 7 através de v 6. A sequência K e K 1 e K 2 e... e K m de colapsos elementares é chamada de colapso e é denotada por K K m (um caso especial é a sequência vazia pela qual K K). Se K m consiste de um único vértice dizemos que K se colapsa a um ponto.

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39 5 Grupos de homologia Neste capítulo iremos formalizar a definição de grupos de homologia para um complexo simplicial K orientado. O grupo H p (K) com 0 p dim K mede, a grosso modo, o número de buracos p-dimensionais em K. SeK é um grafo orientado então H 1 (K) é isomorfo ao grupo Z 1 (K) de 1-ciclos em K. 5.1 Grupos de cadeia e homomorfismo bordo Os grupos de cadeias associados a um complexo simplicial orientado são definidos a seguir. Definição 5.1. Seja K um complexo simplicial orientado de dimensão n, e seja α p o número de p-simplexos de K. Para 0 p n, sejam σp,...,σ 1 p αp os p-simplexos orientados de K. O p-ésimo grupo de cadeias de K, denotado por C p (K), é um grupo abeliano livre gerado por σp,...,σ 1 p αp. Assim, um elemento de C p (K) é uma combinação linear λ 1 σp λ αp σp αp com os λ s inteiros, que é chamado uma p-cadeia em K. Duas p-cadeias são somadas adicionando os coeficientes correspondentes. Quando escrevemos as p-cadeias é habitual omitirmos os p-simplexos cujos coeficientes sejam zero, a menos que todos sejam 0, quando escrevemos apenas 0. Também escrevemos σ para 1σ. Para p>nou p<0 o grupo C p (K) é definido por 0. Seja G um grafo orientado com um caminho v 1 e 1 v 2 e 2...v n e n v n+1 em G. Podemos associar a ele a soma formal ɛ 1 e 1 + ɛ 2 e ɛ n e n onde ɛ i =1se e i =(v i v i+1 ) e ɛ i = 1 se e i =(v i+1 v i ). Definição 5.2. Considere G um grafo orientado com arestas e 1,...,e r. Uma 1-cadeia em G é uma soma formal λ 1 e 1 + λ 2 e λ r e r 37

40 38 Grupos de homologia onde cada λ i é um número inteiro. Quando escrevemos 1-cadeia omitimos qualquer aresta com o coeficiente 0. A 1-cadeia na qual todos os coeficientes são zero é denotada por 0. Definimos a soma de duas 1-cadeias λ i e i e λ ie i como: λi e i + λ ie i = (λ i + λ i)e i que é uma 1-cadeia também. O grupo de 1-cadeias em G é um grupo abeliano, denotado por C 1 (G). Observe que uma 0-cadeia em G é uma soma formal β 1 v 1 + β 2 v β m v m onde v 1,...,v m são os vértices de G e cada β i é um número inteiro. 0-cadeias são somadas, somando coeficientes, e o conjunto de 0-cadeias é um grupo abeliano, denotado por C 0 (G). Exemplo 5.1. A 1-cadeia associada a um caminho é obtida da maneira descrita na definição acima. Note que as arestas em um caminho não necessitam ser distintas (a não ser que o caminho seja simples), então o coeficiente final de uma aresta pode ser um número diferente de 0, 1 ou 1. Por exemplo, a 1-cadeia associada ao caminho v 4 e 1 v 2 e 2 v 1 e 6 v 4 e 1 v 2 e 3 v 3 acima é e 1 + e 2 e 6 + e 1 e 3 =2e 1 + e 2 e 3 e 6. no grafo Recordamos que o bordo (v 0 v 1 ) de um 1-simplexo orientado (v 0 v 1 ) é a 0-cadeia v 1 v 0. Agora, considere um 2-simplexo orientado (v 0 v 1 v 2 ). É desejável que o bordo seja uma 1-cadeia (v 0 v 1 v 2 )=(v 1 v 2 )+(v 2 v 0 )+(v 0 v 1 ) Entretanto, se o 2-simplexo pertence a um complexo simplicial orientado K então, as três arestas do triângulo terão orientação específica como elementos de K, epode ser que, por exemplo, a aresta inferior possua orientação contrária (v 2 v 1 ). Neste caso (v 1 v 2 ) / K de modo que não teremos uma 1-cadeia. Devemos então escrever:

41 Grupos de cadeia e homomorfismo bordo 39 (v 0 v 1 v 2 )= (v 2 v 1 )+(v 2 v 0 )+(v 0 v 1 ) Faremos a convenção que: (v 1 v 2 ) representa a 1-cadeia (v 1 v 2 ) se (v 1 v 2 ) K e, (v 1 v 2 ) representa a 1-cadeia (v 2 v 1 ) se (v 2 v 1 ) K. Assim, a fórmula acima para (v 0 v 1 v 2 ) sempre forma uma 1-cadeia. Além disso, esta convenção nos permite preservar a ordem natural dos índices e escrever: (v 0 v 1 v 2 )=(v 1 v 2 ) (v 0 v 2 )+(v 0 v 1 ). Definição 5.3. Seja σ =(v 0...v p ) um p-simplexo orientado de K para algum p>0. O bordo de σ éa(p 1)-cadeia σ = p σ = p ( 1) i (v 0... ˆv i...v p ) i=0 onde o chapéu sobre v i indica que este é omitido. Para p =0, p σ é definido como zero. O homomorfismo bordo = p : C p (K) C p 1 (K) é definida por: p ( λ i σp)= i λ i p (σp) i para 0 p n, caso contrário é definido como homomorfismo trivial. Como um exemplo, considere dois triângulos coerentemente orientados como no diagrama da esquerda Temos, (t 1 + t 2 )=(a + e + d)+(b + c e) =a + b + c + d,

