MAT 1351 : Cálculo para Funções de Uma Variável Real I. Sylvain Bonnot (IME-USP)

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1 MAT 1351 : Cálculo para Funções de Uma Variável Real I Sylvain Bonnot (IME-USP)

2 Informações gerais Prof.: Sylvain Bonnot Minha sala: IME-USP, 151-A (Bloco A) Site: ver o link para MAT 1351 na pagina Nessa página: as notas de aulas, informações gerais, listas de exercícios etc... Monitor: aguardando para ver se tem um... Avaliação: P1 (07/04), P2 (12/05), P3 (16/06), PSub (fechada: 23/06) 2

3 Programa resumido Equações e inequações; definição de função e gráficos; funções polinomiais de primeiro e segundo graus; funções modulares; funções inversíveis; funções exponenciais e logarítmicas; funções trigonométricas e suas inversas. Taxa de variação, velocidade, coeficiente angular da reta tangente; o conceito de derivada em um ponto; a função derivada; aproximações e linearidade local; conceitos intuitivo e definições de limite, de continuidade e de diferenciabilidade; regras de derivação. O Teorema do Valor Médio e suas aplicações. O comportamento de uma função: um estudo qualitativo; o gráfico de uma funções, comportamento no infinito, regras de L Hospital. Problemas de otimização. Aproximação de funções: fórmula de Taylor com resto de Lagrange. 3

4 Bibliografia J. Stewart. CÁLCULO, volume I, Editora Pioneira - Thomson Learning, São Paulo Outros textos: Guidorizzi, vol. 1;D. Hughes-Hallett et alii, Cálculo, volume I, Editora Edgard Blücher Ltda, São Paulo, 1999; G.F. Simmons, Cálculo com Geometria Analítica, volume 1, MacGraw-Hill, São Paulo, 1987; L. Leithold, O Cálculo com Geometria Analítica, volume 1, Harbra, São Paulo, 1977; J. P. Boulos, Introdução ao Cálculo, volume I. Qualquer livro que parece ajudar, Notas do web, Aulas do youtube, artigos da wikipedia, Minhas notas de aulas, no meu site... 4

5 Números Números naturais: N = {0, 1, 2, 3,...}. Podemos definir a adição a + b dos números naturais, mas não podemos definir a subtração, porque 2 5 não é um natural. Números inteiros: Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} (vem da palavra alemão Zahlen ). Temos as operações de soma, subtração e multiplicação (o resultado é um inteiro). Problema: não existe um inteiro x tal que 3x = 5. Então temos que considerar um conjunto de numeros maior: Números racionais: Q = { a b a Z, b Z com b = 0}, onde a Z significa a é elemento de Z. Agora podemos finalmente definir as 4 operações. Na verdade os gregos como Pitágoras aceitavam somente os números racionais. Problema: Hipasus mostrou que tem números que não são racionais. Os outros estudantes de Pitágoras expulsaramhipasus da Escola e o afogaram no mar... 5

6 Necessidade dos números reais Teorema 2 não é um número racional. Demonstração Figura : Pitágoras e o teorema de Pitágoras Vamos supor a existência de um racional p q tal que ( p q ) 2 = 2, 6

7 Necessidade dos números reais II Demonstração e tal que a fração p q é reduzida (significando: que não tem um inteiro que pode dividir p e q ). Podemos ver que p 2 = 2q 2, então p tem que ser um número par (porque o quadrado de um número ímpar é ímpar). Isso significa que eu posso escrever p = 2r (isto é exatamente a definição de um número par), mas então p 2 = (2r) 2 = 4r 2, e eu obtenho: 4r 2 = 2q 2 2r 2 = q 2 (essa flecha significa implica ), OK, mas agora eu sei que q é um número par também, isto é, existe um inteiro s tal que q = 2s (impossivel! porque eu poderia reduzir a fração p q = 2r 2s = r s ). 7

8 Números reais Definição: um número real é dado por um inteiro com sinal mais ou menos, mais uma virgula, mais um número finito ou infinito de casas decimais depois. Os números reais são os números da calculadora, mas com possibilidade de ter um número infinito de decimais. Examplos -351, é um número real, π, 21 também... Convenção: vocês já sabem que 23, = 24. Na verdade, é facil mostrar isso: Demonstração Vamos escrever x = 23, Então 10x = 239, Depois de uma subtração, temos que 9x = 239, mas isso significa que x = 24. Cuidado! O número 23, não é igual a 23, 9! Notação: o conjunto de todos os reais é R. Relação com os outros números: N Z Q R 8

