Função do 2 o Grau. 11.Sinal da função quadrática 12.Inequação do 2 o grau
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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Função do o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
2 Função do o Grau 1.Definição.Gráfico 3.Concavidade 4.Forma canônica 5.Zeros 6.Máximo e mínimo 7.Vértice da parábola 8.Imagem 9.Eixo de simetria 10.Informações que auxiliam a construção do gráfico
3 Função do o Grau 11.Sinal da função quadrática 1.Inequação do o grau
4 1. Definição R R Uma aplicação f de em recebe o nome de função quadrática ou do o grau quando associa a cada x Ro elemento (ax + bx + c) R, em que a, b, c são números reais dados e a 0. f ( x) = ax + bx + c (a 0) 4
5 1. Definição Exemplos de funções quadráticas a) f ( x) = x 3x + em que a = 1, b = 3, c = b) f ( x) = x + 4x 3 em que a =, b = 4, c = 3 f x x x a b c c) ( ) = em que = 3, = 5, = 1 f x x d) ( ) = 4 em qu e a = 1, b = 0, c = 4 e) f ( x) = x + 5 x em que a =, b = 5, c = 0 f x = x a = b = c = f) ( ) 3 em que 3, 0, 0 5
6 . Gráfico O gráfico da função quadrática é uma parábola. 6
7 . Gráfico Exemplos 1 o ) Construir o gráfico de y = x - 1. x y = x
8 . Gráfico (-3,8) (-,3) (-1,0) y (3,8) (,3) x (0,-1) (1,0) 8
9 . Gráfico Exemplos o ) Construir o gráfico de y = -x + 1. x y = -x
10 . Gráfico (0,1) (-,-3) (-3,-8) (-1,0) y (1,0) x (,-3) (3,-8) 10
11 . Gráfico Exercício 1: Determinar uma função quadrática f tal que f(-1) = -4, f(1) = e f() =
12 3. Concavidade A parábola representativa da função quadrática y = ax + bx + c pode ter a concavidade voltada para cima ou voltada para baixo. Se a > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima. Se a < 0, a concavidade da parábola está voltada para baixo. 1
13 3. Concavidade y y a > 0 a < 0 x x 13
14 4. Forma canônica A construção do gráfico da função quadrática y = ax + bx + c com o auxílio de uma tabela de valores x e y, como foi feito no item anterior, torna-se às vezes um trabalho impreciso, pois na tabela atribuímos a x alguns valores inteiros e pode acontecer que em determinada função quadrática os valores de abscissa (valores de x), em que a parábola intercepta o eixo dos x ou a abscissa do ponto da parábola de maior ou menor ordenada, não são inteiros. 14
15 4. Forma canônica Para iniciarmos um estudo analítico mais detalhado da função quadrática, vamos primeiramente transformá-la em outra forma mais conveniente, chamada forma canônica. b c b b b c f ( x) = ax + bx + c = a x + x + a x x a a = = a 4a 4a a b b b c b b 4ac = a x + x + a x = + a 4a 4a a a 4a 15
16 4. Forma canônica Representando b 4ac por, também chamado discriminante do trinômio do segundo grau, temos a forma canônica. b f ( x) = a x + a 4a 16
17 5. Zeros Zeros ou raízes Os zeros ou raízes da função quadrática f(x) = ax + bx + c são os valores de x reais tais que f(x) = 0 e, portanto, as soluções da equação do segundo grau. ax bx c + + = 0 17
18 5. Zeros Utilizando a forma canônica, temos: b + + = 0 + = 0 a 4a ax bx c a x b b x + 0 x a = 4a + = a 4a b b ± x + = ± x = a a a 18
19 5. Zeros Número de raízes Observe que a existência de raízes reais para a equação do segundo grau ax + bx + c fica condicionada ao fato de ser real. Assim, temos três casos a considerar: 19
20 5. Zeros 1 o ) > 0, a equação apresentará duas raízes distintas, que são: x b + b = e x = a a 1 o ) = 0, a equação apresentará duas raízes iguais, que são: x = x = 1 b a 3 o ) < 0, sabendo que nesse caso R, diremos que a equação não apresenta raízes reais. 0
21 5. Zeros Resumo b + b > 0 x = ou x = a a b + + = 0 = a < 0 não existem raízes reais ax bx c x 1
22 5. Zeros Significado geométrico das raízes Interpretando geometricamente, dizemos que os zeros da função quadrática são as abscissas dos pontos onde a parábola corta o eixo dos x. Exemplo Construindo o gráfico da função y = x 4x + 3 podemos notar que a parábola corta o eixo dos x nos pontos de abscissas 1 e 3, que são as raízes da equação x 4x + 3 = 0.