42 40 Grupos de homologia correspondendo a ideia geométrica de que o bordo de toda a área é o polígono a+b+c+d. Note que (a + b + c + d) =0, de forma similar, orientando todos os triângulos do diagrama da direita, a soma do bordo dos sete triângulos fechados pela linha grossa é a + b + c + d + e + f + g, que é uma 1-cadeia com bordo 0. Se fizermos a identificação usual para tornar o complexo simplicial da direita em um toro, então (c + d + h) =0, mas podemos mostrar que não existe 2-cadeia com bordo c + d + h: o polígono simples fechado c+d+h gira em torno de um buraco no toro e não é limite de nenhuma região. Mas, no toro, a g limita uma região enquanto que c + d + h não. Recordemos que no caso em que G é um grafo orientado, para qualquer aresta e = (vw) de G (considerado como uma 1-cadeia), definimos o bordo de e sendo e = w v (considerado como uma 0-cadeia). O homomorfismo bordo: : C 1 (G) C 0 (G) é definido por ( λ i e i )= λ i (e i ). Um 1-ciclo em G é um elemento c C 1 (G) tal que c =0. O grupo de 1-ciclos em G é denotado por Z 1 (G). Exemplo 5.2. Como exemplo, a 1-cadeia associada a qualquer laço em G é sempre um 1-ciclo, Vejamos o grafo orientado abaixo Para o laço v 1 e 2 v 2 e 1 v 4 e 5 v 3 e 4 v 1, está associado o 1-ciclo e 2 e 1 e 5 + e 4 e ( e 2 e 1 e 5 + e 4 = (v 1 v 2 ) (v 2 v 4 ) (v 4 v 3 )+(v 1 v 3 )=0. Definição 5.4. A aumentação ɛ : C 0 (K) Z é o homomorfismo definido por: ɛ( λ i σ0)= i λ i. Proposição 5.1. Para qualquer p, o homomorfismo = p 1 p : C p (K) C p 2 (K) é trivial. Também ɛ 1 : C 1 (K) Z é trivial.

43 Grupos de cadeia e homomorfismo bordo 41 Demonstração. É suficiente provar que, para qualquer p-simplexo σ =(v 0...c p ) de K, com p 2 Agora, p 1 ( p σ)= p 1 ( p σ)=0. p ( 1) i p 1 (v 0... ˆv i...v p ). i=0 Esta é a soma de p(p +1) termos em que cada (p 2)-faces dimensionais de σ acontecem exatamente duas vezes. (v 0... ˆv i... ˆv j...v p ), onde i<j. Isso ocorre uma vez em ( 1) i p 1 (v 0... ˆv i...v p ), com sinal ( 1) i ( 1) j 1 De fato, considere a (p 2)-face dimensional e uma vez em ( 1) j p 1 (v 0... ˆv j...v p ), com sinal ( 1) j ( 1) i. O total dos coeficientes destes (p 2)-simplexos em p 1 ( p σ) é, portanto, ( 1) i ( 1) j 1 + ( 1) j ( 1) i =0. Corolário 5.1. Para qualquer p, também Im p+1 Ker p Im 1 Ker ɛ Seja G um grafo orientado. A aumentação é o homomorfismo dado por ɛ : C 0 (G) Z ɛ( λ i v i )= λ i. Teorema 5.1. Seja G um grafo conexo orientado. A sequência é exata, isto é Im = Ker (ɛ). C 1 (G) C 0 (G) ɛ Z Demonstração. Para mostrar Im Ker (ɛ) é suficiente verificar que, para alguma aresta e de G, ɛ( e)=0. De fato, ɛ( e)=ɛ(v 1 v 0 )=1 1=0. Para mostrar que Ker (ɛ) Im, temos que qualquer elemento α do Ker(ɛ) pode ser escrito como: α = m 1 i=1 λ i (v i v m ) onde v 1,..., v m são os vértices de G, cada λ i um número inteiro. Desde que G é conexo existe um caminho de v m para v i e a 1-cadeia e i associado a este caminho tem e i = v i v m. m 1 m 1 m 1 Logo, α = λ i (v i v m )= λ i (c i )= ( λ i c i ). i=1 Portanto, α Im. i=1 i=1

