Definição 3.1: Seja x um número real. O módulo de x, denotado por x, é definido como: { x se x 0 x se x < 0

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1 Capítulo 3 Módulo e Função Módular A função modular é uma função que apresenta o módulo na sua lei de formação. No entanto, antes de falarmos sobre funções modulares devemos definir o conceito de módulo, também conhecido como valor absoluto. 3.1 Módulo de um número real Definição 3.1: Seja x um número real. O módulo de x, denotado por x, é definido como: x = { x se x 0 x se x < 0 (3.1) Exemplo 3.1: Velamos alguns exemplos: 1. 5 = = = , 2 = 0, = 8 6. π = π Interpretamos geometricamente o módulo de um número real x, na reta, como sendo a distância entre o ponto x e a origem. Em outras palavras, x corresponde à distância do ponto x ao ponto Se x 0 então: 0 x x = x 2. Se x < 0 então: x 0 x = x 18

2 Como as distâncias são sempre positivas ou 0, então é fácil ver que x 0. Esta interpretação como distância será de grande ajuda para que possamos envergar intuitivamente o significado de algumas propriedades envolvendo módulo, como por exemplo, as seguintes 1. x = 0 x = 0 2. x = x 3. x x as quais decorrem imediatamente da Definição 3.1, para qualquer x IR. Exemplo 3.2: Resolva as seguintes equações: 1. 2x + 1 = x + 2 = 3 Solução: 1. De 2x + 1 = 5 temos, pela Definição 3.1, que: ou seja Portanto, 2x + 1 = 2x + 1 ou 2x + 1 = (2x + 1) 2x + 1 = 5 ou (2x + 1) = 5 x = 2 ou x = 3 Logo o conjunto solução da equação é S = { 3, 2}. 2. Observe que não existe x IR tal que 9x + 2 = 3, pois, módulo é sempre positivo e não podemos ter 9x + 2 < 0. Portanto, o conjunto solução da equação é S =. Proposição 3.1: Quaisquer que sejam os números reais a, b e x, tem-se: 1. x 2 = x 2 = x 2 ; 2. ab = a b ; 3. a + b a + b ( Desigualdade Triangular ); 4. Se a > 0, x a a x a; 5. x = x 2 ; 19

3 6. a b a b a b ; 7. a b a x + x b. Demonstração: 1. Sendo x 2 0, x IR, temos que: x 2 = x 2, pela definição de módulo. Resta mostrar que x 2 = x 2. Se x 0, temos e, portanto, Se x < 0, e, portanto, x = x x 2 = x 2. x = x x 2 = ( x) 2 = x Do item 1 temos que: ou seja, ab 2 = (ab) 2 = a 2 b 2 = a 2 b 2, ab = a b. 3. Provaremos, agora, a chamada desigualdade triangular e na sua prova faremos uso do fato x x, x IR. Temos a + b 2 = (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab a 2 + b a b = ( a + b ) 2. Ou seja, donde obtemos a + b 2 ( a + b ) 2, a + b a + b. 20

4 4. Suponhamos que x a. Se x 0, temos x = x a. Sendo x 0, é claro que x a, de modo que, neste caso, a x a. Se x 0, então x a e x = x a. Mas x a é equivalente a x a, de modo que a x a. Portanto, provamos que x a a x a. Para provarmos a recíproca, também distiguiremos os casos x 0 e x < 0. Suponhamos que a x a. Esta dupla desigualdade pode ser desdobrada em x a e x a. Se x 0, x = x e a primeira desigualdade nos dá x a. Se x < 0, x = x e, da segunda desigualdade, temos x a. Logo, Geometricamente, a x a x a. a 0 a x 21