23 5. Zeros (-1,8) y (5,8) (0,3) (4,3) (1,0) (,-1) (3,0) x 3
24 5. Zeros Exercício : Determine o zero real das funções abaixo. a) f ( x) = x x + b) f ( x) = x x 1 c) f ( x) = x x + 1
25 5. Zeros Exercício 3: Resolva o sistema abaixo = x y 1 x y = 1
26 5. Zeros Exercício 4: Determinar os zeros reais das funções. 4 a) f ( x) = x 5x b) f ( x) = x + 5x c) f ( x) = x + 3x 3 4 d) f ( x) = 3x 1x
27 5. Zeros Exercício 5: Determinar os valores de m para que a função quadrática f(x) = (m 1)x + (m + 3)x + m tenha dois zeros reais e distintos. 7
28 5. Zeros Exercício 6: Determinar os valores de m para que a equação do o grau f(x) = (m + )x + (3 m)x + (m 1) = 0 tenha raízes reais. 8
29 5. Zeros Exercício 7: Determinar os valores de m para que a função f(x) = mx + (m + 1)x + (m + 1) tenha um zero real duplo. 9
30 5. Zeros Exercício 8: Determinar os valores de m para que a equação f(x) = x + (3m + )x + (m + m + ) = 0 tenha duas raízes reais iguais. 30
31 5. Zeros Exercício 9: Determinar os valores de m para que a função f(x) = (m + 1)x + (m + 3)x + (m - 1) não tenha zeros reais. 31
32 5. Zeros Exercício 10: Determinar os valores de m para que a equação f(x) = mx + (m - 1)x + (m - ) = 0 não tenha raízes reais. 3
33 5. Zeros Exercício 11: Mostre que na equação do o grau ax + bx + c = 0, de raízes reais x 1 e x, temos para a soma S das raízes S = x 1 + x = -b/a e para produto P das raízes P = x 1. x = c/a. 33
34 5. Zeros Exercício 1: Na equação do o grau x 5x 1 = 0 de raízes x 1 e x, calcular: ( ) ( ) a) x x d) x x x b) x1 x e) + x c) + f) x + x x x x x ( ) ( ) 3 3 1
35 5. Zeros Exercício 13: Mostre que uma equação do o grau de raízes x 1 e x é a equação x Sx + P = 0, onde S = x 1 + x e P = x 1. x. 35
36 5. Zeros Exercício 14: Obter uma equação do o grau de raízes a) e 3 d) 1 e 1 3 b) e e) 1+ 3 e 1 3 c)0,4 e 5
37 5. Zeros Exercício 15: Determinar m na equação mx (m - 1)x + m = 0 para que se tenha x 1 /x + x /x 1 = 4, onde x 1 e x são as raízes da equação. 37
38 6. Máximo e mínimo Dizemos que o número y m Im(f) é o valor mínimo da função y = f(x) se, e somente se, y m y para qualquer y Im(f). O número x m D(f) tal que y m = f(x m ) é chamado ponto de mínimo da função. 38
39 6. Máximo e mínimo y Im(f) Ponto de mínimo x m x y m Valor mínimo V 39
40 6. Máximo e mínimo Dizemos que o número y M Im(f) é o valor máximo da função y = f(x) se, e somente se, y M y para qualquer y Im(f). O número x M D(f) tal que y M = f(x M ) é chamado ponto de máximo da função. 40
41 6. Máximo e mínimo y y M V Valor máximo x M x Ponto de máximo Im(f) 41
42 6. Máximo e mínimo I. Se a < 0, a função quadrática y = ax + bx + b c admite o valor máximo y M = para x. M = 4a a II. Se a > 0, a função quadrática y = ax + bx b + c admite o valor mínimo y m = para x. m = 4a a 4
43 6. Máximo e mínimo Demonstração I. Consideremos a função quadrática na forma canônica: b y = a x + a 4a (I) Sendo a < 0, o valor de y será tanto maior quanto menor for o valor da diferença x b + a 4a 43