44 42 Grupos de homologia 5.2 Grupos de Homologia Definição 5.5. Considere a sequência semi-exata C p+1 (K) p+1 C p (K) p C p 1 (K) Ker p é denotado por Z p,ouz p (K) e os elementos de Z p são chamados p-ciclos. Z p é um grupo abeliano livre finitamente gerado. Im p+1 é denotada por B p,oub p (K), e elementos de B p são chamados de p- bordos. B p é um grupo abeliano livre finitamente gerado. falso. Segue do Corolário anterior que todo bordo é um ciclo. O inverso é geralmente Desde que B p Z p existe um grupo quociente H p (K) =Z p (K)/B p (K), chamado o p-ésimo grupo de homologia. Ele mede a extensão em que K não possui bordos p-ciclos, ou seja, ele mede a extensão em que K possui "buracos p-dimensionais". O grupo quociente Ker ɛ/b 0 (K) é denotado por H 0 (K) e é chamado o 0-ésimo grupo de homologia reduzido de K. Um elemento de H p (K) é a classe lateral z = z +B p (K) onde z Z p (K). Usaremos a notação {z} para esta classe lateral, isto é chamada a classe de homologia para o ciclo z (se diversos complexos simpliciais estão em discussão, ao mesmo tempo, a notação {z} K será usada). Qualquer ciclo z em {z} - isto é, qualquer ciclo z = z + b para b B p (K) - é chamado um representante para {z}. Dizemos que z e z são homólogos se z z B p (K), e escrevemos z z ; em particular se z B p (K), ou seja, se z borda, escrevemos z 0: z é homólogo a zero. Assim z z {z} = {z }. Observação 5.1. Seja K r o r-esqueleto de K - que é o subcomplexo de K consistindo de todos os simplexos de dimensão menor ou igual a r. Então claramente C p (K) = C p (K r ) e Z p (K) =Z p (K r ) com r p +1. No caso em que r =1, temos Z 1 (K) =Z 1 (K 1 ). Desde que K 1 é um grafo orientado podemos escrever uma base para Z 1 (K 1 ). Explicitamente, quando K é conexo, uma base para Z 1 (K) =Z 1 (K 1 ) é obtida da seguinte forma: escolha uma árvore maximal T em K 1 e sejam e 1,...,e μ as arestas de K e não de T. Seja Z i (i =1,...,μ) o 1-ciclo associado ao único laço em T + e i, o coeficiente de e i em Z i será +1. Assim z 1,...,z μ é a base pedida. Se K não é conexo, então a base é dada encontrando uma base do ciclo para cada componente. Seja K um grafo orientado. Então temos H 1 (K) =Z 1 (K) de modo que, se K é conexo, H 1 (K) = Z μ(k) e geradores livres de H 1 (K) são dados pelos ciclos básicos descritos acima. Para qualquer K de dimensão n, temos H p (K) =0para p<0 e para p>n Zero-ésimo grupo de homologia Seja K um complexo simplicial orientado. O objetivo é calcular H 0 (K).

45 Grupos de Homologia 43 Proposição 5.2. v v v e v encontram-se na mesma componente conexa por caminhos de K. Demonstração. Se v e v encontram-se na mesma componente conexa por caminhos de K, então o caminho de v para v terá uma 1-cadeia associada c com propriedade c = v v, consequentemente v v. Para o oposto, teremos que usar v v para construir um caminho de v para v. Podemos nos convencer que isto é possível desenhando algumas figuras, mas faremos a demonstração por indução. Suponha que v v = c, e vamos escrever, temporariamente, c para a soma dos módulos dos coeficientes em c, a indução é em c e neste caso c =1étrivial. Suponha, para simplificar a notação, que todos os 1-simplexos de K com v como um ponto final são orientados em direção a v. Assim c deve conter pelo menos um destes 1-simplexos com coeficientes postivos. Escrevendo e =(v v), temos c e < c e (c e) =v v então por indução existe um caminho de v para v, e, portanto, de e para v. Para os próximos resultados consideremos K um complexo simplicial não vazio com k componentes K 1,...,K k, e seja v i um vértice de K i para i =1,...,k. Proposição 5.3. H 0 (K) é livremente gerado pelas classes de homologia {v i } para i =1,...,k. Assim, H 0 (K) = Z K. Demonstração. Da proposição anterior segue que {v 1 },...,{v k } gera H 0 (K) =C 0 (K)/B 0 (K) (note que Z 0 (K) =C 0 (K)). Para mostrar que são livremente gerados suponha λ 1 v λ k v k = c, para algum c C 1 (K). Escrevemos c = c c k onde, c i contém somente 1-simplexos em K i (i =1,...,k). Então, c i contém somente vértices em K i, assim deduzimos λ i v i = c i para i =1,...,k. Usando a aumentação para ambos os lados e o fato que ɛ =0encontramos λ i =0para i =1,...,k. Isto mostra que H 0 (K) mede uma propriedade geométrica muito fundamental de K, isto é, o número de componentes que K possui. Na realidade, é sempre verdade que, H p (K) = H p (K 1 )... H p (K k ) para todo p. Considere a sequência: C 1 (K) C 0 (K) ɛ Z Sabemos que Im Ker ɛ C 0 (K) e por propriedade de sequência exata, temos a seguinte sequência exata curta: 0 Ker ɛ Im C 0 Im C 0 Ker ɛ 0 ou seja, 0 H 0 (K) H 0 (K) C 0 Ker ɛ 0 Agora, suponha que K é não vazio, então ɛ é sobrejetora e C 0 /Ker ɛ = Im ɛ = Z. Portanto a sequência cinde e o resultado se mantém.