5 5. Antes de provarmos esta parte, faremos uma observação sobre o síbolo x, sendo x um número real positivo. É comum usar x para indicar uma das raizes de x, sem especificar qual dela, ou seja, colocar x2 = x. Tal notação pode conduzir a uma contradição, vejamos: Usando a fórmula x 2 = x, temos 32 = 3 e ( 3)2 = 3. Mas 32 = ( 3) 2 = 9. Logo, 3 = 3 (absurdo?!?!) Para evitar este fato usaremos, sistematicamente, o símbolo x para indicar a raiz quadrada positiva de x. A raiz quadrada negativa de x será indicada por x. Assim especificado, temos que: x2 é a raiz quadrada positiva de x 2, isto é, é o número positivo cujo quadrado é x 2 e o número x satisfaz tais condições, ou seja, x 0 e x 2 = x 2. Logo, x2 = x. 6. Em virtude da desigualdade triangular, temos o que nós dá a = (a b) + b a b + b, Pelo mesmo motivo, temos a b a b. (I) Ora, é evidente que b a b a. Consequentemente a b = b a. b a a b ou a b ( a b ). (II) 22

6 De (I) e (II) e do item 4 concluímos que a b a b. A outra desigualdade, é óbvia, e deixamos a cargo do leitor. 7. Esta última afirmação resulta, também da aplicção da desigualdade triangular à soma a b = (a x) + (x b), pois, ou melhor, a b = (a x) + (x b) a x + x b, Como queriamos demonstrar. a b a x + x b. Corolário 3.2: Dado um número real positivo a, qualquer que seja o número real x, temos: Geometricamente, x a x a ou x a. a 0 a x x Demonstração: Seja x a. Suponhamos que exista um número real x que não satisfaz a condição x a ou x a. Mas x não satisfaz esta última condição se, e somente se, a < x < a o que, pelo item 4 da proposição 1.2, é equivalente a x < a contradizendo nossa hipótese. Reciprocamente, se então x a ou x a x a. 23

7 De fato, x não satisfaz a condição x a se, e somente se, x satisfaz a condição x < a novamente, pelo item 4 da proposição 1.2, x < a é equivalente a a < x < a, o que nos a uma contradição da hipótese x a ou x a. Portanto, esta demonstrado o corolário. Corolário 3.3: Dados a, b, x IR, tem-se x a b se, e somente se, a b x a + b. Demonstração: Com efeito, pelo item 4 da proposição 1.2, x a b é equivalente a b x a b. Somando a a ambos os membros dessa desigualdade obtemos o resultado desejado, ou seja, a b x a + b. Nota 3.1: Todas as afirmações da proposição 1.2 e de seus corolários são ainda verdadeiras com < em lugar de e > em lugar de, como se verifica facilmente. Exemplo 3.3: Resolva as seguintes inequações: 1. x < 3 2. x > x 5 < x 7 Solução: 1. Pela Proposição 3.1, item 4, temos que: x < 3 3 x Pelo Corolário 3.2 temos que: x > 4 x < 4 ou x > 4. 24

8 3. 2x 5 < 3 3 < 2x 5 < 3 2 < 2x < 8 1 < x < x 7 6 2x 7 ou 6 2x 7 x 1 2 Exercícios 3.1: Resolva as seguintes equações e inequações: 1. 5x x + 1 = 3 3. x + 2 < 3 4. x x + 1 < x + 1 < x < 3 8. (x + 1)(x 2) 2 9. x 4 = 2x x > x 2 3x x 6 = x 2 x 2 = x = 1 x Exercícios 3.2: Sejam x, y IR, com y Mostre que 1 y = 1 y 2. Usando o item anterior e a Proposição 3.1, mostre que x y = x y Exercícios 3.3: Resolva as seguintes inequações: x + 1 2x 1 2 x + 1 x 1 < ou x 13 2.

9 3.2 Função modular Dependendo dos valores de x uma função f(x) pode ser definida por duas ou mais sentenças. Vejamos um exemplo: Seja a função g : IR + IR dada por g(x) = x 2. O domínio dessa função é formado pelos reais não-negativos. Ao desenhar seu gráfico, tem-se apenas um pedaço da parábola. Agora considere a função h : IR IR dada por h(x) = x 2. O domínio dessa função é formado pelos reais negativos. Ao desenhar seu gráfico, tem-se apenas um pedaço da reta. 26