44 6. Máximo e mínimo Nessa diferença, é constante (porque 4a não depende de x; só depende de a, b, c) e b x + 0 a para todo x real. Então a diferença assume o menor b valor possível quando x + = 0, ou seja, quando a x = b a 44
45 6. Máximo e mínimo Para x = b a, temos na expressão (I): b b y = a + a 0 a a = = 4a 4a 4a 45
46 6. Máximo e mínimo Demonstração II. Prova-se de modo análogo 46
47 6. Máximo e mínimo Aplicações 1 o ) Na função real f(x) = 4x 4x 8, temos: a = 4, b = -4, c = -8 e =
48 6. Máximo e mínimo Como a = 4 > 0, a função admite um valor mínimo: 144 ym = =, isto é: ym = 9 4a 4 4 em x m b 4 1 = =, isto é: xm = a 4 48
49 6. Máximo e mínimo Aplicações o ) Na função real f(x) = -x + x + ¾, temos: a = -1, b = 1, c = ¾ e = 4. 49
50 6. Máximo e mínimo Como a = -1 < 0, a função admite um valor máximo: y M em x M 4 = =, isto é: ym = 1 4a 4 ( 1) b 1 1 = =, isto é: xm = a ( 1) 50
51 7. Vértice da parábola O ponto b V, é chamado vértice da a 4a parábola representativa da função quadrática. 51
52 7. Vértice da parábola Exercício 16: Determinar o valor máximo ou o valor mínimo, e o ponto de máximo ou ponto de mínimo das funções abaixo. a) y = 3x + 1x b) y = 4x 8x + 4
53 7. Vértice da parábola Exercício 17: Determinar o valor de m na função real f(x) = 3x - x + m para que o valor mínimo seja 5/3.
54 7. Vértice da parábola Exercício 18: Determinar o valor de m na função real f(x) = -3x + (m 1)x + (m + 1) para que o valor máximo seja.
55 7. Vértice da parábola Exercício 19: Determinar o valor de m na função real f(x) = mx + (m - 1)x + (m + ) para que o valor mínimo seja.
56 7. Vértice da parábola Exercício 0: Determinar o valor de m na função real f(x) = (m 1)x + (m + 1)x - m para que o valor mínimo seja 1.
57 7. Vértice da parábola Exercício 1: Dentre todos os números reais de soma 8 determine aqueles cujo produto é máximo.
58 7. Vértice da parábola Exercício : Dentre todos os números reais x e z tais que x + z = 8 determine aqueles cujo produto é máximo.
59 7. Vértice da parábola Exercício 3: Dentre todos os retângulos de perímetro 0 cm, determine o de área máxima.
60 7. Vértice da parábola Exercício 4: Dentre todos os números de soma 6 determine aqueles cuja soma dos quadrados é mínima.
61 7. Vértice da parábola Exercício 5: Determine o retângulo de área máxima localizado no primeiro quadrante, com dois lados nos eixos cartesianos e um vértice na reta y = -4x + 5.
62 7. Vértice da parábola Exercício 6: É dado uma folha de cartolina como na figura abaixo. Cortando a folha na linha pontilhada resultará um retângulo. Determinar esse retângulo sabendo que a área é máxima.
63 7. Vértice da parábola Exercício 7: Determine o retângulo de maior área contido num triângulo equilátero de lado 4 cm, estando a base do retângulo num lado do triângulo.
64 7. Vértice da parábola Exercício 8: Num triângulo isósceles de base 6 cm e altura 4 cm está inscrito um retângulo. Determine o retângulo de área máxima sabendo que a base do retângulo está sobre a base do triângulo.