46 44 Grupos de homologia Primeiro grupo de Homologia Dado um complexo simplicial orientado K, iremos calcular H 1 (K). Quando K é um grafo (dim K =1) não temos problema, pois já calculamos Z 1 (K). Assim nesse caso H 1 (K) = Z μ(k) com geradores {z 1 },...,{z μ }. Em geral, existe um subgrupo não trivial B 1 (K) de Z 1 (K) para decompor: C 2 (K) 2 C 1 (K) 1 C 0 (K) H 1 (K) =Ker 1 /Im 2 = Z 1 (K)/B 1 (K) Para calcular este quociente usaremos o método de presentações. Primeiro encontramos bases para Z 1 (K) =Z 1 (K 1 ) pelo método da observação 5.1 e então encontramos geradores para B 1 (K). Os geradores que usamos são 2 t onde t obedece a orientação do 2-simplexo de K. Uma presentação, quando K é conexo, de H 1 (K) é dada por ciclos z 1,...,z μ, μ = μ(k 1 ), associado a laços básicos em K 1, e a relação 2 t =0para cada 2-simplexo orientado de K. Faixa de Möebius O diagrama mostra uma triangulação K da faixa de Möebius. É bom rotular as arestas e 1,...,e μ (neste exemplo μ =6) e as arestas restantes e μ+1,...,e α (α = α 1 (K)). A razão para isto será explicada a seguir. Suponha que z é um 1-ciclo em K, então z = λ 1 e λ μ e μ + λ μ+1 e μ λ α e α. Logo, z = λ 1 z λ μ z μ, onde z i (i =1,...,μ) é o 1-ciclo associado com o único laço na (árvore maximal +e i ), o 1-ciclo é orientado de modo que ele contenha e i com coeficiente +1. Esta é uma grande ajuda quando expressamos 2 t como uma combinação linear de z 1,...,z μ. Sejam z 1,...,z 6 como acima. Assim, z 1 = e 1 +e 7 +e 8 +e 9 +e 10, z 2 = e 2 +e 8 +e 9 +e 10 e etc., mas não há necessidade de escrever todos. B 1 (K) é gerado pelos seguintes elementos de Z 1 (K)

47 Grupos de Homologia 45 2 t 1 = e 2 e 7 e 1 = z 2 z 1 2 t 2 = e 7 + e 8 e 5 = z 5 2 t 3 = e 3 e 9 e 8 = z 3 2 t 4 = e 9 + e 10 e 6 = z 6 2 t 5 = e 4 e 1 e 10 = z 4 z 1 Assim, H 1 (K) tem presentação dada por z 1,z 2,z 3,z 4,z 5,z 6, com z 2 z 1 = z 5 = z 3 = z 6 = z 4 z 1 =0 Isto mostra que todos os geradores podem ser escritos em termos de z 1,eH 1 (K) é isomorfo ao grupo abeliano com presentação z 1, logo H 1 (K) = Z. Além disso, isto mostra que {z 1 } K gera H 1 (K). Usando as relações, os geradores alternativos são {z 2 },ou{z 4 },ou{z 2 + z 3 }... Note que o ciclo z 1 passa em torno da faixa de Möebius. Assim, o resultado diz que um 1-ciclo vai "em torno", e não limitando nada, e que qualquer 1-ciclo é, a menos de homomorfismo, um múltiplo deste. Por exemplo e 2 + e 3 + e 4 + e 5 + e 6 é um 1-ciclo indo em volta da faixa, e {e 2 + e 3 + e 4 + e 5 + e 6 } = {z 2 + z 3 + z 4 + z 5 + z 6 } = {z 2 } + {z 3 } + {z 4 } + {z 5 } + {z 6 } = {z 1 } +0+{z 1 } +0+0pela presentação de H 1 (K). =2{z 1 } Na verdade, é geometricamente claro que o bordo é um círculo que passa duas vezes antes de se juntar. A figura seguinte mostra de forma mais informal que o bordo a é homólogo duas vezes a b dando a volta no meio da faixa. As orientações apresentadas são coerentes exceto através da linha central b. Mas, a 2b limita toda a área orientada (ou seja, se a área for dividida em triângulos, orientados, a soma dos bordos deverá ser a 2b), por isso a 2b. Sabemos da última proposição que H 0 (K) = Z, e com o gerador sendo a classe de homologia de qualquer vértice. Para encontrar H 2 (K) precisamos de Ker ( 2 : C 2 (K) C 1 (K)), desde que C 3 (K) = 0. Agora um elemento geral de C 2 (K) é