10 As duas funções g(x) e h(x) podem ser reunidas numa única função da seguinte forma: { x f(x) = 2 se x 0 x 2 se x < 0 Definição 3.2: Seja g(x) uma função real. Definimos uma função modular como sendo a função f : IR IR x g(x) Em outras palavras, chamamos de função modular uma função que é colocada dentro de um módulo, ou seja, a função f(x) = g(x). Observe que pela Definição 3.1 de módulo, tal função pode ser substituída por uma função definida por duas sentenças, as quais são equivalentes à função anterior: g(x) se g(x) 0 f(x) = g(x) se g(x) < 0 Exemplo 3.4: Segue alguns exemplos de funções modulares. 1. f(x) = x 2. f(x) = x 2 3x 3. f(x) = 1 y 4. f(x) = x f(x) = x 6. f(x) = x + 1 x

11 Exemplo 3.5: As funções do Exemplo anterior podem ser escritas como uma função definida por duas sentenças. x, se x 0 1. f(x) = x, se x < 0 x + 3, se x x 2 3x, se x 2 3x 0 2. f(x) = (x 2 3x), se x 2 3x < 0 3. f(x) = 1 y, se y > 0 1 y, se y < 0 4. f(x) = (x + 3), se x + 3 < 0 x, se x 0 5. f(x) = x, se x < 0 6. f(x) = ( x + 1 x + 2 x + 1 x + 2, se x + 1 x ), se x + 1 x + 2 < 0 Exemplo 3.6: Fazendo o estudo de sinais podemos reescrever as funções apresentadas nos itens 2, 4 e 6, do Exemplo 3.5, como: x 2 3x, se x 0 ou x 3 1. f(x) = (x 2 3x), se 0 < x < 3 x + 3, se x 3 2. f(x) = (x + 3), se x < 3 3. f(x) = x + 1, se x < 2 ou x 1 x + 2 ( ) x + 1, se 2 < x < 1 x + 2 Exercícios 3.4: Escreva as seguintes funções modulares como uma função de duas sentenças, tal como apresentado no Exemplo f(x) = x f(x) = x 1 3. f(x) = x 2 + 4x 4. f(x) = 4 x 2 5. f(x) = 2x 1 6. x 2 + 4x f(x) = x 1 8. f(x) = 2x f(x) = 2x f(x) = 3x f(x) = x x 2 4

12 3.2.1 Gráfico da função modular Com o objetivo de esclarecer melhor, vamos construir o gráfico da função f(x) = x. Primeiramente, antes de construir o gráfico da função pedida, vamos analisar o gráfico da função acima sem a utilização do módulo na sua lei de formação, ou seja, vamos fazer o gráfico de g(x) = x. O módulo presente na lei da função faz com que a parte do gráfico que se localiza abaixo do eixo x reflita no momento em que toca o eixo x. Mas por quê? Simples, a parte do gráfico abaixo do eixo x representa os valores negativos de f(x) e, como o módulo de um número é sempre um valor positivo, o gráfico de f(x) = x fica: 29

13 Exemplo 3.7: Construa o gráfico da função f(x) = x 2 4. Solução: Como no exemplo anterior, primeiro vamos construir o gráfico da função g(x) = x 2 4. Para construir o gráfico de uma função quadrática geral f(x) = ax 2 + bx + c o qual é chamado de parábola, seguimos os seguintes passos: 1. Econtramos as raízes (zeros) da função, ou seja, resolvemos usando a fórmula de Báskara a equação ax 2 + bx + c = Determinamos o vértice da função, o qual é dado por ( b 2a, ) 4a onde = b 2 4ac. 3. Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima, e quando a < 0 a parábola tem concavidade voltada para baixo. Note que em qualquer um dos casos as coordenadas de do vértice são sempre as mesmas. Sendo assim temos que: 1. x 2 4 = 0 x 2 = 4, ou seja, as raízes da equação são: x = 2 ou x = 2 2. o vértice da parábola é: (0, 4) 3. como 1 > 0, temos que a parábola tem concavidade voltada para cima. Portanto, o gráfico de g(x) = x 2 4 é dado por: 30

14 O módulo presente na lei da função faz com que a parte do gráfico que se localiza abaixo do eixo x reflita no momento em que toca o eixo x. Sendo assim temos que o gráfico da função f(x) = x 2 4 é dado por: Exercícios 3.5: Faça o gráfico de todas as funções modulares apresentadas no Exercício