65 7. Vértice da parábola Exercício 9: Determinar os vértices das parábolas abaixo a) y = x 4 b) y = x 5x +
66 8. Imagem Para determinarmos a imagem da função quadrática, tomemos inicialmente a função na forma canônica: ou seja, b f ( x) = a x + a 4a a x b + a 4a 66
67 8. Imagem x Observemos que b x + 0 para qualquer a R; então temos que considerar dois casos: 67
68 8. Imagem 1 o caso: a > 0 a x b + a 0, e, portanto: y b = a x + a 4a 4a 68
69 8. Imagem o caso: a < 0 a x b + a 0, e, portanto: y b = a x + a 4a 4a 69
70 8. Imagem Resumindo: a > 0 y, x R 4a a < 0 y, x R 4a 70
71 8. Imagem ou ainda: a > 0 Im(f) = y R / y a < 0 Im(f) = y R / y 4a 4a 71
72 8. Imagem Exemplos 1 o ) Obter a imagem da função f deremr definida por f x x x ( ) =
73 8. Imagem Na função f x x x ( ) = a =, b = -8 e c = 6 logo: = b 4ac = (-8) = e portanto: = = 4a 4, temos: Como a = > 0, temos: { R } Im( f ) = y / y 73
74 8. Imagem 8 y x
75 8. Imagem Exemplos 1 o ) Obter a imagem da função f deremr definida por x 5 f ( x) = + x
76 8. Imagem x 5 Na função f ( x) = + x, temos: 3 3 a = -1/3, b = e c = -5/3 logo: = b 4ac = 4. (-1/3). (-5/3) = 16/ e portanto: = 9 = 4a 4 ( 1 ) 3 3 Como a = -1/3 < 0, temos: Im( f ) = y R / y
77 8. Imagem y 4/ x
78 8. Imagem Exercício 30: Determinar a imagem das funções definidas em R. a) y = x b) y = x + x + 1
79 8. Imagem Exercício 31: Determinar m na função f(x) = 3x 4x + m definida em R para que a imagem seja Im = {y R / y }.
80 8. Imagem Exercício 3: Determinar m na função f(x) = -x /3 + mx 1/ definida em R para que a imagem seja Im = {y R / y 7 }.
81 9. Eixo de simetria O gráfico da função quadrática admite um eixo de simetria perpendicular ao eixo dos x e que passa pelo vértice. Os pontos da reta perpendicular ao eixo dos x e que passa pelo vértice da parábola obedecem à b equação x =, pois todos os pontos dessa reta a têm abscissa b. a 81
82 9. Eixo de simetria y A M B b a b a r v b + r a x 8
83 10. Informações que auxiliam a construção do gráfico Para fazermos o esboço do gráfico da função quadrática f(x) = ax + bx + c, buscaremos, daqui para a frente, informações preliminares que são: 1 o ) O gráfico é uma parábola, cujo eixo de simetria é a reta x. x = b a perpendicular ao eixo dos o ) Se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima. Se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo. 83
84 10. Informações que auxiliam a construção do gráfico 3 o ) Zeros da função. Se > 0, a parábola intercepta o eixo dos x em dois pontos distintos. b b + P1, 0 e P, 0 a a ponto. Se = 0, a parábola tangencia o eixo dos x no b P1, 0 a 84
85 10. Informações que auxiliam a construção do gráfico dos x. Se < 0, a parábola não tem pontos no eixo coordenadas 4 o ) O vértice da parábola é o ponto de é mínimo se a > 0. obter: b V, a 4a, que é máximo se a < 0 ou Seguem os tipos de gráficos que podemos 85
86 10. Informações que auxiliam a construção do gráfico y a > 0 e > 0 y a > 0 e = 0 y a > 0 e < 0 V P 1 P x V x x V y V y y P 1 P V x x V x a < 0 e > 0 a < 0 e = 0 a < 0 e < 0 86
87 10. Informações que auxiliam a construção do gráfico Exercício 33: Fazer o esboço do gráfico y = x 4x + 3.
88 10. Informações que auxiliam a construção do gráfico Exercício 34: Fazer o esboço do gráfico y = -x + 4x - 4.