48 46 Grupos de homologia 5 λ i t i ; suponha que 2 c = 0. A aresta e 2 ocorre somente em 2 t 1, por isso, t 1 i=1 deve ter coeficiente zero em c. Argumentos similares mostram que t 2,t 3,t 4,t 5 possuem coeficiente zero em c, então c =0:H 2 (K) =0. Uma forma alternativa de fazer isto é escrever c explicitamente, usando t 1 = e 2 e 7 e 1 etc., e deduzir de c =0que λ 1 =...= λ 5 =0. Assim, H 0 (K) = Z, com gerador {v} e H 1 (K) = Z, com gerador {e 1 + e 7 + e 8 + e 9 + e 10 } e H 2 (K) =0. Proposição 5.4. Seja K uma superfície fechada. Então: { H 2 (K) 0 se K é não orientada; = Z se K é orientada. Um gerador para H 2 (K), quando K é orientada, é dado pela soma das classes de homologia de todos os 2-simplexos de K, coerentemente orientados. Para ser preciso: K já está orientado, e, além disto, os 2-simplexos podem ser coerentemente orientados. O gerador de H 2 (K) é (±t i ), a soma sendo sobre todos os 2- simplexos orientados t i de K, com sinal + ou, se a orientação de t i com um simplexo de K está ou não de acordo com a orientação escolhida. Note que H 2 (K) =Z 2 (K) desde que K é 2-dimensional. Um gerador de H 2 (K), quando K é uma superfície fechada orientada, é chamado um ciclo fundamental, ou classe fundamental, para K. Até o sinal é determinado por K. Demonstração. Suponha primeiro que K é orientável. Para simplificar vamos supor que a orientação de K é tal que os 2-simplexos já recebem orientação coerente. Buscamos Z 2 (K), então seja z Z 2 (K), e suponha z 0então, alguns 2-simplexos orientados t ocorrem com coeficiente λ 0em z. Seja t outro 2-simplexo orientado. Então, existe uma sequência de triângulos de K conectando t e t, dois membros consecutivos da sequência sempre possuem uma aresta em comum. Disto e z =0segue que todo triângulo na sequência, e em particular t, sempre tem coeficiente λ em z. Por isso z é um múltiplo da soma de todos os triângulos, coerentemente orientados, e Z 2 (K) é um ciclo finito com esta soma de geradores. Agora, suponha que H 2 (K) 0eseja z um elemento não-zero de Z 2 (K). Exatamente como anteriormente podemos deduzir que o coeficiente de cada 2-simplexo orientado em z deve ser, até o sinal, o mesmo integrante não-zero (somente até o sinal pois, os triângulos de K já não são assumidos como coerentemente orientados). Agora defina uma nova orientação dos triângulos de K pela mudança de orientação de todos os coeficientes negativos em z. Isto é fácil de ver (usando z =0) que este orienta coerentemente os triângulos de K: K é orientável.

49 Grupos de Homologia Grupos de homologia relativa Uma situação envolvendo um par de complexos simpliciais, como por exemplo, investigar algumas das propriedades de um grafo que é realizado como um subcomplexo de uma superfície, é o que chamaremos de uma situação relativa. Em particular considere o grafo no toro desenhado abaixo: Existe uma região limitada por cinco arestas e contendo os três triângulos orientados. A soma dos bordos desses três triângulos certamente não é zero, mas contém apenas as arestas do grafo, e a soma dos três triângulos é chamada de um ciclo relativo. Assim, ciclo relativo tem uma conexão com regiões. Definição 5.6. Sejam K um complexo simplicial orientado de dimensão n e L um subcomplexo de K (L é portanto orientado de uma forma natural por K). Para qualquer p, 0 p n, o p-ésimo grupo cadeia de K módulo L, ou o p-ésimo grupo de cadeia relativa (do par (K, L)) é o subgrupo de C p (K) consistindo daquelas p-cadeias em K em que o coeficiente de todo simplexo de L é zero. Isto é denotado por C p (K, L), e um elemento de C p (K, L) é chamada uma p-cadeia de K módulo L, ou uma p-cadeia relativa. Para p>nou p<0, C p (K, L) é definida como zero. Note que C p (K, ) =C p (K). Definição 5.7. Com a notação da definição anterior, definimos: j = j q : C q (K) C q (K, L) como um homomorfismo que muda para zero (ou mantém como zero) o coeficiente de cada simplexo em L (para q<0 ou q>n, j q =0). Agora definimos ˆ = ˆ p : C p (K, L) C p 1 (K, L) por ˆ c = j p 1 ( p c), c C p (K, L) ˆ é chamado o homomorfismo bordo relativo. Assim, se i p denota a inclusão de C p (K, L) em C p (K), então ˆ p = j p 1 p i p. Podemos dizer que j omite L e então o bordo relativo de uma cadeia é o bordo comum seguido por esquecer L.