9 2 é um número real ou não? Teorema Existe um número real, escrito 2, cujo quadrado é igual a 2. Demonstração (idéia principal) Vamos simplesmente construir o número real 2, com todas as decimais dele: Parte inteira : é claro que 1 2 = 1 < 2, mas 2 2 = 4 > 2, então 2 tem que ter uma parte inteira igual a 1. Primeira decimal depois da virgula: (1, 3) 2 = 1, 69 < (1, 4) 2 = 1, 96 < 2 < (1, 5) 2 = 2, 25 então 2 tem que começar com 1, 4. Segunda decimal: 2 tem que começar com 1, 41 porque: (1, 41) 2 = 1, 9881 < 2 < (1, 42) 2 = 2,

10 10 Conclusão: Conclusão: dessa maneira, a gente pode construir uma sequência infinita de decimais, isto é, um número real que vai ser exatamente 2. Bem melhor: método de Newton para calcular 2: queremos resolver x 2 2 = 0:

11 11 Reconhecer Q dentro de R Teorema Os números racionais tem uma expansão decimal periodica. Demonstração Vamos ver isso com um exemplo: frações do tipo n/7 (por exemplo 3/7).So tem um número finito de restos possivéis, então a sequência de decimais vai se repetir depois de um tempo. Dar exemplos de números reais que não são racionais (e que não são raizes).

12 12 Depois de R?Não é o fim da historia... Definição O conjunto C dos números complexos é onde i satisfaz i 2 = 1. Adição: simplesmente C = {a + bi a R, b R}, (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Produto: (a + bi).(c + di) = ac + adi + bi.c + (bi)(di) = ac + (ad + bc)i + (bd)( 1) = (ac bd) + (ad + bc)i

13 13 Um pouco mais sobre C Figura : o plano complexo

14 Um pouco mais sobre C: adição e produto em C 14

15 15 Números e funções Vamos considerar dois conjuntos: o conjunto X com elementos x e o conjunto Y com elementos y. Definição Uma função f : X Y (leia: f de X em Y ) é uma regra que associa a cada elemento x de X um único elemento y de Y. Domínio: o conjunto X é o domínio de f, também escrito D f. Contradomínio: o conjunto Y é o contradomínio de f. Valor, imagem: o único y de Y associado ao elemento x de X é indicado por f (x) (leia: f de x), é o valor de f em x. Imagem de f : o conjunto de todos os valores possivéis de f (x) é chamado a imagem de f.

16 16 Funções Visualização de uma função: Figura : Função como uma maquina Figura : Diagrama de flechas

17 17 Gráfico de uma função Definição O gráfico de f consiste em todos os pontos do plano com coordenadas (x, f (x)) onde x está no domínio de f. Examplos: f : x x 2, g : u u 3... Figura : Exemplo de gráfico

18 Examplos Examplo 1: Dominio e imagem de f (x) = x 2 Examplo 2: Encontre o domínio e a imagem de f (x) = x 2x 1, de g(x) = x 7. Examplo 3: função afim E simplesmente uma função cujo gráfico é uma reta. y = f (x) = mx + b, onde m é o coeficiente angular ou inclinação e b é o intercepto. 18

19 19 Mais exemplos / Intervalos Definição (Intervalo aberto) O intervalo aberto de a até b, denotado pelo símbolo (a, b) é definido por: (a, b) = {x a < x < b} Examplos: domínio de x x 2 3 Definição (Intervalo fechado) O intervalo fechado de a até b, denotado pelo símbolo [a, b] é definido por: [a, b] = {x a x b}

20 20 Desigualdades Regras para as desigualdades: Se a < b então a + c < b + c Se a < b e c < d então a + c < b + d Se a < b e c > 0 então ac < bc Se a < b e c < 0 então ac > bc Se 0 < a < b então 1/a > 1/b Resolva as desigualdades seguintes e ilustre o conjunto solução sobre o eixo real: 1. 3x + 9 > x < 2x + 1 3x x 2 + x 1 4. x 2 + 2x + 3 < 1.

21 21 Praticar com desigualdades Resolva x 3 + 3x 2 > 4x. Demonstração Temos que escrever tudo de um lado x 3 + 3x 2 4x > 0 e depois re-escrever como um produto de fatores simples: x(x 1)(x + 4) > 0. Finalmente, podemos determinar as soluções da equação x(x 1)(x + 4) = 0 e cortar o eixo real em 4 intervalos:

22 22 Praticar com desigualdades II Então o conjunto solução é :

23 23 Valor absoluto Definição O valor absoluto (também chamado módulo) de um número a, denotado por a, é a distância de a até 0 sobre o eixo real. Propriedade 1: para todo número a, a 0. Propriedade 2: a = a se a 0, e a = a se a < 0. Propriedade 3: a b = ab. Propriedade 4: Desigualdade triangular a + b a + b. Propriedade 5: vamos supor a > 0, então: x = a se e somente se x = ±a x < a se e somente se a < x < a x > a se e somente se x > a ou x < a.