89 10. Informações que auxiliam a construção do gráfico Exercício 35: Fazer o esboço do gráfico y = 1/x + x + 1.
90 11. Sinal da função quadrática Consideremos a função quadrática f(x) = ax + bx + c (a 0) e vamos resolver o problema: para que valores de x temos: R a) f(x) > 0 b) f(x) < 0 c) f(x) = 0? Na determinação do sinal da função quadrática, devemos começar pelo cálculo do discriminante, quando três casos distintos podem aparecer: a) < 0 b) = 0 c) > 0 90
91 11. Sinal da função quadrática Vejamos como prosseguir em cada caso. 1 o caso: < 0 Se < 0, então - > 0. Da forma canônica, temos: b a f ( x) = a x + a f ( x) 0, x a + > 4a não negativo positivo R positivo 91
92 11. Sinal da função quadrática Isso significa que a função f(x) = ax + bx + c, quando < 0, tem o sinal de a para todo x R, ou melhor: a > 0 f ( x) > 0, x R a < 0 f ( x) < 0, x R 9
93 11. Sinal da função quadrática A representação gráfica da função f(x) = ax + bx + c, quando < 0, vem confirmar a dedução algébrica. f(x) < 0 x f(x) > 0 x 93
94 11. Sinal da função quadrática Exemplos f x x x ( ) = + 1 o ) apresenta = ( ) 4 1 = 4 < 0 e, como a = 1 > 0, concluímos que: f ( x) > 0, x R 94
95 11. Sinal da função quadrática Exemplos f x x x ( ) = + 1 o ) apresenta = 1 4 ( 1) ( 1) = 3 < 0 e, como a = -1 < 0, concluímos que: f ( x) < 0, x R 95
96 11. Sinal da função quadrática positivo o caso: = 0 Da forma canônica, temos: a f ( x) = a x + a x a + 4a + a não negativo zero b 0 b a f ( x) 0, x R então. 96
97 11. Sinal da função quadrática Isso significa que a função, quando = 0, tem o sinal de a para todo, sendo x 1 b = a f ( x) = ax + bx + c zero duplo de f(x), ou melhor: a > 0 f ( x) 0, x R a < 0 f ( x) 0, x R { } x R x 1 97
98 11. Sinal da função quadrática A representação gráfica da função f(x) = ax + bx + c, quando = 0, vem confirmar a dedução algébrica. f(x) < 0 f(x) < 0 x 1 = x x x 1 = x f(x) > 0 f(x) > 0 x 98
99 11. Sinal da função quadrática Exemplos f x x x ( ) = o ) apresenta = ( ) 4 1 1= 0 então f(x) tem um zero duplo para x b a 1 = = 1 e, como a = 1 > 0, concluímos: f ( x) > 0, x R 1 f ( x) = 0, se x = 1 { } 99
100 11. Sinal da função quadrática Exemplos f x x x ( ) = o ) apresenta = 8 4 ( ) ( 8) = 0 então f(x) tem um zero duplo para x b a 1 = = e, como a = - < 0, concluímos: f ( x) < 0, x R f ( x) = 0, se x = { } 100
101 11. Sinal da função quadrática 3 o caso: > 0 Da forma canônica, temos: ( ) b b b a f ( x) = a x + a x + + x + a a a a a a Lembremos que a fórmula que dá as raízes de uma equação do segundo grau é: x b x1 = b ± a = isto é a b + x = a 101
102 11. Sinal da função quadrática fica evidente que a forma canônica se transforma em: b b + a f x = a x x = a x x x x a a ( ) ( ) ( ) 1 O sinal de a. f(x) depende dos sinais dos fatores (x x 1 ) e (x x ). Admitindo x 1 < x, temos que: 10
103 11. Sinal da função quadrática I) se x < x 1, temos: x x 1 x x x < 1 e ( ) ( ) ( ) x < x < x a f x = a x x x x > x x <
104 11. Sinal da função quadrática II) se x 1 < x < x, temos: x 1 x x 1 x x > 1 e ( ) ( ) ( ) x < x < x a f x = a x x x x x x < < 104
105 11. Sinal da função quadrática III) se x > x, temos: x 1 x x x x > 1 e ( ) ( ) ( ) x > x > x a f x = a x x x x > x x >