50 48 Grupos de homologia Proposição 5.5. Para qualquer p, o homomorfismo ˆ ˆ = ˆ p 1 ˆ p : C p (K, L) C p 2 (K, L) é trivial. A demonstração é similar a da proposição (5.1) e será omitida. As definições seguintes são precisamente análogas àquelas para o caso absoluto L =. Elas estão resumidas abaixo: Definição 5.8. Complexos de Cadeias de (K, L):...0 C n (K, L) ˆ C n 1 (K, L) ˆ... ˆ C 1 (K, L) ˆ C 0 (K, L) 0 (não existe complexo de cadeia aumentada). Grupos de p-ciclos relativos = Z p (K, L) =Ker(ˆ p ). Grupos de p-bordos relativos = B p (K, L) =Im(ˆ p+1 ). Pela proposição acima, B p (K, L) Z p (K, L), o grupo quociente: H p (K, L) = Z p(k, L) B p (K, L) é o p-ésimo grupo de homologia relativa do par (K, L). Se z Z p (K, L) então z +B p (K, L) H p (K, L) e é denotada por {z} ou {z} K,L,ou seja, qualquer z + b para b B p (K, L), é chamado um ciclo de representação relativa para {z}. Dois ciclos relativos z e z são ditos homólogos mod L (escrito z L z )se {z} = {z }. Exemplo Se K = L então todos os grupos e homomorfismos são triviais. Se dim K = n, então H p (K, L) =0para p<0 ou p>n,eh n (K, L) =Z n (K, L) é abeliano livre. 2. H p (K, L) geralmente não é um subgrupo de H p (K). Por exemplo, seja K um 1-simplexo e =(vw) com seus pontos finais e seja L os pontos finais. Então, H 1 (K) =0desde que K é uma árvore, assim, H 1 (K, L) =Z, com gerador {e}. Para C 0 (K, L) =0, então ˆ 1 =0e Z 1 (K, L) =C 1 (K, L) é cíclico infinito com gerador e. 3. De forma mais genérica que no item anterior, seja K qualquer grafo orientado e L = K 0, o conjunto de vértices de K. Então, C 0 (K, L) =0, 1 =0e Z 1 (K, L) = C 1 (K, L) é um grupo abeliano livre com um gerador para cada aresta de K. Se K é qualquer grafo orientado conexo e L é uma árvore maximal para K, então L contém todos os vértices de L e então C 0 (K, L) =0, ˆ 1 =0eZ 1 (K, L) = C 1 (K, L) é um grafo abeliano livre com um gerador para cada aresta de K não em L - portanto, da classificação μ(k).

51 Grupos de Homologia 49 A próxima proposição permite que ciclos relativos e bordos sejam reconhecidas como tal sem muita dificuldade. Isto é conveniente, agora e depois, para fazer a convenção seguinte. Quando L é um subcomplexo de K, consideramos C p (L) como um subgrupo de C p (K), ou seja, o subgrupo consistindo de todas as p-cadeias em K em que o coeficiente de cada p-simplexo não em L é zero. (Assim, com esta convenção, C p (K) é a soma direta interna de C p (L) e C p (K, L)). A fim de que a convenção não deve nos levar ao erro, é essencial que o bordo de uma p-cadeia em L deva ser a mesma se considerarmos ela mesma ou de acordo com a convenção como um tipo especial de p-cadeia de K. Este é realmente o caso decorrente do fato de que L é um subcomplexo de K e que assim, se σ L então, todas as faces de σ também pertencem a L. Proposição Seja, em uma notação usual, c C p (K, L). Então c éum ciclo relativo, ou seja, pertence a Z p (K, L), se, e somente se, c C p 1 (L). 2. Seja c C p (K, L). Então c é um bordo relativo, ou seja, c B p (K, L) se, e somente se, houver uma p-cadeia (absoluta) c C p+1 (K) tal que c c C p (L). Demonstração. 1. É praticamente imediato para as definições (e a convenção acima), então a demonstração será omitida. 2. Suponha que c B p (K, L), ou seja, c = ˆ c para algum c C p+1 (K, L). Mostraremos que este c (que pertence a C p+1 (K)) satisfaz ˆ c c C p (L). De fato, jc = c = ˆ c = j c, assim j(c c )=0 Da definição de j, isto implica c c C p (L). Suponha reciprocamente que c, como em (2), existe. Então seja c = jc C p+1 (K, L). Mostramos c = c, o que prova que c B p (K, L). Usaremos um artifício simples e útil. Seja ρ : C p+1 (K) C p+1 (L) denotando a restrição homomorfa que coloca em zero o coeficiente de qualquer simplexo não em L. Então claramente, para qualquer c C p+1 (K), c = jc + ρc. Temos que j( c c) =0; também jc = c desde que c C p (K, L). Por isso, c = jc = j c = j jc + j ρc = j jc desde que ρc C p (L) = c pela definição Zero-ésimo grupo de homologia relativa Consideremos K conexo e L não vazio. Mostraremos que H 0 (K, L) =0, ou seja, B 0 (K, L) =C 0 (K, L). Seja v um vértice de K não em L (se tal vértice não existe então o resultado é verdadeiro desde que C 0 (K, L) =0), e w um vértice de L. Ligando w a v por um caminho em K, a 1-cadeia associada c tem c = v w, é um bordo relativo, que implica no resultado.