24 24 Exercicios sobre gráficos O conjunto {(x, y) 3x + 4y = 5} é o grafico de uma função? Grafico de f (x) = x, de x 6, de 2 x, de x + 2?

25 25 A função valor absoluto Definição: Gráfico: x = { x se x 0 x se x 0. Dóminio e imagem da função valor absoluto? Que dizer da função x?

26 26 Valor absoluto e desigualdades: como resolver os problemas Resolva:

27 27 Exercicios com o valor absoluto Elimine o valor absoluto: 2x 1 + x 2 x 2 x + 1 Demostrar: x2 = x Demostrar que para todos u, v R temos que: u v u v

28 28 Exercicios sobre gráficos O conjunto {(x, y) 3x + 4y = 5} é o grafico de uma função? Determinar graficamente a interseção e a união dos conjuntos {(x, y) x + y 5 > 0} e {(x, y) x 2y + 2 > 0}. Lembra que a união de dois conjuntos A e B é definida por: A B = {x x A ou x B}. Grafico de f (x) = x, de x 6, de 2 x, de x + 2?

29 29 Retas e funções lineares Inclinação de uma reta não vertical que passa pelos pontos (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ) : m = y x = y 2 y 1 x 2 x 1 Equação de uma reta passando pelo ponto P 1 (x 1, y 1 ) com inclinação m: y y 1 = m(x x 1 )

30 30 s Equação mais geral de uma reta: Ax + By + C = 0 Mostrar que se os interceptos x e y de uma reta são os números a e b ( = 0), então a equação da reta pode ser escrita como: x a + y b = 1 Encontrar a equação de uma reta cujo intercepto x é 6 e cujo intercepto y é 8.

31 31 Tudo sobre as equações quadráticas Equação quadratica: ax 2 + bx + c = 0 Teorema As soluções são: x = b ± b 2 4ac 2a Observação 1: quando o discriminante D = b 2 4ac é igual a 0, so tem uma solução única x = b 2a. Observação 2: quando o discriminante D = b 2 4ac < 0, não existem soluções reais. Observação 3: quando o discriminante D = b 2 4ac > 0, existem duas soluções (também chamados zeros ou raízes ) reais distintas x 1, x 2.

32 32 Geometria da equação quadrática Porque? Explicação simples ( completamento de quadrados ): ( x + b ) 2 = b2 4ac 2a 4a 2 Caso com 2 soluções: podemos fatorar x 2 + b a x + c a como: (x x 1 )(x x 2 ) = x 2 (x 1 + x 2 )x + x 1 x 2 Teorema A soma das raízes é b/a e o produto das raízes é c/a. Discutir o caráter das raízes na equação quadrática: 9x 2 (m 3)x + 1 = 0

33 33 Equação quadrática. Resolver y 4 y 2 = 12. Resolver u 2 u = 3. Determinar o valor de x tal que 3x 2 + 2x + 3 é minimo.

34 34 Transformações de gráficos: translações Translações:para cima, para baixo, para esquerda, para direita

35 Transformações de gráficos: esticamento e reflexão Esticamento e reflexão: suponha c > 1 1. y = cf (x) estique o gráfico de y = f (x) verticalmente por um fator de c 2. (1/c)f (x) comprima. 3. f (cx) comprima horizontalmente. 4. f (x/c) estique horizontalmente por um fator de c, 5. f (x) reflita o gráfico em torno do eixo x 6. f ( x) reflita em torno do eixo y. 35

36 36 Exemplos de esticamentos: com a função co-seno / Aplicação Demostrar que o gráfico de qualquer função quadrática pode ser obtido a partir do gráfico de y = x 2 com translações, esticamentos e reflexões.

37 37 Exemplos Esboce o gráfico de x x Esboce o gráfico de x 3 2x. O gráfico de y = 3x x 2 é dado. Use as transformações para criar uma função cujo gráfico é mostrado.

38 38 Função composta Imagem de f : lembra que a imagem de f é Imf = {f (x) x D f }. Definição Sejam f e g duas funções tais que Imf D g, então a função dada por y = g(f (x)), x D f é chamada função composta de g e f, e é denotada por g f. Pergunta: g f = f g? ou não? Determine g f e f g para f (x) = x + 1, g(x) = x 2.

39 39 Exemplos de composições Encontre as funções f g, g f, f f, g g e seus domínios