106 11. Sinal da função quadrática Isso significa que: 1) O sinal de f(x) é o sinal de a para todo x, tal que x < x 1, ou x > x ; ) O sinal de f(x) é o sinal de -a para todo x, tal que x 1 < x < x. Em resumo: x = x 1 x = x x < x 1 x 1 < x < x x > x f(x) tem o sinal de a f(x) tem o 0 sinal de -a 0 f(x) tem o sinal de a 106
107 11. Sinal da função quadrática O gráfico da função f(x) = ax + bx + c, quando > 0, vem confirmar a dedução algébrica. f(x) > 0 f(x) > 0 x 1 f(x) < 0 x x x 1 x f(x) > 0 f(x) < 0 f(x) < 0 x 107
108 11. Sinal da função quadrática Exemplos f x x x ( ) = 6 1 o ) apresenta = ( 1) 4 1 ( 6) = 5 > 0 então f(x) tem dois zeros reais e distintos: x b 1 5 b = = = e x = = = 3 a a 1 108
109 11. Sinal da função quadrática e, como a = 1 > 0, concluímos que: f ( x) > 0, para x < ou x > 3 f ( x) = 0, para x = ou x = 3 f ( x) < 0, para < x < 3 109
110 11. Sinal da função quadrática Exemplos f x x x ( ) = o ) apresenta = 3 4 ( ) = 5 > 0 logo f(x) tem dois zeros reais e distintos: x b b = = = e x = = = a 4 a
111 11. Sinal da função quadrática e, como a = - < 0, concluímos que: 1 f ( x) < 0, para x < ou x > 1 f ( x) = 0, para x = ou x = 1 f ( x) > 0, para < x < 111
112 1. Inequação do º grau Se a 0, as inequações ax + bx + c > 0, ax + bx + c < 0, ax + bx + c 0 e ax + bx + c 0 são denominadas inequações do o grau. Resolver, por exemplo, a inequação ax + bx + c > 0 é responder à pergunta: existe x real tal que f(x) = ax + bx + c seja positiva? A resposta a essa pergunta se encontra no estudo do sinal de f(x), que pode, inclusive, ser feito através do gráfico da função. Assim, no nosso exemplo, dependendo de a e de, podemos ter uma das seis respostas seguintes: 11
113 1. Inequação do º grau a > 0 e > 0 a > 0 e = 0 a > 0 e < 0 x 1 x x x 1 = x x x { R / ou } S = x x < x x > x 1 { R / } S = x x x 1 S =R x 1 x x 1 = x x x x a < 0 e > 0 a < 0 e = 0 a < 0 e < 0 { R / } S = x x < x < x 1 S = S = 113
114 1. Inequação do º grau Exercício 36: Resolver a inequação x x + >
115 1. Inequação do º grau Exercício 37: Resolver a inequação x x
116 1. Inequação do º grau Exercício 38: Resolver a inequação -x + 3x
117 1. Inequação do º grau Exercício 39: Resolver em R as inequações ( ) ( ) a) x x 6 x + x 1 > 0 3 b)x 6x + x
118 1. Inequação do º grau Exercício 40: É dada a função ( ) ( 9 5 ) y = x x x x + Determinar: a) os pontos de intersecção do gráfico da função com o eixo das abscissas. b) o conjunto dos valores de x para os quais y
119 1. Inequação do º grau Exercício 41: Resolver em R as inequações 4x + x 5 a) y = > 0 x 3x x + 3x 16 b) y = 1 x + 7x
120 1. Inequação do º grau Exercício 4: Resolver as inequações a)4 < x 1 4x b)4x 5x + 4 < 3x 6x + 6 < x + 3x 4 10
121 1. Inequação do º grau Exercício 43: Resolver os sistemas de inequações a b x + x > ) 3 x x 0 0 ) x x x < x 11
122 1. Inequação do º grau Exercício 44: Resolver em R as inequações 4 a) x + 8x 9 < 0 4 b)x 3x + 4 < 0 1
O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo dos x passando pelo ponto (0, c). A imagem é o conjunto Im = {c}.
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