52 50 Grupos de homologia Proposição 5.7. Seja K um complexo simplicial orientado e L um subcomplexo de K. Então H 0 (K, L) =0se L tem pelo menos um vértice em todas as componentes de K, mas H 0 (K, L) adquire uma soma cíclica infinita para cada componente de K, que não contenha nenhum vértice de L. Geradores livres para H 0 (K, L) são as classes de homologia relativa de um vértice a partir de cada uma destas últimas componentes Primeiro grupo de homologia relativa Para calcular H 1 (K, L) precisamos de uma base para Z 1 (K, L) e de geradores para B 1 (K, L). O método de presentações irá fornecer os resultados como no caso absoluto. O caso mais fácil é quando todos os vértices de K pertencem a L, e então C 0 (K, L) =0, assim Z 1 (K, L) =C 1 (K, L) e uma base é dada pelas arestas de K, não em L. Geradores para B 1 (K, L) são simplesmente ˆ 2 t, onde t atravessa os triângulos de K, não em L. Para ser completo, aqui está um método para escrever uma base de Z 1 (K, L). Assumimos que K é conexo para simplicar a declaração. Seja K um complexo simplicial conexo orientado e L um subcomplexo de K, com componentes L 1,...,L l. Seja T α uma árvore maximal em um 1-esqueleto de K que contém T 1,...,T l. Para cada aresta e i de K que não está nem em T nem em L, seja z i o 1-ciclo em K dado pelo laço único em T + e i tal que o coeficiente de e i em z i é +1. Assim o número de z i é: Em seguida, sejam v 1,...,v l m = μ(k) μ(l 1 )... μ(l l ). vértices de K, respectivamente, nas componentes L 1,...,L l de L, e seja c α (α =2,...,l) a 1-cadeia associada a algum caminho em K de v 1 para v α (Assim se l =0ou l =1não existe c α para considerar). Proposição 5.8. Os seguintes elementos de Z 1 (K, L) são geradores livres: Exemplo 5.4. jz 1,...,jz m,jc 2,...,jc l. 1. Seja K o cilindro desenhado abaixo e L (as linhas grossas do desenho) o subcomplexo consistindo de dois pontos finais. Neste caso L contém todos os vértices de K para que C 0 (K, L) =0,eZ 1 (K, L) = C 1 (K, L) com bases e 1,...,e 6. Geradores para B 1 (K, L) são ˆ t 1,...,ˆ t 6 euma

53 Grupos de Homologia 51 presentação para H 1 (K, L) é dada por e 1,...,e 6, com e 1 + e 6 = e 1 + e 2 = e 2 e 3 = e 3 + e 4 = e 4 e 5 = e 5 e 6 =0. Assim, H 1 (K, L) é cíclico infinito, com gerador {e 6 } por exemplo. Se usarmos a proposição (5.8) para obter uma base para Z 1 (K, L), temos l =2 e tomando L 1 para ser o topo do cilindro e L 2 o fundo, podemos ter T 1 = {e 7,e 8,v 1,v 3,v 4 }, T 2 = {e 10,e 11,v 2,v 5,v 6 } e T = T 1 T 2 {e 6 }. Então m =5 e os ciclos z 1,...,z 5 são obtidos para T por uma substituição, respectivamente falando, as arestas e 1,...,e 5. Os primeiros cinco geradores de Z 1 (K, L) são então e 1 e 6,e 2 + e 6,e 3 e 6,e 4 + e 6,e 5 e 6. O gerador restante é, dito, e 2,queéjc 2 onde c 2 = e 7 + e 2 e 10 é associado a um caminho de v 1 L 1 a v 2 L 2. Para expressar dizemos ˆ t 4 = e 3 + e 4 : os coeficientes de jz 3 e jz 4 são ambos 1, e o coeficiente de jc 2 é0desdeque (e 3 + e 4 )=v 6 v 5, com soma 0 dos coeficientes. 2. Considere o homomorfismo j : C 1 (K) C 1 (K, L). Se z Z 1 (K) então, jz Z 1 (K, L) para ˆ jz = j jz = j (ρz) (ρ : C 1 (K) C 1 (L) colocando coeficientes dos simplexos não em L igual a 0) =0 j ρz desde que z =0 =0desde que ρz C 0 (L). Portanto, há um homorfismo induzido, o que ainda podemos chamar de j, j : Z 1 (K) Z 1 (K, L) Três homomorfismos Definimos três homomorfismos: i : H p (L) H p (K) j : H p (K) H p (K, L) : H p (K, L) H p 1 (L) Como de costume K será um complexo simplicial orientado e L um subcomplexo de K. Definição 5.9. O homomorfismo i Definimos i : H p (L) H p (K) por: i {z} L = {z} K (z Z p (L)) ou seja, i (z + B p (L)) = z + B p (K)

54 52 Grupos de homologia assim simplesmente consideramos z Z p (L) como um ciclo em K e com a classe de homologia existente. Claro que {z} K pode ser zero quando {z} L não é zero. Por exemplo, seja K um 2-simplexo com todas as suas faces, e L o bordo do 2-simplexo (o conjunto de faces próprias). Então {e 1 + e 2 + e 3 } L gera H 1 (K) = Z, mas {e 1 + e 2 + e 3 } K =0desde que t = e 1 + e 2 + e 3. Da definição de i podemos dizer que: 1. Se z Z p (L) então z Z p (K); 2. Se z B p (L) então z B p (K); 3. {z + z } K = {z} K + {z } K onde z,z Z p (L). (1) e (2) afirmam que i é bem definida, e (3) diz que i é um homorfismo. Exemplo 5.5. Seja K a faixa de Möebius abaixo e seja L a borda da faixa. Então H 1 (L) = Z com geradores {e 1 +e 2 +e 3 +e 4 +e 5 +e 6 } L e H 1 (K) = Z com geradores {z 1 } K = {e 1 + e 7 + e 8 + e 9 + e 10 } K. O homomorfismo i é determinado pelo seu efeito sobre o gerador de H 1 (L), e de acordo com os cálculos da página 12, em Faixa de Möebius, i {e 2 + e 3 + e 4 + e 5 + e 6 } L = {e 2 + e 3 + e 4 + e 5 + e 6 } K =2{z 1 } K Assim, i tem um gerador duplo: isto é, multiplicado por dois. Definição O homomorfismo j Definimos j : H p (K) H p (K, L) por: j {z} K = {jz} K,L (z Z p (K)). Exemplo 5.6. Tome K a faixa de Möebius e L a borda da faixa. Então H 1 (K, L) = Z 2 com geradores {e 1 }. Assim, j {e 1 + e 7 + e 8 + e 9 + e 10 } K = {e 1 } + {e 7 } + {e 8 } + {e 9 } + {e 10 } =5{e 1 } = {e 1 } (todos em (K, L)). Assim j leva gerador a gerador.

55 Grupos de Homologia 53 Definição O homomorfismo Definimos : H p (K, L) H p 1 (L) por: {z} K,L = { z} L (z Z p (K, L)). Exemplo 5.7. Seja K uma faixa de Möebius e L como a borda da faixa. : H 1 (K, L) H 0 (L) é trivial - qualquer homomorfismo Z 2 Z é trivial. Então

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57 6 Grafos em Superfícies No capítulo anterior mencionamos que ciclos relativos têm conexão com as regiões que um grafo divide uma superfície. Mais precisamente, seja M uma superfície fechada e seja K um grafo que é um subcomplexo de M. SeK é removido de M, o que resta são subconjuntos disjuntos de M. Considere uma destas regiões (no desenho éaparte sombreada) e retire todos os seus 2-simplexos. Agora, recoloque os 2-simplexos um por um de modo que a reunião de 2-simplexos recolocados seja um bordo de K, ou seja, um elemento do grupo cíclico Z 2 (M,K;2) com todos os coeficientes em Z 2, onde todos os 2-simplexos já foram repostos. Existe uma conexão entre o número de regiões e a dimensão de Z 2 (M,K;2)=H 2 (M,K;2). Para podermos estabelecer esta conexão temos que interpretar o número de regiões em termos da Teoria da Homologia. Adotaremos como partida a abordagem que subtitui as regiões por subcomplexos da segunda divisão baricêntrica de M. Definição 6.1. Sejam M uma superfície fechada e K um subcomplexo de M, parao momento K não necessariamente é um grafo. Sejam M e K as segundas subdivisões baricêntricas de M e K respectivamente, de modo que K é um subcomplexo de M. Seja N o fecho {s M : s tem pelo menos um vértice em K },ev = {s M : s não possui vértices em K }. N é chamada uma vizinhança regular de K em M, e ela circunda as várias componentes de K, de tal modo que as partes de N circundando diferentes componentes não se interceptam. 55

58 56 Grafos em Superfícies Exemplo 6.1. O diagrama abaixo (página 234 de [1]), mostra 11 triângulos de uma superfície fechada M, subdivididos em 6 triângulos de M e 36 triângulos de M. K é o subcomplexo de M consistindo da quebra de 3 arestas e de seus pontos finais, junto com o vértice branco isolado de M. Assim, K é automaticamente subdividido entre K e K. Os triângulos cinzas e suas faces tornam-se a vizinhança regular N de K em M: cada triângulo cinza tem pelo menos um vértice em comum com K. Note que N tem dois componentes: cada um rodeia um componente de K. Os triângulos brancos e suas faces tornam-se o complexo complementar de V : assim, N V é um polígono fechado. Definição 6.2. Seja V como antes. O número de regiões em que K divide M é o número de componentes de V. O objetivo é calcular H 0 (V ;2) (ou H 0 (V )); vamos também calcular H 1 (V ;2);e, quando M é orientável, H 1 (V ). Isto nos fornece informações adicionais sobre as regiões, como veremos. Lema 6.1. N colapsa para K. Então, i : H p (K ) H p (N) é um isomorfismo para cada p, eh p (N,K )=0para cada p. Demonstração. Considere o 2-simplexo (v 0 v 1 v 2 ) da primeira subdivisão baricêntrica M de M. O número de vértices do 2-simplexo que pertence a K ou é 0, 1, 2 ou 3, e as interseções correspondentes de N com (v 0 v 1 v 2 ) são sombreadas na linha superior do próximo diagrama. Os diagramas abaixo mostram, no segundo e terceiro caso, o resultado do colapso de 2-simplexos e um 1-simplexo de N\K que se encontram em (v 0 v 1 v 2 ). Desta forma N colapsa para K junto com um 1-simplexo de N, uma consideração similar dos 1-simplexos de M mostram que os 1-simplexos de N\K também podem ser colapsados. Por isso N K. Se um complexo simplicial K colapsa para um subconjunto L, então i : H p (L) H p (K) é um isomorfismo para todo p se, e somente se, H p (K, L) =0.